UNIDAD 2 FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA 1. Radiación y materia: dualidad onda-corpúsculo

UNIDAD 2
FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA
1. Radiación y materia: dualidad onda-corpúsculo
2. Principio de incertidumbre
3. Mecánica ondulatoria
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 FUNDAMENTOS DE FÍSICA MODERNA
Objetivos
Conocer las dificultades de la Física Clásica para explicar la radiación del
cuerpo negro, del efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. Valorar la
importante contribución de Planck y de Einstein para explicar ambos efectos,
respectivamente, que dio lugar al nacimiento de la Física Cuántica.
Conocer la revolucionaria hipótesis de De Broglie de la dualidad ondamateria, posteriormente refrendada con la experiencia de la difracción de
electrones.
Conocer las hipótesis introducidas por Heisenberg en su principio de
incertidumbre, que obligan a una revisión conceptual de la relación entre el
experimentador y la medida, de excepcional interés en el mundo subatómico.
Conocer las bases de la Física Ondulatoria desarrollada por Schrodinger y la
revisión probabilística introducida por Born, que han sido aplicados con éxito
en numerosos casos de física atómica y molecular.
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 1. RADIACIÓN Y MATERIA: DUALIDAD ONDA-CORPÚSCULO
Satisfacción en el mundo científico hasta finales del siglo XIX: los fenómenos físicos
se podían explicar a partir de las leyes de Newton o a partir de las ecuaciones de
Maxwell.
 Algunos fenómenos no explicables por la Física Clásica: Espectros discretos
 Las características del espectro de
emisión del cuerpo negro (1899)
 Efecto fotoeléctrico: Emisión de
electrones al iluminar un metal
con una radiación (1905)
Ventana de
cuarzo
6
T=2000 K
A
B
-2
-1
RT()(10 Wm Hz )
Cubierta de vidrio
4
-9
T=1500 K
V
2
Fuente de
rayos X
T=1000 K
0
1
14
2
 (10 Hz)
3
Haz
dispersado
G
Interruptor para
invertir la polaridad
Cristal
Haz
incidente
Dispersor

Detector
 Efecto Compton: Dispersión de la luz por la materia (1923)
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Luz
incidente
Radiación del cuerpo negro
Radiancia espectral de un cuerpo
negro a distintas temperaturas
6
T=2000 K
-2
-1
RT()(10 Wm Hz )
Cavidad con un pequeño orificio
4
-9
T=1500 K
2
T=1000 K
0
 Ley de Stefan:

RT = T4
Ley de desplazamiento de Wien:
1
14
2
 (10 Hz)
3
 = 5.6703· 10-8 W m-2 K-4
constante de Stefan-Boltzman
max  T
max frecuencia para la que RT () es máxima
Si relacionamos max con el valor correspondiente max
podemos escribir la ley de Wien:
λmaxT= Kw
Kw= 2.898·10-3m K
constante de Wien
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Nota: Definición de RT,
Radiancia: energía total
emitida por un cuerpo
que se encuentra a la
temperatura T, por
unidad de superficie y
de tiempo
Radiación de cuerpo negro: Teoría Clásica de Rayleigh-Jeans
1º La energía es una variable continua
2º El cálculo de la energía promedio se realiza a partir de la distribución
de Boltzmann:
eE / kBT
P (E ) 
kBT
3º Valor de la energía total promedio:

EP (E )dE

E
k T
 P (E )dE
0

B
-3
3
-17
-1
T()(10 Jm Hz )
0
2
Teoría clásica
de Rayleigh-Jeans
T=1500 K
Resultados
experimentales
1
0
1
14 2
 (10 Hz)
3
8 2 kBT
d
T ( )d 
3
c
* Catástrofe ultravioleta
Comparación de los valores experimentales y los
obtenidos a partir de la Teoría Clásica
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Radiación de cuerpo negro: Teoría Cuántica de Planck
1º La energía una variable discreta
2º Los valores de la energía responden a la expresión: En= n E
con n= 0, 1, 2, ...
3º A partir de consideraciones estadísticas E = E() y supuso la dependencia lineal:
h=6.63*10-34J s constante de Planck
E
* Expresión obtenida:
8 2
h
d
T ( )d  3 h / kBT
c e
1
e h / kBT  1
Comparación de los valores
experimentales y los obtenidos a
partir de la Teoría Cuántica.
3
Otras confirmaciones de la teoría de Planck:
h
 A partir de la expresión obtenida por Planck se pueden
obtener las leyes experimentales de Stefan y Wien.
 Al ajustar las constantes obtenidas analíticamente con
las determinadas experimentalmente por dichas leyes se
comprueba que coincide el valor de h con el determinado
por Planck
Teoría cuántica
de Planck
1.5
-4
* El valor de la energía total promedio:
T()(10 Jm )
E = h
1.0
T=1595K
0.5
0
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 2
4
(m)
6
7
RESUMEN
Radiación de cuerpo negro: Teoría Clásica de Rayleigh-Jeans
1º La energía es una variable continua
2º El cálculo de la energía promedio se realiza a partir de la distribución de Boltzmann
3º Valor de la energía total promedio
Radiación de cuerpo negro: Teoría Cuántica de Planck
1º La energía una variable discreta
2º Los valores de la energía responden a la expresión: En= n E
con n= 0, 1, 2, ...
3º A partir de consideraciones estadísticas E = E() y supuso la dependencia lineal:
E = h
h=6.63*10-34J s constante de Planck
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 EJEMPLO
RT = T4
6
T=2000 K
-2
-1
RT()(10 Wm Hz )
Ley de Stefan:
4
-9
T=1500 K
2
T=1000 K
0
1
14
2
 (10 Hz)
3
Ejemplo 1:
En una lámpara de incandescencia de 50 W, el filamento de wolframio está a
una temperatura de 2150ºC. Si la energía emitida en el campo visible es el 28%
de la total correspondiente a un cuerpo negro a la misma temperatura, hallar la
superficie del filamento de wolframio.
SOL.: 0,914 cm2
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Efecto fotoeléctrico
Ventana de
cuarzo
Cubierta de vidrio
A
V
B
G
Luz
incidente
Interruptor para
invertir la polaridad
• Tubo de vacío con dos placas metálicas
.
• La luz de una sola frecuencia incide
sobre la superficie A (cátodo) y se
emiten electrones.
• La corriente del amperímetro es una
medida del número de estos electrones
que llegan al ánodo (placa B).
• El ánodo se hace negativo para que repela a los electrones.
• Sólo los electrones con energía cinética inicial suficiente pueden superar
la repulsión y llegar al ánodo.
• EL voltaje entre las dos placas se aumenta lentamente hasta que la
corriente se hace cero (voltaje de frenado, Vo).
• En ese momento ni los electrones más energéticos alcanzan el ánodo.
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Efecto fotoeléctrico
Ventana de
cuarzo
Cubierta de vidrio
A
V
B
G
Luz
incidente
Interruptor para
invertir la polaridad
Esquema del dispositivo experimental
I
Intensidad alta
-Vo
Intensidad baja
Ecmax(eV)
4
3
2
1
0
o
40
V
Corriente fotoeléctrica en función de
la diferencia de potencial aplicada
60
14
80
(10 Hz)
100
Ec máxima de los electrones en función
de la frecuencia de la radiación incidente
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Hechos no explicables con la Teoría ondulatoria clásica
1. Dependencia de la energía
cinética de los
fotoelectrones con la
intensidad de la luz incidente
Clásica
Los electrones absorben energía de forma
continua. Una luz más intensa aumenta la
energía cinética de los electrones.
La energía cinética máxima de los electrones
es independiente de la intensidad de la luz.
Experimento
Se tendría que producir para cualquier
frecuencia lo único que la radiación tendría que
ser lo suficientemente intensa
Clásica
3. Existencia de una frecuencia
umbral
La frecuencia umbral es independiente de la
intensidad de la luz usada
Experimento
Para una luz débil, debe transcurrir un tiempo
perceptible entre incidencia y emisión, para que
el electrón alcance la energía requerida.
Clásica
3. Tiempo transcurrido entre la
incidencia de la luz y la
emisión de electrones
Los electrones son emitidos de manera casi
Experimento instantánea, incluso para intensidades bajas.
I
4
-Vo
Intensidad baja
Ecmax(eV)
Intensidad alta
3
2
1
0
V
o
40
60
14
80
(10 Hz)
100
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Efecto fotoeléctrico: Hipótesis de Einstein
1º La energía radiante está cuantizada en paquetes: fotones
2º La energía del fotón es
E = h
3º En el proceso fotoeléctrico un fotón es completamente absorbido por un
electrón del fotocátodo
* Balance de energía del proceso:
h = Ec + W
W, es la energía necesaria para extraer el electrón del metal
* Energía cinética máxima del fotoelectrón:Ec max= h - Wo
Wo, es la función trabajo del metal o trabajo de extracción
► La teoría de Einstein predice una relación lineal entre
► A partir de la pendiente experimental de la
representación de Ecmax frente a , se puede determinar
el valor de h
valor obtenido
h = 6.57·10-34 J.s
valor actual
h = 6.62662·10-34 J.s
4
Ecmax(eV)
la energía cinética máxima Ecmax y la frecuencia 
3
2
1
0
o
40
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 60
14
80
(10 Hz)
100
EJEMPLOS
Efecto fotoeléctrico
Energía del fotón
Ecmax(eV)
4
E = h
3
2
1
0
Balance de energía
o
40
60
14
80
(10 Hz)
100
h = Ec + W
Energía cinética máxima
Ec max= h - Wo
Ejemplo 2
Para romper un enlace químico en las moléculas de piel humana (dando lugar a una quemadura),
se requiere la energía de un fotón de, aproximadamente, 3,5 eV. ¿A qué longitud de onda
corresponde? ¿Qué lugar ocupa en el espectro de las ondas electromagnéticas?
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s.
Ejemplo 3
(a) Calcular la frecuencia en Hertzios, la energía en julios y en electrón-voltios de un fotón de
rayos X con una longitud de onda de 2,70 Å. (b) ¿Cuál es la longitud de onda de un fotón que
tiene tres veces más energía que otro fotón cuya longitud de onda es 500 nm?
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s.
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Ejemplo 4:
El cesio metálico se usa mucho en fotocélulas y en cámaras de televisión ya que tiene la energía de
ionización más pequeña de todos los elementos estables. (a) ¿Cuál es la energía cinética máxima
de un fotoelectrón emitido por el cesio a causa de una luz de 500 nm? (Téngase en cuenta que no
se emiten fotoelectrones si la longitud de onda de la luz utilizada para irradiar la superficie del cesio
es mayor de 660 nm); (b) Usar la masa en reposo del electrón para calcular la velocidad del
fotoelectrón del apartado (a).
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s; me= 9´1·10-31 kg
Ejemplo 5
La radiación emitida por electrones que caen de un estado energético de 30,4 eV a otro de 5,54 eV se
utiliza para irradiar un metal y producir efecto fotoeléctrico. Determinar: (a) la longitud de onda y
frecuencia de la radiación utilizada; (b) el trabajo de extracción del metal si el potencial de frenado
medido es de 22,4 V; (c) la frecuencia umbral para la emisión fotoeléctrica del metal utilizado; (d) el
radio de la circunferencia descrita por los electrones emitidos con la energía cinética máxima
cuando éstos entran en el seno de un campo magnético uniforme de 2·104 G perpendicular al plano
de su trayectoria.
Ejemplo 6
Una radiación luminosa de 2000 Å e intensidad 3 mW/m2 incide sobre un metal de cobre cuya
función trabajo es 1 eV. Calcular (a) el número de fotones por unidad de tiempo y área que llegan al
metal; (b) la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos.
DATOS: h= 6´62·10-34 J·s; c= 3·108 m/s
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Efecto Compton
0º
1=0.709Å
45º
2=0.716Å
Resultados
obtenidos
a
partir
del
experimentos de A. H. Compton (1923). Las
líneas verticales corresponden a los valores
de . En el eje y se representa la intensidad.
90º
2=0.733Å
135º
2=0.750Å
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Efecto Compton
Fuente de
rayos X
Haz
dispersado
Cristal
Haz
incidente
Dispersor

Detector
Esquema del dispositivo experimental
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Explicación del efecto Compton
1º La radiación se considera una colección de fotones con energía E=h.
2º Los fotones colisionan con los electrones libres del blanco dispersor de forma
similar a las colisiones que se producen entre bolas de billar.
3º En la colisión el fotón transfiere parte de su energía al electrón con el que choca.
Resultado
Ecuación del desplazamiento de Compton
  2  1 
h
(1  cos  )
mo c
  C (1  cos )
Longitud de onda Compton
C  h
mo c
 0.0243  10 10 m
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Efecto Compton
  C (1  cos )
Ejemplo 7
Un fotón de 400 pm de longitud de onda choca contra un electrón en reposo y rebota en una
dirección que forma un ángulo de 150° con la dirección incidente. Calcular la velocidad y la
longitud de onda del fotón dispersado.
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Principio de De Broglie: Ondas de materia
Principio de De Broglie: Cualquier partícula moviendose con un cantidad
de movimiento p lleva asociada una longitud de onda , definida de la
forma:  = h / p
No sólo la luz, sino en general toda la materia,
tiene carácter dual.
V
F
Haz
incidente
D
Haz
dispersado
Elsasser (1926) propuso que la
naturaleza ondulatoria de la materia se
podría comprobar de la misma forma
que se había demostrado la de los
rayos X: estudiando la dispersión de
los electrones cuando inciden sobre
un sólido cristalino. Davisson y
Germer realizaron esta comprobación.
C
Esquema del dispositivo usado por Davisson y Germer
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 (a)
Diferentes espectros de difracción
b) Espectro de difracción
producido por electrones
de energía de 600 eV de
=0.050 nm sobre una hoja
de aluminio.
(c)
(b)
a) Espectro de difracción
producido por rayos X de
 = 0.071 nm sobre blanco
formado por una hoja de
aluminio.
c) Espectro de difracción
producido por neutrones de
energía de 0.0568 eV de
 = 0.12 nm sobre una hoja
de cobre.
Conclusión: La materia tiene una naturaleza dual.
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 EJEMPLO
Ondas de materia
Ejemplo 8
Calcular la longitud de onda asociada a una partícula que se mueve con una velocidad de 2•106 m/s
si dicha partícula es: (a) un electrón; (b) un protón; (c) una bola de 0´2 kg de masa.
DATOS: me= 9´1•10-31 kg ; mp= 1´65•10-27 kg ; h= 6´62•10-34 J•s
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 2. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
Enunciado 1 del Principio de incertidumbre de Heisenberg
No puede medirse simultáneamente con toda precisión la posición y el
momento lineal de una partícula
h
x  p x 
4
x: error absoluto de la coordenada x (incertidumbre en la posición)
px: error absoluto de la coordenada x del momento lineal
(incertidumbre del momento lineal)
Enunciado 2 del Principio de incertidumbre de Heisenberg
No puede medirse simultáneamente con toda precisión la energía que
absorbe o emite un átomo y en el instante en que lo hace
h
  t 
4
E: error absoluto en la energía (incertidumbre de la energía)
t : error absoluto en el tiempo (incertidumbre del tiempo)
► Sólo podemos hablar de la probabilidad de que una partícula se encuentre en una
determinada posición con un determinado momento lineal. Esto conduce a la idea de que
la onda que lleva asociada es una función de probabilidad
► La Física Cuántica aparece como una ciencia probabilística
► Principio de complementariedad de Neils Bohr y dualidad
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 EJEMPLO
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
x  p x 
h
4
Esta incertidumbre
es debida a la
naturaleza cuántica
de la materia
Ejemplo 9
Los electrones de un haz tienen una velocidad de (400 ± 5)•104 m/s ¿Cuál es la mínima
incertidumbre con que se puede conocer la posición?
DATOS: me= 9´1•10-31 kg; h= 6´62•10-34 J•s
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 3. MECÁNICA ONDULATORIA
Función de onda y densidad de probabilidad
► La relación de De Broglie = h / p, proporciona la longitud de onda asociada
a una partícula con su cantidad de movimiento.
► La Mecánica Cuántica introduce el uso de la probabilidad para describir el
estado de las partículas. El estado de una partícula se describe por medio de
una función de onda  (x,y,z,t).
► Si se considera un volumen elemental dV=dx dy dz centrado en (x,y,z). La
probabilidad diferencial dP de que la partícula se encuentre dentro del volumen
dV en un instante dado, está dada por: dP  ( x, y , z ) 2 dV
► | (x,y,z) |2 representa la densidad de probabilidad, es decir, la probabilidad
por unidad de volumen de que la partícula esté en el punto (x,y,z)
► La probabilidad P, de que la partícula se encuentre en una región finita de
volumen V será:
2
PV 
V
 dV
► Si conocemos la función de onda  podemos calcular la densidad de
probabilidad | |2 de que la partícula esté en un punto.
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una dimensión
La hipótesis de De Broglie sobre la dualidad onda-corpúsculo fue el punto de
partida de Schrödinger para establecer la llamada mecánica cuántica o
mecánica ondulatoria, que reemplaza a la mecánica clásica de Newton cuando
se quiere describir el movimiento de partículas microscópicas. Para ello, E.
Schrödinger postuló una ecuación, ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER.
U es la función energía
potencial
Ψ (x,t) es la función de onda
d  ( x, t )
ih  ( x, t )
 2
 U ( x, t ) 
2
8 m dx
2
t
h
2
2
d 2  ( x)
 2
 U ( x) ( x)  E ( x)
2
8 m dx
La solución estacionaria
h2
Ψ (x,t) = Ψ (x) e-iωt
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una dimensión
d  (x)
8 m
  2   U ( x ) ( x )
2
dx
h
2
2
Ecuación
de
Schrödinger
independiente del tiempo (o
estacionaria) para una dimensión
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una dimensión
d 2 ( x )
8 2 m
  2   U ( x ) ( x )
2
dx
h
Ecuación de Schrödinger en el sistema electrón-núcleo
La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial en
derivadas parciales. Al integrar la ecuación sólo se obtienen
soluciones matemáticamente aceptables cuando la energía total
del sistema electrón-núcleo (es decir, del átomo) toma ciertos
valores fijos.
La integración de la ecuación de Schrödinger
proporciona la función de onda  (x como solución de la
ecuación y los posibles valores cuantizados de la energía
del átomo.
A partir de la función de onda se puede
calcular la probabilidad de encontrar la
partícula
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Ecuación de Schrödinger
Ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo, aplicada a una partícula de masa m
limitada a moverse sobre el eje x e interactuando
con el entorno mediante una función de energía
potencial U(x) y donde E es la energía total del
sistema (partícula y entorno)
d 2 ( x )
8 2 m
  2   U ( x ) ( x )
2
dx
h
h

2
2
2
 d ( x)

 U ( x)( x)  E ( x)
2
2m dx
Ejemplo 10
Partícula moviéndose en el interior de un pozo de potencial de rectangular y de
paredes infinitas


• El tratamiento de la ecuación de Schrödinger conduce a una
energía cuantizada (igual resultado que en las ondas
estacionarias)
L
v
• Una limitación al movimiento de las partículas cuánticas en un
sistema son las condiciones de contorno, que producen una
cuantización de la energía del sistema.
• Los estados cuánticos son aquellos en los que se cumplen las
condiciones de contorno.
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Resolución de la ecuación de Schrödinger para la partícula moviéndose en un pozo
rectangular e infinito
Dentro del pozo, U(x)=0
d 2( x)
8 2m
  2   U ( x)( x)
2
dx
h
U(x)
n (x)  Asenk n x   o 
h2 d 2 ( x)
 2
 E ( x)
8 m dx2
kn 
2
n
Condiciones de contorno: (x)=0 para x=0 y x=L
∞
U(x) = 0
∞
0
 2
n (x)  Asen
 n
x<0
0<x<L
x>L
L
x

n ( x)  Asen n 
L

x

x
2
2
2

dx

A
sen
n


dx  1
 n 
L


Condición de normalización de la función de ondas
Función de onda para la partícula

L
0
n ( x) 


2L
x    o  0 y L  n n  n 
2
n

2 
x
sen n ; n  1,2,3,...
L 
L
x

A sen  n dx  1  A 
L

2
2
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L
Función de onda estacionaria para
la partícula dentro de una caja
U(x)
2 
x
sen n ; n  1,2,3,...
L 
L
n ( x) 
0
L
x


F2
Representación de 
para n = 1, n = 2 y n = 3
0
0
X
L0
L
X
F3
A
A
A

L
X
0






2
Representación de 2
para n = 1, n = 2 y n = 3
0
x
L
0
x
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 L
0
x
L
Ejemplo 11
Partícula moviéndose en el interior de un pozo de potencial de rectangular y de
paredes finitas
U(x)
U
0
U
U(x) = 0
U
U
L
x<0
0<x<L
x>L
x
• Según las Física clásica si las partículas tienen E < U no
pueden encontrarse fuera de la región del pozo.
• La partículas cuánticas (comportamiento ondulatorio)
presentan una probabilidad medible encontrarse fuera
del pozo.
• Existe cierta probabilidad de penetración de la partícula
en las paredes
Alados Arboledas, I.; Liger Pérez, E. (2014) Ampliación de Física. OCW‐Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons Attribution‐Non‐Comercial‐ShareAlike 3.0 Ejemplo 12
Partícula moviéndose y que encuentra una barrera de potencial de altura finita
0
Efecto túnel
U(x) =
U
0
x<0
0<x<L
x>L
• La probabilidad no nula de encontrar la
partícula al otro lado de la barrera de
denomina efecto túnel
• Aplicaciones positivas y efectos negativos
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