El modelo pedagógico implementado por el proyecto EMAT

Introducción
La colección Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos (Ecamm) busca introducir
en el aula métodos y técnicas matemáticas mediante hojas electrónicas de cálculo y modelos
matemáticos, como gráficas, representación numérica y uso de diagramas. Esta colección ha sido
diseñada a partir de experiencias pedagógicas que favorecen la comunicación entre los estudiantes de
secundaria y entre éstos y el maestro. Además, estos materiales facilitan el entendimiento de los
conceptos científicos por medio de su cuantificación
Como parte del proyecto Enseñanza de las Matemáticas y las Ciencias con Tecnología –puesto en
marcha, desde 1997, en escuelas secundarias, por la Secretaría de Educación Pública y el Instituto
Latinoamericano de la Comunicación Educativa-, Ecamm vincula la enseñanza de las ciencias con las
matemáticas a partir del aprovechamiento de las descripciones que los estudiantes pueden hacer de
una serie de fenómenos mediante modelos matemáticos.
Las hojas de trabajo de los libros de Ecamm pueden emplearse tanto en laboratorios Emat como en
otros que cuenten con el programa de computación Excel. Se recomienda consultar el libro
Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo Emat donde se dan a conocer las propiedades
didácticas de la hoja de cálculo y una descripción de las características del aula y de la metodología de
trabajo.
Las actividades que se incluyen en estos libros, y que promueven la enseñanza y el aprendizaje
multidisciplinario de los fenómenos científicos, constituyen una vía para apoyar la enseñanza de la
física, la química y la biología en la escuela secundaria.
Prefacio.
L
os fenómenos de la naturaleza son complejos. Para su mejor entendimiento y explicación, desde
hace muchos siglos, los científicos han puesto mucho de su esfuerzo en representar estos
fenómenos por medio de descripciones matemáticas llamadas “modelos matemáticos”. Estos
modelos dan una imagen del fenómeno mucho más fácil de analizar ya que contienen los factores
esenciales de su funcionamiento.
La educación de las ciencias también ha tratado de aprovechar estas des- cripciones
matemáticas para una enseñanza y aprendizaje más sólidos de los fenómenos científicos. Estos
modelos matemáticos se han utilizado para dar una descripción más clara del comportamiento de los
procesos científicos.
Hay que puntualizar que no se pretende usar fórmulas ya que su carácter abstracto no
serviría para este fin. Por el contrario, se construirán las descripciones matemáticas con base en tablas,
gráficas y modelos matemáticos desarrollados en computadora para que los estudiantes puedan
explorarlos y den mayor sentido a los fenómenos científicos.
Estas ideas ya han sido puestas en práctica con gran éxito. En un proyecto de investigación
mexicano-inglés, se introdujo de manera muy efectiva la hoja de cálculo en materias científicas
(Física, Química y Biología) para construir modelos. 1 Los estudiantes exploraban y analizaban los
modelos construidos y de esta manera mejoró considerablemente su entendimiento de las ideas
científicas relacionadas con el modelo.
La presente serie se ha creado para que, mediante un análisis cuantitativo de los procesos de
la naturaleza, los estudiantes puedan llegar a un mejor entendi- miento de las ciencias.
Esta serie consta de cuatro cuadernos de actividades cuyos títulos aparecen a continuación.
1
R. Sutherland, T. Rojano, S. Mochon, E. Jinich y S. Molyneux, “Mathematical Modelling in the
Sciences Through the Eyes of Marina and Adam”, en Proceedings of PME-20 (Valencia), vol.
4 (1996), 291-297
Prefacio ……………………………………………………………………………………………….
Aprendiendo química, biología y física por medio de actividades y modelos
matemáticos. Cuaderno preliminar.
Aprendiendo química por medio de actividades y modelos matemáticos.
Aprendiendo biología por medio de actividades y modelos matemáticos.
Aprendiendo física por medio de actividades y modelos matemáticos.
Como se puede notar, el primero de estos cuadernos “Aprendiendo química, biología y física
por medio de actividades y modelos matemáticos”, contiene las ideas básicas y por ello debe
trabajarse primero. Para hacer las actividades de este cuaderno lo más relevantes posibles para las
materias científicas, se ha tenido cuidado de dotarlas con un contexto científico, mezclando un poco
las tres áreas.
Las actividades de este cuaderno preliminar contienen el desarrollo de algu- nos temas y
conceptos necesarios para el mejor entendimiento de las actividades de los cuadernos restantes, así
como una introducción a la hoja electrónica de cálculo para quienes deseen trabajar con las
actividades computacionales.
Los otros tres títulos se concentran en cada una de las asignaturas respectivas.
Tienen algunas relaciones entre sí, pero pueden ser trabajados de manera inde- pendiente. Por
ejemplo, algunas de las actividades que aparecen en el de química tienen también un contenido que
puede ser relevante en física, y viceversa. Tam- bién, muchos fenómenos tienen estructuras
matemáticas similares, como reacciones químicas y difusión, y por lo cual sería conveniente
estudiarlos simultáneamente.
Cada uno de estos libros contiene tres tipos de actividades:
 “Desarrollando ideas” (sólo requieren lápiz, papel, y calculadora).
 “Profundizando con la hoja de cálculo” (los estudiantes construyen sus propias
hojas de cálculo en Excel sobre situaciones científicas).
 “Explorando modelos computacionales” (los estudiantes exploran un modelo
computacional diseñado previamente en Excel).
En el último tipo de actividades, se espera que el estudiante tome una actitud de investigador
usando las simulaciones diseñadas en hojas electrónicas de cálculo para este fin. Se pretende que en
ellas, el estudiante siga las etapas de una investigación científica, incluyendo la experimentación, el
análisis de los datos obtenidos, la formación de hipótesis, la generalización, la predicción y la
verificación.
El tipo de actividad (desarrollando ideas; profundizando con la hoja de
cálculo, y explorando modelos computacionales) está descrito en la cornisa de la página. El primer tipo de actividades (“Desarrollando ideas”) pueden ser trabajadas en
el salón de clase ya que no requieren de equipo computacional. El segundo tipo
de actividades (“Profundizando con la hoja de cálculo”) requieren que el estudiante esté familiarizado con el programa Excel. Es muy importante, si se quieren abordar este tipo de actividades, que el alumno trabaje las actividades
correspondientes del cuaderno preliminar. El tercer tipo de actividades (“Explorando
modelos computacionales”) requiere un laboratorio de cómputo y el programa Excel;
sin embargo, no se requiere un entrenamiento previo del estudiante con el programa
Excel (aun cuando sería recomendable trabajar primero con las actividades de este
tipo contenidas en el cuaderno preliminar).
El CD anexo a este libro Aprendiendo química, biología y física por medio de actividades y modelos
matemáticos. Cuaderno preliminar incluye:
 Las hojas de cálculo exploratorias diseñadas con modelos matemáticos, que
corresponden a las actividades “Explorando modelos computacionales”.
 Las hojas de cálculo que los estudiantes construirán en las actividades
“Profundizando con la hoja de cálculo”. Éstas le servirán al profesor para que
observe el producto ya terminado de lo que sus estudiantes deben hacer (aun
cuando el objetivo no es hacerlas sino aprender de ellas).
 Archivos en word de las hojas de trabajo de los cuatro libros que comprende
esta serie.
Existe un cuarto tipo de hojas de trabajo llamadas “Preparación para la hoja de cálculo”. Tienen
como objetivo que antes de entrar de lleno a construir su hoja de cálculo o a explorar modelos
computacionales, el estudiante desarrolle algunas ideas preliminares sobre el contenido de la hoja de
cálculo. Este tipo de actividades están diseñadas para ser utilizadas con estudiantes que no tengan
computadora. Pueden ser trabajadas por todos los estudiantes.
Notas importantes
Conviene hacer aquí algunos comentarios adicionales sobre estos cuatro cuadernos.
Las actividades contenidas en estos cuadernos tienen el objetivo de complementar
el estudio de las ciencias realizado en el salón de clase mediante actividades
matemáticas de modelación. Esto implica que el profesor debe enriquecer lo más
posible la información científica acerca del fenómeno tratado.
Aún cuando el contenido de estas actividades es eminentemente matemático, su
finalidad principal no es que los alumnos aprendan matemáticas (algo que también
sucederá) sino que comprendan con mayor profundidad los conceptos científicos por
medio de actividades matemáticas de modelación.
Muchas actividades están diseñadas para desarrollar conceptos importantes en
los estudiantes, por lo cual no requieren de un conocimiento previo. De hecho, si el
estudiante ya conoce el resultado de la actividad, ésta perderá su sentido. A veces es
más recomendable que los estudiantes trabajen con las actividades sin explicaciones
previas y que a lo largo de la actividad en el salón de clase se vayan aclarando las
dudas.
Las actividades propuestas parten de una serie de cuestionamientos a los
estudiantes. Las preguntas tienen la finalidad de que el estudiante se detenga a
reflexionar sobre algunas ideas o aplicar algunos conocimientos adquiridos (véase
más adelante la metodología utilizada). Por lo tanto, no deben tomarse como
cuestionarios en los que se evalúe al alumno simplemente como “bien” o “mal”.
En realidad, existen dos tipos de cuestionamientos. Algunos, más o menos directos, tienen
como propósito que el alumno no siga leyendo el texto sin haber entendido las ideas expuestas con
anterioridad. También pretenden reforzar los conocimientos adquiridos.
Hay también preguntas más profundas que tienen la finalidad de motivar al alumno a ir un poco
más allá de las ideas básicas que las actividades tratan de desarrollar. No se espera que los alumnos las
puedan responder siempre correctamente. De nuevo, el apoyo del profesor es fundamental.
El nivel de algunas de las actividades posiblemente parezca un poco elevado para
estudiantes de secundaria. La razón de esto es que las actividades deben presentar un
reto para los estudiantes. Sin embargo, el apoyo del profesor puede compensar muy
bien este posible desnivel.
Las actividades fueron desarrolladas teniendo en cuenta los temas de los
programas de estudio. Sin embargo, algunos temas no están mencionados
explícitamente en ellos. Estas actividades se incluyeron por dos razones: su valor en
el aprendizaje de conceptos importantes y resaltar el carácter específico de un
enfoque cuantitativo.
Estas actividades pueden ser desarrolladas también en la clase de Matemáticas. De
esta manera, esta asignatura se relaciona con las demás materias científicas, con la
doble ventaja de introducir ideas matemáticas en las clases de ciencias, y contextos
científicos en la de Matemáticas.
Si la escuela cuenta ya con otra serie de actividades con herramientas
tecnológicas, las propuestas aquí pueden servir de complemento, ya sea
simultáneamente (parte de los estudiantes con un tipo y parte con el otro)* o en
tiempos diferentes.
Qué nuevos elementos introducen estas actividades
Sabemos que ya se aplican las matemáticas en las clases de Física y Química. ¿Qué elementos
diferentes agregaría esta nueva serie de actividades? Los métodos de enseñanza en las ciencias aún no
han puesto en práctica los más recientes avances de la matemática educativa. Entre ellos, sobresalen
los siguientes.
a)
Métodos y técnicas matemáticas más apropiados para estudiantes de secundaria, los
cuales proporcionarían un mejor entendimiento de los conceptos mediante su
cuantificación.
b) El acercamiento matemático utilizado en estas notas es diferente al convencional. Por
ejemplo, en los problemas que “requieren” el uso de la regla de tres, los estudiantes
utilizan razonamientos proporcionales del tipo: “aumentó al doble, entonces el otro debe
también aumentar al doble” o “se redujo a la cuarta parte, por lo tanto la otra cantidad
debe reducirse también a la cuarta parte”. Es por esto que los números en las tablas estan
seleccionados para que el estudiante pueda hacerlo. En muy pocas ocasiones se plantean
números con relaciones más complejas para que el estudiante tenga la oportunidad de
usar la regla de tres como un recurso adicional.
c)
El objetivo de estos cálculos no es que el alumno obtenga la respuesta numérica, sino
que mediante este tipo de razonamientos aprenda y comprenda las ideas y conceptos
fundamentales de la química, la física y la biología.
d) La importancia de trabajar con varias representaciones, como la gráfica, la numérica, el
uso de diagramas y modelos, además de la representación simbólica por medio de
fórmulas y ecuaciones.
e)
El uso de la calculadora y la hoja electrónica de cálculo para descargar al alumno de la
parte operativa y mecánica de las matemáticas y darle instrumentos más apropiados para
la modelación matemática de fenómenos.
f)
Modelos pedagógicos diferentes basados en hojas de trabajo y una organización
diferente a la del salón de clase.
Antecedentes de este proyecto
Antes de comenzar a usar las actividades contenidas en este libro, conviene que el profesor conozca la
filosofía con que fueron escritas y el modelo pedagógico apropiado para ellas.
El proyecto Aprendiendo química, biología y física por medio de actividades y modelos matemáticos
está enmarcado dentro del mismo grupo que los proyectos Emat (Enseñanza de las Matemáticas con
Tecnologías) y Efit (Enseñanza de la Física con Tecnologías), desarrollados en la Dirección General
de Materiales y Métodos Educativos de la SEP y sustentado por el modelo pedagógico
* Esto es recomendable cuando no se cuenta con suficientes computadoras o calculadoras.
que describiremos más adelante. Sin embargo, este nuevo proyecto se aparta de aquél
en dos aspectos. Primero, no se centra solamente en las tecnologías, sino que hace
uso de varios tipos de hojas de trabajo. Segundo, se enfoca hacia las asignaturas
científicas en general: la física, la química y la biología.
Una de las ideas principales en la que se fundamentan estos proyectos es la siguiente: los
temas matemáticos se introducen regularmente en el aula, partiendo de principios generales hacia
ejemplos particulares (enfoque “de arriba hacia abajo”). De hecho, el enfoque opuesto, “de abajo
hacia arriba”, está mencionado y recomendado explícitamente en los nuevos programas de estudio. A.
diSessa sugiere que la enseñanza de las ciencias al estilo “de arriba hacia abajo” sólo funciona para
alumnos que ya han desarrollado, de manera suficiente, experiencias previas relevantes a partir de las
cuales construyen su conocimiento.2 Esto implica que el acercamiento puede redundar en grandes
dificultades para estudiantes que carezcan de esta experiencia. Lo anterior apunta a que es más
aconsejable seguir un enfoque “de abajo hacia arriba”, es decir, desde ejemplos y situaciones
concretas hacia la generalización de las ideas.
Otro aspecto destacado de la didáctica en estos proyectos es el aprendizaje colaborativo. La
interacción del estudiante con la computadora, y de los estudiantes entre sí, es de primordial
importancia dentro de la perspectiva educativa de A. diSessa y debe tomarse en cuenta como un factor
determinante para el aprendizaje.
El modelo pedagógico
En esta sección se describirá brevemente el modelo pedagógico implementado por el proyecto Emat y
que debe servir de modelo para el nuevo proyecto. Éste tiene varios componentes, entre los cuales
destacan:

El trabajo del estudiante que, dirigido por medio de hojas de trabajo, tiene como propósito
llevarlo a descubrir el conocimiento particular.

El estudiante pasa a ser el elemento más importante del salón de clase pues se convierte en un
sujeto activo, quien mediante su propia reflexión va construyendo conceptos y desarrollando
habilidades.

La comunicación es un elemento muy importante en el aprendizaje del estudiante. Debido a esto,
el trabajo de los estudiantes se realiza en equipos para fomentar el intercambio de ideas y la
interacción.

El papel del profesor en el salón de clase es el de asesor. Su influencia en los estudiantes puede
ejercerla de tres maneras distintas:
a)
Con las hojas de trabajo.
b) Asesorando a los estudiantes en su trabajo en el salón de clase.
c)
2
Con discusiones grupales para retomar y afianzar las ideas y conceptos que surgen de las
hojas de trabajo.
A. diSessa (1993), Toward an Epistemology of Physics, Cognition and Instruction, 10, pp. 105-225
Es primordial que al final de cada actividad se comparta grupalmente el trabajo de los alumnos
para que así todos aprendan de todos y para que se llegue a un consenso acerca de las ideas y las
conclusiones más importantes de la actividad.
Este modelo pedagógico no sólo es útil en un laboratorio de cómputo sino también en el salón de
clase normal.
Estructura de las hojas de trabajo
Después de una serie de investigaciones en las que se requería el diseño de hojas de trabajo, se llegó a
un esquema de la secuencia que debe seguir cada actividad. Éste nos sirve de guía para su diseño. A
continuación se enlistan cada una de sus partes y se explica su razón de ser.
a) Planteamiento de una situación problemática. Un problema real como contexto
ayuda al estudiante a dar significado a las operaciones matemáticas que está
aprendiendo.
b) Preguntas intuitivas para reflexionar sobre el problema. Estas preguntas tienen
como objetivo que el alumno entienda el problema planteado y que se forme
algunas expectativas y predicciones antes de trabajar con la computadora.
c) Desarrollo del problema con la herramienta de trabajo. Esta parte contiene
propiamente el objetivo didáctico propuesto para cada actividad.
d) Preguntas sobre resultados, preguntas abiertas y retos. El alumno necesita
cuestionarse acerca de los resultados obtenidos. Además, conviene que se le deje
explorar sus ideas (esto, por falta de espacio, a veces no se hace explícito en la
hoja de trabajo, pero el profesor debe llenar este hueco cuando lo crea necesario).
e) Discusión y conclusiones. Es importante que el alumno llegue a conclusiones
sobre la actividad y que las exponga al grupo para su discusión. El profesor
puede guiar entonces a sus alumnos acerca de los elementos más importantes de
la actividad.
f)
Trabajo extra. Un grupo siempre es heterogéneo y hay estudiantes que terminan el material muy
rápidamente. Para estos estudiantes siempre hay un trabajo extra al final de cada actividad. El
profesor no debe preocuparse de que todos los estudiantes concluyan la actividad al cien por
ciento. Es suficiente con que cubran el material básico de las primeras partes de la actividad.
Como puede observarse, al final de las hojas de trabajo, éstas se vuelven más abiertas para que el
estudiante tenga la posibilidad de explorar sus ideas.
Algo muy significativo en una hoja de trabajo es que le ofrezca al estudiante retroalimentación
sobre su desempeño. Esto se puede lograr de varias formas, por ejemplo, incluir en las hojas algunos
valores a los cuales el alumno debe llegar.
Notas adicionales
Esperamos que esta serie de actividades matemáticas sea de mucha utilidad para las materias
científicas. Para aprovecharlas al máximo, el profesor tendrá que resolver la actividad de antemano
para darse cuenta de su objetivo didáctico y prever las posibles dificultades. También deberá tomar en
cuenta la diferente metodología utilizada en el salón de clase.
¡Buena Suerte!