Electricidad y Magnetismo

Electricidad y Magnetismo
Problemas del Tema 5
Página 1/4
1. Calcule el campo magnético producido por una corriente superficial J S = J S y (A / m) que
circula en un plano infinito. Calcular también el campo magnético en la región entre dos placas
planas paralelas virtualmente infinitas que llevan una densidad de corriente JS en sentidos opuestos.
 JS
 2 x ; 0 < z
Solución: a) H = 
b) H = J S x
J
− S x ; z < 0
 2
2. Un alambre recto indefinido de radio r1 está rodeado coaxialmente por un cilindro hueco de
material permeable, de radios r2 y r3 (r2 < r3) y permeabilidad relativa µr. Suponiendo una corriente
de I amperios fluyendo por el alambre:
a)
b)
c)
d)
( )
Obtener B ρ en todo el espacio.
Calcular el flujo total en el material
magnético por unidad de longitud
Calcular la magnetización M en el material permeable
Encontrar H ρ en ρ = r3 justo dentro del material magnético.
( )
Solución: b) Φ B =
µr µ0 I
I
ln ρ2 ρ1 c) M =
( µ − 1)ϕ ; ρ2 < ρ < ρ3
2π
2πρ r
3. Dos espiras circulares iguales y de radio a están
situadas como se indica en la figura, siendo sus
corrientes iguales y sentidos opuestos.
Calcule y represente gráficamente el campo magnético
producido por ellas en los puntos del eje común.
Solución :
µI 0 
a2
Beje ( z ) = zˆ
2  a 2 + ( z + d )2
[
]
32
−
[a
a2
2
+ (z − d )
2


32 

]
Z
I
I0
z=d
Y
I
X
z = −d
I0
4. La figura muestra dos distribuciones superficiales de corriente cuyas
ecuaciones son:
1
J S 1 (r ) = ϕ J S 1
sen θ
r
J S 2 (r ) = ϕJ S 2
a
π
2
π
; 0≤r ≤a θ=
2
; r =a 0≤θ ≤
Z
J S1
0 ≤ ϕ ≤ 2π
0 ≤ ϕ ≤ 2π
Y
¿Qué relación debe existir entre J S 1 y J S 2 para que el campo B en el
origen de coordenadas sea nulo?
Solución: J S 1 + J S 2 = 0
J S2
X
Electricidad y Magnetismo
Problemas del Tema 5
Página 2/4
5. Un cable coaxial tiene el conductor interior de radio a siendo los radios interior y exterior del
conductor exterior b y c respectivamente. Si el cable está recorrido por una corriente de I0 Amperios.
que se reparte en los conductores de forma uniforme, calcular y representar gráficamente el campo
magnético en un punto cualquiera del espacio.
 I ρ
 2π a 2 ϕˆ ; 0 ≤ ρ ≤ a
Solución: H = 
 I ϕˆ ; a ≤ ρ ≤ b
 2πρ
I c 2 − ρ2
ϕˆ ;
2πρ c 2 − b 2
b≤ρ≤c
; c≤ρ≤∞
0
6. Las dos figuras muestran dos posibles líneas de transmisión que tienen un mismo ancho.
Calcule y compare el campo magnético creado por ambas en puntos alejados situados en el mismo
plano que las contiene
Y
Y
I0
I0 2
I0
I0 2
I0
X
D
X
D
D
D
µ I0 D
µ I 0 D2
(
)
≈
y Trifilar: Btri ( xx )||x|«D ≈ −
y
Solución : Bifilar : Bbif xx
|x|<< D
π x2
2π x 3
|
7. En el origen de un sistema de coordenadas cartesianas se tiene una distribución de corriente de
y sobre la recta (y=d, z=0) está situado un hilo indefinido
momento magnético m = m0 (y + z)
recorrido por una corriente estacionaria de valor I amperios.
a) Calcular el valor y el sentido de la corriente I para que en el punto P(0,d/2,d/2) el campo
magnético sea nulo.
b) ¿Existe algún otro punto de la recta (z=y, x=0) donde pueda anularse el campo magnético?
Solución: a) I =
- 2 2 m0
d2
8. Sean dos espiras cuadradas de lado L metros,
situadas la primera con el centro en el origen y
contenida en el plano x=0, y la segunda con centro
en el punto P(r,θ,ϕ) y contenida en un plano z=cte.,
tal como se muestra en la figura. Calcular el
coeficiente de inducción mutua entre ambas
espiras para r>>L.
sen θ cos ϕx+
sen θ sen ϕy+
cosθz )
( r=
Solución: L21 =
3 L4 µ sen(2θ ) cos ϕ
8π
r3
θ
Z
r
Y
X
ϕ
Electricidad y Magnetismo
Problemas del Tema 5
9. Dos espiras cuadradas, de lados L1 y, L2
centradas en el origen de coordenadas y situadas en
los planos z = 0 y x = 0 respectivamente, soportan
unas corrientes I 1 e I 2 con los sentidos de circulación
indicados en la figura.
a) Utilizando la ley de Neumann y razonando sobre
ella, calcule el coeficiente de inducción mutua.
b) Si la espira pequeña pudiera girar alrededor del
eje OY razone cuál sería la posición de mínimo
de energía.
Solución:
Z
L1
I2
L1
L2
Y
L2
I1
X
a) L1,2 = 0 . b) Coplanarias con corrientes en el mismo sentido.
10. Considere la espira cuadrada de lado 2a, contenida en el
plano z = 0 y representada en la figura.
a) Calcule el campo magnético que genera en todos los
puntos del eje Z.
b) Si se sustituye por una espira circular de radio a por la que
circula la misma corriente: ¿Cuál de las dos genera un
campo más intenso en el origen de coordenadas?, ¿Cuál
de las dos genera una campo más intenso en puntos
alejados?.
Solución:
Página 3/4
Espira Cuadrada: B( zz ) =
Espira Circular: B ( zz ) =
°
I0
2 µI 0
a2
z
π ( z 2 + a 2 ) z 2 + 2a 2
µI 0
a2
z
2 [a 2 + z 2 ] 3 2
11. La figura muestra una línea bifilar por la que circula
una corriente de valor I = I 0 sen (ωt ) en sentido contrario
en cada hilo.
Razone si los conductores se atraerán o se repelerán
bajo condiciones de variación lenta.
I
I
12. ¿Por qué se escoge ∇ ⋅ A = 0 en magnetostática?
Solución: Porque existe un grado libertad al definir A a través de B = ∇ × A y con esa elección se
simplifican las ecuaciones.
13. Dos cables coaxiales son idénticos con la excepción de que mientras que en uno de ellos el
conductor central es macizo, en el otro está hueco.
Razone cuál de ellos tendrá mayor coeficiente de autoinducción por unidad de longitud para
corrientes estacionarias.
Solución:
La única diferencia es que no hay campo en interior del conductor hueco y si lo hay
en el interior del macizo: L l será mayor en el caso del conductor macizo.
Electricidad y Magnetismo
Problemas del Tema 5
14. La figura representa dos espiras cuadradas de lado a
montadas de forma que una de ellas puede girar alrededor de uno
de sus ejes de simetría que a su vez coincide con un eje de
simetría de la otra. Razone cuales serán los valores mínimo y
máximo del módulo del coeficiente de inducción mutua: L1, 2
Página 4/4
Z
Y
Solución: Será máximo (infinito) cuando ambas espiras coincidan y
será minimo (nulo) cuando estén perpendiculares.
X
15. Sea una espira recorrida por una
z
z
corriente I1 y formada por tres cuadrantes de
circunferencia de radio a situados en los
b
planos xy, xz e yz respectivamente, según se
muestra en la figura.
a) Calcule el momento magnético de la
D
espira y el campo creado en (0,0,D)
siendo D>>a.
b) Centrada en (0,0,D) y situada sobre el
a
y
y
a
plano z=D se sitúa una espira circular
pequeña de radio b, siendo b<<D. x
I1
x I1
Calcular el coeficiente de inducción
mutua entre ambas espiras.
a) Supuesto que la corriente I1 es I1 = I 0 sen ωt , calcular la f.e.m. inducida en la espira circular.
Solución: a) m = I1
2 2
2 2
πa 2
(xˆ + yˆ + zˆ ) b) L = µπa 3b c) f .e.m. = −ωI 0 cos(ωt ) µπa 3b
4
8D
8D
16. La figura muestra una línea bifilar indefinida por la
circula una corriente estacionaria I 0 y formada por dos
hilos conductores de radio despreciable, contenidos en el
plano x = 0 , dispuestos de forma paralela y simétrica
respecto del eje OZ. Se pide:
a) El campo magnético, B , en todos los puntos del
espacio.
Y
2b
2a
X
O
a) El coeficiente de inducción mutua con una espira
cuadrada, como la mostrada en la figura, de lado
2b contenida en un plano y = y 0 , centrada en el eje
OX y con su lados paralelos a los ejes OY y OZ.
b) Si la coordenada y0 = vt , calcule la f.e.m.i. sobre la
espira.
I0
Z
 (b + a )2 + y 0 2 
 ( x + a ) yˆ − yxˆ ( x − a ) yˆ − yxˆ 
b
µ




 ( x + a )2 + y 2 − ( x − a )2 + y 2  b) L = π ln (b − a )2 + y 2 
0 



µI v
8 y 0 ab 2
c) f .e.m.i. = 0
π (b + a )2 + y 0 2 (b − a )2 + y 0 2
µI
Soluciones: a) B (r ) = 0
2π
(
)(
)
Versión: 23 21/12/2001 10:14