2c: Energ a y teorema de Poynting

Electromagnetismo
2012/2013
Ecuaciones generales
Modelo de Maxwell
• Introducción
• Fuentes de campo:
– Carga eléctrica. Corriente eléctrica.
– Ecuación de continuidad.
• Definición del campo electromagnético.
• Ecuaciones de Maxwell.
– Forma Integral. Forma diferencial.
• Ecuaciones de estado.
– Influencia sobre los materiales.
– Clasificación de medios.
– Ley de Ohm. Constante de relajación.
• Condiciones en las interfases.
• Linealidad de las ecuaciones de Maxwell.
• Balance energético: Teorema de Poynting
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 2c-1
Linealidad de las ecuaciones de Maxwell
Principio de Superposición
• En el caso de medios lineales, ε, µ y σ independientes del valor de
los campos, las ecuaciones de Maxwell son lineales:
– Todas las operaciones implicadas son lineales: sumas, productos y
derivadas.
– Esto quiere decir que si:
r
r r
» ρ1 , J1 dan lugar a unos campos E1 , B1
r
r r
» ρ2 , J 2 dan lugar a unos
r campos
r
r E2 , B2
– Entonces, ρ = αρ1 + βρ 2 , J = αJ1 + βJ 2 dan lugar a
r
r
r r
r
r
E = αE1 + βE2 , B = αB1 + β B2
• Este hecho recibe el nombre de principio de superposición.
– Permite descomponer una situación en varias más simples.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 2c-2
1
Electromagnetismo
2012/2013
Energía: Introducción.
r r
• En una región existe un campo electromagnético: E , B
r
• Si en ella se mueve una carga q con una velocidad v , sobre ella
aparecerá una fuerza de origen electromagnético:
(
r
r r r
FEM = q E + v × B
)
r
B
• Puesto que la carga se mueve, esta fuerza
desarrolla un trabajo:
– Considerando un desplazamiento infinitesimal:
r
r
r r r r
r
r
r r
FEM ⋅ dl = q E + v × B ⋅ dl 
r
 ⇒ FEM ⋅ dl = qE ⋅ dl
r
r r r
v || dl ⇒ v × B⊥dl

– La potencia asociada:
r
r
r dl
r r
d r
d r r
= qE ⋅ v
FEM ⋅ dl =
qE ⋅ dl = qE ⋅
dt
dt
dt
(
(
)
)
(
)
q
r
qE
r
E
r
v
r
dl
r r
qv × B
• Este trabajo se hace a costa de la energía almacenada
en forma electromagnética por el sistema:
r r
dWEM
= − qE ⋅ v
dt
J.L. Fernández Jambrina
Energía: Introducción.
Elmg 2c-3
(2)
r r
dWEM
= − qE ⋅ v
dt
• Si se tratase de una distribución volumétrica de carga (y de
corriente), la cantidad de energía electromagnética que en un dV se
transforma en otro tipo de energía es:
r r
r r
r r
dWEM
dV = − E ⋅ v dq = − E ⋅ v ρdV = − E ⋅ JdV
dtdV
• Y en un volumen V:
r r
dWEM
= − ∫∫∫ E ⋅ JdV
V
dt
• Conclusiones:
r r
– La expresión − J ⋅ E es el incremento de energía en forma
electromagnética del sistema por unidad de tiempo y volumen debido a
conversión
r rde tipo de energía.
» Si J ⋅ E > 0 , entonces el sistema pierde energía en forma
electromagnética: se transformará en otro tipo de energía, por
ejemplo energía mecánica o térmica.
r r
» Si J ⋅ E < 0 , entonces el sistema gana energía en forma
electromagnética: algún tipo de energía se transformará en energía
electromagnética. Es el caso de los generadores.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 2c-4
2
Electromagnetismo
2012/2013
Energía: Introducción
Efecto Joule
r
(3)
r
• En un conductor: J = σE
• La variación de energía por unidad de tiempo y volumen:
r r
r2
dWEM
= − E ⋅ J = −σ E
dtdV
• Puesto que esta energía se transforma en calor, la potencia disipada
por unidad de volumen será:
dWEM → C r r
= E⋅J
dtdV
I A→ B
• Adelantando un poco,
SA
σ = σ0
SB
– si se tratase de una corriente estacionaria:
r
r
r
r
r r
∇ ⋅ Φ J = ∇Φ ⋅ J + Φ ∇ ⋅ J 
Φ = VB
r
r
 ⇒ ∇ ⋅ Φ J = − E ⋅ J Φ = VA
E = −∇Φ ∇ ⋅ J = 0 
– Y si el conductor tuviese dos electrodos a potenciales constantes
y sólo circula corriente a través de ellos:
r r
r
dWEM → C
= ∫∫∫ E ⋅ JdV = − ∫∫ ΦJ ⋅ dS = (VA − VB )I
V
S
dt
( )
( )
» Resultado conocido.
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 2c-5
Energía: Teorema de Poynting
• Manipulando ecuaciones:
(
)
(
)
(
r r
r
r r
r
∇ ⋅ E × H = Hr ⋅ ∇ × E − E ⋅ ∇ ×r H
r
r r ∂D
∂B
∇× E = −
∇× H = J +
∂t
∂t
)
r
r
r r
r ∂B r r r ∂D
⇒
∇
⋅
E
×
H
=
−
H
⋅
−
E
⋅
J
−
E
⋅

∂t
∂t

(
)
• Si el medio es lineal:
r
r
r
r ∂B
r ∂D
 r ∂H 
∂ r r
∂ r r
 = 2H ⋅
H ⋅ B = µ 2 H ⋅
;
E ⋅ D = 2E ⋅
∂t
∂t 
∂t
∂t
∂t

• Entonces:
(
)
r r 1 ∂ r r 1 ∂ r r r r
0 =∇⋅ E×H +
H ⋅B+
E⋅D+ E⋅J
2 ∂t
2 ∂t
• Integrando a un volumen V constante en el tiempo:
(
)
r ∂
r r
r r
∂
1 r r
1 r r
0 = ∫∫ E × H ⋅ dS + ∫∫∫ H ⋅ BdV + ∫∫∫ E ⋅ DdV + ∫∫∫ J ⋅ EdV
S
V
∂t V 2
∂t V 2
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 2c-6
3
Electromagnetismo
2012/2013
Energía: T. de Poynting. Interpretación
r ∂
r r
r r
∂
1 r r
1r r
0 = ∫∫ (E × H ) ⋅ dS + ∫∫∫ H ⋅ BdV + ∫∫∫ E ⋅ DdV + ∫∫∫ J ⋅ EdV
∂t
2
∂t
2
S
V
V
• Puesto que la potencia disipada es
V
r r
dWEM → C
= ∫∫∫ J ⋅ EdV
V
dt
todos los términos de la expresión pueden ser interpretados como
potencias (variación de energía en la unidad de tiempo) y teniendo
en cuenta el principio de conservación de la energía:
∂
1 r r • Sólo depende del campo magnético:
H ⋅ BdV
∫∫∫
V
2
∂t
⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la
energía asociada al campo magnético.
r
r
• Sólo depende del campo eléctrico:
∂
1
E ⋅ DdV
⇒ Es el incremento por unidad de tiempo de la
∂t ∫∫∫V 2
energía asociada al campo eléctrico.
∫∫ (E × H )⋅ dS
r
S
r
r• Es un flujo a través de la superficie que limita el
volumen:
⇒ Es la cantidad de energía que sale del volumen por
unidad de tiempo en forma electromagnética.
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 2c-7
Energía: Teorema de Poynting. Resumen
r ∂
r r
r r
∂
1 r r
1 r r
0 = ∫∫ (E × H ) ⋅ dS + ∫∫∫ H ⋅ BdV + ∫∫∫ E ⋅ DdV + ∫∫∫ J ⋅ EdV
2
2
∂t
∂t
S
V
V
V
• Esta expresión recibe el nombre de Teorema de Poynting:
∂WEM
−
∂t
−
∂WEM
∂t
= −
=
∂
1 r r
E ⋅ DdV
∫∫∫
V
∂t
2
Disminucion 


 de energia 
 electrica 


dWE 1 r r
= E⋅D
dV
2
dWB 1 r r
= H ⋅B
dV
2
r r
J ⋅E
r r r r
P = S = E×H
+
∂
1 r r
H ⋅ BdV
∫∫∫
V
∂t
2
Disminucion 


 de energia 
 magnetica 


=
∫∫ (E × H )⋅ dS
r
S
r
r
+
r r
∫∫∫ J ⋅ EdV
V
 Potencia EM 
 Potencia EM 




= saliente a traves +  transformada en 
 de la superficie 
otro tipo de energia 




es la densidad volumétrica de energía asociada al campo eléctrico.
es la densidad volumétrica de energía asociada al campo magnético.
es la densidad volumétrica de potencia transformada en otro tipo.
Es el vector de Poynting.
Su componente en una dirección representa la densidad de flujo
de energía electromagnética por unidad de área en esa dirección.
Su dirección y sentido coinciden con los del transporte de energía
electromagnética.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
−
Elmg 2c-8
4
Electromagnetismo
2012/2013
Transporte de energía en un cable coaxial.
• Se ha escogido el cable coaxial para
ilustrar el transporte de energía
electromagnética porque es un ejemplo
realista en el que se pueden calcular los
campos de forma simple.
I0
b
a
I0
– Si por el cable circula una corriente I0
V0
y en una sección del mismo la diferencia Z
c
de potencial es V0 , entonces es conocido
que la potencia transmitida será V0 I0.
– Se va a llegar a este resultado aplicando el teorema de Poynting.
» Si los conductores son perfectos:
I0 ρ

; 0≤ ρ ≤a
ϕˆ

2πa 2


0
; 0≤ ρ <a
I0
r r  V 1
r r 
; a≤ ρ ≤b
ϕˆ
ˆ
2
πρ
E (r ) =  0
;
a
<
<
b
H
(
r
)
=
ρ
ρ

b
ρ
2
2
 ln a
 I0 c − ρ
ϕˆ ; b ≤ ρ ≤ c


2
2
0
; b<ρ <c

 2πρ c − b

0
;
c≤ρ
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 2c-9
Transporte de energía en un cable coaxial.(2)
• La potencia transmitida será igual al flujo del vector de Poynting a
través de la sección del cable.
– El vector de Poynting sólo es no nulo entre los conductores.

0
; 0<ρ<a
r r
r r  V0 I 0 zˆ
P(r ) = E × H = 
; a<ρ<b
b 2
 2π ln a ρ

0
;
b<ρ
– La potencia transmitida:
r r
ρ=b 2π 1
∂Wt
V0 I 0
= ∫∫ P ⋅ dS =
ρdϕdρ = V0 I 0
∫
ρ
∂t
2π ln b a = a ∫ϕ = 0 ρ 2
S
– La potencia se transmite a través de la región entre conductores.
» Por los conductores no se transmite energía por que en ellos el
campo eléctrico es nulo.
» Los conductores guían los campos y, por tanto, la energía.
• Guiar ~ imponer las condiciones de contorno que guían.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 2c-10
5
Electromagnetismo
2012/2013
Transporte de energía en un cable coaxial.(3)
• Si los conductores son reales, conductividad finita, habrá campo
eléctrico en su interior:
– De forma aproximada:
I0

 0
; 0≤ ρ <a


πσ a a 2
r  V 1
r 
; a < ρ < b ; E z (r ) = 
0
E ρ (r ) =  0
b
 ln a ρ

I0
 0
− πσ c 2 − b 2
;
b
<
<
c
ρ

b

(
;
0 ≤ ρ ≤ a +δ
; a +δ < ρ < b −δ
)
;
b −δ ≤ ρ ≤ c
 δ es una distancia mucho menor que los radios a y b.
– La componente según z del vector de Poynting es como la de
conductores perfectos, salvo que la diferencia de potencial entre
conductores varía como consecuencia de su resistencia :
V0 ( z ) = V0 (0 ) −
I0  1
1

+
π  σ a a 2 σb c 2 − b 2
(
)
2

dWT ( z )
I  1
1
 z ⇒
= V0 (0 )I 0 − 0 
+
dt
π  σ a a 2 σb c 2 − b 2

(
J.L. Fernández Jambrina


)  z
Elmg 2c-11
Transporte de energía en un cable coaxial.(4)
• También hay una componente radial del vector de Poynting.
– Esta componente es entrante en los conductores y se corresponde con
la potencia disipada en ellos:
2

I
− 20 4 ρ
;
0<ρ<a+δ

2π σ a a

r r
r
0
; a+δ<ρ<b−δ

Pρ (r ) = E × H ρ = 
2
2
2
−
ρ
I
c
0

;
b<ρ≤c
 2 π 2 σb c 2 − b 2 2 ρ

0
;
c≤ρ

(
)
(
)
– Para el conductor interior:
2
r r
z
2π r
∂Wt
I
= ∫∫ P ⋅ dS = ∫ ∫ P ⋅ (− adϕdzρˆ ) = z 0 2
0
0
z
=
ϕ
=
∂t ρnˆ == a−ρˆ S
πσa a
– Para el exterior:
2
r r
z
2π r
∂Wt
I0
= ∫∫ P ⋅ dS = ∫ ∫ P ⋅ (bdϕdzρˆ ) = z
2
z = 0 ϕ=0
∂t ρnˆ ==bρˆ S
πσb c − b 2
(
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
)
Elmg 2c-12
6
Electromagnetismo
2012/2013
Transporte de energía en un cable coaxial.(5)
• Resumen:
– La energía se transmite fundamentalmente por el exterior de los
conductores.
» Donde existen componentes ortogonales de los campos eléctrico y
magnético.
– Por el interior de los conductores prácticamente no se transmite energía
ya que el campo eléctrico es muy débil.
– La energía que entra en un conductor se disipa es forma de calor
» Salvo que el conductor sea muy fino y pueda atravesarlo.
– Los conductores simplemente guían los campos.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 2c-13
7