El desarrollo de las capacidades lógico 2

Universidad Austral de Chile
Facultad de Filosofía y Humanidades
Centro de Educación Continua
Postítulo de Mención en Matemática Segundo Ciclo
El desarrollo de las capacidades lógico-matemática.
¿Qué sucede en los niños con relación a ciertas destrezas que parecen tan complejas?
Cuando los niños llegan a los tres años, e ingresan a la institución educativa o programa no
escolarizado de Educación Inicial, ya han alcanzado un cierto nivel de desarrollo de su
pensamiento lógico-matemático, lo que les permite establecer relaciones con el mundo real y
construir nuevos aprendizajes. Ya tienen ideas aproximadas de algunos cuantificadores
básicos que han surgido de su propia experiencia lingüística. Y es así, como van acumulando
un sinnúmero de experiencias, que mediante sucesivas precisiones les permitirá construir su
futuro
lenguaje
matemático.
El conocimiento lógico-matemático es construido por los niños a partir de los problemas a los
que se enfrentan en su vida cotidiana, pero este conocimiento no es espontáneo, es un
producto cultural (como el sistema de numeración). Aprender matemática es hacer matemática.
Ante una situación problemática el niño muestra asombro, elabora supuestos, busca
estrategias para dar respuesta a interrogantes, descubre diversas formas para resolver las
cuestiones planteadas, desarrollar actitudes de confianza y buscar con constancia soluciones.
La matemática constituye una herramienta fundamental para la comprensión y manejo del
entorno, y las experiencias que les propongamos deberán relacionarse con las que ellas y ellos
han venido construyendo en su medio sociocultural. Antes de llegar a la escuela, los niños ya
han elaborado algunas nociones matemáticas que forman parte de su vida diaria. Por eso, es
necesario favorecer la utilización de procedimientos matemáticos de la cultura del día a día.
Hay seis tipos de actividades relacionadas con el entorno, que implican el uso de las
matemáticas, y que están presentes en todas las culturas: contar, calcular (cuantificar el
entorno), orientarse (localizar un lugar en relación a otros), medir, diseñar (dimensión estética
de toda cultura), jugar, explicar (conexión del razonamiento con la estructura lingüística).
La educación inicial debe atender, desde su espacio y a través del currículo, estos
requerimientos, vinculando su quehacer educativo con el ambiente en el que se desenvuelve el
niño, teniendo en cuenta las demandas de la realidad y reflexionando sobre las capacidades y
actitudes
que
debe
adquirir
y
desarrollar.
El primer componente del área lógico-matemática, propicia que los niños jueguen con números,
funciones y relaciones. En esta experiencia de aprendizaje los niños identifican características
perceptuales y funcionales de forma, se pueden realizar variaciones para trabajar: color,
tamaño, textura, espesor, estructura y uso. Gracias al
conocimiento de las características de los objetos, los niños podrán establecer relaciones y
agrupaciones. De igual manera, deben conocer el mundo que los rodea, y ser concientes de
las características de sus objetos, de sus semejanzas y diferencias. Darles oportunidad para
que puedan observar las diferencias ayudará también a que su percepción visual se pueda ir
perfeccionando.
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Pensar matemáticamente
Pensar matemáticamente es un magnífico libro, que trata de los procesos que sigue el
pensamiento matemático. Se presenta un problema o investigación y se plantea cómo atacarlo
de una manera eficaz, para ir aprendiendo de la experiencia de intentar resolverlo. Interesan
los procesos más que las soluciones.
Es un libro para usar más que para leer. Su utilidad depende de la energía con la que se
trabajan las cuestiones propuestas. De la capacidad del que lo utiliza de experimentar y
reflexionar sobre los procesos que se van presentando.
Hay tres factores que influyen en el grado de efectividad del razonamiento matemático:
-La competencia en el uso de los procesos de investigación matemática.
- La confianza en el dominio de los estados emocionales y psicológicos, para sacar ventaja de
ellos.
- El conocimiento de las matemáticas.
El libro se centra en los dos primeros factores, no porque el conocimiento de los «contenidos
matemáticos» sea menos importante, sino porque eso es lo que normalmente ocupa todo el
escenario y a menudo se presenta como el «único» factor importante.
En el propio libro aparecen, en el capítulo nueve, las siguientes conclusiones a modo de
resumen:
¿Qué es el pensamiento matemático?
Un proceso dinámico que, al permitirnos aumentar la complejidad de las ideas que podemos
manejar, extiende nuestra capacidad de compresión.
¿Qué puedo utilizar para esto? Particularización, generalización, conjeturas y convencimiento.
¿Cómo actúa todo esto?
En tres fases: abordaje, ataque y revisión; estas fases están asociadas a distintos estados
emocionales: primeros contactos, entrando en materia, fermentando, avanzando, intuyendo,
mostrándose escéptico y contemplando.
¿Qué fases hay que destacar?
El abordaje porque es el fundamento del ataque.
La revisión, porque es la menos reconocida y la que más puede enseñar.
¿Qué sirve para mejorar el razonamiento matemáticos?
La práctica con reflexión.
¿En qué se apoya el razonamiento matemático?
En una atmósfera de interrogantes, desafíos y reflexión, con abundante tiempo y espacio.
¿Qué es lo que provoca el razonamiento matemático?
Un desafío, una sorpresa, una contradicción, o el descubrimiento de un vacío de comprensión.
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¿A dónde lleva el razonamiento matemático?
A un conocimiento más profundo de ti mismo.
A una visión más coherente de lo que sabes.
A una investigación más eficaz de lo que quieres saber.
A una postura más crítica ante lo que oyes y lo que ves.
Ningún pensamiento puede tener lugar en el vacío. La atmósfera racional y emocional afecta a
tu razonamiento, tanto si eres consciente de ello como si no. Para pensar matemáticamente de
una manera efectiva necesitarás tener suficiente confianza para poner a prueba tus ideas y
enfrentarse a tus estados emocionales conscientemente. El fundamento de la confianza radica
en experimentar la potencia de tu razonamiento para aumentar tu capacidad de comprensión.
Muchos de los problemas planteados son originales, y otros tomados de diferentes fuentes
bibliográficas. Los autores citan, entre aquellas personas a las que han de agradecer sus
ayudas, a Polya y Schoenfeld.
Definiciones para metodología
Por metodología entendemos el estudio del conjunto de métodos que aseguran el logro
de determinados objetivos. En educación, no tiene sentido analizar un método o un conjunto de
métodos prescindiendo del contenido. El contenido y el método constituyen una unidad
inseparable; es una ingenuidad considerarlos aisladamente al programar la acción educativa.
(Recart, 2007:1)
Según el diccionario de la Lengua Española (2005), la Metodología se define como
“parte de la lógica que estudia los métodos del conocimiento. En pedagogía, estudios de los
métodos de enseñanza. Por ejemplo, Maria Montessori instituyó una nueva metodología”.
Martínez Míguelez (1999) define la metodología como parte del proceso de
investigación que permite sistematizar los métodos y las técnicas necesarios para llevarla a
cabo. En educación, la metodología es aquel proceso que parte de la idea central que para
tener un aprendizaje significativo, el alumno debe ser el protagonista de su propio aprendizaje,
y el profesor, un facilitador de este proceso. Es decir, alude a todas aquellas formas
particulares de conducir las clases, que tienen por objetivo involucrar a los estudiantes en su
propio proceso de aprendizaje, entendiendo este como un proceso personal de construcción de
las propias estructuras de pensamiento por asimilación de nuevos conocimientos de las
estructuras de pensamiento previas o por acomodación de las mismas.
En la dirección del proceso de enseñanza- aprendizaje, la selección y utilización de los
métodos de enseñanza, es considerado como uno de los aspectos más importantes en el
trabajo del docente, ya que de ello, depende en gran medida, asegurar la ejecución acertada
del alumno(a) y que se logren los objetivos de aprendizaje.
“Etimológicamente, la palabra método, viene de dos voces griegas: meta=fin y
odos=camino, o sea, significa el camino que hay que seguir para llegar a una determinada
meta. En tal sentido, implica dirección, ordenación y medios para alcanzar la meta”. (Tatter
1983:23)
“Método es el camino o medio para llegar a un fin, el modo de hacer algo
ordenadamente, el modo de obrar y de proceder para alcanzar un objetivo determinado”.
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(Mendieta Alatorre 1973:31)
La labor de los distintos actores del proceso de enseñanza-aprendizaje es imprescindible, ya
que se enseña y se aprende a través de una experiencia realizada conjuntamente, en la que
todos, están implicados e involucrados como sujetos/agentes. Lo que se pretende es
desarrollar una actitud científica, una disposición a detenerse frente a las cosas para tratar de
desentrañarlas, problematizando, buscando respuestas, sin centrarse nunca en certezas
absolutas.
En esta línea de educación, la relación docente/alumno queda establecida en la
realización de una tarea común. Las actuales metodologías exigen redefinir los roles, tanto del
educador como del educando. El docente tiene una tarea de animación, de estímulo,
orientación, asesoría y asistencia técnica. El alumno, en cambio, se inserta en el proceso
pedagógico como sujeto de su propio aprendizaje, con el apoyo teórico y metodológico de los
docentes y de la bibliografía y documentación de consulta que las exigencias de las actividades
van demandando. Esto, hace referencia a la superación de cualquier jerarquización explícita
que pueda presentarse en el aula, y en el proceso mismo de enseñanza-aprendizaje.
La modalidad de realización de las diferentes metodologías, crean las condiciones
necesarias para desarrollar no sólo, la unidad de enseñar y aprender, sino que también, para
superar las disociaciones que suelen darse entre la teoría y la práctica, como si la educación y
la vida, los procesos intelectuales y afectivos, el conocer y el hacer, el pensamiento y la
realidad, fuesen instancias no relacionadas y a veces, consideradas hasta contrapuestas.
Lo explicitado anteriormente, exige un cambio en el rol docente tradicional: el profesor
no actúa en solitario, sino que, se constituye en un equipo de trabajo formado por él y los
alumnos. El producto de esta nueva interacción, es que, tanto educadores como educandos se
acostumbren a reflexionar en grupo, a enriquecerse con los aportes de los demás y a mejorar
con sus propios aportes. Las actividades que se realicen, deben estar vinculadas al desarrollo
de habilidades, capacidades y actitudes, que sirvan y se desarrollen en el futuro de cada
alumno. Las actuales metodologías proponen en su globalidad que, el docente no enseña, sino
que ayuda a que el alumno “aprenda a aprender” mediante el procedimiento de hacer algo.
El docente debe involucrar en su planificación valores a desarrollar en los alumnos, de
forma que éste pueda captarlo de manera significativa, de aquí se requiere el uso de
estrategias adecuadas para su eficaz aplicación. Debe existir una orientación, con el objeto de
facilitar y orientar el estudio, donde considerará su vida cotidiana. Además, debe proveer al
alumno de los métodos de razonamiento básico, requisito para plantear algunos ejercicios a
resolver cuya ejecución le permitirá afianzar sus conocimientos.
Quintero, 2002:57, citando a Ander-Egg señala que:
“La planificación es la acción que tiene por finalidad diseñar las actividades educativas
que estimulen el logro del aprendizaje. La planificación se cumplirá con el fin de garantizar un
mínimo de éxito en la labor educativa, afianza el espíritu de responsabilidad y elimina la
improvisación”.
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De acuerdo a lo anterior, la planificación permite elaborar actividades exitosas (no
improvisadas) en el logro del aprendizaje del alumnado.
Material Didáctico.
En el material didáctico influye, más que su estructura o variedad, la manera de
emplearlo y asociarlo con la enseñanza. Éste a su vez, debe ser interesante para los escolares,
permitiéndoles una mejor relación con el docente, es en esencia el nexo entre las palabras y la
realidad, desempeñando un papel destacado en la enseñanza de todas las áreas.
La finalidad del material didáctico:

Aproximar al alumno(a) a la realidad de lo que se quiere enseñar.

Motivar la clase.

Facilitar la recepción y la comprensión de los hechos y de los conceptos.

Concretar e ilustrar lo que se expone verbalmente.

Economizar esfuerzos para conducir a los alumnos(as) a la comprensión de los
hechos y de los conceptos.

Contribuir a la fijación del aprendizaje a través de la impresión más viva y sugestiva
que puede provocar el material.

Dar oportunidad para que se manifiesten las aptitudes y el desarrollo de habilidades
específicas por parte de los alumnos(as).
Recomendaciones para el uso del Material Didáctico.
Para evitar errores en el uso del material didáctico y lograr que los alumnos(as) pongan
atención a la clase se entregan las siguientes sugerencias:

Nunca debe quedar todo el material dispuesto a las miradas de los alumnos(as),
desde el comienzo de la clase, ya que puede perder su espontaneidad.

Debe exhibirse, con más notoriedad, el material referente a la unidad que está siendo
estudiada.

El material que está sirviendo a una clase, debe estar a la mano, a fin de que no
exista pérdidas de tiempo cuando se le busque.

El material, para una clase, debe estar presentado oportunamente y poco a poco, no
todo a la vez, con el objetivo de no desviar la atención de los alumnos(as).

Antes de su utilización, debe ser revisado en lo que concierne a sus posibilidades de
uso y funcionamiento.
La clasificación del material didáctico, según Carrasco (2004) son:
1. Material permanente de trabajo: Pizarrón, tiza o plumón, marcador, cuadernos, lápices,
etc.
2. Material informativo o audiovisual: Internet, CD-Room, DVD, diccionario, filmes,
ficheros, TV, radio, grabadora, software, etc.
3. Material experimental: Aparatos y materiales variados que se presenten para la
realización de experimentos en general.
4. Material impreso: Libros, revistas, fichas y periódicos.
Entre la variedad de recursos didácticos podemos encontrar los siguientes:
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1. Recursos audiovisuales.
2. El pizarrón, la tiza o plumón.
3. Las ilustraciones.
4. Proyecciones fijas y proyecciones móviles.
5. Material tridimensional.
6. Diagramas y láminas didácticas.
7. Carteles, láminas, murales.
8. Televisión educativa.
9. Computadora y software educativo.
Éstos son algunos de los materiales didácticos, que el docente podría utilizar para
enriquecer el proceso enseñanza-aprendizaje. Por lo tanto, éste, debe conocer la pluralidad del
material didáctico que tiene a su alcance, con el fin de efectuar clases más dinámicas y
motivadoras para los alumnos(as) y lograr un aprendizaje significativo.
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA
Son todas aquellas ayudas planteadas por el docente que se proporcionan al
estudiante para facilitar un procesamiento más profundo de la información. A saber, todos
aquellos procedimientos o recursos utilizados por quien enseña para promover aprendizajes.
El énfasis se encuentra en el diseño, programación, elaboración y realización de los
contenidos a aprender por vía verbal o escrita.
Las estrategias de enseñanza deben ser diseñadas de tal manera que estimulen a los
estudiantes a observar, analizar, opinar, formular hipótesis, buscar soluciones y descubrir el
conocimiento por sí mismos.
Organizar las clases como ambientes para que los estudiantes aprendan a aprender.
Importancia de las matemáticas
La Matemática es una de las disciplinas más importantes para todo estudiante. Lo más
importante no es solo la simple aritmética del día a día, sino el desarrollo del razonamiento.
Gran parte de la Matemática se basa en lógica deductiva. Debemos ser capaces de plantear un
problema en pasos lógicos y resolver cada paso usando técnicas y teoremas que muchas
veces son el resultado de años de aprendizaje.
La resolución de problemas matemáticos, es una habilidad que puede ser utilizada en
muchas otras áreas del conocimiento y de nuestras vidas.
Las matemáticas están en el centro de nuestra cultura y su historia se confunde, a
menudo, con la de la filosofía. De igual modo que las teorías cosmológicas y de la evolución,
han ejercido notable influencia en la concepción que los humanos tenemos de nosotros
mismos.
También en el arte hay matemáticas. Desde que Pitágoras, el matemático más célebre,
descubriera razones numéricas en la armonía musical hasta ahora la relación de las
matemáticas con el arte ha sido permanente. Estos aspectos de las matemáticas las convierten
en puente entre las humanidades y las ciencias de la naturaleza.
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Las matemáticas las utilizamos en la vida cotidiana y son necesarias para comprender
y analizar la abundante información que nos llega. Pero su uso va mucho más allá: en
prácticamente todas las ramas del saber humano se recurre a modelos matemáticos, y no sólo
en la física, sino que gracias a los ordenadores las matemáticas se aplican a todas las
disciplinas, de modo que están en la base de las ingenierías y de las tecnologías más
avanzadas, como las de los vuelos espaciales y de las modernas técnicas de diagnóstico
médico, como la tomografía axial computadorizada, de la meteorología, de los estudios
financieros y de la ingeniería genética, entre otros.
Pero las matemáticas son una ciencia pura, cuyos problemas por sí mismos suponen
un reto desnudo para la inteligencia; Jacobi pensaba que la finalidad única de las matemáticas
era rendir honor al espíritu humano. Su lenguaje universal las convierte en herramienta eficaz
para la cooperación entre países más y menos desarrollados, favorecer un ámbito de
colaboración que mejore la convivencia y fomentar la paz entre los pueblos.
Las matemáticas tienen, desde hace veinticinco siglos, un papel relevante en la
educación intelectual de la juventud. Las matemáticas son lógica, precisión, rigor, abstracción,
formalización y belleza, y se espera que a través de esas cualidades se alcancen la capacidad
de discernir lo esencial de lo accesorio, el aprecio por la obra intelectualmente bella y la
valoración del potencial de la ciencia. Todas las materias escolares deben contribuir al cultivo y
desarrollo de la inteligencia, los sentimientos y la personalidad, pero a las matemáticas
corresponde un lugar destacado en la formación de la inteligencia ya que, como señaló
Aristóteles, los jóvenes pueden hacerse matemáticos muy hábiles, pero no pueden ser sabios
en otras ciencias.
¿Para qué enseñar matemática en Enseñanza Básica?
Esta pregunta parece un poco sorprendente, porque podría entenderse que detrás de
ella está el cuestionamiento: ¿Hay que enseñar matemática en la escuela? Casi todos
responderían afirmativamente a esto último. Algunos habrán olvidado para qué, otros quizás
nunca lo supieron. Por lo tanto, la pregunta original tiene sentido. Y tiene sentido tomarse la
respuesta en serio. O sea, no responder únicamente: porque a los 10 años el niño tiene que
saber sumar y multiplicar. Ésta es una respuesta operativa, pragmática. El niño debe saber
operar bien, no hay computadora que elimine la necesidad de manipular los números y adquirir
una imagen cuantitiva de los objetos de este mundo. Pero no basta.
Metodología en Educación Matemática
La matemática tiene por finalidad involucrar valores y desarrollar actitudes en el alumno
y requiere, el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para comprender,
asociar, analizar e interpretar los conocimientos adquiridos para enfrentar su entorno. Se
requiere, el uso de estrategias que permitan desarrollar las capacidades para percibir, analizar
e interpretar los conocimientos adquiridos.
El subsector de Educación Matemática, es de gran relevancia entre los contenidos que
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se deben tratar durante la Educación Básica. Debido a esto, el docente que imparte dicha
asignatura debe contar con la especialización correspondiente y la mayor cantidad de
conocimientos y habilidades sobre el tema, dando gran importancia a la metodología que
utiliza. Debe actualizar constantemente sus conocimientos.
La manera de evitar los obstáculos generales en el aprendizaje de las matemáticas
sería invertir el procedimiento que se utiliza. Las matemáticas no pueden enseñarse en los
primeros niveles como una teoría formal, abstracta, porque el niño no es capaz de entenderla y
tampoco, ve la necesidad de una teoría de este tipo. Lo primero que hay que hacer es crear en
el niño, la necesidad de las matemáticas, pues uno de los grandes problemas de la enseñanza
de las matemáticas, no de ahora sino de siempre, es que el sujeto las considera como algo
gratuito, no ve ni la necesidad de introducir esas nociones ni, en niveles más avanzados, la
necesidad de los pasos que se utilizan en una demostración. Mientras, el sujeto, no vea
primero la utilidad de las nociones matemáticas y luego su necesidad, no será posible realizar
una enseñanza adecuada que despierte interés en los alumnos.
Para alcanzar ese objetivo general hay que modificar profundamente la práctica actual.
Hoy tenemos que reconocer que la matemática moderna como alternativa al fracaso en el
aprendizaje matemático ha fracasado a su vez. Es necesario, hacer un balance de lo
conseguido y buscar otros caminos. Para ello, debemos tomar en consideración el desarrollo
psicológico de los niños.
La enseñanza de las matemáticas en los primeros niveles debería seguir dos caminos
paralelos. Por un lado, actividades prácticas, intuitivas, relativas sobre todo a números, al
espacio y a la medida, que deben unirse en la enseñanza de la física y a las actividades de
tecnología, actividades que son esenciales pues construyendo aparatos y estudiando
problemas físicos el niño, no sólo se siente enormemente motivado, sino que se ve obligado a
utilizar nociones matemáticas y les encuentra un sentido.
Por otro lado, se deben realizar actividades de tipo lógico como clasificar, ordenar,
hacer intersecciones, traducir en la práctica instrucciones complejas como "dame las fichas que
no sean rojas ni cuadradas". Todo esto, sin ninguna teoría y sin dar nombres para las cosas
que se hacen, actividades que ni siquiera tendrían que realizarse en la clase de matemáticas,
sino en todas las materias.
Es, pues, una tarea muy urgente iniciar una reforma de la enseñanza de las
matemáticas para evitar los errores en los que estamos cayendo todos los días.
Importancia de la metodología en el subsector de matemáticas.
Como lo menciona Hernán Recart (2007:2), “el método adecuado para lograr un
determinado objetivo será siempre el que asegure el éxito a los alumnos y alumnas a partir de
la condición en la que se encuentra, le permita a éste considerar venturosa la experiencia de
haber realizado el trabajo propuesto por el profesor.”
De lo anterior se infiere que, la utilización por parte del docente de los métodos
adecuados para el aprendizaje significativo de sus alumnos y alumnas, está estrechamente
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relacionado con la motivación que estos desarrollan en los alumnos y alumnas para un
aprendizaje significativo. Para esto, se define aprendizaje significativo como la adquisición de
una nueva conducta en un individuo a consecuencia de su interacción con el medio externo.
Aprendizaje significativo es un concepto acuñado por David Paul Ausubel con la
intención de superar tanto los límites de la enseñanza tradicional (memorística y acumulativa),
como el exceso de actividad que se derivaba de las corrientes a favor del aprendizaje por
descubrimiento; el cual, impedía en ocasiones la asimilación de nuevos contenidos.
La teoría del aprendizaje significativo de Ausubel, contrapone este tipo de aprendizaje
al aprendizaje memorístico. Sólo, habrá aprendizaje significativo cuando lo que se trata de
aprender se logra relacionar de forma sustantiva y no arbitraria con lo que ya conoce quien
aprende, es decir, con aspectos relevantes y preexistentes de su estructura cognitiva.
(Enciclopedia Encarta 2005).
Además, con respecto al proceso educativo, se puede mencionar que “El profesor no
educa. Cada educando se educa a sí mismo, aprovechando las contribuciones que recibe del
medio (del profesor, de la familia, de la sociedad en general). Por tanto, cada método debe
tener en consideración este hecho. Si el educador llegara a pensar –por ventura- que él es
quien puede y debe educar, estaría en un error, por que eso significaría que estaría intentando
modelar la conciencia de seres humanos como a él mejor le parezca y, cosa muy importante:
nadie tiene derecho sobre la conciencia de los demás. Al profesor le corresponde crear
condiciones para que alguien se eduque.” (Recart, 2007:3)
El contenido, determina el método que se debe utilizar en un trabajo educativo
específico y, el método, determina una parte importante del contenido a tratar.
El contenido curricular, lo constituye la materia que se desea enseñar, las condiciones
del ambiente donde se concretará en trabajo educativo, el contexto donde esta inserta la
escuela, el profesor, los libros accesibles, la comunidad, etc.
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