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CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 IPN - CECUR CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR Junio 2007 Mail. [email protected] / Cel. 044 55 52 17 49 12 Página 1 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 OBJETIVOS: Al finalizar el curso, el participante será capaz de: • Comprender la aplicación de las 7 herramientas estadísticas para la solución de problemas en la ruta de la calidad • Comprender los conceptos de la variabilidad de los procesos y la forma de evaluarla • Comprender los conceptos estadísticos para implantar cartas de control por variables y por atributos para prevenir los defectos y mejorar los procesos. • Evaluar la capacidad de un proceso y de los equipos de medición, identificando acciones de mejora. • Comprender los métodos de muestreo por atributos y su aplicación Página 2 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CONTENIDO INTRODUCCIÓN y APLICACIÓN DE LAS 7 Hs EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 4 1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 18 2. CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 27 3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES 36 4. CAPACIDAD DEL PROCESO 47 5. CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN R&R 57 6. CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS 69 7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN x ATRIBUTOS 92 Página 3 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 INTRODUCCIÓN ¿Qué causa los defectos? La variación en: Materiales, Máquinas, Métodos, Personal, Mediciones, Medio ambiente. Etapas de la calidad INSPECCIÓN: Aparecen los inspectores, inspección final al 100% CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO: Shewhart, Deming, Juran. Se usa en Japón en los 1950’s y en occidente en los 1980’s ASEGURAMIENTO DE LA CALIDAD (ISO 9001:1994) Sistemas aislados EUA (1940’s) GESTIÓN DE LA CALIDAD (ISO 9001:2000, PNC) Feigenbaum, Deming, Juran, Crosby, Ishikawa, Taguchi EVOLUCIÓN DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP) En 1924 WALTER SHEWHART realizó experimentos y desarrolló las Cartas de Control en los Bell Labs, las cuales: Técnicas útiles para el monitoreo de procesos Permiten identificar situaciones anormales en 6Ms Sirven para prevenir la generación de defectivos 15 LCS Promedio LCI Perfil 10 5 0 Figura 1. Carta de control Página 4 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 En 1926 HAROLD F. DODGE Y HARRY G. ROMIG, desarrollaron las técnicas de Muestreo Estadístico MUESTREO DE ACEPTACIÓN Técnica que permite calificar lotes de productos como conformes o no conformes, por medio de una muestra representativa sin inspeccionar al 100% LOTE MUESTRA Figura 2. Muestreo de aceptación Durante la 2a. Guerra Mundial se expande el uso del CEP en la industria de manufactura 1950’s: EDWARD DEMING / JOSEPH JURAN: Entrenaron a líderes industriales en técnicas del CEP 1950’s: KAOURU ISHIKAWA: seguidor de Deming, desarrolla el Diagrama de Ishikawa, los Círculos de calidad e impulsa el control de calidad total CWQC. Los japoneses implantaron el CEP y lograron productos de alta calidad, Occidente retoma los métodos de CEP hasta después de los 1980’s. En México el programa Ford ITESM de los 1990’s impulsó al CEP con sus proveedores con poco éxito en otras empresas, hoy se retoma con el ISO 9001:2000 e ISO TS 16949. Página 5 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Las técnicas estadísticas han evolucionado a lo que hoy se conoce como Seis Sigma, aplicada en EUA y México por Motorola, GE, Sony, etc. EL CEP ES PARTE DEL SISTEMA DE CALIDAD ISO TS 16949 ISO 9001:2000 MEJORA CONTINUA Información C l i e n t e R e q u e r i m i e n t o s Responsabilidad de la Dirección Medición, análisis, mejora Administración de Recursos Entrada Realización del Producto (y/o servicio) Salida Figura 3. Sistema de gestión de calidad ISO 9001 Página 6 de 105 S a t i s Información f a c c Producto i / o Servicio n CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 LAS 7 HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS Figura 4. Las 7 herramientas estadísticas de calidad Diagrama de Causa efecto – Es una técnica de análisis para la solución de problemas, que muestra la relación entre una característica de calidad y los factores de influencia, ayudándonos a encontrar las causas posibles que nos afectan y encontrar su solución. Para identificar las posibles causas se usa la lluvia de ideas, la cual se debe hacer sin juicio previos y respetando las opiniones. Técnica para generar ideas creativas cuando la mejor solución no es obvia. Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado El problema a analizar debe estar siempre visible Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran número de ideas, sin juzgarlas, ni criticarlas Página 7 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Motivar a que todos participen con la misma oportunidad Diagrama de Ishikawa Medio ambiente Métodos Frecuencia de visitas Clima húmedo Personal Falta de supervi ción Posición de exhibidores Distancia de la agencia al changarro Clientes con ventas bajas Rotación de personal Falta de motivación Ausentismo Elaboración de pedidos Calidad del producto Seguimiento semanal Malos itinerarios Conocimiento de los mínimos por ruta Descompostura del camión repartidor Maquinaría Medición ¿Qué produce bajas ventas de Tortillinas Tía Rosa? Tipo de exhibidor Materiales Figura 5. Diagrama de causa efecto, de Ishikawa o espina de pescado Diagrama de relaciones No hay flujo efectivo de mat. Por falta de programación de acuerdo a pedidos Constantes cancelaciones de pedidos de marketing Influencia de la situación econ del país No hay control de inv..... En proc. Falta de prog. De la op. En base a los pedidos Programación deficiente Capacidad instalada desconocida Falta de control de inventarios en compras No hay coordinación entre marketing operaciones Falta de coordinación al fincar pedidos entre marketing y la op. Duplicidad de funciones Demasiados deptos de inv..... Y desarrollo Falta de com..... Entre las dif. áreas de la empresa No hay com..... Entre las UN y la oper. Marketing no tiene en cuenta cap de p. No hay com..... Entre compras con la op. general Influencia directa de marketing sobre compras Compra de material para el desarrollo de nuevos productos por parte inv..... Y desarrollo’’’ No hay coordinación entre la operación y las unidades del negocio Las un. Reciben ordenes de dos deptos diferentes Altos inventarios Compras aprovecha ofertas Mala prog. De ordenes de compra Perdida de mercado debido a la competencia Falta de comunicación entre las unidades del negocio Figura 6. Diagrama de relaciones Página 8 de 105 Falta de coordinación entre el enlace de compras de cada unidad con compras corporativo CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Diagrama de árbol o sistemático Meta Medio Meta Medio Medio Meta Segundo nivel Primer nivel Cuarto nivel Tercer nivel Medios Medios Medios Medios o planes Meta u objetivo Medios o planes Figura 7. Diagrama de árbol ANALISIS DEL MODO Y EFECTO DE FALLA AMEF de Diseño / Proceso Componente ______________________ Responsable del Diseño ____________AMEF Número _________________ Ensamble ________________ Preparó _______________ Pagina _______de _______ Equipo de Trabajo ___________ FECHA (orig.) de FMEA ______(rev.) ______ Resultados de Acción Función del Producto/ Paso del proceso Modos de Falla Potenciales Efecto (s) Potencial (es) de falla S e v . Causa(s) Potencial(es) o Mecanismos de falla O c c u r Controles de Diseño o Proceso Actuales D e R t P e N c Acción Sugerida Figura 8. Análisis del modo y efecto de falla Página 9 de 105 Responsable y fecha límite de Terminación Acción Adoptada S O D R e c e P v c t N CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Diagrama de Pareto – Se utiliza para identificar prioridades EJEMPLO: Se tienen los defectos siguientes: A. Emulsión 20 B. Grasa 60 C. Derrame 80 D. Tapa barrida 30 E. Mal impresa 10 Construir un diagrama de Pareto y su línea acumulativa Pareto Chart of C1 200 100 Count 60 100 40 50 0 C1 Count Percent Cum % Percent 80 150 20 C 80 40.0 40.0 B 60 30.0 70.0 D 30 15.0 85.0 A 20 10.0 95.0 Other 10 5.0 100.0 0 Figura 9. Diagrama de Pareto Diagrama de Dispersión – Se utiliza para analizar la correlación entre dos variables, se puede encontrar: Correlación positiva o negativa, fuerte o débil o sin correlación. Hoja de verificación – para anotar frecuencia de ocurrencias de los eventos (con signos |, X, *, etc.) Página 10 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Es una herramienta que nos permite estudiar la relación de dependencia entre dos o más variables. El Coeficiente de correlación r tiene valores entre -1 y 1 y el coeficiente de determinación r2 toma valores entre 0 y 1. Y=a+bX Correlación entre las variables Y y X Correlación Negativa Evidente Correlación Positiva Evidente 25 20 20 15 15 10 Y Y 25 10 5 5 0 15 10 20 5 Sin Correlación 0 25 0 15 10 5 0 25 X 20 25 X 20 15 25 Y Correlación Positiva 10 0 0 20 5 15 10 20 25 25 X 20 15 15 10 Y Y Correlación Negativa 5 10 5 5 0 0 5 15 10 20 0 25 0 X 5 15 10 20 25 X Figura 10. Diagrama de dispersión y su correlación entre X,Y Gráfica de la Línea de Ajuste Recta de regresión Y=-.600.858+5738.89X R2 = .895 Retención 600 Regresión 500 95% Intervalo de confianza 95% Intervalo de predicción 400 0.18 0.19 0.20 Altura del muelle Figura 11. Diagrama de Regresión lineal Página 11 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Histogramas – Se utilizan para ver la distribución de frecuencia de los datos 18 16 14 12 10 Frec. 8 6 4 2 0 15-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65-75 Figura 12. Distribución de frecuencias o histograma Las cartas de control de Shewhart – Sirven para monitorear el proceso, prevenir defectivos y facilitar la mejora, hay dos tipos de cartas de control: Cartas de control por atributos (juzga productos como buenos o malos) y por variables (para parámetros del proceso como presiones, temperaturas, etc.) Carta de control “Escuche la Voz del Proceso” M E D I D A S C A L I D A D Región de control, captura la variación natural del proceso original LSC LIC Tendencia del proceso Causa Especial El proceso ha cambiado identificada TIEMPO Figura 13. Patrones de anormalidad en cartas de control Página 12 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES Diagrama de flujo P. REYES /JUNIO 2007 – Se utiliza para identificar los procesos, las características críticas en cada uno, la forma de evaluación, los equipos a usar, los registros y plan de reacción, se tienen los tipos siguientes: Diagramas de flujo de proceso detallados Diagramas físicos de proceso Diagramas de flujo de valor Símbolos para Diagramas de Flujo Iniciar/Detener Transmisión Operaciones (Valor agregado) Decisión Almacenar Entrada/Salida Inspección /Medición Transportación Retraso Líneas de Flujo Diagrama de flujo / Análisis del valor Actividades con valor agregado Actividades sin valor agregado Figura 14. Símbolos de diagrama de flujo y diagrama de flujo de valor. Página 13 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 PROCESS FLOW DIAGRAM NUMBER DATE: ECL: PREPARED BY: INSPECT STORE MOVE OPERATION DESCRIPTION ITEM # STEP FABRICATION NAME Página 14 de 105 PRODUCT AND PROCESS CHARACTERISTICS ECL ITEM # PART NUMBER: PART DESCRIPTION: CONTROL METHODS CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Estratificación – Se utiliza para separar el problema general en los estratos que lo componen, por ejemplo, por áreas, departamentos, productos, proveedores, turnos, etc. Clasificación de los datos o factores sujetos a estudio en una serie de grupos con características similares. Figura 15. Estratificación de los datos de máquinas Hoja de verificación - Se utiliza para reunir datos basados en la observación del comportamiento de un proceso con el fin de detectar tendencias, por medio de la captura, análisis y control de información relativa al proceso DIA DEFECTO 1 2 Tamaño erróneo IIIII I IIIII Forma errónea I III Depto. EquivocadoIIIII I Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III Mal Acabado II III TOTAL 25 20 3 IIIII III III I IIIII III I 21 4 IIIII II II I IIIII IIIII I 21 Figura 16. Ejemplo de hoja de verificación o registro Página 15 de 105 TOTAL 26 9 8 37 7 87 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Aplicación de las 7hs en la solución de problemas La ruta de la calidad 1.- SELECCIÓN DEL TEMA PLANEAR P 2.- RAZON DE LA SELECCIÓN 3.- ESTABLECER OBJETIVOS 4.- PROGRAMA DE ACTIVIDADES 5.- DIAG. DE SITUACION ACTUAL HACER D BUSQUEDA DE CAUSA REAL 6.- ANALISIS DEL PROBLEMA 7.- ANÁLISIS DE SOLUCIONES 8.- IMPLANTAR SOLUCIONES CHECAR C ACTUAR A 9.- VERIFICACION DE SOLUCIONES 10.- PREVENCION DE LA REINCIDENCIA 11.- REFLEXION Y TAREAS FUTURAS 45 P. Reyes Figura 17. Ruta de la calidad para la solución de problemas DMAIC Definir Medir Analizar Mejorar Controlar Herramientas 1. 1. Mapa Mapa de de Proceso Proceso 2. 2. Despliegue Despliegue de de la la Función Función de de Calidad Calidad (QFD) (QFD) 3. 3. Modelo Modelo Kano Kano 4. 4. Diagrama Diagrama Matricial Matricial 5. 5. Benchmarking Benchmarking 6. 6. Costos Costos de de Calidad Calidad 1. 1. Mapa Mapa de de Procesos Procesos 2. 2. Diagrama Diagrama de: de: Pareto,CausaPareto,CausaEfecto,Árbol, Efecto,Árbol, Afinidad Afinidad 3. 3. Métodos Métodos de de Muestreo Muestreo Estadístico Estadístico 4. 4. Capacidad Capacidad del del Sistema Sistema de de Medición Medición 5. 5. Distribución Distribución Normal Normal 6. 6. Capacidad Capacidad del del Proceso Proceso 1. 1. AMEF AMEF 2. 2. Cartas Cartas Multi Multi Vari Vari 3. 3. Correlación Correlación 4. 4. Regresión Regresión lineal lineal Simple Simple yy lineal lineal Múltiple Múltiple 5. 5. Pruebas Pruebas de de Hipótesis Hipótesis 6. 6. Análisis Análisis de de Varianza Varianza (ANOVA) (ANOVA) 1. 1. Análisis Análisis de de Experimentos Experimentos (DOE) (DOE) 2. 2. Diseño Diseño Factorial Factorial 2K 2K 3. 3. Diseño Diseño Fracción Fracción Factorial Factorial 4. 4. Diseño Diseño Taguchi Taguchi 5. 5. Diseño Diseño de de Mezclas Mezclas 6. 6. Métodos Métodos de de Superficie Superficie de de Respuesta Respuesta 1. 1. Plan Plan de de Control Control 2. 2. Cartas Cartas de de Control Control 3. 3. Poka Poka Yoke Yoke 4. 4. Mejora Mejora continua continua (Kaizen) (Kaizen) 5. 5. Las Las 55 S´s S´s 6. 6. Kanban Kanban Figura 18. Seis Sigma para la solución de problemas Página 16 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 EJEMPLO: TRANSPORTES TAMAULIPAS S.A. DE C.V. / GRUPO SENDA EQUIPO DE TRABAJO: 44 Equipos de Mejora Continua (C.C.C.) DURACIÓN DEL PROYECTO: 5 de Mayo de 2004 a 29 de Agosto de 2004 A. Identificación de la problemática. Selección de la oportunidad de mejora. Lluvia de ideas para listar los problemas o áreas de oportunidad más relevantes en el área de trabajo. Se integran los problemas listados en una Matriz de Priorización y se determina un factor peso considerando los objetivos de calidad, mismos que fueron validados por las áreas involucradas. De acuerdo a los resultados de la matriz , se elaboró un Diagrama de Pareto y se identificó el principal problema como: Las salidas fuera de tiempo. B. Una vez seleccionado el problema, sustentarlo. Se tomará como ejemplo a la división 38 para generar un modelo para asegurar el caso exitoso. Se estratifican los datos para la división 38 tales como: días de la semana, por tipo de carro y por tipo de ruta. Basándose en la información estratificada el EMC decide fijar como meta: “Reducir el 50% de las salidas fuera de tiempo en la división 38 para el mes de Agosto.” Se elabora un 5W+1H C. Análisis de las causas del problema. Se realiza un Diagrama de Pareto Se estratifican en las 5 M’s y se representan en un Diagrama de Ishikawa para identificar las posibles causas de raíz. Se hace una selección de las posibles causas de raíz y se identifican 2: o Mandar unidades con tiempo establecido mínimo de 30 minutos saliendo del Taller B. Comunicarle al personal involucrado las medidas realizadas. o Confeccionar un procedimiento único que será cumplido por todos los involucrados. Se realiza un 5W+1H para determinar las actividades a realizar y definir fechas, áreas y responsables para su solución. D. Propuesta de Alternativas de Solución para eliminar las 2 Causas Raíz Identificadas. Se decide llevar a cabo todas las alternativas propuestas para implementar corrección y prevención de las causas raíz puesto que ninguna requiere inversión y además el tiempo de implementación es relativamente corto. E. Implantación y Verificación. Para la implantación de las actividades se realizó un 5W+1H, asegurando con esto que todas las actividades se lleven a cabo en la fecha establecida. Se realiza una comparación antes y después del proyecto, y se observa un cumplimiento por encima de lo estimado. Posterior a la implementación del proyecto, la tendencia se mantiene constante validando así la efectividad de las acciones emprendidas. F. Diseño del Nuevo Estándar Para asegurar la permanencia de la mejora y evitar la reincidencia del problema, se desarrolló un procedimiento para la estandarización de la división 38 en todas sus rutas y donde se describe el flujo de las unidades dentro de las fosas. Se desarrolla un plan de actividades de capacitación por medio de un 5W+1H con la intención de aplicar estas actividades en todas las divisiones de Transportes Tamaulipas. Página 17 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 MÓDULO 1. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL y PRUEBA DE NORMALIDAD 1.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL Un proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de especificaciones y del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente adecuado, el operador capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se toman mediciones en alguna característica del producto, mostrará el siguiente comportamiento: Distribución gráfica de la variación – La Curva normal LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA: TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal SIZE TAMAÑO TAMAÑO LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN: UBICACIÓN DISPERSIÓN TAMAÑO TAMAÑO FORMA TAMAÑO . . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS Fig. 1.1 Construcción de la distribución normal La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio. Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy parecida a la distribución normal. La distribución normal es llamada también campana de Gauss por su forma acampanada. Página 18 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros se indican con letras griegas, tales como: promedio o media = (mu), y desviación estándar (indicador de la dispersión de los datos) = (sigma). Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s. Propiedades de la distribución normal estándar La distribución normal estándar tiene media = 0 y desviación estándar =1. La media, Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el pico. La desviación estándar sigma representa la distancia de la media al punto de inflexión de la curva normal X x-3 x-2 x- x x+ x+2 x+3 z -3 -2 -1 0 1 2 3 Fig. 1.2 Propiedades de la distribución normal El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1. La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5. La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar. La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros , , por lo que hay un número infinito de distribuciones normales. Página 19 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Curvas Curvas Normales Normales con con Medias Medias iguales iguales pero pero Desviaciones estándar diferentes Desviaciones estándar diferentes 3.9 3.9 == 5.0 5.0 Límite inferior de especs. Límite superior de especificaciones Fig. 1.3 Distribuciones normales con varias desv. estándar Normales Normales con con Medias Medias yy Desviaciones estándar Desviaciones estándar diferentes diferentes = = 5, 5, == 33 == 9, 9, = = 66 == 14, 14, == 10 10 LIE LSE Fig. 1.4 Distribuciones desviaciones estándar normales Página 20 de 105 con varias medias y CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para 1 tiene un porcentaje de 68.26%, 2 = 95.46% y 3 99.73% . -3s -2s -1s +1s +2s +3s 68.26% 95.46% 99.73% Fig. 1.5 Área bajo la curva de Distribución normal Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel (Fx =distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z). En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva. La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran ejemplos de su uso. Página 21 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Ejemplo 1.1 a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1. P(Z<= -1) = 0.1587 b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2. P(Z<= - 2) = 0.0228 c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1 P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259 Página 22 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Ejemplo 1.2 a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1. P(Z <= 1) = 0.8413 b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2. P(Z <= 2) = 0.9772 8 c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2 P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369 Página 23 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 EJERCICIO 1: ¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está incluido dentro de los siguientes rangos? a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) = b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) = c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) = d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) = e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) = f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) = Estandarización de valores reales En la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con desviación estándar diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área bajo la curva, se determina el número de desviaciones estándar Z entre algún valor X y la media de la población o de la muestra X como sigue: Z Z X XX s sí se consideran los datos completos del proceso. sí se consideran sólo los datos de una muestra. Ejemplo 1.3 El departamento de personal de una empresa requiere que los solicitantes a un puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes pasará la prueba? Calculando el valor de Z obtenemos: Z X = 500 485 0.5 30 Página 24 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES Buscamos el valor correspondiente P. REYES /JUNIO 2007 Z en las tablas de distribución normal estándar o por medio de Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 = 69.146%. donde la probabilidad de que la calificación sea menor a 500 es P (X <= 500). Dado que el porcentaje pedido es P( X 500) la solución es 1-0.69146 =0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes pasarán la prueba. Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085. 485 30.85% Z.05 Fig. 1.6 Área bajo la curva de Distribución normal Ejemplo 1.4 Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene una media de 20 y una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) = En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand. OK. El sistema muestra la siguiente ventana, en la cual llenamos los siguientes datos: Fig. 1.7 Cálculo del área bajo la curva normal sin requerir Z Página 25 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X 24), la probabilidad buscada es: P(X > 24) = 1 - 0.8413= 0.1587 EJERCICIO 2: Un producto tiene un peso promedio de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese más de 85Kgs.? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese menos de 55Kgs.? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 60 y 80 Kgs.?. d) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 55 y 70 Kgs.? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 85 y 100Kgs.? 1.2 PRUEBA DE NORMALIDAD Para probar normalidad de datos, se pueden utilizar los métodos de Anderson Darling o Ryan, y la gráfica de probabilidad normal. a) En el método de Anderson Darling o Ryan Joiner, si el valor de probabilidad P de la prueba es mayor a 0.05, se considera que los datos son normales. Seguir los siguientes pasos: Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con: 1. Calc > Random data > Normal 2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estandar deviation 32.02 OK Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Anderson Darling o Ryan Joiner como sigue: 1. Stat > Basic statistics > Normality Test Página 26 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES 2. Variable C1 P. REYES /JUNIO 2007 Seleccionar Ryan Joiner test OK El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente Probability Plot of Datos Normal 99.9 Mean StDev N RJ P-Value 99 95 Percent 90 269.3 30.72 100 0.994 >0.100 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1 150 200 250 Datos 300 350 Fig. 1.8 Gráfica de probabilidad de un proceso normal b) Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene: 3. Graph > Probability plot > Normal 4. Graph Variable C1 5. Distribution Normal OK Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la distribución. Probability Plot of Datos Normal - 95% CI 99.9 Mean StDev N AD P-Value 99 95 Percent 90 269.3 30.72 100 0.317 0.533 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1 150 200 250 300 350 400 Datos Fig. 1.9 Gráfica de probabilidad normal con Int.de confianza Página 27 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 MODULO 2. INTRODUCCIÓN AL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP) 2.1 ANTECEDENTES Desarrollo del Control Estadístico del Proceso W. A. Shewhart demostró que cuando se extraen muestras de tamaño 4 – 6 de distribuciones casi normales, triangulares, uniformes, etc., y se calculan las medias de esas muestras, al graficar las medias en un histograma siguen una distribución normal.1 Universo Fig. 2.1 Experimentos de Shewhart para las cartas de control Encontró que las medias de las muestras correspondían a las medias de la población y que la desviación estándar de las medias de las muestras están relacionadas con la desviación estándar de la población, como sigue: __ X n Donde n es el tamaño de la muestra y es la desviación estándar de la población. 1 Shewhart, W.A., Economic Control of Quality of Manufactured Product, Van Nostrand Reinhold Co., 1931, p. 182 Página 28 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Población con media y desviación estándar y cualquier distribución. X1 X2 X-media 1 X3 X-media 2 X-media 3 Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con media de medias y desviación estándar de las medias de las muestras / n. También se denomina Error estándar de la media. Histogram of Promedios 14 12 Frequency 10 8 6 4 2 0 Fig. 2.2 3 4 5 Promedios 6 7 Distribución de las medias muestrales - Normal En general si las xi están distribuidas en forma idéntica y su distribución se asemeja a la normal, el teorema del límite central trabaja bien para n>=3 o 4, condiciones propicias para el control estadístico de los procesos. Página 29 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 2.2 CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO El CEP es una técnica que permite aplicar el análisis estadístico para medir, monitorear y controlar procesos por medio de cartas de control. Su propósito es la detección oportuna de la ocurrencia de causas especiales, para tomar acciones correctivas antes de que se produzcan unidades defectivas o no conformes, para lo cual se utilizan las cartas de control en línea, permitiendo también la estimación de la capacidad o habilidad del proceso y la reducción continua de la variabilidad hasta donde sea posible. Beneficios que proporciona el CEP: Son herramientas para mejorar la productividad Son herramientas de prevención de defectos Evitan ajustes innecesarios Proporcionan información de diagnóstico Proporcionan información de la capacidad del proceso ¿Qué es una carta de control? Una Carta de Control es como un historial del proceso... ... En donde ha estado....En donde se encuentra....Hacia donde se puede dirigir Una Carta de control es simplemente un registro de datos en el tiempo con límites de control superior e inferior, diferentes a los límites de especificación. Página 30 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Cartas de control Límite Superior de Control 12.5 11.5 10.5 Línea Central 9.5 8.5 7.5 0 10 20 30 Límite Inferior de Control Fig. 2.3 Carta de control con sus límites de control Las cartas de control pueden reconocer cambios favorables y desfavorables. ¿Qué tanto se ha mejorado? …¿Se ha hecho algo inadecuado? Las cartas de control detectan la variación anormal en un proceso, denominadas “causas especiales o causas asignables de variación.” El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes. El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de variación. Cartas de Control Causa especial Causas normales o comunes DEFINICION Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones de los procesos administrativos y de manufactura. Fig. 2.4 Analogía del manejo en carretera con el monitoreo del proceso Página 31 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CAUSAS COMUNES Y CAUSAS ESPECIALES La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de producción, no importa que tan bien diseñado esté. Esta variabilidad natural es denominada causas comunes o aleatorias de variabilidad, un proceso que opera en estas condiciones se dice que está en control estadístico. SI LAS VARIACIONES PRESENTES SON IGUALES, SE DICE QUE SE TIENE UN PROCESO “ESTABLE”. LA DISTRIBUCION SERA “PREDECIBLE” EN EL TIEMPO Predicción Tiempo Fig. 2.5 Proceso en control, solo causas comunes presentes De la figura cuando el proceso está en control, la mayor parte de la producción se encuentra dentro de los límites de control (LSC y LIC). Existen otras fuentes de variabilidad que pueden ser causadas por máquinas, errores de operadores, materiales defectuosos o alguna otra de las 6M’s (medio ambiente, métodos, mediciones). Esta variabilidad es muy grande en relación con la variabilidad natural y es originada por causas especiales o asignables haciendo que el proceso opere fuera de control estadístico. LIC LSC LSC Fig. 2.6 Proceso fuera de control, con presentes, el proceso no es predecible Página 32 de 105 causas especiales CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 En una carta de control los patrones de anormalidad más comunes son: las causas especiales, las tendencias crecientes o decrecientes y las corridas de nivel Patrones de anormalidad en la carta de control “Escuche la Voz del Proceso” M E D I D A S C A L I D A D Fig. 2.7 Región de control, captura la variación natural del proceso original LSC LIC Tendencia del proceso (7P) Causa Especial Corrida del Proceso (7P) identifcada TIEMPO Patrones de anormalidad más frecuentes Patrones principales de anormalidad en Cartas de Control Puntos fuera de control: Una carta de control indicará una condición fuera de control cuando uno o más puntos se encuentren más allá de los límites de control. Tendencias: Se pueden presentar tendencias hacia arriba o hacia abajo en las cartas de control (ascendentes o descendentes), se considera que 7 puntos o más indican una situación fuera de control. Página 33 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Corrimiento en la media del proceso: Esto puede ser generado por un cambio en métodos, operadores, materias primas, métodos de inspección, etc. se considera que 7 puntos o más indican una situación fuera de control Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las técnicas estadísticas, sino también es necesario tener un conocimiento profundo del proceso. Debe tenerse cuidado de no exagerar en la aplicación de las reglas ya que se pueden tener muchas falsas alarmas quitándole efectividad al programa del CEP. Proceso en Control estadístico: Sucede cuando no se tienen situaciones anormales y aproximadamente el 68% (dos tercios) de los puntos de la carta se encuentran dentro del 1 de las medias en la carta de control. Es decir, se tiene aprox. el 68% de los puntos dentro del tercio medio de la carta de control. En el libro de la Western Electric (1956) se recomiendan las reglas siguientes para detectar patrones no aleatorios en las cartas de control: 1. Un punto fuera de los límites de control de 3-sigma. 2. Dos de tres puntos consecutivos sobre los límites preventivos a 2-sigma. 3. Cuatro de cinco puntos consecutivos que se encuentren a una distancia de 1sigma o más allá a partir de la línea central. 4. Ocho puntos consecutivos graficados hacia un lado de la línea central. Algunas reglas adicionales recomendadas por la industria son: 5. Siete puntos formando una tendencia creciente o decreciente. 6. Quince puntos consecutivos encontrados entre más menos 1-sigma de la línea central (adhesión a la media). 7. Catorce puntos en un renglón alternándose arriba y abajo. 8. Siete puntos que se encuentren más allá de 1-sigma de la línea central. 9. Un patrón no usual o no aleatorio de datos. 10. Uno o más puntos cerca de los límites preventivos. Página 34 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 2.3 PROCESO DE MEJORA CON EL CEP El proceso de mejora usando la carta de control requiere la acción de la supervisión, operador e ingeniería, la carta de control sólo detecta causas especiales o asignables. Para identificar y eliminar las causas asignables, es importante encontrar las causas raíz del problema y atacarlas para lo cual se puede utilizar el Plan de acción para situaciones fuera de control (PASFC), activado con la ocurrencia de cada evento. Es una lista de verificación, que indica las causas potenciales asignables y acciones que resuelven la situación fuera de control. Este es un documento vivo que debe ser actualizado constantemente. ENTRADA PROCESO SALIDA SISTEMA DE EVALUACIÓN Verificación y seguimiento Detección de causa asignable Implantar Identificar causa Acción raíz del problema Correctiva PASFC Fig. 2.8 Proceso de mejora utilizando la carta de control Página 35 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 MÓDULO 3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES 3.1 INTRODUCCIÓN Una característica que se mide en una escala numérica se denomina una variable. Por ejemplo temperaturas, dimensiones, volumen, tiempo, etc. Para un control estadístico del proceso por variables, se utiliza la carta por lecturas individuales y rango móvil (I-MR), para parámetros del proceso donde sólo se toma una lectura a la vez. Para control de las características del producto se pueden utilizar las cartas de control de medias rangos ( X R ) para monitorear la media y la variabilidad, con objeto de evitar o minimizar que se tengan productos fuera de especificaciones y estabilizar los procesos. 3.2 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES / RANGO MÓVIL (I-MR) Existen muchas situaciones donde el tamaño de muestra es n =1, por ejemplo: 1. Cuando hay inspección automática de parámetros o piezas individuales. 2. La tasa de producción es muy baja y no es inconveniente tomar muestras de más de una pieza. 3. Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (sólo por errores de medición de laboratorio) como en procesos químicos. En tales situaciones se utiliza la carta de control por lecturas individuales. Los rangos móviles se empiezan a calcular a partir de la segunda muestra, tomando la diferencia entre cada dos valores consecutivos como sigue: MR i = X i X i 1 . Ejemplo 3.1 Se toman varios datos de viscosidades y se construye una carta de lecturas individuales, donde el rango se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto Página 36 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 el valor de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m = número de valores individuales. Por ejemplo: Valores individuales 12 15 11 14 8 9 Rango 3 4 3 6 1 Al final se hace un promedio de los valores individuales X y un promedio de rangos móviles R y los límites de control para la carta I-MR se calculan con las fórmulas siguientes: Para este caso, los límites de control para la carta X son (n = 2 ): MR LSCx = X 3 ; d2 __ LCx = X ; LICx = X 3 MR d2 Carta de lecturas individuales y rango móvil (I-MR) Terminología k = número de piezas n = 2 para calcular los rangos x = promedio de los datos R = rango de un subgrupo de dos piezas consecutivas R = promedio de los (n - 1) rangos x = x1 + x2 + x3 + ...+ xN n n 2 LSCX = x + E2 R D4 3.27 LICX = x -- E2 R D3 0 LSCR = D4 R E2 2.66 LICR = D3 R (usar estos factores para calcular Límites de Control n = 2) Página 37 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 I-MR Chart of Supp1 1 1 U C L=601.176 Individual V alue 601 600 _ X=599.548 599 598 LC L=597.920 1 1 10 20 30 40 50 60 O bser vation 70 80 90 100 1 M oving Range 2.4 1 U C L=2.000 1.8 1.2 __ M R=0.612 0.6 0.0 LC L=0 1 10 20 30 40 50 60 O bser vation 70 80 90 100 Figura 3.1 Carta de control de lecturas individuales y rango móvil I-MR El proceso no está en control estadístico. Identificando las causas de anormalidad en los puntos 39, 55 y 82 y tomando acciones para prevenir la reincidencia, se eliminan los puntos fuera de control y se recalculan los límites de control: I-MR Chart of Supp1_1 Individual V alue 601 U C L=601.000 600 _ X=599.532 599 598 LC L=598.064 1 1 10 20 30 40 50 O bser vation 60 70 80 90 1 2.0 M oving Range U C L=1.804 1.5 1.0 __ M R=0.552 0.5 0.0 LC L=0 1 10 20 30 40 50 O bser vation 60 70 80 90 Figura 3.2 Carta de control I-MR estabilizada Ejercicio 3.1 Hacer una carta I-MR utilizando las fichas de ejemplo por equipos. Página 38 de 105 RANGOS R 4 5 6 7 8 9 10 11 X 12 13 14 L.S.C.x MAQUINA 15 16 17 L.I.C.x 18 CARACTERÍSTICA 19 20 R 21 22 CALIBRADOR 23 L.S.C. R 24 25 T. MUESTRA 26 L.I.C. R 27 28 FRECUENCIA 29 30 TIPO DE EVALUA. FECHA DE TERMINO INSTRUCCIONES % Z Inf.: CPK: CONSTANTES A) Fin de corrida de producción B) Falta de material C) Ajuste de línea / máquina D) Cambio de modelo E) Fin de turno F) Otro (indicar) 4.- Indique en el último renglón, justo abajo del subgrupo correspondiente, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo a la frecuencia indicada, si es que se presentan el caso. Utilice las siguientes claves: 3.- Registre la (s) causa (s) del comportamiento en la bitácora (al reverso de la gráfica), así como las acciones realizadas o propuestas para corregir la falla. 2.- Investigue y corrija la causa del comportamiento. Si no es posible llame a su supervisor o Ing. de Manufactura. 1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento ( puntos fuera de los límites de control, tendencias, adhesiones, etc). % NC: % Z Sup.: Cp. : 2.67 1.13 0 3.27 3 L.I.E. OPERACIÓN FECHA DE INICIO R 2 L.S.E. ÁREA No. DE GRAFICA E2 D2 D3 D4 1 NOMINAL No. DE PARTE GRAFICA DE CONTROL DE LECTURAS INDIVIDUALES X INICIALES LECTURAS x UNIDADES HORA NOMBRE DE PARTE FECHA Página 39 de 105 VALORES CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 RANGOS R 4 5 6 7 8 9 10 11 X 12 13 14 L.S.C.x MAQUINA 15 16 17 L.I.C.x 18 CARACTERÍSTICA 19 20 R 21 22 CALIBRADOR 23 L.S.C. R 24 25 T. MUESTRA 26 L.I.C. R 27 28 FRECUENCIA 29 30 TIPO DE EVALUA. FECHA DE TERMINO INSTRUCCIONES % Z Inf.: CPK: CONSTANTES A) Fin de corrida de producción B) Falta de material C) Ajuste de línea / máquina D) Cambio de modelo E) Fin de turno F) Otro (indicar) 4.- Indique en el último renglón, justo abajo del subgrupo correspondiente, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo a la frecuencia indicada, si es que se presentan el caso. Utilice las siguientes claves: 3.- Registre la (s) causa (s) del comportamiento en la bitácora (al reverso de la gráfica), así como las acciones realizadas o propuestas para corregir la falla. 2.- Investigue y corrija la causa del comportamiento. Si no es posible llame a su supervisor o Ing. de Manufactura. 1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento ( puntos fuera de los límites de control, tendencias, adhesiones, etc). % NC: % Z Sup.: Cp. : 2.67 1.13 0 3.27 3 L.I.E. OPERACIÓN FECHA DE INICIO R 2 L.S.E. ÁREA No. DE GRAFICA E2 D2 D3 D4 1 NOMINAL No. DE PARTE GRAFICA DE CONTROL DE LECTURAS INDIVIDUALES X INICIALES LECTURAS x UNIDADES HORA NOMBRE DE PARTE FECHA Página 40 de 105 VALORES CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 3.3 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS (X-R) Para elaborar la carta, inicialmente se toman al menos 25 subgrupos con muestras de cinco partes cada cierto periodo (por ejemplo cada hora), se determinan los límites de control preliminares, se identifican situaciones fuera de control, se investigan las causas y se toman acciones preventivas para prevenir la reincidencia y se recalculan los límites de control futuros. LSC = X + A2 R LIC = X - A2 R El valor de A2 se encuentra tabulado en una tabla de constantes. Para el caso de los rangos, la línea central es R . los límites de control para el rango son: LSC = D4 R LIC = D3 R Ejemplo 3.2 Se toman varios datos de hilos y se construye una carta de medias – rangos con m = subgrupos, donde el rango se calcula tomando el valor mayor menos subgrupo, con n = 5. Por ejemplo: Variables X1 X2 X3 X4 X5 Media Rango Subgrupo 1 2 4 3 5 1 09:00 a.m. 3 4 Subgrupo 2 5 3 6 7 4 10:00 a.m. 5 4 Subgrupo m 3 4 1 5 2 11:00 a.m. 3 4 Página 41 de 105 el valor menor del CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Se obtiene una media de medias X y un rango promedio R, para proceder a determinar los límites de control como sigue: Carta X, R Terminología k = número de subgrupos; n = número de muestras en cada subgrupo Xi = promedio para un subgrupo X = promedio de todos los promedios de los subgrupos Ri = rango de un subgrupo R = promedio de todos los rangos de los subgrupos xi = x1 + x2 + x3 + ...+ xN n x1 + x2 + x3 + ...+ xN x = k LSCX = x + A2 R LICX = x - A2 R NOTA: Los factores a considerar para n = 5 LSCR = D4 R LICR = D3 R Son A2 = 0.577 D3 = 0 D4 = 2.114 Donde las constantes A2, d2 D3 y D4 se encuentran tabuladas en función de n para facilitar el cálculo de los límites de control como sigue: Tabla 3.1 Constantes para límites de control en cartas X-R n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A2 1.88 1.023 0.729 0.577 0.483 0.419 0.373 0.337 0.308 D3 0 0 0 0 0 0.076 0.136 0.184 0.223 D4 3.267 2.574 2.282 2.115 2.004 1.924 1.864 1.816 1.777 Página 42 de 105 d2 1.128 1.693 2.059 2.326 2.534 2.704 2.847 2.97 3.078 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 LIMITES PRELIMINARES Siempre que un proceso este siendo analizado a través de una carta de control, es muy importante llevar una bitácora registrando todos los cambios (tiempo y descripción) conforme ocurran, por ejemplo: cambio de turno, cambio de materiales, ajuste de máquina, interrupción de energía, arranque de máquina, etc. Con objeto de identificar las causas asignables en caso de presentarse para la toma de acciones correctivas. Al iniciar una carta de control tomando m subgrupos (20 a 25) se calculan y grafican los límites de control preliminares para determinar si el proceso estuvo en control. Para probar esta hipótesis, se analizan todos los puntos graficados y se hace un análisis para identificar si hay puntos fuera de los límites de control o patrones anormales de comportamiento, si así fuera, los límites de control preliminares se pueden utilizar para el control futuro del proceso. Cuando no sea posible encontrar causas especiales para los patrones de anormalidad o puntos fuera de control, no se eliminan y se consideran para la determinación de los límites de control revisados para el control futuro del proceso. Ejemplo 3.2: de Carta X media – Rango en Minitab: 0. File > Open Worksheet Camshaft.Mtw 1. Stat > Control Charts > Variable charts for subgroups > X bar R 2. Single column Supp2 Subgroup size 5 3. Test Seleccionar Perform all eight tests 4. OK ¿esta el proceso en control estadístico? La carta resultante es la siguiente: Página 43 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Xbar-R Chart of Supp2 1 1 Sample M ean U C L=602.474 602 _ _ X=600.23 600 598 LC L=597.986 2 4 6 8 10 Sample 12 14 16 18 20 U C L=8.225 Sample Range 8 6 _ R=3.890 4 2 0 LC L=0 2 4 6 8 10 Sample 12 14 16 18 20 Figura 3.3 Carta de control X-R fuera de control Después de identificar las causas de las situaciones fuera de control en los subgrupos 2 y 14 y tomando acciones preventivas para evitar la reincidencia, se eliminan los subgrupos fuera de control y se recalculan los límites de control. Xbar-R Chart of Supp2 U C L=602.247 Sample M ean 602 601 _ _ X=599.938 600 599 598 LC L=597.629 2 4 6 8 10 Sample 12 14 16 18 U C L=8.465 Sample Range 8 6 _ R=4.003 4 2 0 LC L=0 2 4 6 8 10 Sample 12 14 16 18 Figura 3.4 Carta de control de medias rangos X-R estable Una vez que el proceso está en control se calcula la capacidad del proceso. Ejercicio 3.2 Hacer una carta X-R utilizando las fichas de ejemplo por equipos. Página 44 de 105 R PROMEDIOS x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 INSTRUCCIONES CAUSAS DE NO REGISTRO R X % Z Inf.: CPK: A2 D4 0 0 0 0 D3 B4 2.33 2.09 2.06 2.27 1.70 2.57 1.13 3.27 d2 CONSTANTES A) Fin de corrida de producción B) Falta de material C) Ajuste de línea / máquina D) Cambio de modelo E) Fin de turno F) Otro (indicar) 0 0 0 0 B3 4.- Indique en el último renglón, justo abajo del subgrupo correspondiente, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo a la frecuencia indicada, si es que se presentan el caso. Utilice las siguientes claves: 3.- Registre la (s) causa (s) del comportamiento en la bitácora (al reverso de la gráfica), así como las acciones realizadas o propuestas para corregir la falla. 2.- Investigue y corrija la causa del comportamiento. Si no es posible llame a su supervisor o Ing. de Manufactura. 1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento ( puntos fuera de los límites de control, tendencias, adhesiones, etc). % NC: % Z Sup.: Cp. : 5 0.58 2.11 9 L.I.C. R TIPO DE EVALUACIÓN 5 SUMA 8 L.S.C. R FRECUENCIA 4 0.73 2.28 7 R MUESTRA 4 6 L.I.C.x CALIBRADOR 3 1.02 2.57 5 L.S.C.x CARACTERÍSTICA 3 4 X MAQUINA FECHA DE TERMINO 2 1.88 3.27 3 L.I.E. OPERACIÓN FECHA DE INICIO 2 2 L.S.E. ÁREA No. DE GRAFICA n 1 NOMINAL No. DE PARTE GRAFICA DE CONTROL DE PROMEDIOS Y RANGOS 1 INICIALES UNIDADES HORA NOMBRE DE PARTE FECHA LECTURAS Página 45 de 105 RANGOS CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 R PROMEDIOS x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 INSTRUCCIONES CAUSAS DE NO REGISTRO R X % Z Inf.: CPK: A2 D4 0 0 0 0 D3 B4 2.33 2.09 2.06 2.27 1.70 2.57 1.13 3.27 d2 CONSTANTES A) Fin de corrida de producción B) Falta de material C) Ajuste de línea / máquina D) Cambio de modelo E) Fin de turno F) Otro (indicar) 0 0 0 0 B3 4.- Indique en el último renglón, justo abajo del subgrupo correspondiente, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo a la frecuencia indicada, si es que se presentan el caso. Utilice las siguientes claves: 3.- Registre la (s) causa (s) del comportamiento en la bitácora (al reverso de la gráfica), así como las acciones realizadas o propuestas para corregir la falla. 2.- Investigue y corrija la causa del comportamiento. Si no es posible llame a su supervisor o Ing. de Manufactura. 1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento ( puntos fuera de los límites de control, tendencias, adhesiones, etc). % NC: % Z Sup.: Cp. : 5 0.58 2.11 9 L.I.C. R TIPO DE EVALUACIÓN 5 SUMA 8 L.S.C. R FRECUENCIA 4 0.73 2.28 7 R MUESTRA 4 6 L.I.C.x CALIBRADOR 3 1.02 2.57 5 L.S.C.x CARACTERÍSTICA 3 4 X MAQUINA FECHA DE TERMINO 2 1.88 3.27 3 L.I.E. OPERACIÓN FECHA DE INICIO 2 2 L.S.E. ÁREA No. DE GRAFICA n 1 NOMINAL No. DE PARTE GRAFICA DE CONTROL DE PROMEDIOS Y RANGOS 1 INICIALES UNIDADES HORA NOMBRE DE PARTE FECHA LECTURAS Página 46 de 105 RANGOS CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 MÓDULO 4. CAPACIDAD DE PROCESOS NORMALES 4.1 INTRODUCCIÓN Su propósito es determinar la capacidad del proceso para cumplir especificaciones o requerimientos establecidos, se usa para: 1. Predecir que tanto el proceso cumple especificaciones 2. Apoyar a diseñadores de producto o proceso en sus modificaciones 3. Especificar requerimientos de desempeño de equipo nuevo 4. Seleccionar proveedores 5. Reducir la variabilidad en el proceso de manufactura 6. Planear la secuencia de producción cuando hay un efecto interactivo de los procesos en las tolerancias. LSE Especificación superior LIE Especificación inferior Z s xi _ X p = porcentaje de partes fuera de Especificaciones Fig. 4.1 Capacidad del proceso La capacidad de los procesos para cumplir especificaciones se refiere a la uniformidad de los procesos medida como la variabilidad del producto, hay dos formas de pensar en esta variabilidad: Página 47 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 1. La variabilidad natural en un cierto tiempo (variabilidad instantánea). 2. La variabilidad en el tiempo. Es usual tomar 6-sigma de la población como la dispersión en la distribución de la característica de calidad del producto como medida de la capacidad del proceso. Los límites de tolerancia natural del proceso, superior (LTNS) e inferior (LTNI) , se encuentran en 3 , o sea: LTNS = + 3 LTNI = - 3 Para un proceso normal, los límites de tolerancia naturales incluyen 99.73% de la variable, sólo el 0.27% (2700 ppm) de la salida del proceso se encontrará fuera de estos limites de tolerancia naturales. Sin embargo, si el proceso no es normal, el porcentaje puede diferir grandemente. Esto se esquematiza en la figura siguiente: .00135 LTNI LTNS .00135 Fig.4.2 Localización de los límites de tolerancia natural Página 48 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 ¿Cómo vamos a mejorar esto? Podemos reducir la desviación estándar... Podemos cambiar la media... O (lo ideal sería, por supuesto) que podríamos cambiar ambas Cualquiera que sea la mejora que lleve a cabo, asegurarse que se mantenga Fig. 4.3 Acciones para mejorar la Capacidad del proceso Teoría del camión y el túnel •El túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto (variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor que la especificación. •Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de la especificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Si el chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto. El proceso debe estar en control, tener capacidad y estar centrado Ancho 9´ Nigel´s Trucking Co. Fig. 4.4 Capacidad potencial (Cp) y capacidad real del proceso (Cpk) Página 49 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Capacidad del proceso – Fracción defectiva La capacidad en función de la fracción defectiva del Proceso se calcula En función de la fracción defectiva para cada lado del rango de Especificación. Rango medio Desv. Est.= Constante d2 de acuerdo al tamaño de subgrupo en X-R Los valores de Z inferior y Z superior se calculan de acuerdo a las fórmulas Siguientes: Zi = LIE - promedio del proceso Desviación Estandar Zs = LSE - Promedio del proceso Desviación Estandar La fracción defectiva se calcula con las tablas de distribución normal P(Zi) = Área en tabla (-Z) P(Zs) = 1 – Área corresp. a Zs en tabla (+Z) Fracción defectiva = P(Zi) + P(Zs) Fig. 4.5 Cálculo de la fracción defectiva 4.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD ÍNDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL Cp compara la amplitud de variación permitida por las especificaciones entre la amplitud de variación entre los límites de tolerancia naturales del proceso. Cp LSE LIE 6 Ejemplo 4.1 para el caso de anillos de pistones, donde el LSE = 74.05mm y el LIE= 73.95mm y de la carta R se estimó R 0.0099 d2 por tanto se tiene: Cp = PCR = (LSE – LIE) / 6 = (74.05 – 73.95) / 6 (0.0099) Página 50 de 105 = 1.68 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 La función P (inverso de Cp) es el porcentaje de la banda de especificaciones usada por el proceso. 1 100 P Cp Para el caso del ejemplo se tiene: P = [(1/1.68)] 100 = 59.5% Cuando sólo existe un límite de especificaciones, el índice de capacidad potencial Cp o PCR se define como: Cps PCR S LSE 3 para el límite superior Cpi PCR I LIE 3 para el límite inferior Ejemplo 4.2 Para el caso de la resistencia de las botellas de vidrio, si el LIE = 200psi, Cp 264 200 64 0.67 3(32) 96 Lo cual indica falta de habilidad, la fracción abajo del límite inferior es: ZI LIE 200 264 2 32 P(x <= ZI) = 0.0228 o 2.28% por debajo del límite inferior de especificaciones. Página 51 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Se recomienda que para procesos existentes el mínimo Cp sea de 1.33 y de 1.67 para procesos críticos, el ideal es 2.0 para procesos nuevos como es el caso de Motorola en su programa 6-sigma. Este índice no toma en cuenta la localización relativa de la media del proceso respecto a los límites de especificaciones. Por lo que es necesario otro índice adicional. INDICE DE CAPACIDAD REAL Cpk Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las especificaciones, en este caso se denomina Cpk, y se evalúa tomando el mínimo entre los Cp’s correspondientes a cada lado de la media, como sigue, Cpk PCRk min( PCRS , PCRI ) debe ser mayor a 1 donde, Cps PCR S LSE 3 ó Cpi PCR I LIE 3 Ejemplo 4.3 Para un proceso donde los límites de especificación sean LSE=62, LIE=38, la media del proceso sea =53 y su desviación estándar =2, se tiene: Cps PCR S 62 53 1.5 para el límite superior 32 Cpi PCR I 53 38 2.5 para el límite inferior 32 Por tanto, el índice de capacidad real es: Cpk PCRk min( PCRS , PCRI ) min(1.5,2.5) 1.5 Página 52 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Siempre se cumple que, Cpk <= Cp, Siendo el Cpk menor cuando el proceso no está centrado. Cálculo de la capacidad del proceso Habilidad o capacidad potencial Cp = (LSE - LIE ) / 6 Debe ser 1 para tener el potencial de cumplir con especificaciones (LIE, LSE) Habilidad o capacidad real El Cpk debe ser 1 para que el proceso cumpla especificaciones Cpk = Menor | ZI - ZS | / 3 4.3 PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR ESTUDIOS DE CAPACIDAD DEL PROCESO 1. Seleccionar una máquina donde realizar el estudio. 2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso. 3. Seleccionar un operador entrenado. 4. El sistema de medición debe tener una resolución de al menos el 10% y una habilidad (error R&R < 10%). 5. Cuidadosamente colectar la información en una carta de control X-R o I-MR. 6. Construir la carta de control y estabilizar el proceso a que este en control. 7. Calcular la media y desviación estándar del proceso (S = Rmedia / d2). 8. Calcular las Z’s correspondientes al límites superior de especificaciones Zs y al límite inferior de especificaciones Zi. Página 53 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 9. Determinar la fracción defectiva con la tabla normal P(Zs) + P(Zi). 10. Calcular el índice de capacidad potencial Cp = (LSE – LIE) / (6*s), debe ser mayor a 1. 11. Determinar el índice de capacidad real Cpk = Menor |Zs; Zi| / 3, debe ser mayor a 1. 12. Tomar las acciones correctivas necesarias Ejemplo 4.4: De una carta de control X - R (con subgrupos de n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes, se obtuvo lo siguiente: Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3 Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene: = X media de medias = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23 [ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326] Si el límite de especificación es: LIE = 200. El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones Ejercicio 4.5 De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente: Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5 a) Determinar la fracción defectiva b) Determinar el Cp c) Determinar el Cpk Página 54 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 4.4 CAPACIDAD DE PROCESOS CON MINITAB NORMALES Capacidad de procesos normales Una vez comprobada la normalidad de los datos, determinar la capacidad con: 1. Stat > Quality tools > Capability analysis > Normal 2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330 3. Estimate R-bar OK Los resultados se muestran a continuación: Process Capability of Datos LSL USL P rocess Data LS L 200.00000 Target * USL 330.00000 S ample M ean 269.25354 S ample N 100 S tDev (Within) 30.83472 S tDev (O v erall) 30.80011 Within Ov erall P otential (Within) C apability Cp 0.70 C PL 0.75 C PU 0.66 C pk 0.66 C C pk 0.70 O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm 210 O bserv ed P erformance P P M < LS L 10000.00 P P M > U S L 30000.00 P P M Total 40000.00 240 E xp. Within P erformance P P M < LS L 12353.30 P P M > U S L 24415.36 P P M Total 36768.66 270 300 330 0.70 0.75 0.66 0.66 * 360 E xp. O v erall P erformance P P M < LS L 12272.69 P P M > U S L 24288.79 P P M Total 36561.48 Fig. 4.6 Capacidad de procesos normales Interpretación: La desviación estándar Within se determina en base al Rango medio y d2 (1.128 para n = 2), con esta se determinan los índices de capacidad potencial Cp y real Cpk, lo cual es adecuado para un proceso en control o normal. Página 55 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 La desviación estándar Overall se determina con la desviación estándar de todos los datos de la muestra dividido entre el factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta desviación estándar se determinan los índices de desempeño Pp y Ppk así como el desempeño Overall, no importando si el proceso está en control o no, en este último caso los valores no tienen significado práctico. Opción Six Pack Para mostrar toda la información relevante: Determinar la capacidad con: 4. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal 5. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330 6. Estimate R-bar OK Los resultados se muestran a continuación: Process Capability Sixpack of Datos Individual Value I C har t C apability H istogr am UCL=361.8 320 _ X=269.3 240 160 LCL=176.7 1 10 20 30 40 50 60 70 80 M oving Range C har t 100 210 100 50 270 300 330 360 Nor mal P r ob P lot A D: 0.317, P : 0.533 UCL=113.6 __ MR=34.8 0 LCL=0 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 Last 2 5 O bser vations 300 400 C apability P lot Within S tDev 30.83472 Cp 0.70 C pk 0.66 C C pk 0.70 300 Values 240 1 1 Moving Range 90 250 200 Within Overall O v erall S tD ev 30.80011 Pp 0.70 P pk 0.66 C pm * Specs 80 85 90 Observation 95 100 Fig. 4.7 Resultados de capacidad del proceso Six Pack En este caso se observa que los datos siguen una distribución normal. Página 56 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 5. ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE EQUIPOS DE MEDICIÓN En cualquier problema que involucre mediciones, de la variabilidad total parte de la variabilidad observada es debida al producto mismo y parte es debida a la variación del equipo de medición, o sea: Posibles Fuentes de la Variación del Proceso Variación del proceso Variación proceso, real Variación deldel proceso, real Variación dentro de la muestra Repetibilidad Variación de la medición Variación originada Equipo de mediciòn por el calibrador Estabilidad Reproducibilidad Linealidad Sesgo Calibración Fig. 5.1 Diagrama de variabilidad observada en el proceso Definiciones Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes operadores que utilizan un mismo instrumento de medición cuando miden las mismas características en una misma parte. Página 57 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Operador-B Operador-C Operador-A Reproducibilidad Fig.5.2 Evaluación de la reproducibilidad Repetibilidad: es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento de medición, cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas características en una misma parte. REPETIBILIDAD Fig. 5.3 Evaluación de la repetibilidad Valor verdadero: Valor correcto teórico / estándares NIST2 Precisión: Es la habilidad de repetir la misma medida cerca o dentro de una misma zona Exactitud : Es la diferencia entre el promedio del número de medidas y el valor verdadero. 2 ·En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards ando Technology),En México se tiene el CENEAM o el Centro Nacional de Metrología Página 58 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Resolución: La medición que tiene exactitud y precisión. Preciso pero no exacto Exacto pero no preciso Exacto y preciso (resolución) Fig. 5.4 Evaluación de la precisión y exactitud - Estabilidad: es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de medición, hechas sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus características, durante un período de tiempo prolongado. Tiempo 2 Tiempo 1 Fig. 5.5 Evaluación de la estabilidad Linealidad: diferencia en los valores de la escala, a través del rango de operación esperado del instrumento de medición. Página 59 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES Valor verdadero P. REYES /JUNIO 2007 Valor verdadero Sesgo Menor Sesgo mayor (rango inferior) (rango superior) Rango de Operación del equipo Fig. 5.6 Evaluación de la linealidad Sesgo: distancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el valor verdadero. Error sistemático o desviación. Valor Verdadero Sesgo Fig. 5.7 Evaluación del sesgo Calibración: Es la comparación de un estándar de medición con exactitud conocida con otro instrumento para detectar, reportar o eliminar por medio del ajuste, cualquier variación en la exactitud del instrumento. Importante: para que el equipo de medición tenga una discriminación adecuada en la evaluación de las partes, su resolución debe ser al menos 1/10 de la variabilidad del proceso. <10% Aceptable 10-30%. Puede ser aceptable, para características no críticas. Página 60 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 >30%. ¡Inaceptable! En otras industrias fuera de la automotriz se acepta un error total de R&R del 25% como máximo. Estudio de R&R Método largo • Generalmente intervienen de dos a tres operadores • Generalmente se toman 10 unidades • Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces. La resolución del equipo de medición debe ser de al menos el 10% del rango de tolerancia o del rango de variación del proceso. Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el rango total del proceso. Es importante que dichas partes sean representativas del proceso total (80% de la variación) 10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida sobre el equipo de medición a menos que se cumpla el punto anterior. Procedimiento para realizar un estudio de R&R 1. Asegúrese de que el equipo de medición haya sido calibrado. 2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la persona que realiza la medición. 3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar. Página 61 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar. 5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (este es el intento 1). 6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos 7. Determine las estadísticas del estudio R&R Repetibilidad Reproducibilidad % R&R Desviaciones estándar de cada uno de los conceptos mencionados Análisis del porcentaje de tolerancia 8. Analice los resultados y determine las acciones a seguir si las hay. Métodos de estudio del error R&R: I. Método de Promedios- Rango Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y a la Repetibilidad. Los cálculos son más fáciles de realizar. II. Método ANOVA Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y a la Repetibilidad. También proporciona información acerca de las interacciones de un operador y otro en cuanto a la parte. Calcula las varianzas en forma más precisa. Los cálculos numéricos requieren de una computadora. El Método ANOVA es más preciso Página 62 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Ejemplo 5.1 Método de ANOVA en Minitab: 1. STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY > Gage R&R (Crossed) 2. Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición) 3. Método de Análisis ANOVA 4. En Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerance 0.006 Alfa to remove interaction 0.25 5. OK Los resultados se muestran a continuación: Gage R&R Study - ANOVA Method Two-Way ANOVA Table With Interaction Source Partes Operadores Partes * Operadores Repeatability Total DF 9 2 18 60 89 SS 0.0000086 0.0000002 0.0000014 0.0000063 0.0000165 MS 0.0000010 0.0000001 0.0000001 0.0000001 F 12.2885 0.9605 0.7398 P 0.000 0.401 0.757 Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las partes Two-Way ANOVA Table Without Interaction Source DF SS MS Partes 9 0.0000086 0.0000010 Operadores 2 0.0000002 0.0000001 Repeatability 78 0.0000077 0.0000001 Total 89 0.0000165 F 9.67145 0.75592 P 0.000 0.473 Gage R&R %Contribution (of VarComp) 50.93 50.93 0.00 0.00 49.07 100.00 Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operadores Part-To-Part Total Variation VarComp 0.0000001 0.0000001 0.0000000 0.0000000 0.0000001 0.0000002 Source Total Gage R&R Repeatability Reproducibility Operadores Part-To-Part Total Variation StdDev (SD) 0.0003150 0.0003150 0.0000000 0.0000000 0.0003092 0.0004414 Study Var (5.15 * SD) 0.0016222 0.0016222 0.0000000 0.0000000 0.0015923 0.0022731 Number of Distinct Categories = 1 Página 63 de 105 %Study Var (%SV) 71.36 71.36 0.00 0.00 70.05 100.00 %Tolerance (SV/Toler) 27.04 27.04 0.00 0.00 26.54 37.88 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 En este caso el sistema de medición no es adecuado para el control de proceso (%SV), ni para el control del producto final (%Tolerance) que debe ser menor al 10%. La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican que equipo de medición no es adecuado, ni el número de categorías (debe ser al menos 4). Gage R&R (ANOVA) for Datos Reported by : Tolerance: M isc: G age name: Date of study : Components of Variation Datos by Partes 80 % Contribution 0.006 Percent % Study Var % Tolerance 40 0 0.005 0.004 Gage R&R Repeat Reprod 1 Part-to-Part 2 3 R Chart by Operadores Sample Range 1 2 3 0.006 0.0005 _ R=0.000417 0.005 0.0000 LCL=0 1 0.0050 8 9 10 2 Operadores 3 Operadores * Partes Interaction 3 Operadores UCL=0.005143 _ _ X=0.004717 0.0045 LCL=0.004290 Average Sample Mean 2 7 0.004 Xbar Chart by Operadores 1 5 6 Partes Datos by Operadores UCL=0.001073 0.0010 4 1 0.0050 2 3 0.0045 0.0040 0.0040 1 2 3 4 5 6 Partes 7 8 9 10 Fig. 5.16 Evaluación de la capacidad de sistemas de medición En este caso la carta R está en control indicando que las mediciones fueron realizadas adecuadamente. En el caso de la carta X se muestra que el sistema de medición no discrimina las partes diferentes que se les presentaron, debe indicar discriminación, mostrando al menos el 50% de puntos fuera de control. Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R. En Excel se puede hacer estos cálculos utilizando los formatos siguientes: Página 64 de 105 columna 1 Página 65 de 105 0.0050 0.0050 0.0040 0.0470 Suma XA : 8 9 10 Totales 0.000416667 R: 0.0050 0.0045 0.0055 0.0050 0.0045 0.0045 0.0050 0.0040 0.0455 RA : 0.0050 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 - D4 0.00035 0.0005 0.0035 - 0.0005 0.0010 0.0005 - - 0.0010 R x D4 0.001075 LSCR = 2.58 Rango columna 4 LSCR = 3 # Intentos 3er Intento columna 3 0.0048 0.0040 0.0467 0.0050 0.0047 0.0050 0.0048 0.0045 0.0045 0.0048 0.0045 X Promedio Nota : Las constantes y las formulas estan establecidas para 3 intentos y 3 operadores 0.0005 0.00125 RC : SUM: 0.0004 0.0050 7 0.00035 0.0050 6 RB : 0.1400 0.004666667 0.0050 0.0045 4 5 RA : 0.0045 0.0040 0.0475 0.0045 3 0.0055 0.0045 0.0045 0.0045 2do Intento columna 2 2 1er Intento A.- 1 Muestra OPERADOR Calibrador Digital 0.0060 No. y Nombre de GAGE: 8881-H 4600066 PARTE A No. de Parte y Nombre: Tolerancia Especificada: XB : Suma 0.0045 0.0040 0.0485 0.0050 0.0055 0.0060 0.0050 0.0040 0.0045 0.0055 0.0045 columna 5 1er Intento B.- X Diff: X min: X Máx: 0.004716667 0.1415 0.0045 0.0040 0.0465 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050 0.0045 0.0045 0.0050 0.0045 0.0050 0.0040 0.0465 RB : 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0040 0.0045 0.0045 0.0045 0.0001000000 0.004666667 0.004766667 3er Intento columna 7 Rango 0.0004 0.0005 0.0040 - 0.0010 0.0010 0.0005 - 0.0010 - columna 8 RECOLECCIÓN DE DATOS columna 6 2do Intento 01/07/2003 Característica: Diametro Elaborado por: Fecha: Aseguramiento de Calidad MÉTODO LARGO 0.005142917 LICX = 0.0043 LICX = X - A2 R LSCX = XC : Suma 0.0055 0.0045 0.0500 0.0060 0.0045 0.0050 0.0050 0.0045 0.0045 0.0055 0.0050 columna 9 1er Intento C.- LSCX = X + A2 R 0.0047 0.0040 0.0472 0.0050 0.0050 0.0053 0.0050 0.0042 0.0045 0.0050 0.0045 X Promedio ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R ) columna 10 0.004766667 0.1430 0.0045 0.0045 0.0470 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 2do Intento A2 = 0.0045 0.0045 0.0460 RC : 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0040 0.0040 0.0045 0.0045 columna 11 3er Intento 1.023 0.0005 0.0010 0.0050 0.0010 0.0005 - 0.0005 0.0005 0.0010 0.0005 columna 12 Rango 0.0048 0.0045 0.0477 Xp= Rp = 0.0053 0.0048 0.0050 0.0050 0.0043 0.0043 0.0048 0.0047 X Promedio 0.000944 0.004778 0.004167 0.004717 0.005111 0.004833 0.005111 0.004944 0.004333 0.004444 0.004889 0.004556 Prom. Parte X p= CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R ) MÉTODO LARGO Aseguramiento de Calidad No. de Parte y Nombre: 4600066 PARTE A Tolerancia Especificada: Fecha: 0.0060 No. y Nombre de GAGE: 8881-H 01/07/2003 Elaborado por: Calibrador Digital 0 Característica: Diametro RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008 R= 0.000416667 X Diff = 0.0001000000 Rp = 0.000944444 Análisis Unitario de Medición % Total de Variación ( TV ) Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) EV= R x K1 = EV= 0.001270833 % EV = 100 [ EV/TV ] % EV = 63.74% INTENTOS K1 2 4.56 3 3.05 Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) 2 2 1/2 AV = [(XDiff x K2) - (EV /nr)] % EV vs Tol. = 21.18% % AV = 100 [AV/TV] % AV = 6.93% AV = 0.00027 AV = 7.29E-08 % AV vs Tol = 2.30% AV = 5.38339E-08 AV = 1.90661E-08 n= 10 AV = 0.00013808 r= 3 OPERADOR K2 Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) 2 2 1/2 R & R = [EV + AV ] R & R2 = 1.63408E-06 2 3 n= Numero de Partes 3.65 2.7 r = Numero de Intentos % de R & R = PARTES K3 R & R = 0.001278313 2 3.65 Variación de la Parte ( PV ) PV = RP x K3 3 4 2.7 2.3 5 2.08 6 1.93 7 1.82 8 9 1.74 1.67 10 1.62 PV = 0.00153 VARIACIÓN TOTAL ( TV ) 2 2 1/2 TV = ( R & R + PV ) TV = 3.97498E-06 % de R & R = % de R & R vs Tol = % PV = % PV = 100 [ R & R /TV ] 64.1164% 21.31% 100 [ PV/TV ] 76.7403% Categoria de Datos d2 = 1.693 PV / R&R x d2= 2.0 TV = 0.001993736 Observaciones : Se toma la dimención de menor valor FIRMA DE AUTORIZACIÓN GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD Página 66 de 105 Página 67 de 105 RA : LSCR = R: D4 R x D4 2.58 Rango columna 4 X Promedio Nota : Las constantes y las formulas estan establecidas para 3 intentos y 3 operadores LSCR = SUM: RC : 3 3er Intento columna 3 # Intentos 2do Intento columna 2 RB : XA : Suma columna 1 1er Intento A.- RA : 9 10 Totales 8 7 6 4 5 3 2 1 Muestra OPERADOR XB : Suma columna 5 1er Intento B.- Característica: No. y Nombre de GAGE: X Diff: X min: X Máx: 2do Intento columna 6 3er Intento columna 7 0 RB : Rango columna 8 RECOLECCIÓN DE DATOS Fecha: Elaborado por: No. de Parte y Nombre: Tolerancia Especificada: MÉTODO LARGO X LICX = LICX = X - A2 R LSCX = XC : Suma columna 9 1er Intento C.- LSCX = X + A2 R Promedio ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R ) 2do Intento columna 10 3er Intento A2 = RC : columna 11 Rango columna 12 X Promedio X p= Rp = Prom. Parte X p= CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R ) MÉTODO LARGO Aseguramiento de Calidad No. de Parte y Nombre: 0 Tolerancia Especificada: 0.0000 No. y Nombre de GAGE: 0 Fecha: Elaborado por: 00 00/01/1900 0 Característica: 0 RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008 R= X Diff = Rp = Análisis Unitario de Medición % Total de Variación ( TV ) Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) EV= R x K1 = EV= % EV = 100 [ EV/TV ] % EV = INTENTOS K1 2 4.56 3 3.05 Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) 2 2 1/2 AV = [(XDiff x K2) - (EV /nr)] % EV vs Tol. = % AV = 100 [AV/TV] % AV = AV = AV = % AV vs Tol = AV = AV = n= 10 AV = r= 3 OPERADOR K2 Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) 2 2 1/2 R & R = [EV + AV ] 2 R&R = 0 R&R= Variación de la Parte ( PV ) PV = RP x K3 PV = VARIACIÓN TOTAL ( TV ) 2 2 1/2 TV = ( R & R + PV ) TV = 0 2 3 n= Numero de Partes 3.65 2.7 r = Numero de Intentos % de R & R = PARTES K3 2 3.65 3 4 2.7 2.3 5 2.08 6 1.93 7 1.82 8 9 1.74 1.67 10 1.62 100 [ R & R /TV ] % de R & R = % de R & R vs Tol = % PV = % PV = 100 [ PV/TV ] Categoria de Datos d2 = 1.693 PV / R&R x d2= TV = Observaciones : Se toma la dimención de menor valor FIRMA DE AUTORIZACIÓN GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD Página 68 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 6. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS 6.1 INTRODUCCIÓN Muchas características de calidad no pueden ser representadas numéricamente, denominándose atributos. En tales casos cada artículo o servicio completo se clasifica como conforme o no conforme a especificaciones y/o estándares, es decir como defectivo o no defectivo, no defectuoso o defectuoso, bueno o malo, discrepante o no discrepante. Fig. 6.1 Cuando el producto no es funcional es no conforme, defectivo o defectuoso. Puede ser reparado o desperdicio. Para controlar productos defectivos o no conformes, se utiliza la carta de control p de fracción defectiva o la np para el número de defectivos o de no conformes. Se aplica a productos simples (tornillos, lápices, botellas, etc.) Cuando más bien se controla el número de defectos o no conformidades que se observan en un producto, se utiliza la carta de control para no conformidades o defectos c cuando la muestra es constante o la u cuando es variable o constante. Se aplica a productos complejos (coches, TV, cámaras de video, escritorios, refrigeradores, etc.) Un defecto o no conformidad es una discrepancia respecto a los estándares establecidos o a las especificaciones. Página 69 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Fig. 6.2 El producto puede ser funcional pero puede tener defectos o no conformidades, que pueden ser corregidas con retrabajo o no se pueden corregir y ser desperdicio. 4.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p La fracción no conforme es la relación entre el número de artículos discrepantes entre el total de artículos, se expresa como fracción decimal, aunque también se puede expresar en porcentaje. El artículo o servicio puede tener varias características de calidad que son examinadas por un inspector, si el artículo no está de acuerdo a los estándares, se le considera como defectuoso o no conforme. La fracción defectiva o no conforme en la muestra se define como la relación entre el número de unidades no conformes D al tamaño de muestra n, o sea: pi Di ni La distribución de este estadístico sigue la distribución binomial por tanto: __ p 2p p (1 p ) n Página 70 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES __ P. REYES /JUNIO 2007 __ p(1 p ) LSCp = p 3 n __ __ LCp = p __ __ p(1 p ) LICp = p 3 n __ Durante la operación, se toman muestras de n unidades, se calcula la fracción defectiva pi y se grafica en la carta, mientras no se observe ningún patrón anormal y pi se localice dentro de límites de control, se puede concluir que el proceso está en control, de otra forma, se concluirá que la fracción no conforme se ha desplazado de su valor original y el proceso se encuentra fuera de control. Cuando la fracción defectiva del proceso es desconocida, se estima de los datos observados en m muestras iniciales, cada una de tamaño n, por lo general se toman 20 a 25 de estas. Así si Di son unidades no conformes en la muestra i , la fracción defectiva de la muestra i - ésima estará dada como: pi = Di / n i = 1, 2, 3,....., m y el promedio de las fracciones individuales no conformes cuando p es desconocida es: m p Di i 1 mn m p i 1 i m Página 71 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Una vez hecha la gráfica trazando los límites anteriores, cualquier punto que se encuentre fuera de control debe ser investigado, si se encuentra una causa asignable o especial, deben tomarse medidas correctivas para prevenir su recurrencia, los puntos correspondientes a la situación fuera de control se eliminan y se calculan de nuevo los límites de control preliminares. Ejemplo 6.1 Para un servicio de mantenimiento se tomaron datos de 30 muestras de 50 servicios contabilizando las quejas en cada uno como sigue: Servicio No conformes Servicio No conformes Servicio No conformes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 8 10 4 7 16 9 14 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 6 17 12 22 8 10 5 13 11 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 20 18 24 15 9 12 7 13 9 6 Como en total se encontraron 347 quejas conformes, se estima p como sigue: m p Di i 1 mn m p i 1 m i = 347 = 0.2313 (30)(50) Los límites de control usando Minitab son: LSCp = 0.4102 LCp = 0.2313 LICp = 0.0524 Página 72 de 105 o servicios no Página 73 de 105 7 8 9 LSE 10 11 LIE OPERACIÓN 12 13 P 14 15 NP MAQUINA / LINEA 16 17 C 18 19 U CARACTERISTICA 20 21 22 LSC 23 CALIBRADOR 24 25 LIC 26 T. MUESTRA 27 28 29 FRECUENCIA 30 G H C D H FALTA DE REGISTRO G D E E D % RECH. B D CANT. RECH. A B C CANT. INSP. A) B) C) D) F) G) DEFECTOS Fin de corrida de producción Falta de material Ajuste de línea y/o Máquina Cambio de modelo Fin de turno Otro ( Indicar ) 4.- Indique en el último renglón, y justo abajo del último subgrupo graficado, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo con la frecuencia indicada, si es que se presenta el caso. Utilice las siguientes claves: 3.- Registre las causas del comportamiento en la bitácora, al reverso de la gráfica, asi como las acciones realizadas o propuestas para correguir la falla 2.- Investigue y corrija las causas del comportamiento ( si es posible ) Si no es posible llama a su supervisor 1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento RECOMENDACIONES UNIDADES FECHA TERMINO TIPO DE EVALUACION FECHA INICIO A HORA FECHA 6 AREA No. GRAFICA INICIALES L E C T U R A S 5 4 3 1 2 No. PARTE MODELO GRAFICA DE CONTROL POR ATRIBUTOS CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Corrida en Minitab 1. Stat > Control Charts > P 2. Variable No conformes Subgroup size 50 3. OK ¿Esta en control estadístico? Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control P Chart for No confo 1 0.5 1 UCL=0.4102 Proportion 0.4 0.3 P=0.2313 0.2 0.1 LCL=0.05243 0.0 0 10 20 30 Sample Number Fig. 6.3 Carta de control P para la fracción de servicios no conformes. De la carta de control se observa que las muestras 15 y 23 están fuera de los límites de control, de tal forma que el proceso esta fuera de control. Del análisis de los datos de la bitácora se encontró que la muestra 15 corresponde a el cambio de un nuevo método el cual fue diferente y que la muestra 23 corresponde a un operador sin experiencia asignado temporalmente a la máquina. Página 74 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Tomando acciones correctivas para evitar la recurrencia de las causas anteriores y calculando nuevos límites preliminares con los puntos 15 y 23 eliminados, se tiene con Minitab: LSCp = 0.3893 LCp = 0.2150 LICp = 0.0407 P Chart for No confo 1 0.4 UCL=0.3893 Proportion 0.3 P=0.215 0.2 0.1 LCL=0.04070 0.0 0 10 20 30 Sample Number Fig. 6.4 Carta de control P para la fracción de servicios no conformes con acciones tomadas para prevenir recurrencia. Repitiendo el procedimiento anterior para el punto 21 se tiene: Página 75 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 P Chart for No confo 0.4 UCL=0.3804 Proportion 0.3 P=0.2081 0.2 0.1 LCL=0.03590 0.0 0 10 20 30 Sample Number Fig. 6.5 Carta de control P para la fracción de servicios no conformes con acciones tomadas para prevenir recurrencia. Ahora el proceso está en control estadístico y es normal. 6.3 CARTA DE CONTROL np En lugar de tener fracciones no conformes, si el tamaño de muestra es constante, se pueden utilizar directamente el número de artículos defectivos o no conformes np, para evitarle operaciones aritméticas al operador, los parámetros de esta carta son: LSCnp np 3 np(1 p) LCnp np LICnp np 3 np(1 p) Si no se conoce el valor de p, se puede estimar con la p . Página 76 de 105 Página 77 de 105 7 8 9 LSE 10 11 LIE OPERACIÓN 12 13 P 14 15 NP MAQUINA / LINEA 16 17 C 18 19 U CARACTERISTICA 20 21 22 LSC 23 CALIBRADOR 24 25 LIC 26 T. MUESTRA 27 28 29 FRECUENCIA 30 G H C D H FALTA DE REGISTRO G D E E D % RECH. B D CANT. RECH. A B C CANT. INSP. A) B) C) D) F) G) DEFECTOS Fin de corrida de producción Falta de material Ajuste de línea y/o Máquina Cambio de modelo Fin de turno Otro ( Indicar ) 4.- Indique en el último renglón, y justo abajo del último subgrupo graficado, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo con la frecuencia indicada, si es que se presenta el caso. Utilice las siguientes claves: 3.- Registre las causas del comportamiento en la bitácora, al reverso de la gráfica, asi como las acciones realizadas o propuestas para correguir la falla 2.- Investigue y corrija las causas del comportamiento ( si es posible ) Si no es posible llama a su supervisor 1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento RECOMENDACIONES UNIDADES FECHA TERMINO TIPO DE EVALUACION FECHA INICIO A HORA FECHA 6 AREA No. GRAFICA INICIALES L E C T U R A S 5 4 3 1 2 No. PARTE MODELO GRAFICA DE CONTROL POR ATRIBUTOS CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 El número de defectivos o no conformes es un entero, por tanto es más fácil de graficar e interpretar por los operadores que llevan el C.E.P. Ejemplo 6.2 Con los datos del ejemplo anterior se tiene con Minitab: 1. Stat > Control Charts >N P 2. Variable No conformes Subgroup size 50 3. OK ¿Esta en control estadístico? Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control NP Chart for No confo Sample Count 20 UCL=19.02 NP=10.41 10 LCL=1.795 0 0 10 20 30 Sample Number Fig. 6.6 Carta de control NP para la el número de servicios no conformes 6.4 CARTA p CON TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE En algunas aplicaciones para la fracción defectiva, la muestra es la inspección 100% de los servicios proporcionados en un periodo de tiempo, por tanto la muestra será variable. Se tiene varios métodos para llevar una carta de control: Método 1. Límites variables Se calculan límites de control para cada muestra en base en la fracción defectiva promedio p y su tamaño de muestra con p 3 p(1 p) / ni . La amplitud de los límites es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de muestra. Página 78 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Ejemplo 6.3, Se tomaron datos del resultado de la inspección diaria, registrando la producción total y los defectivos del día. n-var nodef Fra-def LSC LIC 100 12 0.12 0.183686 0.0073347 0.0293918 80 8 0.1 0.194093 -0.003073 0.0328611 80 6 0.075 0.194093 -0.003073 0.0328611 100 9 0.09 0.183686 0.0073347 0.0293918 110 10 0.090909 0.179582 0.0114382 0.028024 110 12 0.109091 0.179582 0.0114382 0.028024 100 11 0.11 0.183686 0.0073347 0.0293918 100 16 0.16 0.183686 0.0073347 0.0293918 90 10 0.111111 0.188455 0.0025651 0.0309817 90 6 0.066667 0.188455 0.0025651 0.0309817 110 20 0.181818 0.179582 0.0114382 0.028024 120 15 0.125 0.176003 0.0150173 0.026831 120 9 0.075 0.176003 0.0150173 0.026831 120 8 0.066667 0.176003 0.0150173 0.026831 110 6 0.054545 0.179582 0.0114382 0.028024 80 8 0.1 0.194093 -0.003073 0.0328611 80 10 0.125 0.194093 -0.003073 0.0328611 80 7 0.0875 0.194093 -0.003073 0.0328611 90 5 0.055556 0.188455 0.0025651 0.0309817 100 8 0.08 0.183686 0.0073347 0.0293918 100 5 0.05 0.183686 0.0073347 0.0293918 100 8 0.08 0.183686 0.0073347 0.0293918 100 10 0.1 0.183686 0.0073347 0.0293918 90 6 0.066667 0.188455 0.0025651 0.0309817 La fracción defectiva media se calcula como sigue: 25 p D i 1 25 n i 1 i 234 0.096 2450 i Página 79 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Y los límites de control se calculan como sigue: LSCp= p 3 p 0.096 3 (0.096)(0.904) ni LC = 0.096 LICp= p 3 p 0.096 3 (0.096)(0.904) ni Corrida con Minitab: 1. Stat > Control Charts > P 2. Variable Nodef Subgroups in n-var 3. OK ¿Esta en control estadístico? Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control P Chart for nodef 0.2 Proportion UCL=0.1882 0.1 P=0.09534 0.0 LCL=0.002468 0 5 10 15 20 25 Sample Number Fig. 6.7 Carta de control P para la fracción de servicios no Se observa que la muestra 11 está fuera de control. Página 80 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Cuando se toman límites de control variables, el análisis de patrones de anormalidad no tiene sentido ya que la desviación estándar en cada muestra esta variando y no es posible visualizar corridas o rachas. Método 2. Tamaño de muestra promedio En este caso, se toma el promedio de los tamaños de muestra para calcular los límites de control aproximados, se asume que los tamaños de muestra no diferirán en forma apreciable de los observados, aquí los límites de control son constantes. Si existen grandes diferencias mayores al promedio más o menos 25%, este método no es adecuado. m n n i 1 m i 2450 98 25 Con límites de control basados en n 98 : LSCp= p 3 p 0.096 3 (0.096)(0.904) 0.185 98 LC = 0.096 LICp= p 3 p 0.096 3 (0.096)(0.904) 0.007 98 Corrida con Minitab: 1. Stat > Control Charts > P 2. Variable Nodef Subgroups size 98 3. OK ¿Esta en control estadístico? Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control Otra vez de la gráfica se observa que el punto 11 está fuera de control. Página 81 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 P Chart for nodef 1 0.2 Proportion UCL=0.1848 0.1 P=0.09566 LCL=0.006529 0.0 0 5 10 15 20 25 Sample Number Fig. 6.8 Carta de control P con n promedio 6.6 CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES o DEFECTOS – c y u Una no conformidad o defecto es una característica específica que no cumple con la especificación del producto. Las no conformidades pueden tener una gravedad diferente desde menores hasta críticas. Se pueden desarrollar cartas de control para el número total de no conformidades en una unidad o el número promedio de no conformidades por unidad. Estas cartas asumen que la ocurrencia de no conformidades en muestras de tamaño constante son modeladas bien por la distribución de Poisson, es decir implica que las oportunidades o localizaciones potenciales para las no conformidades sea muy infinitamente grande y que la probabilidad de ocurrencia de una no conformidad en cualquier localización sea pequeña y constante. Además cada unidad de inspección debe representar una “área de oportunidad” idéntica para la ocurrencia de no conformidades. Si estas condiciones no se cumplen, el modelo de Poisson no es apropiado. Página 82 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 TAMAÑO DE MUESTRA CONSTANTE - CARTA c Una unidad de inspección es simplemente una entidad para la cual es conveniente registrar el número de defectos, puede formarse con 5 unidades de producto, 10 unidades de producto, etc.. Si no hay estándar definido c se estima con el promedio de no conformidades observadas en una muestra preliminar inspeccionada, o sea con c , en este caso los parámetros de la carta son: LSCc = c + 3 c LCc = c LICc = c - 3 en el caso que sea negativo toma el valor cero c Cuando no hay datos históricos, se calculan límites de control preliminares. Ejemplo 6.4 Para el número de no conformidades observadas en 26 unidades de inspección sucesivas de 100 muestras circuitos impresos, se obtuvieron los datos siguientes: Defectos 21 24 16 12 15 5 28 20 31 25 20 24 15 Defectos 16 19 10 17 13 22 18 39 30 24 16 19 17 Página 83 de 105 de Página 84 de 105 7 8 9 LSE 10 11 LIE OPERACIÓN 12 13 P 14 15 NP MAQUINA / LINEA 16 17 C 18 19 U CARACTERISTICA 20 21 22 LSC 23 CALIBRADOR 24 25 LIC 26 T. MUESTRA 27 28 29 FRECUENCIA 30 G H C D H FALTA DE REGISTRO G D E E D % RECH. B D CANT. RECH. A B C CANT. INSP. A) B) C) D) F) G) DEFECTOS Fin de corrida de producción Falta de material Ajuste de línea y/o Máquina Cambio de modelo Fin de turno Otro ( Indicar ) 4.- Indique en el último renglón, y justo abajo del último subgrupo graficado, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo con la frecuencia indicada, si es que se presenta el caso. Utilice las siguientes claves: 3.- Registre las causas del comportamiento en la bitácora, al reverso de la gráfica, asi como las acciones realizadas o propuestas para correguir la falla 2.- Investigue y corrija las causas del comportamiento ( si es posible ) Si no es posible llama a su supervisor 1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento RECOMENDACIONES UNIDADES FECHA TERMINO TIPO DE EVALUACION FECHA INICIO A HORA FECHA 6 AREA No. GRAFICA INICIALES L E C T U R A S 5 4 3 1 2 No. PARTE MODELO GRAFICA DE CONTROL POR ATRIBUTOS CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Donde, LSC = 33.22 LC = 516 / 26 = 19.85 = c LIC = 6.48 De la carta de control preliminar, se observa que hay 2 puntos fuera de control, el 6 y el 20. Corrida en Minitab: 1. Stat > Control Charts > C 2. Variable Defectos 3. OK ¿Esta en control estadístico? Si no eliminar puntos fuera de control y recalcular límites de control C Chart for Defectos 1 40 Sample Count UCL=33.21 30 20 C=19.85 10 LCL=6.481 1 0 0 10 20 Sample Number Fig. 6.10 Carta de control C de número de defectos fuera control Página 85 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Una investigación reveló que el punto 6 fue debido a que un inspector nuevo calificó los circuitos impresos pero no tenía la suficiente experiencia, fue entrenado. El punto 20 fue causado por una falla en el control de temperatura de la soldadora de ola, lo cual fue reparado. Por lo anterior se toman acciones para evitar recurrencia, se eliminan y se recalculan los límites de control. C Chart for Defectos 35 Sample Count UCL=32.97 25 C=19.67 15 LCL=6.363 5 0 5 10 15 20 25 Sample Number Fig. 6.11 Carta de control C de número de defectos en control Como el proceso ya se encuentra en control estadístico, estos límites se tomarán como base para el siguiente periodo, donde se tomaron 20 unidades de inspección adicionales. n Defectos 16 18 12 15 24 21 28 20 25 19 18 21 16 22 19 12 14 9 16 21 Página 86 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 C Chart for Defectos 35 Sample Count UCL=31.84 25 C=18.82 15 LCL=5.808 5 0 5 10 15 20 25 30 35 Sample Number Fig. 6.12 Carta de control C con datos del siguiente periodo Se observa en la gráfica que no se tienen puntos fuera de control, sin embargo el promedio de defectos es alto, requiere la acción de la administración. Carta u Si se encuentra un total de c no conformidades en la muestra de n unidades de inspección, entonces el promedio de no conformidades por unidad de inspección u es: u c n i i Los límites de control son: LSCu u 3 u n LCu u LSCu u 3 u n Página 87 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un conjunto de datos preliminar. Los límites anteriores se consideran límites preliminares. Ejemplo 6.5 Para un fabricante de computadoras registrando los defectos en su línea de ensamble final. La unidad de inspección es una computadora y se toman 5 unidades de inspección a un tiempo. DefectosU 10 12 8 14 10 16 11 7 10 15 DefectosU 9 5 7 11 12 6 8 10 7 5 Se calculan los límites de control con: __ u Sum a.de.no.conform idades Sum a.de.unidades.inspeccionadas u =38.60 / 20 = 1.93 LSC = 3.79 LIC = 0.07 La carta de control queda como sigue: Página 88 de 105 Página 89 de 105 7 8 9 LSE 10 11 LIE OPERACIÓN 12 13 P 14 15 NP MAQUINA / LINEA 16 17 C 18 19 U CARACTERISTICA 20 21 22 LSC 23 CALIBRADOR 24 25 LIC 26 T. MUESTRA 27 28 29 FRECUENCIA 30 G H C D H FALTA DE REGISTRO G D E E D % RECH. B D CANT. RECH. A B C CANT. INSP. A) B) C) D) F) G) DEFECTOS Fin de corrida de producción Falta de material Ajuste de línea y/o Máquina Cambio de modelo Fin de turno Otro ( Indicar ) 4.- Indique en el último renglón, y justo abajo del último subgrupo graficado, las causas por las cuales se deja de graficar de acuerdo con la frecuencia indicada, si es que se presenta el caso. Utilice las siguientes claves: 3.- Registre las causas del comportamiento en la bitácora, al reverso de la gráfica, asi como las acciones realizadas o propuestas para correguir la falla 2.- Investigue y corrija las causas del comportamiento ( si es posible ) Si no es posible llama a su supervisor 1.- Encierre en un círculo los patrones anormales de comportamiento RECOMENDACIONES UNIDADES FECHA TERMINO TIPO DE EVALUACION FECHA INICIO A HORA FECHA 6 AREA No. GRAFICA INICIALES L E C T U R A S 5 4 3 1 2 No. PARTE MODELO GRAFICA DE CONTROL POR ATRIBUTOS CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 U Chart for Defectos 4 UCL=3.794 Sample Count 3 2 U=1.93 1 LCL=0.06613 0 0 10 20 Sample Number Fig. 6.15 Carta de Control U con unidades de insp. constantes En la carta de control no se observa falta de control estadístico, por tanto los límites preliminares se pueden utilizar en corridas futuras. MUESTRA VARIABLE – CARTA u En algunos casos las cartas de control para no conformidades se utilizan en la inspección 100% de la producción o lotes de producto, por tanto las unidades de inspección no son constantes. En esta carta se tiene una línea central constante y los límites de control varían inversamente con la raíz cuadrada del tamaño de muestra n. La línea central y los límites individuales de control se calculan como sigue: LSCui u 3 u ni LCu u LSCui u 3 u ni Página 90 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Ejemplo 6.6 En una planta textil, se inspeccionan defectos por cada 50m2 los datos se muestran a continuación. No Conf. 14 12 20 11 7 10 21 16 19 23 153 1.42 La línea central es u 107 .5 UnidadesInsp 10 8 13 10 9.5 10 12 10.5 12 12.5 Donde u = Total de defectos/Total de unidades de inspección De la gráfica no se observan puntos fuera de control. U Chart for No Conf. 3 Sample Count UCL=2.436 2 U=1.423 1 LCL=0.4110 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sample Number Fig. 6.16 Carta de Control U con Unidades de insp. variables Otra alternativa para el manejo de la carta u con n variable con n promedio: m n i 1 ni m Página 91 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS Introducción Si se recibe un lote de un proveedor, se toma una muestra y se evalúan algunas de las características del producto, en base a los resultados se toma una decisión sobre la disposición del lote, ya sea aceptados para su uso en producción, o rechazados para que el proveedor tome acciones. Muestreo aleatorio estadístico Muestra n Lote N Fig. 7.1 Proceso de inspección por muestreo Hay 3 aspectos importantes del muestreo: 1. Su propósito es calificar los lotes, no estimar los parámetros del lote. 2. No proporcionan un mecanismo de control de calidad, simplemente aceptan o rechazan lotes. 3. Sirven como herramienta de auditoría para asegurar que la calidad de un lote esté de acuerdo a especificaciones. Página 92 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Existen 3 alternativas para calificar un lote: 1. Aceptar sin inspección.Con proveedores confiables. 2. Inspeccionar al 100%, separando los productos defectuosos. 3. Realizar un muestreo de aceptación. La aceptación por muestreo es más útil en las situaciones siguientes: 1. Cuando las pruebas son destructivas. 2. Cuando el costo de la inspección 100% es muy alto. 3. Cuando la inspección 100% es muy tardada. 4. Cuando las cantidades a inspeccionar 100% son muy altas y con tasa de defectos baja, que haga que se causen errores al inspeccionar, dejando pasar productos defectuosos. 5. Cuando el proveedor no es confiable al 100%, o su capacidad de proceso es baja. 6. Cuando hay riesgo de generar problemas legales por productos críticos. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO Cuando se utiliza inspección por muestreo, se tienen las ventajas siguientes: 1. Es más barato, requiriendo menos inspección. 2. Existe un menor manejo de producto o menor daño. 3. Se aplica a pruebas destructivas. 4. El rechazar un lote completo en lugar de sólo las partes defectivas, motiva al proveedor a mejorar su calidad. El muestreo de aceptación también presenta varias desventajas: 1. Existe el riesgo de “aceptar” lotes malos y de “rechazar” lotes buenos. 2. La información que se genera respecto al producto o proceso es poca. 3. El muestreo de aceptación requiere documentación y planeación, no así la inspección 100%. Página 93 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Un plan de muestreo simple es un procedimiento de calificación de lotes, donde se toma una muestra aleatoria de n partes y la disposición del lote es determinada dependiendo de los resultados de la muestra, aceptándose si se encuentran hasta c productos defectivos. Las muestras deben ser representativas del lote, no deben tomarse sólo partes de las capas superiores, sino de preferencia numerar las partes con un número y seleccionar con tablas de números aleatorios o también se puede estratificar el lote. FORMACIÓN DE LOTES Para inspección de lotes, estos deben cumplir las características siguientes: 1. Deben ser homogéneos, las unidades deben ser producidas por las mismas corridas de producción, en condiciones similares. Es difícil tomar acciones correctivas para lotes mezclados. 2. Lotes grandes son preferibles a lotes pequeños, dado que la inspección es más eficiente. 3. Los lotes deben manejarse en forma similar con el proveedor y con el cliente, las partes deben estar empacadas adecuadamente para evitar riesgos de daño y permitir la selección de muestra en forma sencilla. PLAN DE MUESTREO Por ejemplo si se tiene el plan: N=10,000 n=89 c=2 Significa que de cada lote de 10,000 partes se toman al azar n=89 para inspección, si el número de productos defectivos observados en la muestra d es menor o igual a c = 2, el lote se acepta, en caso contrario se rechaza. Página 94 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 7.1 LA CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN OC La curva característica de operación (OC) muestra la probabilidad de aceptar el lote (Pa o en el eje Y), versus la fracción defectiva media en el lote (p en el eje X), mostrando la potencia de discriminación del plan de muestreo. Pa 1 0.8 0.5 0.3 0.1 Curva característica de Operación dado una Tamaño de muestra n y un criterio de aceptación c 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 p Prov. Fig. 7.2 Curva característica de operación y plan de muestreo La curva característica de operación se obtiene graficando p versus la probabilidad binomial de encontrar y aceptar a lo más c defectivos o sea: c n! p d (1 p) nd d 0 d!(n d )! Pa P{d c) Esto mismo se puede aproximar por la distribución de Poisson para efectos prácticos. Se puede usar Excel para los cálculos, un ejemplo utilizando la distribución binomial acumulada (opción VERDADERA en Excel) se muestra a continuación: Binomial=distr.binom(c, n, p, 1) ó Poisson=Poisson(c, n*p, 1) Página 95 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P(A<x<X) 0.01 0.91 0.02 0.736 0.03 0.555 0.9 0.04 0.400 0.8 0.05 0.279 0.06 0.190 0.07 0.126 0.08 0.083 0.5 0.09 0.053 0.4 0.1 0.034 0.11 0.021 0.12 0.013 0.13 0.008 0.1 0.14 0.005 0 0.15 0.003 0.16 0.002 0.17 0.001 0.18 0.001 0.19 0.000 0.2 0.000 P(A<x<X) 1 0.7 0.6 0.3 0.2 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.2 0.02 Pa 0.01 p P. REYES /JUNIO 2007 p Traza la curva OC Tipo B para el plan de muestreo ùnico n=50 y c=1. Fig. 7.3 Cálculo de la Curva característica de operación OC En este caso si los lotes tienen un 2% de defectivo, su probabilidad de aceptación es de 0.74. Significa que de cada 100 lotes recibidos, se aceptarán 74 y se rechazarán 26. PUNTOS ESPECIFICOS EN LA CURVA OC Un consumidor frecuentemente fija de común acuerdo con su proveedor, un nivel de calidad aceptable (AQL), que representa el nivel más pobre de calidad que el consumidor considera aceptable como promedio, normalmente es la fracción defectiva que tiene un 95% de ser aceptada ( = 0.95). Por otra parte el consumidor quiere rechazar los lotes en la mayoría de los casos cuando tengan una fracción defectiva de a lo más un porcentaje defectivo tolerable en el lote (LTPD), normalmente esta fracción defectiva corresponde a Página 96 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 una probabilidad de aceptación del 10% o rechazo del 90% de las veces. También se el denomina Nivel de Calidad Rechazable. A continuación se muestran algunas variaciones de la curva característica de operación variando tanto como el criterio de aceptación c manteniendo n constante y después manteniendo c como constante y variando n. Variando el criterio de aceptación C se tiene: Pa c=0, 1, 2 P (fracción defectiva en el lote) Para el caso en que lo que se varíe sea n se tiene: Pa n=50, 100, 200 2 p (fracción defectiva en el lote) Fig. 7.4 Curvas características de operación diversas Página 97 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 7.2 INSPECCIÓN RECTIFICADORA Los programas de aceptación por muestreo normalmente requieren acción correctiva cuando los lotes son rechazados, de tal forma que el proveedor los selecciona al 100% remplazando los artículos defectivos por buenos. Esta actividad se denomina inspección rectificadora por su impacto en la calidad de salida final hacia la planta. Entrada de 100 lotes de cierto proveedor con N=10,000 y n =200 c=1 Pa 9 lotes son aceptados a pesar de tener un 2% defectivo: Es decir ingresan p = 0.02 P=0.02 88,820 piezas OK Y 1800 piezas KO 91 lotes son rechazados y seleccionados por el proveedor, deja 910,000 piezas OK Fig. 7.5 Inspección rectificadora AOQ Total de piezas OK Alm. 998,820 Piezas defectivas 1,800 0.18% AOQ (las piezas malas son reemplazadas y reintegradas al lote) Suponiendo que los lotes que llegan tienen una fracción defectiva p 0 , después de la actividad de inspección bajo un plan de muestreo, algunos lotes serán aceptados y otros serán rechazados. Los lotes rechazados serán seleccionados al 100% por el proveedor remplazando los artículos defectuosos por buenos después se integran a los lotes que ingresan Página 98 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 a la planta obteniéndose una fracción defectiva p1 menor a la original, denominada calidad promedio de salida AOQ. La curva de AOQ versus p se muestra a continuación: Fracción defectiva que ingresa al almacén o planta después de aplicar el plan de muestreo AOQ = p*Pa Planta 0.3 Almacén 0.25 0.20 Fracción defectiva que envía el proveedor AOQL 0.15 0.1 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 p Prov. Fig. 7.6 Curva de calidad de salida promedio (AOQ) De la gráfica anterior se observa que la curva AOQ ( AOQ Pa p ) tiene un valor máximo o la peor fracción defectiva de salida hacia la planta o proceso, que se denomina límite de calidad de salida promedio AOQL el cual es p P(A<x<X) AOQ 0.001667 1.00 0.002 0.003333 0.99 0.003 0.005000 0.96 0.005 0.006667 0.92 0.006 0.008333 0.87 0.007 0.010000 0.81 0.008 0.011667 0.74 0.009 0.013333 0.68 0.009 0.015000 0.61 0.009 0.016667 0.54 0.009 0.018333 0.48 0.009 0.020000 0.42 0.008 0.021667 0.37 0.008 0.023333 0.32 0.007 0.025000 0.27 0.007 0.004 0.026667 0.23 0.006 0.003 0.028333 0.20 0.006 0.030000 0.17 0.005 0.031667 0.14 0.005 0.033333 0.12 0.004 0.035000 0.10 0.004 0.01 aproximadamente 0.0155 o 1.55% defectivo. 0.036667 0.08 0.003 Fracción defectiva en el lote 0.038333 0.07 0.003 0.040000 0.06 0.002 0.041667 0.05 0.002 0.043333 0.04 0.002 0.045000 0.03 0.001 0.046667 0.03 0.001 0.048333 0.02 0.001 0.050000 0.02 0.001 Pa Probabilidad de aceptación del lote teniendo una fracción defectiva p AOQ 0.01 AOQL 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.002 0.001 Fig. 7.7 Curva de calidad de salida promedio AOQ Página 99 de 105 0.05 0.05 0.05 0.05 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.02 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0 0 0 p CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 7.3 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859) DESCRIPCIÓN DE LA NORMA La norma proporciona tres tipos de muestreo (con curvas OC equivalentes): - Muestreo simple, Muestreo doble, Muestreo múltiple. En cada uno de los casos se prevén los siguientes tipos de inspecciones: - Inspección normal, Inspección estricta, Inspección reducida. Se inicia con la inspección normal, se pasa a estricta cuando se observa mala calidad del proveedor y se usa la reducida cuando la calidad del proveedor es buena, reduciendo los tamaños de muestra. El punto focal de la norma es el AQL (nivel de calidad aceptable entre 0.1% y 10%), negociado entre cliente y proveedor. Los valores típicos de AQL para defectos mayores es de 1%, 2.5% para defectos menores y 0.65% para defectos críticos. Cuando se utiliza para planes de defectos por unidad se tienen 10 rangos adicionales de AQLs hasta llegar a 1000 defectos por cada 100 unidades, los niveles pequeños de AQL se pueden utilizar tanto para controlar fracción defectiva como defectos por unidad. El tamaño de muestra en el estándar está determinado por el tamaño del lote y por la selección del nivel de inspección. Se proporcionan tres niveles de inspección, donde el nivel II se considera normal; el nivel I requiere alrededor de la mitad de la inspección del nivel II y se usa cuando se requiere menos discriminación; el nivel III requiere alrededor del doble de inspección del nivel II, y se usa cuando se requiere más discriminación. Página 100 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Hay también cuatro niveles especiales de inspección, S-1, S-2, S-3 y S-4, estos usan tamaños de muestra muy pequeños y sólo deben usarse cuando los riesgos grandes del muestreo sean aceptables, el nivel S4 se utiliza en pruebas destructivas. Para un AQL específico, un nivel de inspección y un tamaño de lote dado, el estándar MIL-STD-105E proporciona un plan de muestreo normal que se utilizará conforme el proveedor produzca productos con calidad AQL o mejor. También proporciona un mecanismo de cambio a inspección estricta o reducida como se ilustra en la figura y se describe a continuación. 1. Normal a estricta. Cuando se tiene inspección normal, la inspección estricta se instituye cuando cuándo dos de cinco lotes consecutivos han sido rechazados. 2. Estricta a normal. Cuando se tiene inspección estricta, la inspección normal se instituye cuando cinco lotes consecutivos son aceptados. 3. Normal a reducida. Cuando se tiene inspección normal, la inspección reducida se instituye cuando se cumple con todas las condiciones siguientes: a. Diez lotes consecutivos han sido aceptados con inspección normal. b. El número total de defectivos en las muestras de los diez lotes precedentes es menor o igual a el número límite aplicable del estándar. c. La producción de lotes ha sido continua sin interrupciones mayores. d. La inspección reducida se considera adecuada por la función responsable de la inspección por muestreo. 4. Reducida a normal. Cuando se tiene inspección reducida, la inspección normal se instituye cuando se cumple cualquiera de las condiciones siguientes: a. Un lote es rechazado. Página 101 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 b. Cuando el procedimiento de muestreo termina sin decisión de aceptación o rechazo, el lote se acepta pero se cambia a inspección normal en el próximo lote. c. La producción es irregular o se retarda en entregas. d. Otras condiciones que fuercen a cambiar a la inspección normal. 5. La Inspección se descontinúa. Cuando diez lotes se acepten con inspección estricta y el proveedor tome acciones para mejorar su calidad. Iniciando las reglas para el Sistema ANSI Z1.4 INICIO 10 lotes aceptados Producción regular Aprobado por la autoridad responsable. Reducido 2 de 5. Lotes consecutivos. No aceptados. Estricto Normal Se rechaza un Lote Lotes aceptados con no conformidades encontrándose entre Ac y Re del plan, o Producción irregular Otras condiciones de detección. 5 consecutivos. Lotes aceptados 10 Lotes consecutivos aceptados Inspección discontinua con Z1.4 Fig. 7.8 Reglas de cambio de planes de inspección PROCEDIMIENTO Los pasos a seguir para el uso de las normas es el siguiente: 1. Negociación del AQL – Nivel de calidad aceptable (cliente – proveedor). 2. Decisión del nivel de inspección. 3. Determinación del tamaño del lote. Página 102 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 4. Consultar la tabla 1 (ver apéndice) y localizar la letra código correspondiente al tamaño del lote y el nivel de inspección. 5. Decisión en cuanto al procedimiento de muestreo a utilizar (simple, doble, múltiple). 6. Uso de la tabla correcta para encontrar el tipo de plan a utilizar (las tablas se encuentran en el apéndice). 7. Uso de la tablas para inspección reducida y estricta, cuando se requieran hacer cambios. Ejemplo 7.1 Si N= 2,000 y AQL= 0.65% usando el nivel II de inspección: 1. La tabla I indica la letra código K. 2. La tabla II-A para inspección normal indica el plan de muestreo n=125 y c=2. 3. La tabla II-B para inspección estricta indica el plan de muestreo n= 125, c=1. 4. La tabla II—C para inspección reducida indica el plan de muestreo n = 50, Aceptar = 1, Rechazar = 3 La flecha descendente cambia el plan, la letra de código y el tamaño de muestra, lo mismo para la ascendente. Por ejemplo, un AQL de 1.5% y letra F será cambiado a letra G con tamaño de muestra 32 en lugar de 20. 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.00 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02 0.02 0.03 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05 Normal Rigurosa Reducida Fig. 7.9 Comparación entre los planes normal, reducido y estricto Página 103 de 105 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Letras código para el tamaño de muestra MIL-STD-105E Lote 2-8 9-15 16-25 26-50 51-90 91-150 151-280 281-500 501-1 200 1 201-3 200 3 201-10 000 10 001-35 000 35 001-150 000 150 001-500 000 500 001 ----- Niveles de inspección especiales S-1 S-2 S-3 S-4 A A A A A A A A A A B B A B B C B B C C B B C D B C D E B C D E C C E F C D E G C D F G C D F H D E G J D E G J D E H K Niveles de inspección generales I II III A A B A B C B C D C D E C E F D F G E G H F H J G J K H K L J L M K M N L N P M P Q N Q R Tabla de inspección normal II-A Letra código para tamaño de muestra A B C Tamaño de muestra 2 3 5 D E F 8 13 20 G H J 32 50 80 K L M 125 200 315 N P Q 500 800 1250 R 2000 0.01 Ac Re 0.015 0.025 0.04 Ac Re Ac Re Ac Re Niveles de calidad aceptables AQL (%) 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re 1 Ac Re 1.5 Ac Re 2.5 Ac Re 4 Ac Re 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 10 11 7 8 10 11 14 15 10 11 14 15 21 22 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 7 8 10 11 14 15 21 22 10 11 14 15 21 22 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha Ac Número de aceptación Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha Re Número de rechazo 0 1 0 1 1 2 Página 104 de 105 3 4 5 6 7 8 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4 0 1 2 3 3 4 5 6 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 0 1 1 2 2 3 1 2 2 3 0 1 0 1 1 2 CURSO DE CONTROL ESTADÍSTICO PARA OPERADORES P. REYES /JUNIO 2007 Tabla de inspección rigurosa II-B Letra código para tamaño Tamaño de de muestra muestra A 2 B 3 C 5 D 8 E 13 F 20 G 32 H 50 J 80 K 125 L 200 M 315 N 500 P 800 Q 1250 R 2000 S 3150 Niveles de calidad aceptables AQL (%) 0.01 0.015 0.025 0.04 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 1 1.5 2.5 4 Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 1 2 3 5 2 3 4 6 1 2 3 5 8 2 3 4 6 9 1 2 0 1 1 2 2 3 1 2 2 3 3 4 1 2 2 3 3 4 5 6 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 5 6 8 9 12 13 18 19 8 9 12 13 18 19 12 13 18 19 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 1 2 Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha Ac Número de aceptación Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha Re Número de rechazo Tabla de inspección reducida II-C Letra código para tamaño Tamaño de de muestra muestra A 2 B 2 C 2 D 3 E 5 F 8 G 13 H 20 J 32 K 50 L 80 M 125 N 200 P 315 Q 500 R 800 0.01 Ac Re 0.015 0.025 0.04 Ac Re Ac Re Ac Re Niveles de calidad aceptables AQL (%) 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re 1 Ac Re 1.5 Ac Re 2.5 Ac Re 4 Ac Re 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 1 3 0 2 1 3 1 4 0 1 1 2 2 3 4 5 0 1 1 2 3 2 3 4 5 6 0 1 1 2 3 5 2 3 4 5 6 8 0 1 1 2 3 5 7 2 3 4 5 6 8 10 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha Ac Número de aceptación Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha Re Número de rechazo 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13 NOTA: Si se ha excedido el número de aceptación, sin alcanzar el número de rechazo, aceptar el lote pero regresar a la inspección normal Página 105 de 105