3g: Sistemas de Conductores

Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Electrostática
•
•
•
•
•
•
Definición
Los conductores en electrostática.
Campo de una carga puntual.
Aplicaciones de la Ley de Gauss
Integrales de superposición.
Potencial electrostático
– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.
– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones
de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento
dipolar, polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3g-1
Sistemas de Conductores.
• Los sistemas de conductores representan la práctica mayoría de los
problemas que se pueden encontrar en los sistemas de
telecomunicación.
• Se caracterizan por:
– Un número de N de conductores cuya carga o potencial es conocido.
– La ausencia de cargas fuera de los conductores.
– La posible existencia de varios tipos de dieléctricos.
• El objetivo habitual es el cálculo de la carga de los conductores
(cuando se conoce su potencial) o de su potencial (cuando se
conoce su carga).
– Salvo en casos especiales (Influencia total), las condiciones de contorno
aplicadas sobre un conductor afectan al resto.
i=1
V1
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
i=N
i=2
Q2
VN
Elmg 3g-2
Eym 3E-1
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Coeficientes de Capacidad - Introducción
S1
• Los sistemas de conductores se
pueden resolver aplicando
superposición:
Φ = 1V
S3
S2
Φ = 0V
Φ = 0V
Φ = ϕ1
– Si hay 3 conductores se plantean 3
problemas diferentes.
» 1: Conductor 1 a 1V, resto a
0V:Solución ϕ1
» 2: Conductor 2 a 1V, resto a
0V:Solución ϕ2
» 3: Conductor 3 a 1V, resto a
0V:Solución ϕ3
– Ahora se puede resolver cualquier
problema aplicando superposición:
S1
Φ = 0V
S3
S2
Φ = 1V
Φ = 0V
Φ = ϕ2
S1
Φ = 0V
S3
S2
Φ = 0V
Φ = 1V
Φ = ϕ3
Φ S = V1 
1

Φ S = V2  ⇒ Φ = V1ϕ1 + V2ϕ 2 + V3ϕ 3
2
Φ S = V3 
3

S1
Φ = V1
S3
S2
Φ = V3
Φ = V2
Φ = V1ϕ1 + V2ϕ 2 + V3ϕ 3
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3g-3
Coeficientes de Capacidad - Introducción (2)
• Conociendo el potencial en todo el
espacio se puede obtener la carga
de los conductores:
r r
∂Φ
qi = ∫∫ D ⋅ dS = − ∫∫ ε
dS
∂n
Si
Si
– Aplicando superposición.
3
qi = ∑ − V j ∫∫ ε
j =1
Si
∂ϕ j
∂n
dSi =
= Ci ,1V1 + Ci , 2V2 + Ci ,3V3
– Los coeficientes C son los
coeficientes de capacidad:
Ci , j
V1 ×
V2 ×
q2 = C21V1 + C22V2 + C23V3
q3 = C31V1 + C32V2 + C33V3
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
S1
C2,1
Φ = 0V
S2
C3,1
Φ = 0V
S3
Φ = ϕ1
C1, 2
Φ = 0V
S1
C2, 2
Φ = 1V
S2
C 3, 2
Φ = 0V
S3
Φ = ϕ2
V3 ×
∂ϕ j
Ci , j = − ∫∫ ε
dSi
∂n
Si
= carga del conductor i en el problema j
q1 = C11V1 + C12V2 + C13V3
C1,1
Φ = 1V
C1,3
Φ = 0V
C 2 ,3
Φ = 0V
S2
C3 , 3
Φ = 1V
S3
Φ = ϕ3
q1
Φ=
S1
Φ = V1
S1
q2
Φ = V2
S2
q3
Φ = V3
S3
Φ = V1ϕ1 + V2ϕ 2 + V3ϕ 3
Elmg 3g-4
Eym 3E-2
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Coeficientes de Capacidad
• Si hay N conductores se pueden plantear N problemas diferentes:
– En cada uno, el potencial de todos los conductores es nulo excepto en
uno de ellos, que será la unidad:
0si k ≠ j
= δ kj = 
k =1
1si k = j
– La solución obtenida cumple la ecuación de Laplace:
N
Φ = ∑ Vk ϕ k
ϕk
∆ϕ k = 0
N
N
k =1
k =1
Sj
∆Φ = ∆ ∑ Vk ϕ k = ∑ Vk ∆ϕ k = 0
N
– El potencial de cada conductor es: Φ Si = ∑ Vk ϕ k
k =1
N
= ∑ Vk δ ki = Vi
Si
k =1
– Y si el infinito está incluido en la región de estudio:
N
r
= ∑ Vk lim
r ϕk
r
r
lim
rΦ
r
r →∞
k =1
S∞
r →∞
= cte
S∞
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3g-5
Coeficientes de Capacidad
(2)
– Se puede obtener la carga de cada conductor:
q i = ∫∫ ρ Si dS = −ε ∫∫
Si
Si
∂Φ
dS = −ε ∫∫
S
∂n Si
N
i
∑V
k =1
k
N
∂ϕ k
∂ϕ k  N

dS = ∑ Vk  − ε ∫∫
dS  = ∑ Vk Cik
S
∂n
∂n

 k =1
k =1
i
– Donde se han definido los coeficientes de capacidad como:
C ik = −ε ∫∫
Si
∂ϕ k
dS
∂n
• Resulta evidente que:
q1 = C11V1 + LC1iVi + LC1N V N
Los coeficientes de capacidad
son función de la geometría
de los conductores y de los
dieléctricos intermedios.
M
q i = Ci1V1 + L CiiVi + LCiN V N
M
q = CV
q N = C N 1V1 + LC NiVi + L C NN V N
En teoría se puede resolver cualquier combinación Carga-Potencial
de cada conductor.
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
Elmg 3g-6
Eym 3E-3
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Teorema de Reciprocidad.
Enunciado
• Considere dos situaciones, A y B:
Sobre un mismo sistema de
conductores se aplican condiciones
de contorno diferentes:
• Situación A:
– Potencial: Φ A = V A1ϕ1 + V A 2ϕ 2 + L
– Potencial de los cond.:V A1 , V A 2 , L
– Carga de los cond.:
q A1 , q A 2 , L
• Situación B:
– Potencial: Φ B = VB1ϕ1 + VB 2ϕ 2 + L
– Potencial de los cond.:VB1 , VB 2 , L
– Carga de los cond.:
q B1 , q B 2 , L
• Se cumple:
N
∑V
k =1
Situación A
q A1
S2
q A2
VA2
VA1
q A3
V A3
S3
Φ A = VA1ϕ1 + VA2ϕ 2 + VA3ϕ 3
Situación B
q B1
S1
q Bk = ∑ VBk q Ak
S2
qB 2
VB 2
VB1
N
Ak
S1
qB 3
VB 3
S3
Φ B = VB1ϕ1 + VB 2ϕ 2 + VB 3ϕ 3
k =1
• En la figura: VA1qB1 + VA2 q B 2 + VA3qB 3 = VB1q A1 + VB 2 q A2 + VB3 q A3
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3g-7
Teorema de Reciprocidad:
Demostración
• Dado un mismo sistema de conductores y dos
juegos de condiciones de contorno completas,
es decir, dos situaciones de equilibrio diferentes:
N
∑V
k =1
Ak
N
∑V
N
Ak
k =1
q Bk = ∑ VBk q Ak
N
N
r
r
q Bk = ∑ VA1k ∫∫ − ε∇Φ B ⋅ dS = −ε ∑ ∫∫ Φ A∇Φ B ⋅ dS = −ε ∫∫
Sk
k =1
r
= −ε ∫∫ Φ A∇Φ B ⋅ dS = ε
Scond + S∞
Regularidad
k =1
∫∫ Φ
S cond + S ∞
A
Sk
S cond
k =1
r
Φ A ∇Φ B ⋅ dS
s
∇Φ B ⋅ dS = ε ∫∫∫ ∇ ⋅ (Φ A∇Φ B )dV =
V
0
 }

= ε ∫∫∫  Φ A ∆Φ B + ∇Φ A ⋅ ∇Φ B dV = ε ∫∫∫ ∇Φ A ⋅ ∇Φ B dV =
V
V



N
= L = ∑ VBk q Ak
k =1
• Consecuencias:
– Los coeficientes de capacidad son simétricos:
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
C ij = C ji
Elmg 3g-8
Eym 3E-4
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Teorema de Reciprocidad.
Aplicación.
Situación A
q A1
S1
———
Situación B
q Ai
V Ai
Si
q An
Sn
q B1
———
N
∑V
k =1
VAi q Bi = VBj q Aj
⇒
q Bj
VBj
———
Excepto el conductor “i”, todos los
conductores están a 0V.
• Aplicando el teorema:
S1
Sj
q Bn
Sn
———
Excepto el conductor “j”, todos los
conductores están a 0V.
N
Ak
qBk = ∑VBk q Ak
k =1
CijVBj C jiVAi
qBi q Aj
=
⇒
=
⇒
VBj VAi
VBj
VAi
Cij = C ji
Los coeficientes de capacidad son simétricos.
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3g-9
Coeficientes de capacidad: Propiedades
• Los coeficientes de autocapacidad
son positivos
• Los coeficientes de capacidad mutua
son negativos:
S1
q A1 < 0
———
Si
q Ai > 0
q <0
V Ai > 0 ——— An
Sn
• Situación:
– Todos los conductores a 0V, excepto el i, que está a potencial positivo.
– El máximo valor del potencial es el del conductor i.
– El campo irá desde el conductor i al resto y al infinito.
Resumen
– El campo es saliente del conductor i:
» Su carga es positiva y
Qi
el coeficiente de capacidad también: C ii = V ≥ 0
i
– El campo es entrante en el resto de conductores:
» Su carga es negativa y también
los coeficientes de capacidad :
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
C ji =
Qj
Vi
Cii ≥ 0
Cij ≤ 0
Cij = C ji
≤0 i≠ j
Elmg 3g-10
Eym 3E-5
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Sistemas de un único conductor
Φ =V
ε
• Es evidente que: Q1 = C11V1
• Ejemplo 1: Conductor hueco.
V
σ
– El potencial en el hueco será constante e igual al del conductor.
– Campo nulo en el hueco: (densidad de) carga nula en la superficie del
conductor.
• Ejemplo 2: Esfera conductora.
– Simetría esférica: ∂Φ = ∂Φ = 0 ⇒ 0 = ∆Φ = 1 ∂ r 2 ∂Φ ⇒ Φ = A + B
∂θ ∂ϕ
∂r
r
r 2 ∂r
Regularidad en el infinito:
Φ r =∞ = 0 ⇒ B = 0 ⇒ Φ =
A r
A
; E = −∇Φ = 2 rˆ
r
r
A
=
a
– Potencial:
V = Φ r =a
r r
– Carga: Q = εE ⋅ dS = ε A rˆ ⋅ rˆdS = ε A 4πa 2 = 4πεA
∫∫S
∫∫S a 2
a2
Q
– Capacidad: C = = 4πεa
V
J.L. Fernández Jambrina
ε
σ
a
O
Elmg 3g-11
Influencia Total
• Se dice que dos conductores están en influencia total cuando todas
las líneas de campo de uno de ellos van a dar al otro:
– Normalmente implica que un conductor envuelve al otro.
– Bajo estas condiciones el potencial en la región entre conductores no se
ve influenciado por los que ocurra en el exterior:
» Es un sistema independiente.
– Los coeficientes de capacidad entre el conductor interior y otros
conductores son nulos:
q1 =
C11V1
q2 =
C21V1 + C22V2
+ C12V2
+ 0 V3
+ C22V3
+ L + 0 VN
+ L + C2 NVN
q3 =
M
0 V1
M
+ C32V2
M
+ C33V3
M
+ L + C3 NVN
M
M
q N = 0 V1
+ C N 2V2
+ C N 3V3
+ L + C N 3V
2
V2
V1 1 q
1
q2
El conductor 2 apantalla al conductor 1 de lo que ocurre en el exterior
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
Elmg 3g-12
Eym 3E-6
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Condensadores
• Dos conductores en influencia total forman un condensador.
– Aplicando Gauss a una superficie contenida en el interior del conductor 2
y que encierre al conductor 1 resulta evidente que:
r r
q1 = C11V1 + C12V2
0 = ∫∫ D ⋅ dS = q1 + q 2 ⇒ q 2 = −q1
S
q 2 = C12V1 + C 22V2 = −q1
 q = C11V1 
– Si V2 = 0 ⇒  1
 ⇒ C12 = −C11
− q1 = C12V1 
V2
 q = C12V2 
– Si V1 = 0 ⇒  1
 ⇒ C12 = −C 22
− q1 = C 22V2 
q2
V1 q
1
– Definiendo la capacidad como:
C = C11 = C 22 = −C12 = −C 21
q1 = C (V1 − V2 )
q1
q2
=
⇒C =
q 2 = C (V2 − V1 )
V1 − V2 V2 − V1
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3g-13
Condensador Esférico
• Está formado por dos conductores esféricos concéntricos.
r
• Por la simetría de la estructura:
Φ (r ) = f (r )
∆Φ =
r
∂Φ
1 ∂ 2 ∂Φ
A
A
r
= 0 ⇒ Φ = + B;E = −∇Φ = −
rˆ = 2 rˆ
2
r
∂r
∂r
r ∂r
r
• Diferencia de potenciales:
• Carga del conductor interior:
b−a
A
 A

Va − Vb =  + B  −  + B  = A
ab
a
 b

r
π
q a = ∫∫ σ a dS = ∫∫ εE ⋅ rˆdS = εA∫
Sa
Sa
∫
2π
θ =0 φ =0
sen θdϕ dθ = 4πεA
• La capacidad:
C=
qa
ab
= 4πε
Va − Vb
b−a
a
b
σ
ε
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
σ
Elmg 3g-14
Eym 3E-7
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Condensador Cilíndrico
• Está formado por dos conductores cilíndricos coaxiales.
r
• Suponiendo que:
Φ (r ) = f ( ρ )
1 ∂
∆Φ =
ρ ∂ρ
ρ
r
∂Φ
∂Φ
A
= 0 ⇒ Φ = A ln ρ + B;E = −∇Φ = −
ρˆ = − ρˆ
∂ρ
∂ρ
ρ
• Diferencia de potenciales:
• Carga del conductor interior:
Va − Vb = ( A ln a + B ) − ( A ln b + B ) = − A ln
b
a
r
z0 + L 2π
−A
qa = ∫∫ σ a dS = ∫∫ εE ⋅ ρˆ dS = ∫
ε
adϕdz = −2πεAL
Sa
Sa
z = z 0 ∫ϕ = 0
a
L
• La capacidad:
C=
a
qa
L
= 2πε
Va − Vb
ln b a
b
σ
ε
σ
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 3g-15
Condensador Plano
• Está formado por dos placas planas enfrentadas.
r
• Suponiendo que:
Φ (r ) = f ( x )
r
∂ 2Φ
∂Φ
= 0 ⇒ Φ = Ax + B;E = −∇Φ = −
xˆ = − Axˆ
2
∂x
∂ x
• Diferencia de potenciales:
Va − Vb = ( A ⋅ 0 + B ) − ( Ad + B ) = − Ad
∆Φ =
• Carga del conductor izquierdo:
r
q a = ∫∫ σ a dS = ∫∫ εE ⋅ xˆdS = −εA∫∫ dS = −εAS
• La capacidad:
Sa
Sa
Va
Vb
Sa
S
S
qa
S
C=
=ε
Va − Vb
d
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
x=0
x=d
X
Elmg 3g-16
Eym 3E-8
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Efecto de borde
• En los ejemplos anteriores se ha supuesto que el campo era
ortogonal a las superficies conductoras.
• Esto no es cierto en la realidad: En las proximidades de los bordes
de los conductores las líneas de campo tienden a dispersarse según
lo que se conoce como efecto de borde.
– Este efecto está siempre presente, pero su influencia sobre la capacidad
real del condensador es más notorio cuando mayor sea la separación de
las armaduras en relación a sus dimensiones.
– Los posibles dieléctricos tienden a minimizar este efecto.
ε0
J.L. Fernández Jambrina
ε
Elmg 3g-17
Condensador plano … Efecto del dieléctrico
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
Elmg 3g-18
Eym 3E-9
Electricidad y Magnetismo
Curso 2010/2011
Condensador plano … varios dieléctricos
J.L. Fernández Jambrina
Sistemas de Conductores - Condensadores
Elmg 3g-19
Eym 3E-10