MATEMÁTICAS II

Pruebas de Acceso a Estudios Universitarios (Bachillerato L. O. G. S. E.)
Materia: MATEMÁTICAS II
La prueba consta de cuatro bloques de dos preguntas cada uno.
Debes contestar una pregunta de cada bloque. Todas las preguntas
puntúan por igual (2’5). Puedes usar cualquier tipo de calculadora.
PRIMER BLOQUE
A. Se dispone de 1.200 m2 de chapa para construir un depósito en forma de
prisma recto de base cuadrada, que no incluya la tapa superior. Halla el lado
de su base x, y su altura y, de manera que el volumen que pueda almacenar
sea máximo. Calcula dicho volumen.
B. Dada la función f : R → R definida por: f ( x) = 14 x 4 − 2 x 2 + 3 , se pide:
a) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Calcula las coordenadas de sus puntos de inflexión.
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SEGUNDO BLOQUE
A. Halla el área encerrada entre la curva y = x 3 − 4 x 2 + 3 x + 2 , y la recta y = 2 .
B. Sea la función f ( x) = axe x + b con a ∈ R, a > 0 y b ∈ R, b > 0 . Calcula a y b para que la
recta tangente a la gráfica de f ( x) en x = 0 tenga pendiente 1, y que además se cumpla que
el área comprendida entre la gráfica de la función f ( x) , el eje de abscisas, y las rectas x = 0 y
x = 1 sea 3u 2 .
(Obsérvese que como a > 0 y b > 0 entonces f ( x) ≥ 0 en [ 0,1] )
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TERCER BLOQUE
1 0 
 α 0 1


A. Dadas las matrices A = 
 y B =  0 −1 , se pide:
 −1 1 2 
2 α 


a) Encuentra para qué valores de α ∈ R la matriz A·B tiene inversa.
 x
0
 x  
  a
b) Razónese si el sistema: A·  y  =   puede ser compatible determinado, y si B·   =  0 
 y  
 z  b
 
0
puede ser un sistema incompatible.
1 0 0 


B. Si T = 1 2 0  , halla en función de λ ∈ R el rango de la matriz: M = λ ·T + (1 − λ )·T 2
1 3 3 


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CUARTO BLOQUE
A. Discute, según los valores del parámetro a ∈ R , la posición relativa de las rectas:
x + 2 y − z = 0
r≡
− x + y + 2 z = 1
3y + z = 1
2 x − ay − 3z = a

y s≡
B. Dados el plano α ≡ x + 3 y + z = 1 , el plano β ≡ x − y + 2 z = 3 , y el punto P (2, –1, 5).
a) Calcula el ángulo que forman los planos α y β .
b) Halla unas ecuaciones en forma continua de la recta que es paralela a ambos planos y que
contiene al punto P.