Solución y criterios de corrección. Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales.

Solución y criterios de corrección.
Examen de mayores de 25 años. 2012.
Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales.
BLOQUE A
1) En un centro de ocio hay 3 salas de cine: A, B y C. A una determinada sesión han
acudido 225 personas. El número de espectadores de la sala C es el doble de la suma
de espectadores de las salas A y B. También el número de espectadores de la sala C es
30 veces la diferencia entre los que acudieron a la sala B y los que fueron a la sala A.
a) Plantea el sistema que nos permite averiguar cuántas personas acudieron a cada
una de las salas de cine. (1,5 puntos)
b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (1 punto)
a) x= número de persona que hay en la sala A
y= número de personas que hay en la sala B
z= número de personas que hay en la sala C
 x  y  z  225

 z  2( x  y )
 z  30( y  x)

 x  y  z  225

2 x  2 y  z  0
30 x  30 y  z  0

 x  y  z  225

soluciones: x= 35, y=40, z= 150
b)  x  y  75
 x  35

a) 0.5 puntos por cada ecuación bien planteada
b) 1 punto por la resolución correcta del sistema planteado en el apartado a)
2) Sea la función f(x)= x3-6x2+9x+2.
a) Calcula los máximos y mínimos relativos de f(x). (1.25 puntos)
b) Calcula los puntos de inflexión. (0.5 puntos)
c) Obtén los intervalos de concavidad y convexidad de la función dada.(0.75 puntos)
a ) f ( x)  3 x 2  12 x  9
f ( x)  0  x  1,
x3
 f ( x  1)  6  0  (1, 6) es un máximo de la función

 f ( x  3)  6  0  (3, 2) es un mínimo de la función
b) f ( x)  0  x  2,
f ( x)  6  0 x    (2, 4) es un punto de inf lexión
c) f ( x)  6( x  2)
(, 2) ( 2,   )
Signo de 6(x-2)
+
-f es


f ( x)  6 x  12,
a) Calcular la 1ª derivada: 0.25 puntos
Calcular los valores que anulan la 1ª derivada: 0.25 puntos
Calcular la segunda derivada. 0.25 puntos
Comprobar que x=1 es un máximo: 0.25 puntos
Comprobar que x=3 es un mínimo: 0.25 puntos
b)Calcular que el valor que anula la segunda derivada es x=2: 0.25 puntos
Comprobar que (2,4) es un punto de inflexión viendo que la derivada tercera no
Se anula para x=2: 0.25 puntos
C) Establecer los intervalos de concavidad y convexidad: 0.25 puntos
Calcular el signo de la 2ª derivada en cada intervalo : 0.25
Decir si es cóncava o convexa en cada intervalo: 0.25 puntos
3) Se considera la función
si x  1
 x  t
f ( x)   2
si x  1
 x  3x
Se pide:
a) Valor de t para que f sea continua en x=-1
b) Para t=0, representa gráficamente la función
a) f(-1)= -(-1)+t= 1 + t
lim f ( x)  lim ( x  t )  1  t
x  1
x  1
lim f ( x)  lim ( x 2  3x)  (1) 2  3(1)  1  3  4
x  1
x  1
lim f ( x)  lim f ( x)  1  t  4  t  3
x  1
x  1
b) la gráfica es la siguiente:
a) 0.5 puntos por resolución correcta
b) 0.5 puntos trozo de la izquierda
Lado derecho: 0.5 puntos por los puntos de corte con el eje X
0.5 puntos por calcular correctamente el mínimo
2 puntos por todo correcto.
4) Según un estudio, el 80% de los hogares españoles tiene teléfono móvil, el 70% tiene teléfono
móvil y fijo, y el 90% dispone del uno o del otro.
a) Se selecciona un hogar español al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga teléfono fijo?
b) Si se elige un hogar al zar y tiene teléfono fijo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga móvil?
c) ¿Es independiente tener teléfono fijo y tener teléfono móvil? Razona tu respuesta
M=” tener teléfono móvil”
F=” tener teléfono fijo”
P(M)= 0,8
P(M  F)=0,7  M y F son compatibles
P(M  F)= 0,9
a) P(M  F)= P(M)+P(F)- P(M  F)
 P(F)= P(M  F)- P(M)+ P(M  F)= 0,9-0,8+0,7 = 0,8
b) P(M/F)=
P( M  F ) 0.7

 0.875
P( F )
0.8
c)
Los sucesos M=” tener teléfono móvil”
P(M  F)= P(M) · P(F)
P(M  F)=0,7 y
y F=” tener teléfono fijo” son independientes si :
P(M) · P(F)=0,8· 0,8 =0,64
POR TANTO SON DEPENDIENTES.
a) 0.5 puntos por el planteamiento; 0.5 puntos por resolución correcta
b) 0.5 puntos por el planteamiento; 0.5 puntos por resolución correcta
c) 0.5 puntos por resolución correcta.
BLOQUE B
1 0 1 
 2 1 0




3 1 

1) Dadas las matrices A   2 0  1 B    1 1 2  C  
5 2
 3 1 1
 0 1 3 




a) Calcula la matriz traspuesta de A (0,5 puntos)
b) Calcula A2-3B+I, siendo I la matriz identidad de orden 3 (1 punto)
c) Calcula la matriz X tal que C·X=I, siendo I la matriz identidad de orden 2 (1
punto)
1 2

a) A   0 0
1  1

t
b)
3

1
1 
1

A  3B  I   2
3

 4

1

8



2
1
1
1
2
  6
1 
  3
3 
  0


0 1

0  1
1 1 
3
3
3
1

2
3

0
1
 2


0 1   3 1
 0
1
1 

0  1 0
 
6   0 1
9   0 0
0   1
 
0  2
1   8
1 0
1


1 2  0
0
1 3 

2
3
2
0
1
0
0

0 
1 
2

 5
 5 
 2  1

C 1 C X  C 1I  IX  C 1  X  C 1  
 5 3 
a) Calcular At: 0,5 puntos
b)Calcular A2: 0,5 puntos; Calcular 3B: 0,25 puntos; Calcular A2-3B+I: 0,25 puntos
c) Despejar X=C-1 : 0,5 puntos; Calcular C-1: 0,5 puntos
2) La función V(t)= t 3  9t 2  24t , 0  t  4,5 , representa la velocidad de una partícula
medida en m/s, en función del tiempo t que transcurre desde que la partícula inicia el
movimiento, medido en horas.
a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula a las 3 horas (t=3) de haber iniciado su marcha? 0.25
puntos
b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la velocidad de la partícula para
0<t<4,5 1.25 puntos
c) ¿Cuándo alcanza su velocidad máxima? ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada? 1 punto
a)V (t  3)  33  9  32  24  3  18 m / s
c)
c) V (t )  3t 2  18t  24 V (t )  0  t  2, t  4
V (t )  6t  18
V (t  2)  6  0  (t  2, ,V (2)  20) es un máximo de la función
V (t  4)  6  0 corresponde a un mínimo
Alcanza su velocidad máxima a las 2 horas y la velocidad máxima alcanzada es 20 m / s
b)
(0, 2)
( 2, 4)
(4, 4,5)
Signo de (t-2)
--
+
+
Signo de (t-4)
--
-
+
Signo de 3(t-2) (t-4)
+
V(t) es
creciente
decreciente
+
creciente
a)Calcular V(3)=18 m/s : 0,25 puntos
b)Calcular la 1ª derivada :0.25 puntos
Calcular los valores que anulan la 1ª derivada: 0.25 puntos
Establecer los intervalos de crecimiento o decrecimiento: 0.25 puntos
Decir el signo de la 1ª derivada en cada intervalo: 0.25 puntos
Decir si la función es creciente o decreciente en cada intervalo:0.25 puntos
c) Calcular la derivada segunda : 0.25
Calcular que t=2 corresponde a un máximo: 0.25 puntos
Calcular V(2)=20: 0.5 puntos
3) Dada la función:
 3x  3
si x  3

f ( x)    x  4
x 2  3
si x  3

Se pide:
a) Determinar el dominio de f(x)
b) Estudiar si es continua en x=3
c) Calcular el límite de f(x) cuando x tiende a infinito.
3x  3
es una función racional, no está definida para x=4, pero está fuera
x4
este valor de donde está definida la función en ese trozo: x<3. f(x)=x2-3 es una función
polinómica, por tanto está definida para todo nº real, en particular para x  3
a) Dom (f)= R, f ( x) 
b) 1) f(3)= 32-3=6
2)
3x  3 3·3  3
6

 x  4 3 4
lim f ( x)  lim ( x 2  3)  6
lim f ( x)  lim
x 3 
x 3
x 3
x 3
Como los límites laterales son iguales  lim f ( x)  6
x 3
3) Como
lim f ( x)  f (3)  6 , entonces f es continua en x=3
x 3
3x 3
3

3
3x  3
x  3
 lim x x  lim
lim f ( x)  lim
c)
x  
x    x  4
x    x
4
4 x

1
x
x
x
a) 0.5 puntos por resolución correcta.
b) 0.5 puntos por definición de continuidad y planteamiento; 0.75 puntos por resolución
correcta.
c) 0.75 puntos por resolución correcta
4) Según una encuesta realizada a los adolescentes de una ciudad, la probabilidad de
que un adolescente fume es 0.1, la probabilidad de que ayude en las tareas de casa es
de 0.5 y la de que fume y ayude en las tareas de casa es de 0.01.
a) Calcula la probabilidad de que un adolescente fume o ayude en casa.
b) Si se elegimos un adolescente al azar y sabemos que fuma, ¿cuál es la probabilidad de que
ayude en casa?
c) ¿Son independientes fumar y ayudar en las tareas de la casa? Razona tu respuesta
P( fumar) =0,1; P (ayudar) = 0,5; P (fumar  ayudar)= 0,01
a) P( fumar  ayudar)=P(fumar)+P(ayudar)- P (fumar  ayudar)=0,1+0,5-0,01=0,59
P( fumar  ayudar ) 0,01

 0,1
b) P(ayudar/ fumar)=
0.1
P ( fumar )
c)
Dos sucesos “Fumar” y “ Ayudar” son independientes si :
P (fumar  ayudar)= P( fumar)· P (ayudar)
 0,1 · 0,5  los sucesos “Fumar” y “Ayudar” no son
0,01
independientes
O bien: Dos sucesos “Fumar” y “Ayudar” son independientes si P (ayudar)= P(ayudar/ fumar)
0,5  0,1  los sucesos “Fumar” y “Ayudar” no son independientes
a) 0.5 puntos por el planteamiento; 0.5 puntos por resolución correcta
b) 0.5 puntos por el planteamiento; 0.5 puntos por resolución correcta
c) 0.5 puntos por resolución correcta.