Magnetost tica

Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campo Magnético Estacionario
Campos Estacionarios
Los campos electromagnéticos estacionarios aparecen cuando no hay
variaciones temporales, d/dt=0, pero se permite la existencia de corrientes.
Las corrientes consideradas en estas condiciones reciben el nombre de
corrientes estacionarias y deben cumplir la condición de no modificar las
distribuciones de carga existentes.
Se puede expresar matemáticamente esta condición partiendo de la
ecuación de continuidad:
v ∂ρ
∇⋅ J + = 0
∂t
∂
=0
∂t
v
∇⋅ J = 0
Las corrientes estacionarias tienen divergencia nula.
Ya se vio en el capítulo anterior que no pueden tener su origen en
campos electrostáticos o culombianos.
16/01/2008
EyM 5-1
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campos Estacionarios
Con las condiciones mencionadas las ecuaciones de Maxwell quedan :
r r
r r
∂B(r , t )
r r
∇ × E (r , t ) = −
∇ × E (r ) = 0
∂t
r r v
r r
r r
rr
∇ × H (r ) = J
∂D(r , t )
∇ × H (r , t ) = J (r , t ) +
r
∂t
∇⋅ D = ρ
r
r
∇⋅ D = ρ
∇⋅ B = 0
∂
r
r
r
=0
∇⋅ B = 0
D = εE
∂t
r
r
r
r
D = εE
B = µH
r
r
B = µH
Se puede apreciar la existencia de dos sistemas de ecuaciones independientes:
El del campo
Eléctrico
estacionario:
r r
∇ × E (r ) = 0
r
∇⋅ D = ρ
r
r
D = εE
Y el del campo
Magnético estacionario
(magnetostático):
r r v
∇ × H (r ) = J
r
∇⋅ B = 0
r
r
B = µH
Campo Magnetostático
• Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático,
puesto que el campo eléctrico estacionario se puede
estudiar independientemente, como ya se ha hecho.
• Conviene recordar que en la naturaleza no existen
situaciones estacionarias, al igual que no existían
situaciones estáticas. Lo que si existen son situaciones en
que la velocidad de los fenómenos es lo suficientemente
lenta como para que la aproximación de despreciar las
variaciones con respecto al tiempo sea suficiente para
conducir a buenos resultados.
r r
v
∇ × H (r ) = J – La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo.
r
∇⋅B = 0
r
r
B = µH
16/01/2008
– La ecuación de la divergencia postula que las líneas de
campo magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que
no existen fuentes escalares (cargas magnéticas aisladas).
– La ecuación de estado introduce el efecto de los medios.
EyM 5-2
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
El Potencial Vector Magnetoestático
• El que la divergencia de un rotacional sea siempre nula y que la
divergencia del campo magnético sea siempre nula permite
suponer que el campo magnético pueda proceder de un potencial
vector:
r
⎫⎪
∇⋅B = 0
r
⎬⇒
∇ ⋅ ∇ × A = 0⎪⎭
(
)
r
r
B = ∇× A
• Esta definición del potencial vector deja un gran margen de libertad que
será utilizado posteriormente definiendo su divergencia.
• Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal,
homogéneo e isótropo:
r
r
(
r
r
r
)
r
µJ = ∇ × µH = ∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A
• Utilizando el grado de libertad de que se dispone se puede escoger:
• con ello se obtiene:
r
∇⋅ A = 0
r
r
∆A = − µJ
El Potencial Vector Magnetoestático
• Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación del
potencial vector se puede descomponer en ecuaciones similares
a la ecuación de Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de
un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:
r
r
∆A = − µJ
∆φ = −
ρ
1
v
⇒ φ (r ) =
ε
4πε
∫∫∫
V
r
r r
r − r′
ρ (r ′)dV ′
r
⎧
J x (r ′)dV ′ ⎫
µ
A
µ
J
A
∆
=
−
⇒
=
r r
x
x
⎪ x
4π ∫∫∫
r − r ′ ⎪⎪
V
⎪
r
r
r ⎪⎪
J y (r ′)dV ′ ⎪⎪
µ
∆A = − µJ ⇒ ⎨∆Ay = − µJ y ⇒ Ay =
r r ⎬
4π ∫∫∫
r − r′ ⎪
V
⎪
r
⎪
µ
J z (r ′)dV ′ ⎪
⎪∆Az = − µJ z ⇒ Az =
r r ⎪
4π ∫∫∫
r − r ′ ⎪⎭
⎪⎩
V
16/01/2008
r µ
A=
4π
r r
J (r ′)dV ′
r r
∫∫∫
r − r′
V
EyM 5-3
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
El Potencial Vector Magnetoestático
– Análogamente se pueden obtener expresiones para corrientes
superficiales y lineales:r
r
r µ
A=
4π
–
r
J S (r ′)dS ′
∫∫S rr − rr′
r µI
A=
4π
dl ′
∫ rr − rr′
C
En la expresión para corrientes lineales el contenido vectorial de la corriente se ha
transferido al diferencial de longitud, la integral se realiza en un contorno cerrado y la
corriente es constante.
– La interpretación de su significado físico es
difícil.
dA
– Un elemento infinitesimal de corriente da lugar
a una contribución diferencial
a
r
v paralela
dirección de la corriente. dA dl
– En algunos casos es muy útil para calcular el
flujo del campo magnético y representar las
líneas de campo:
dA
dI
dA
dA
r r
r r
r r
Φ B = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl
S
S
C
Potencial Vector: Ejemplo
• Sea una línea de corriente Io que circula a lo largo del eje z
en sentido positivo.
• Como la corriente sólo tiene componente z:
r
A = Az zˆ
• Este problema es análogo al de una densidad de carga lineal
sobre el eje z. La solución a este problema electroestático es:
r
φ (r ) =
r r
⎛ µIo 1
⎞
ln + K ⎟⎟ zˆ
ρ
⎝ 2π
⎠
• Por analogía: A(r ) = Az zˆ = ⎜
⎜
λ
1
ln + K
2πε ρ
• En este caso, al igual que en el problema electrostático, no
se puede definir de forma unívoca el potencial vector.
• Esta indefinición no impide calcular el campo magnético:
r r ⎛ 1 ∂
r r
∂ ⎞
µIo
⎟⎟ Az =
− ϕˆ
ϕˆ
B(r ) = ∇ × A(r ) = ⎜⎜ ρˆ
ρ
∂ϕ
∂ρ
πρ
2
⎝
⎠
Se obtendrá de forma más simple utilizando la ley de Ampere
16/01/2008
EyM 5-4
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campo M-E a partir de A
– Para obtener el campo a partir del potencial vector basta con aplicar la
definición:
r r
r r
r r
J (r ′)dV ′ µ
µ
B(r ) = ∇ × A(r ) =
∇ × ∫∫∫ r r =
r − r′
4π
4π
V′
⎛
r r ⎞
∫∫∫ ∇ × ⎜⎜ rr − rr′ J (r ′)⎟⎟dV ′
1
⎝
V′
⎠
– Donde se ha invertido el orden de la integral y el rotacional.
r
r
r
r r ∇ × UV = U∇ × V + ∇U × V
∇ × J (r ′) = 0
y que
r
puesto que el rotacional se aplica sobre r ′
r µ
⎛ 1 ⎞ r r
µ
B=
∇⎜⎜ r r ⎟⎟ × J (r ′)dV ′ = −
∫∫∫
4π V ′ ⎝ r − r ′ ⎠
4π
r r
1
r − r′
– donde se ha aplicado: ∇ r r = − r r 3
r − r′
r − r′
– Aplicando que
∫∫∫
V′
r r
r − r′ r r
r r 3 × J (r ′)dV ′
r − r′
– Invirtiendo el orden del producto vectorial se obtiene la expresión
r r
r r
definitiva:
r
B=
µ
4π
∫∫∫
V′
J (r ′)× (r − r ′)
dV ′
r r 3
r − r′
Ley de Biot-Savart
• Adaptando para corrientes superficiales:
r µ
B=
4π
r r
r r
J S (r ′)× (r − r ′)
∫∫S rr − rr′ 3 dS ′
• Y para corrientes filiformes:
r µI
B=
4π
r r r
dl ′ × (r − r ′)
∫ rr − rr′ 3
C
• Expresión que recibe el nombre de ley de Biot-Savart.
– Observe que nuevamente se ha transferido el contenido vectorial de la
corriente al diferencial de longitud, que la corriente es constante y
cerrada y la forma poco formal de colocar el diferencial de longitud
dentro de la expresión subintegral.
16/01/2008
EyM 5-5
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campo M-E creado por un elemento de
corriente.
r r
⎧ J (r ′)dV ′
r r
⎪⎪ r r
dI (r ′) = ⎨ J S (r ′)dS ′
⎪ r r
• Su contribución al campo será:
v r r
⎪⎩ I (r ′)dl ′
r µ dI ′ × (r − r ′)
dB =
r r 3
4π
r − r′
• Si se considera un elemento de corriente del tipo
que sea:
• Perpendicular a la corriente.
• Perpendicular al vector que une el elemento de
corriente y el punto donde se calcula el campo. dB
• Proporcional al seno del ángulo formado por la
corriente y el vector del punto anterior.
– No hay campo en la línea definida por el elemento
dB
de corriente.
dB
dI
dB
• Inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia.
– Regla del dedo gordo de la mano derecha
Espira Circular
• Sea la espira de la figura centrada en el eje z y contenida en
z = z0
• Para calcular el campo en el eje z habrá que aplicar la ley de BiotSavart
r r r
r µI
B=
4π
z
dl ′ × (r − r ′)
r r 3
r − r′
C
∫
• En este caso:
a
I
z
r
a
r'
φ^'
^'
ρ
r r
r
r = zzˆ
⎫ ⎧⎪r − r ′ = − aρˆ + ( z − z0 )zˆ
r
⎬⇒⎨
r ′ = aρˆ + z0 zˆ ⎭ ⎪ rr − rr′ = a 2 + (z − z0 )2
⎩
r
r r r
dl ′ = adϕ ′ϕˆ ⇒ dl ′ × (r − r ′) = [azˆ + ( z − z0 )ρˆ ]adϕ ′
O
• Sustituyendo ....
16/01/2008
EyM 5-6
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Espira Circular
• Sustituyendo:
v
µI
B( zzˆ ) = 0
4π
2π
⎡ 2π
⎤
(azˆ + (z − z0 )ρˆ )a dϕ ′ = µI 0
a
′
ˆ
(
)
+
−
a
z
d
z
z
ϕ
ρˆdϕ ′⎥
⎢
0
3
3
∫0 2
∫
∫
2 2
2
4π [a 2 + ( z − z ) ] 2 ⎣ 0
0
⎦
[a + (z − z0 ) ]
0
2π
2π
2π
0
0
∫ ρˆdϕ ′ =
• Y considerando que:
∫ (cos ϕ ′xˆ + sen ϕ ′yˆ )dϕ ′ = 0
v
dB2
se cancelan las componentes radiales, ver figura.
v v
r − r2′
• Finalmente:
v
v
d B1 + d B 2
v
d B1
v v
r − r1′
v
d l1
v
d l2
v
a2
µI
B(zzˆ ) = 0
2 a 2 + (z − z )2
0
[
]
3
zˆ
2
Problema
(Sept-92) Considere una espira cuadrada de lado 2a, contenida en z=0, centrada
en el origen de coordenadas, con los lados paralelos a los ejes X e Y, y por la
que circula una corriente I0 . a) Calcule el campo magnético que crea sobre los
puntos del eje Z. Si se sustituye esta espira por otra espira circular de radio a
construida con el mismo tipo de hilo, situada en la misma posición y por la que
circula la misma corriente: b) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en el
origen de coordenadas? c) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en
puntos lejanos ?
a) Para obtener el potencial en el eje aplicamos la ley
z
P
de Biot y Savart por tramos, comenzando por el (1).
r
r
r
dl = − xˆdx , , r ′ = xxˆ + ayˆ , , r = zzˆ
I2
xˆ
yˆ zˆ
(2)
r r r
(1)
(3)
dl × (r − r ′) = − dx 0 0 = yˆ zdx + zˆadx
y
a
a
−x −a z
(4)
Por simetría solo quedara, al final, componente z que
es la que nos interesa obtener:
x
µI
B z1 =
4π
16/01/2008
adx
a
∫ (x
x=− a
2
+ a2 + z 2
)
3
2
x
µIa
=
4π (a 2 + z 2 )(x 2 + a 2 + z 2 )
1
a
=
2
x=− a
1
µIa 2
2π (a 2 + z 2 )(2a 2 + z 2 )
1
2
EyM 5-7
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Problema
Al superponer los cuatro tramos la componente z se cuadruplica:
2µIa 2
1
Bz =
1
π (a 2 + z 2 )(2a 2 + z 2 ) 2
a2
µI
BzO =
b) El campo creado por la espira circular es:
3
2 (a 2 + z 2 ) 2
2µI
µI
Por tanto en z=0 será: Bz (0) =
< BzO (0) =
πa 2
2a
c) En puntos lejanos creará un campo mayor la espira que tiene mayor
superficie porque es la que tienen un momento dipolar magnético mayor.
En este caso la espira cuadrada.
Potencial y Campo fuera del eje
En un punto arbitrario, para la espira circular, el potencial vector es:
Aϕ =
cos(ϕ ′)dϕ ′
µIa
∫
π
2
4π
(ρ − a cos ϕ ′)2 + a 2 sen 2ϕ ′ + z 2
[
]
1
=
2
µI
2π
0
Haciendo el cambio de variable ϕ=π-2θ se tiene:
µI
π
La función subintegral puede rescribirse como:
Aϕ =
(
)
a 2sen 2θ − 1
donde: k 2
Aϕ =
µI
π
=
a cos(ϕ ′)dϕ ′
π
∫ [ρ
2
π
+ a + z 2 − 2aρ cos ϕ ′
2
(
]
1
2
)
a 2 sen 2θ − 1 dθ
∫ [(ρ + a )
2
+ z − 4aρsen 2θ
2
0
(
2
)
]
1
2
a 2sen 2θ − 1
[(ρ + a ) + z − 4aρsen θ ] ((ρ + a ) + z ) (1 − k sen θ )
4 aρ
=
[(ρ + a ) + z ] Aún puede operarse un poco más y obtenerse:
2
2
2
2
2
1
2
2
2
π
⎤ µI
a 1 ⎡⎛ k 2 ⎞ π 2
dθ
2
− ∫ 1 − k 2 senθ dθ ⎥ =
⎢⎜⎜1 − ⎟⎟ ∫0
2
0
2⎠
ρ k ⎣⎝
1 − k senθ
⎦ π
1
2
2
2
1
2
⎤
a 1 ⎡⎛ k 2 ⎞
⎢⎜⎜1 − ⎟⎟ K (k ) − E (k )⎥
ρ k ⎣⎝
2⎠
⎦
siendo K(k) y E(k) las integrales elípticas completas de 1ª y 2ª especie.
16/01/2008
EyM 5-8
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Líneas de Inducción Magnética
Dado que el potencial solo tiene componente ϕ y es independiente de ϕ,
tomando circunferencias concéntricas con el eje, la circulación de A será
2πρAϕ que es el valor del flujo de B.
Representando las líneas de flujo constante se obtiene una representación de
las líneas de campo como se indica en la figura.
1
0.5
0
0.5
1
2
1
0
1
2
B
Variación del Campo
Como puede verse en la figura anterior el campo crece en las proximidades
de la corriente. La inducción B puede obtenerse como:
r
r
∂A
1 ∂ (ρAϕ )
B = ∇ × A ⇒ Bρ = − ϕ , Bϕ = 0 , Bz =
∂z
ρ ∂ρ
Y teniendo en cuenta que:
Se obtienen:
z
µI
Bρ =
2π ρ (a + ρ )2 + z 2
K (k )
∂E (k ) E (k ) K (k ) ∂K (k ) E (k )
,,
=
−
=
−
k
k
k (1 − k 2 )
k
∂k
∂k
zk 3 ∂k
k
k3 k3
∂k
,, =
=−
−
−
4aρ ∂ρ 2 ρ 4 ρ 4a
∂z
⎡
⎤
a2 + ρ 2 + z2
µI
E (k )⎥, ,Bz =
⎢− K (k ) +
2
2
2
π
(
)
a
−
+
z
ρ
⎣
⎦
⎡
⎤
a2 − ρ 2 − z2
K (k ) +
E (k )⎥
⎢
2
2
2
2
(
)
a
z
−
+
ρ
(a + ρ ) + z ⎣
⎦
1
En el eje solo hay componente z que vale (K(0)=E(0)=π/2):
En el plano de la espira solo hay componente z de valor:
Bz ( z = 0 ) =
16/01/2008
µI 1
2π a + ρ
Bz
eje
=
a2
µI
2π (a 2 + z 2 )
3
2
⎡
⎤
a2 − ρ 2
E (k )⎥
⎢ K (k ) +
2
(
)
−
a
ρ
⎣
⎦
EyM 5-9
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Variación del Campo
Programando las expresiones anteriores se obtienen las variaciones del
campo, normalizado, según z en ρ = 0 y según ρ en z=0 (a=1).
Variación radial en z=0
Variación en el eje z
1
Beje( z)
50
0.5
B( r)
2
1
0
1
0
2
z
0
0.5
1
1.5
2
r
Lineas de Campo de Tres Espiras
Coaxiales
Aplicando superposición se obtienen las líneas de flujo de tres espiras
coaxiales iguales.
1
0.5
0
0.5
1
2
1
0
1
2
B
16/01/2008
EyM 5-10
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Solenoide Cilindrico
Por integración del potencial de una espira se obtiene el potencial y el flujo de
un solenoide. Se ha superpuesto la sección del solenoide. Se observa una
importante imprecisión numérica debida a que en las proximidades del eje las
integrales elípticas tienen valores muy próximos que hay que restar.
2
2
z
z
1
1
0
0
1
1
2
2
0
H
0.5
1
1.5
2
ρ
0
0.5
1
1.5
2
ρ
H
Solenoide Cilindrico
2
Para evitar las imprecisiones numéricas se ha
programado directamente el cálculo del potencial
vector sin utilizar las integrales elípticas.
z/a
1
La figura presenta las líneas de flujo en un semiplano
ϕ constante. Puede observarse el quiebro de las líneas
de flujo al atravesar la corriente superficial del solenoide 0
y la tendencia hacia la uniformidad del campo en el
interior del mismo.
1
2
0
H
16/01/2008
1
ρ/a
2
EyM 5-11
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Solenoide Cilíndrico
z
14
12
10
8
6
4
v
r
y
v
r′
2
0
1
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1 -1
En el eje z:
• Se trata de un arrollamiento sobre un cilindro
de radio a en forma de hélice de paso p
(distancia entre dos hilos a lo largo de la
generatriz).
• Las ecuaciones paramétricas de la hélice son
p
⎧
⎪ x = a cos ϕ
⎪
⎨ y = a sin ϕ
⎪
pϕ
x
⎪⎩ z = 2π
Usando la Ley de Biot y Savart
r
1
pdϕ ′
v µI dl ′ × (rv − rv ′)
0.5
zˆ
B=
3
v
v
∫
′
2π
C
4π
r − r′
r
dϕ ′
r
dl ′
pdϕ ′
dl ′ = adϕ ′ϕˆ +
zˆ
adϕ ′ϕˆ
2π
v
r = zzˆ
pϕ ′ ⎞
v v
⎛
pϕ ′ zˆ
r − r ′ = −aρˆ + ⎜ z −
v
⎟ zˆ
r ′ = aρˆ +
2π ⎠
⎝
2π
r v v
pϕ ′ ⎞
pdϕ ′
⎛
ϕˆ
dl ′ × (r − r ′) = a 2 dϕ ′ zˆ + adϕ ′⎜ z −
⎟ ρˆ − a
2
2π
π
⎝
⎠
Solenoide Cilíndrico
• Al integrar en cada vuelta (p.e entre 0 y 2π) solo queda la componente
según z y las otras dos se anulan.
r v v
pϕ ′ ⎞
pdϕ ′
⎛
dl ′ × (r − r ′) = a 2 dϕ ′ zˆ + adϕ ′⎜ z −
ϕˆ
⎟ ρˆ − a
2π ⎠
2π
⎝
• La componente según z es igual que la de la espira plana.
v µnI
a2
B=
2 a 2 + ( z )2
[
16/01/2008
]
3
zˆ
2
EyM 5-12
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Solenoide Cilíndrico Finito
• Se trata de un apilamiento de espiras por las que
circula la misma corriente I.
• Se define por el radio de las espiras, a, el número
de espiras por unidad de altura, n, y su altura, h.
• Normalmente se construye enrollando un hilo
sobre un núcleo y se desprecia el efecto del
paso de arrollamiento y de los hilos de conexión.
• Si los hilos están muy juntos se puede suponer
que la corriente está distribuida uniformemente
sobre la superficie lateral. Así, suponiendo que el
eje del solenoide es el eje z:
v
v
I T = ∫ J S ⋅ ϕ̂dz = nhI
J S = J ϕϕˆ = nIϕˆ
I
a
h
h
• Por todo ello se puede aplicar:
v µ
B=
4π
v v
v v
J S (r ′)× (r − r ′)
∫∫S rv − rv′ 3 dS ′
También puede considerarse el solenoide como un
apilamiento de espiras de radio a y corriente
dI=nIdz´ que producen un campo en el eje:
v µnIdz ′
a2
dB =
2
2
a 2 + ( z − z ′)
[
]
3
zˆ
2
Solenoide Cilíndrico Finito
Siguiendo el primer procedimiento:
z
• Limitando el cálculo al eje z:
r r
r
⎧⎪r − r ′ = − aρˆ ′ + ( z − z ′)zˆ
r = zzˆ
⎫
r
⎬ ⇒ ⎨r r
2
2
r ′ = aρˆ ′ + z ′zˆ ⎭
⎪⎩ r − r ′ = a + ( z − z ′)
v r
r r
J (r ′)× (r − r ′) = [azˆ + (z − z ′)ρˆ ′]nI
• Tomando el origen de coordenadas en el centro del
solenoide:
v
µnI
B(zzˆ ) =
4π
h 2 2π
∫ ∫
−h 2 0
azˆ + ( z − z ′)ρˆ ′
[a
2
+ ( z − z ′)
2
]
3
r
a
r'
φ^'
^'
ρ
O
adϕ ′dz ′
2
• Integrando en ϕ’ considerando que:
2π
∫ ρˆ ′dϕ ′ = 0
0
v
µna 2 I
B(zzˆ ) =
2
16/01/2008
dz ′
h2
∫
−h 2
[a
2
+ (z′ − z )
2
]
3
zˆ
2
Con el segundo procedimiento
se plantea esta ecuación.
EyM 5-13
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Solenoide Cilíndrico Finito
∫ (x
y aplicando:
dx
2
+a
)
2 32
x
=
a
2
x2 + a2
se obtiene finalmente:
h
2
z′ − z
r
µnI
B(zzˆ ) =
2
a 2 + (z′ − z )
zˆ =
2
−
h
2
µnI ⎛⎜
h 2− z
2 ⎜ a 2 + (h 2 − z )2
⎝
• Si el solenoide estuviera centrado en zc
h 2+ z
+
a 2 + (h 2 + z )
2
⎞
⎟ zˆ
⎟
⎠
:
r
h 2 + zc − z
h 2 − zc + z
µnI ⎛⎜
+
B(z ) =
2
2
⎜
2
2
2
a + (h 2 − zc + z )
⎝ a + (h 2 + zc − z )
⎞
⎟ zˆ
⎟
⎠
zc
h
α
• Donde los términos del corchete se pueden interpretar
como los cosenos de los ángulos de la figura:
r
µnI
(cos α − cos β )zˆ
B(z ) =
2
β
z
O
Solenoide Cilíndrico Finito
• Es inmediato que si el solenoide es muy largo, el campo en un
punto de su eje dentro de él y alejado de los extremos tiende a:
r
lim B(z )
h →∞
zc − h < z < zc + h
2
2
= lim
α →0
β →π
µnI
2
(cosα − cos β )zˆ = µnIzˆ
• Mientras que el campo en en centro de sus extremos
tiende justo al valor mitad:
(
v
lim B zc + h
h →∞
(
v
lim B zc − h
h →∞
2
2
) = lim µ2nI (cosα − cos β )zˆ = µ2nI zˆ
α =π 2
β →π
zc
) = lim µ2nI (cosα − cos β )zˆ = µ2nI zˆ
α →0
β =π 2
z
2
a=1
h=20
h
α
β
O
B( z) 1
0
0
5
10
15
20
z
16/01/2008
EyM 5-14
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Otros Tipos de Solenoides
Arrollando espiras sobre superficies con simetría de revolución entorno a un eje
pueden formarse solenoides de distintos tipos como cónicos, esféricos, etc.
I
I
I
I
La densidad de arrollamiento se expresa en número de espiras por unidad de
longitud a lo largo de la generatriz.
Campo M-E a partir de la Ley de Ampère
• Algunos problemas con determinadas geometrías pueden
resolverse directamente a partir de la ley de Ampère en forma
integral:
r r
r r
v v
v v
∇ × H = J ⇒ ∫∫ ∇ × H ⋅ dS = ∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS = I
S
C
S
• De forma similar a lo que ocurría en Electrostática con la ley de
Gauss, para poder calcular el campo a partir de la ley de Ampère es
necesario que el campo tenga una variación sencilla a lo largo del
contorno escogido.
• Los casos que se van a estudiar son:
– Distribuciones de corriente con simetría de translación en una
dirección y simetría de revolución alrededor de un eje con esa
dirección.
– El solenoide indefinido.
– Hoja indefinida de corriente.
16/01/2008
EyM 5-15
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Distribuciones de corriente axiales con
simetría de revolución
• Normalmente se escoge que el eje de simetría
coincida con eje z.
• Por la simetría de translación no puede haber
r r
variación con z:
H = H (ρ , ϕ )
• Al estar todos los elementos de corriente
orientados según z no se genera campo con
r
componente z:
H = H ρ (ρ , ϕ )ρˆ + H ϕ (ρ , ϕ )ϕˆ
v
J = J z (ρ )zˆ
• Por la simetría de revolución el campo no es
función de ϕ, salvo la variación propia de ϕ$ :
r
H = H ρ (ρ )ρˆ + H ϕ (ρ )ϕˆ
• No puede haber componente radial porque no
r
se cumpliría:
∇⋅B = 0
– Se puede comprobar calculando el flujo
en una superficie como la de la figura
adjunta. En ella se supone que el campo
tiene componente radial.
r
H = H ϕ (ρ )ϕˆ
• En definitiva:
Distribuciones de corriente axiales con simetría
de revolución
v
H = H ϕ ( ρ )ϕˆ
• Escogiendo contornos que sean
circunferencias en planos z=cte y
centradas en el eje z:
⎫
⎪
C
S
⎪
2π
⎪
⎪
⎬ ⇒
∫0 H ϕϕˆ ⋅ ϕˆρdϕ = 2πρH ϕ
⎪
ρ
⎪
r r
∫∫S J ⋅ dS = 2π ∫0 J z ρdρ = I (ρ )⎪⎪⎭
r
r
r
r
∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS
Hϕ =
I (ρ )
2πρ
Z
v
J = J z ( ρ )zˆ
• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno:
ρ
I (ρ ) = 2π ∫ J z ρ dρ
• Por tanto:
16/01/2008
r I (ρ )
H=
ϕˆ
2πρ
0
EyM 5-16
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Línea de Corriente Indefinida
• En el caso de una linea de corriente indefinida de valor I que
circule sobre el eje z: I(ρ)=I.
r
I
H=
ϕˆ
– Por lo tanto:
2πρ
• En el caso de que la corriente se distribuya uniformemente en
un hilo de radio a:
r
⎧ I πa 2 zˆ ; 0 ≤ ρ < a
J = J z ( ρ )zˆ = ⎨
0 ; a<ρ
⎩
La corriente encerrada en la región interior es I(ρ) = I (ρ/a)2 y por tanto:
r
I ρ
r
I
ϕˆ
Hi =
He =
ϕˆ
I
2π a 2
2πρ
a
1
Z
B( r) 0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
r
Cable Coaxial
• En el cable coaxial de la figura la corriente circula en
sentidos contrarios en cada conductor.
• Suponiendo que la corriente se distribuye
uniformemente en la sección de cada conductor:
I
⎧
I πa 2 zˆ
; 0≤ ρ <a
⎪
r
0
; a< ρ <b
⎪
J = J z (ρ )zˆ = ⎨
2
2
⎪− I π c − b zˆ ; b < ρ < c
⎪⎩
0
;
c<ρ
(
I
– I
)
a
b
Z
16/01/2008
c
EyM 5-17
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Coaxial
⎧
ρ2
⎪ I 2
a
ρ
⎪⎪
r r
I
I (ρ ) = ∫∫ J ⋅ dS = 2π ∫ ρJ z dρ = ⎨ 2
2
Sρ
0
⎪I c − ρ
⎪ c2 − b2
⎪⎩
0
• Y el resultado final es:
• La corriente que fluye en el interior
de la circunferencia de radio ρ es:
⎧
⎪
⎪
r r
⎪⎪
I (ρ )
ϕˆ = ⎨
H (r ) = H ϕ ( ρ )ϕˆ =
2πρ
⎪ I
⎪
⎪ 2π
⎪⎩
; 0≤ ρ ≤a
; a≤ ρ ≤b
; b≤ρ ≤c
;
c≤ρ
I ρ
ϕˆ
; 0≤ ρ ≤a
2π a 2
I 1
ϕˆ
; a≤ ρ ≤b
2π ρ
c2 − ρ 2
ϕˆ ; b ≤ ρ ≤ c
ρ c2 − b2
c≤ρ
0
;
(
)
• Obsérvese que no se genera campo en su exterior.
Solenoide Indefinido
Z
• Al igual que en el solenoide finito, en un
solenoide indefinido la distribución de
corriente puede representarse por una
densidad de corriente
r superficial:
J S = J ϕϕˆ = nIϕˆ
– n es el número de espiras por unidad de
longitud (altura en la figura).
• Las fuentes no dependen de z, el campo
tampoco:
• La simetría de rotación garantiza la
independencia respecto de φ:
• El campo no puede tener componente ϕ: la
circulación a lo largo de una circunferencia
de z constante centrada en el eje z debe ser
cero porque no pasa corriente a través de ella
(I es circunferencial, no tiene componente z).
• Si el campo tuviera componente radial no se
cumpliría que:
r
∇⋅B = 0
16/01/2008
a
I
r r
r
H (r ) = H ( ρ )
Hϕ ( ρ )ϕˆ
r r
H (r ) = H z ( ρ )zˆ
EyM 5-18
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Solenoide Indefinido
• Escogiendo contornos como el Ca , exterior
al solenoide, rectangular y con dos lados
paralelos al eje z:
r r
∫ H ⋅ dl = [H z (ρe ) − H z (ρi )]L = 0 ⇒ H z (ρ ) ρ >a = H e = cte
Ca
Ca
• Análogamente, con contornos como el Cb ,
interior
r r
∫ H ⋅ dl = [H z (ρe ) − H z (ρi )]L = 0 ⇒ H z (ρ ) ρ <a = H i = cte
a
I
Cb
Cb
• Y con contornos como el Cc , uno de los
lados paralelos dentro del solenoide y el otro
fuera:
r
r
∫ H ⋅ dl = [H
i
− H e ]L = nLI
⇒
Cc
H i − H e = nI
Cc
Solenoide Indefinido
• Recordando que el límite del campo creado por un
solenoide en su centro cuando su longitud tiende a
r
infinito es:
lim B(z )
= µnIzˆ
h →∞
• Resulta que:
• Y por tanto:
z c = cte
H i = nI
; He = 0
r r ⎧nIzˆ ; 0 ≤ ρ < a
H (r ) = ⎨
a<ρ
⎩0 ;
• Un solenoide infinito solo crea campo en su interior,
y este campo es constante, con componente axial y
con sentido positivo de acuerdo al de la corriente.
16/01/2008
EyM 5-19
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Hoja Indefinida de Corriente
• Se trata de una corriente superficial de amplitud y dirección
constantes que fluye sobre un plano indefinido.
• Supongamos que el plano es el z=0 y que la
z
corriente lleva dirección +x.
• Como las corrientes no varían
ni con x ni con y,
J S = J 0 xˆ
el campo tampoco lo hará.
• Al estar los elementos de corriente
orientados según x el campo
generado solo podrá tener
componentes y y z.
• De momento pues:
r r
H (r ) = H y ( z ) yˆ + H z ( z )zˆ
y
x
Hoja Indefinida de Corriente
• La componente z tampoco puede
z
existir: dado un elemento de corriente y
y
un punto de cálculo de campo, siempre
se puede encontrar el punto simétrico
x
que cancela la componente z
v
v
dB1 + dB2
• La componente y es constante a ambos
lados de la hoja y tiene una
discontinuidad en la hoja:
r
r r
0 = ∫ H ⋅ dl = H y z − − H y z + L ⇒ H
= H y+ = cte
[ ( )
( )]
r r
0 = ∫ H ⋅ dl = H y (z − ) − H y (z + ) L ⇒
]
r
H
Cb
r r
J 0 L = ∫ H ⋅ dl = (H y− − H y+ )L ⇒
−
y
z <0
= H y− = cte
• Finalmente:
16/01/2008
v
dI1
v
dB1
Ca
Cc
H − H = J0
Cb
H y+ = H y−
r r ⎧− yˆ J 0 2 ; z > 0
H (r ) = ⎨
⎩ yˆ J 0 2 ; z < 0
z
y
v
J s // xˆ
+
y
Cc
• Por simetría cabe suponer:
v
dI 2
z >0
Ca
[
v
dB2
L
L
EyM 5-20
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campo Magnético en Puntos Alejados
• El estudio de los campos magnéticos estacionarios en puntos alejados
tiene un interés aún mayor que el de los campos eléctricos estáticos en
situaciones similares: las magnitudes asociadas pueden aplicarse en
muchos casos, con sólo pequeños cambios, a los problemas de variación
temporal arbitraria.
• La situación de partida es la representada en la figura siguiente:
vv
J (r ′)
vv
∇′ ⋅ J (r ′) = 0
v v
r − r′
V
v
r
v
r′
O
– Obsérvese que se ha escogido el origen próximo a
la distribución de forma que:
v
v
max r ′ << r
Campo magnético en puntos alejados
• Partiendo de la expresión generalr del
potencial vector:
r
r r
µ
J (r ′)dv′
A(r ) =
r r
4π ∫∫∫
r − r′
V
r
r
• Y aplicando que al tratarse de un punto alejado: max r ′ << r
r 2
r r − 12
r r −1
r r r r − 12
r2 r 2
r r − 1 2 1 ⎡ r ′ − 2r ⋅ r ′ ⎤
= r ⎢1 +
r − r ′ = [(r − r ′) ⋅ (r − r ′)] = r + r ′ − 2r ⋅ r ′
⎥ ≈
r2
r ⎢⎣
r
⎥⎦
r
r
r
2
r
r
1 ⎡ 1 r ′ − 2r ⋅ r ′ ⎤ 1 ⎡ r ⋅ r ′ ⎤
≈ r ⎢1 −
⎥ ≈ r ⎢1 + r 2 ⎥
r2
r ⎢⎣ 2
r
r ⎥⎦
⎥⎦ r ⎢⎣
[
]
donde se ha aplicado que:
⎛ −1 ⎞
1
x <<1
(1 + x )− 12 = 1 − 1 x + 3 x 2 + K + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ x n + K ⎯⎯
⎯→1 − x
2
8
2
⎝ n ⎠
r 2
r r
r ′ − 2r ⋅ r ′
siendo en este caso:
x=
r2
r
r 2
r r
también se ha despreciado
frente a 2r ⋅ r ′
r′
16/01/2008
EyM 5-21
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campo magnético en puntos alejados
• Aplicando esta simplificación, válida para puntos alejados:
r r
r r
r r r r
r r
J (r ′)dv′
µ
µ
µ
A(r ) =
r r ≈
r ∫∫∫ J (r ′)dv′ +
r 3 ∫∫∫ J (r ′)(r ⋅ r ′)dv′
′
r
r
r
4π ∫∫∫
4
−
π
4π r V
V
V
• La primera de las integrales se cancela (demostración a continuación)
• El segundo integrando se puede rescribir como:
r r
r r r r
µ
A(r ) ≈
r 3 ∫∫∫ J (r ′)(r ⋅ r ′)dv′ =
4π r V
r r r r
1 r r r r r r r r
1 r r r r
µ
µ
=
r 3 ∫∫∫ 2 J (r ′)(r ⋅ r ′) − r ′ r ⋅ J (r ′) dv′ +
r 3 ∫∫∫ 2 J (r ′)(r ⋅ r ′) + r ′ r ⋅ J (r ′) dv′
4π r V
4π r V
[
{
]}
[
{
]}
• La segunda integral es nula (se demuestra más adelante) y la primera se
simplifica:
r r r r r r r r
r r r
r
J (r ′)(r ⋅ r ′) − r ′ r ⋅ J (r ′) = r ′ × J (r ′) × r
r r
⎫ r
µ ⎧ 1 r r r
A(r ) ≈
r r
r 3 ⎨∫∫∫ 2 r ′ × J (r ′) dv′⎬ × r
r
µ
1 r r r
4
π
r
A(r ) ≈
⎩V
⎭
r 3 ∫∫∫ r ′ × J (r ′) × r dv′
4π r V 2
[
[
] [
]
]
[
]
Campo magnético en puntos alejados
Demostración de que si V encierra a todas las corrientes, entonces:
r
∫∫∫ JdV = 0
V
Tomando como punto de partida la siguiente igualdad:
r
r
r
r
r
r
r
∇ ⋅ UJ dV = ∫∫ UJ ⋅ dS = ∫∫∫ ∇U ⋅ J + U∇ ⋅ J dV
∫∫∫
∇ ⋅ UJ = ∇U ⋅ J + U∇ ⋅ J
V
S
V
r
r
ˆ
J ⋅n = 0
en nuestro caso ∇ ⋅ J = 0
( )
( )
(
)
S
ya que como el volumen encierra a todas las corrientes no pueden existir
componentes normales a su superficie: ello implicaría que la corriente saldría
r
del volumen y, por tanto, no estaría encerrada en el volumen.
0 = ∫∫∫ ∇U ⋅ JdV
V
r
Tomando ahora un vector constante arbitrario a
∇×a = 0
r
debe existir un escalar U tal que a = ∇U
r
r r
r
0 = ∫∫∫ a ⋅ JdV = a ⋅ ∫∫∫ JdV
resulta:
V
V
Al ser a arbitrario la única posibilidad para que se verifique la expresión
anterior es que:
r
0 = ∫∫∫ JdV
V
16/01/2008
EyM 5-22
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campo magnético en puntos alejados
∫∫∫ {J (r ′)(r ⋅ r ′) + r ′[r ⋅ J (r ′)]}dV ′ = 0
r r r r
r r r r
Demostración de:
V
Para simplificar la nomenclatura
demostraremos
que si a es un vector
r
r
constante y arbitrario, ∇ ⋅ J = 0 y J es nulo fuera de V:
r r r r r r
∫∫∫ J (a ⋅ r ) + r a ⋅ J dV = 0
[
( )]
V
Empecemos por calcular los términos en ax del integrando:
r r r r r r
r
r
J (a ⋅ r ) + r a ⋅ J
= a x xJ + a x J x r = a x x(xˆJ x + yˆJ y + zˆJ z ) + a x J x ( xxˆ + yyˆ + zzˆ ) =
[
( )]
observando que:
ax
[
]
= 2 xJ x xˆ + (xJ y + yJ x )yˆ + (xJ z + zJ x )zˆ a x
( ) ( )
( )
( )
r
r
r
r
r
∇ ⋅ x 2 J = ∇x 2 ⋅ J + x 2∇ ⋅ J = ∇x 2 ⋅ J = 2 xxˆ ⋅ J = 2 xJ x
r
r
r
r
r
∇ ⋅ xyJ = (∇xy ) ⋅ J + xy∇ ⋅ J = (∇xy ) ⋅ J = ( yxˆ + xyˆ ) ⋅ J = yJ x + xJ y
r
r
r
r
r
∇ ⋅ xzJ = (∇xz ) ⋅ J + xz∇ ⋅ J = (∇xz ) ⋅ J = ( zxˆ + xzˆ ) ⋅ J = zJ x + xJ z
o sea:
( )
[Jr(ar ⋅ rr ) + rr(ar ⋅ Jr )] = [∇ ⋅ (x Jr )xˆ + ∇ ⋅ (xyJr )yˆ + ∇ ⋅ (xzJr )zˆ ]a
2
ax
x
Campo magnético en puntos alejados
r
• El resultado anterior se puede generalizar para las otras componentes de a
[Jr(ar ⋅ rr ) + rr(ar ⋅ Jr )] = [∇ ⋅ (x Jrr)xˆ + ∇ ⋅ (xyJrr)yˆ + ∇ ⋅ (xzJrr)zˆ]a +
+ [∇ ⋅ (y J )yˆ + ∇ ⋅ (yzJ )zˆ + ∇ ⋅ (yxJ )xˆ ]a +
r
r
r
+ [∇ ⋅ (z J )zˆ + ∇ ⋅ (zxJ )xˆ + ∇ ⋅ (zyJ )yˆ ]a
2
x
2
y
2
z
• Integrando al volumen y aplicando el teorema de Gauss:
∫∫∫ [J (a ⋅ r ) + r (a ⋅ J )]dV = xˆ ∫∫ (a x J + a xyJ + a xzJ )⋅ dS +
r r r
V
r r r
2
x
S
(
r
r
y
r
v
z
)
(
)
r
r
r v
r
r
r v
+ yˆ ∫∫ a y y 2 J + a z yzJ + a x yxJ ⋅ dS + zˆ ∫∫ a z z 2 J + a x zxJ + a y zyJ ⋅ dS
S
S
r
• Y puesto que J ⋅ nˆ = 0 , ya que el volumen V contiene a todas las
corrientes, todas Slas integrales se cancelan.
r r r r r r
∫∫∫ [J (a ⋅ r ) + r (a ⋅ J )]dV = 0
V
16/01/2008
∫∫∫ {J (r ′)(r ⋅ r ′) + r ′[r ⋅ J (r ′)]}dv′ = 0
r r r r
r r r r
V
EyM 5-23
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campo magnético en puntos alejados
• Habiendo demostrado que para puntos alejados:
r r
r r
⎫ r
r r r
J (r ′)dv′
µ
µ ⎧1
A(r ) =
r ′ × J (r ′) dv′⎬ × r
r r ≈
r
3 ⎨ ∫∫∫
∫∫∫
4π V r − r ′
4π r ⎩ 2 V
⎭
[
]
v
• se observa que la dependencia del potencial vector respecto de r queda
fuera de la integral y, que por tanto, se puede definir una magnitud que
sólo depende de la distribución. Esta magnitud recibe el nombre de
momento magnético de la distribución de corrientes y se define como:
[
] (
r 1
r r r
m = ∫∫∫ r ′ × J (r ′) dv′ A/m 2
2 V
)
• El potencial para puntos alejados de la distribución se puede expresar
ahora como:
r r
r r
µ m× r
A(r ) ≈
4π rr 3
Campo magnético en puntos alejados
• Una vez conocida una expresión del potencial vector para puntos alejados
resulta inmediata la obtención de una expresión del campo magnético:
r r⎞
⎛ µ m
r
r r
×r ⎟
B(r ) = ∇ × A ≈ ∇ × ⎜
=
⎜ 4π rr 3 ⎟
⎠
⎝
r
r
⎞r r
r⎛
r
µ ⎡⎛⎜ r
⎢ r 3 ⋅ ∇ ⎟m − (m ⋅ ∇ ) r 3 + m⎜ ∇ ⋅
=
⎜
⎟
⎜
4π ⎢⎝ r
r
⎝
⎠
⎣
r
r
r ⎞⎟
r3 −
r ⎟⎠
r
r
r ⎤
r
r
µ r
⎥
(
)
(
)
m
m
∇
⋅
=
−
⋅
∇
r3
r3
4π
⎥⎦
r
r
r
• donde se ha aplicado que m es independiente del punto r donde se
⎛ rr ⎞
⎜ ⎟ = 0 siempre que no se calcule en el origen,
∇
⋅
calcula el campo y que
⎜ rr 3 ⎟
⎝ ⎠
que por otra parte no es un punto alejado dado que consideramos que el
origen está próximo a la distribución.
16/01/2008
EyM 5-24
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Campo magnético en puntos alejados
• Desarrollado los términos en mx de la última expresión:
r
B
mx
r
r
⎡ 1 ∂rr v ∂ ⎛ 1 ⎞⎤
⎢ r3
+ r ⎜ r 3 ⎟⎥ =
∂x ⎜⎝ r ⎟⎠⎥
⎢⎣ r ∂x
⎦
r
r
⎤
µmx ⎡ xˆ r 3 x ⎤ µ ⎡ 3mx xr mx xˆ ⎤
1 ⎞⎟ d r
⎥=−
⎢ r3 −r r 4 r ⎥ =
⎢ r5 − r3 ⎥
r3⎟
4π ⎣⎢ r
r ⎠ dx ⎥⎦
r r ⎦⎥ 4π ⎣⎢ r
r ⎦⎥
=−
⎞
⎛
µ
(mx xˆ ⋅ ∇ ) rr 3 = − µ mx ∂ ⎜⎜ rr 3 ⎟⎟ = − µmx
∂x ⎝ r ⎠
4π
4π
4π
r
=−
µmx
4π
⎡ xˆ v ∂
⎢ r3 +r r
∂r
⎢⎣ r
⎛
⎜
⎜
⎝
• Trabajando con el resto de componentes:
r
r
µ ⎡ 3mx xr mx xˆ ⎤ ⎫
B =
⎢ r5 − r3 ⎥⎪
mx
4π ⎣⎢ r
r ⎦⎥ ⎪
⎪
r r r
r
r
r r
r
µ ⎡ 3(m ⋅ r )r m ⎤
µ ⎡ 3m y yr m y yˆ ⎤ ⎪⎪
B(r ) =
− r3⎥
⎢
− r 3 ⎥⎬
B =
⎢ r
my
4π ⎢⎣ r 5
4π ⎢⎣ rr 5
r ⎥⎦ ⎪
r ⎥⎦
⎪
v
r
µ ⎡ 3mz zr mz zˆ ⎤ ⎪
− r 3 ⎥ ⎪ • Expresión análoga a la de electrostática.
B =
⎢
mz
4π ⎢ rr 5
r ⎥⎦ ⎭⎪
⎣
Campo magnético en puntos alejados
• El desarrollo anterior presenta la limitación de que el origen debe estar
cerca de la distribución. Así no serían utilizables respecto del origen O .
Pero si se escoge como origen provisional O1 un punto de la distribución
o muy próximo a ella, entonces:
v
v
v
v
v
µ ⎡ 3[m ⋅ r1 ]r1 m ⎤
µ m × r1
(
)
B1 (r1 ) =
−
A
r
=
;
⎢
⎥
1 1
3
4π ⎢⎣ r1 5
4π r1 3
r1 ⎥⎦
v v v
• Y con solo trasladar el origen de coordenadas: r1 = r − rd
v v v v v
v
v v
m ⎤
µ ⎡ 3[m ⋅ (r − rd )](r − rd )
B(r ) =
− v v 3⎥ ;
⎢
5
v
v
4π ⎣⎢
r − rd
r − rd ⎥⎦
v v v
v µ m
× (r − rd )
A≈
4π rv − rvd 3
v
r >> máxima dimensión de V
– La condición de punto lejano es
ahora:
v
J
V
v
r1
v
r
O1
v
rd
16/01/2008
O
EyM 5-25
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Momento magnético
• El momento magnético de una distribución caracteriza totalmente la
misma desde el punto de vista de campo en puntos alejados.
• Su unidades son Amperios/m2
• La expresión ya vista se puede generalizar sin problemas al caso de
distribuciones superficiales y lineales:
r 1
r r
r 1 r r
r I r r
m = ∫∫∫ r × JdV ; m = ∫∫ r × J S dS ; m = ∫ r × dl
2 V
2 S
2C
• Su valor es independiente del origen de
v
v
coordenadas escogido: si llamamos m1 y m2 a los
momentos magnéticos de una misma distribución
con respecto
a los orígenes O1 y O2 , unidos por el
v
vector R, resulta:
(
) (
V
v
J
v
r1
)
r r r
r 1
r r r
r r r r r
1
1 = r2 + R
m1 = ∫∫∫ r1 × J1 (r1 )dV1 ⎯r⎯
⎯→ ∫∫∫ r2 + R × J1 r2 + R dV2 =
2 V
2 V
O1
r r
r r r
r r r
r
1
1 r
1
= ∫∫∫ r2 × J 2 (r2 )dV2 + R × ∫∫∫ J 2 (r2 )dV2 = ∫∫∫ r2 × J 2 (r2 )dV2 = m2
2 V
2
2 V
V
v
r2
v
R
O2
Momento magnético de una espira plana
• El momento magnético de una espira plana
tiene una interpretación muy simple: r I
m=
r
r
v
dl
r r
∫ r × dl
2C
• el producto r × d l representa una contribución
en la dirección normal de valor igual al área
sombreada en la figura superior. Luego su
mitad se puede hacer corresponder con el área
más oscura.
• Al integrar se van sumando las áreas asociadas
con el resto de los diferenciales dando como
resultado el área total de la espira.
• Considerando que el producto va en el sentido
positivo de la normal:
v
r
O
v
dl
r
m = ISnˆ
• Este resultado es válido aunque el origen no
esté en el plano de la espira.
16/01/2008
v
r
O
EyM 5-26
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Regularidad en el infinito
• A pesar de que una simple inspección de las expresiones del potencial
vector y del campo magnético podría llevar a pensar en unas condiciones
de regularidad en el infinito similares a las de electrostática, esto no es
así.
r r
r r
r r
r µ
A=
4π
∫∫∫
V
J (r ′)dV ′
r r
r − r′
r µ
B=
4π
∫∫∫
V′
J (r ′)× (r − r ′)
dV ′
r r 3
r − r′
• Luego el comportamiento del campo en el infinito podría describirse
r r r
r r r2
como:
lim
B(r ) r = 0
r
lim
A1 (r1 ) r = 0
r
;
r →∞
r →∞
• Pero si una distribución de corrientes estacionarias puede ser encerrada
dentro un volumen finito, el campo que generará a grandes distancias
será el de un dipolo magnético:
r r
B(r ) =
• Serán:
v
r
r
µ
µ r
r 3 [3(m ⋅ rˆ )rˆ − m] ; A(r ) =
r 2 m × rˆ
4π r1
4π r
r r r3
lim
B(r ) r = cte
r
r →∞
r r r2
lim
A1 (r1 ) r = cte
r
;
r →∞
Energía del Campo Magnético
Estacionario
Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo Magnético
como
r r r r
1
Wm =
2 ∫∫∫V
B(r ′) ⋅ H (r ′)dv′
siendo V la región de existencia de campo magnético, que en general es todo
el espacio. Resulta pues conveniente obtener una expresión de la energía en
términos de las fuentes de campo, que en general solo se extenderán a
regiones limitadas del espacio. Para ello hay que tener en cuenta que:
r r
r( r
r r(
r r
r
r r r r r
∇ ⋅ A × H = ∇ ⋅ ⎛⎜ A × H ⎞⎟ + ∇ ⋅ ⎛⎜ A × H ⎞⎟ = H ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × H = H ⋅ B − A ⋅ J
⎝ 0 ⎠
⎝
⎠
6447
r 44
r r
r8 1
1
Wm = ∫∫∫ ∇ ⋅ A × H dv + ∫∫∫ A ⋅ Jdv
2 V
2 V
(
)
(
)
La primera integral se anula porque con el teorema de Gauss puede
transformarse en una integral sobre la superficie del infinito, y teniendo en
cuenta el comportamiento asintótico de A como 1/r2 y de H como 1/r3 la integral
se anula. Si hubiera densidades superficiales de corriente estas aparecerían de
las discontinuidades de H. Queda pues:
Wm =
16/01/2008
r r
r r
1
1
A ⋅ Jdv + ∫∫ A ⋅ J s dS
∫∫∫
2 V
2 S
EyM 5-27
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Energía del Campo Magnético
Estacionario
Las integrales para obtener la energía habrán de extenderse únicamente a las
fuentes.
El potencial vector puede a su vez expresarse en función de las densidades de
corriente. Así en el caso de solo densidades volumétricas :
r r
µ
A(r ) =
4π
∫∫∫
V′
r r
J (r ′)
r r dv′
r − r′
y sustituyendo en la integral de la energía resulta:
r r
1
µ
Wm = ∫∫∫ A ⋅ Jdv =
V
2
8π
r r r r
J (r ) ⋅ J (r ′)
∫V ∫V ′ rr − rr′ dv′dv
Sistema de Corrientes Lineales
Una situación práctica frecuente es la de que el campo se genere, voluntaria o
involuntariamente, por las corrientes existentes en diversos circuitos
próximos.
Es frecuente que las corrientes puedan considerarse filiformes en cuyo caso
se tiene lo que se denomina un sistema de corrientes lineales. En general se
tendrán N circuitos Ck y por cada uno de ellos circulará una corriente total Ik
I1
Ik
C1
Ck
CN
IN
Transformando las expresiones generales para
corrientes filiformes, la energía puede expresarse
como:
r r
r r
r r
1
1
1
A ⋅ Jdv = ∑ ∫ A ⋅ Jdv = ∑ I k ∫ A ⋅ dlk
∫∫∫
Ck
2 V
2 k Vk
2 k
r r
r r
r r
Pero:
∫ A ⋅ dlk = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫∫ B ⋅ dS = Φ k
Wm =
Ck
Sk
(
)
Sk
donde Φk es el flujo de B a través de la espira Ck. Por lo tanto:
Wm =
16/01/2008
r r 1
1
I k ∫ A ⋅ dlk = ∑ I k Φ k
∑
Ck
2 k
2 k
EyM 5-28
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Coeficientes de Inducción
Usando la segunda expresión de la energía, para el sistema de conductores,
r r
r r r r
resulta:
Wm =
µ
8π
⎡µ
1
J (r ) ⋅ J (r ′)
dv′dv = ∑∑ I k I l ⎢
r
r
V′
2 k l
r − r′
⎣⎢ 4π
∫∫
V
∫ ∫
C k Cl
dlk ⋅ dll ⎤
r r ⎥
r − r ′ ⎦⎥
Puede verse que los términos entre corchetes solo dependen de la geometría y
de los sentidos de circulación de las corrientes pero no de los valores de
estas. Reciben el nombre de coeficientes de inducción Lkl .
µ
Lkl =
4π
∫ ∫
C k Cl
r r
dlk ⋅ dll
r r
r − r′
Cuando k=l los coeficientes se denominan de autoinducción y de inducción
mutua en caso contrario. La expresión se conoce con el nombre de fórmula de
Neumann. La energía será:
1
Wm =
Y por comparación :
Φ k = ∑ I l Lkl
l
Para el caso de un solo conductor:
2
∑∑ I
Wm =
k
I Lkl
k l
l
1
1
ΦI = LI 2
2
2
Φ = LI
Energía de Formación y de Interacción
Para el caso de un solo conductor:
Wm =
1
1
ΦI = LI 2
2
2
Φ = LI
Y la podemos considerar como la energía de formación de la distribución de
corriente.
En el caso de dos circuitos la energía será:
1 2
1
1
1
I1 L11 + I1 I 2 L12 + I 2 I1 L21 + I 22 L22
2
2
2
2
1 2
1 2
= I1 L11 + I 2 L22 + I1 I 2 L12
2
2
Wm =
En este caso los dos primeros términos corresponden a las energías de
formación de las distribuciones de corriente y el tercero a la energía de
interacción entre estas.
16/01/2008
EyM 5-29
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Propiedades de los Coeficientes de
Inducción
1- Los coeficientes de inducción son parámetros meramente geométricos y
dependientes del medio, cuyo valor no depende de las corrientes que circulan
tal como puede verse de su expresión .
2- Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji tal como puede
verse de su expresión .
3- En general el cálculo de los coeficientes implica la realización de integrales
complicadas (integración de potenciales fuera de los ejes de simetría aun en el
caso de que esta exista).
4- Los coeficientes de autoinducción de corrientes filiformes son infinitos (las
integrales son impropias). Ello implica que la energía asociada con un sistema
de corrientes filiformes es infinita, lo que indica que las corrientes filiformes
son un modelo matemático sin realidad física (se necesita infinita energía para
hacer pasar una corriente finita por un conductor de sección transversal nula).
Sin embargo la energía de interacción entre corrientes (asociada con los
coeficientes de inducción mutua) es finita aunque estas sean filiformes.
Problema
Dos espiras cuadradas, una de lado L1 y otra de lado L2, y situadas en los
planos x=0 y z=0 respectivamente, soportan unas corrientes I1 e I2 con los
sentidos de circulación de la figura. Calcule aplicando la ley de Neumann y
razonando sobre ella, el coeficiente de inducción mutua entre las espiras. Si la
espira pequeña puede girar según el eje OY, diga, razonando la respuesta, cuál
r r
sería la posición de mínimo de energía.
µ
dl1 ⋅ dl2
L
=
r r
La ley de Neumann es:
12
4π C∫1 C∫2 r1 − r2
z
Los tramos 2 y 4 de la espira 1 son perpendiculares
a todos los tramos de la espira 2 y su contribución
L2 I2
a la integral es cero. Queda:
(3)
(3)
I1
0
0
0
0
(4)
}
}
}
}
⎡
⎤
⎡
⎤⎤
µ ⎢ ⎡⎢
(2)
(4)
(2) y
⎥
⎢
L
L
=
+
+
+
+
+
+
+
12
(1) 1
∫2 ∫3 ∫4 ⎥ ∫3 ⎢∫1 ∫2 ∫3 ∫4 ⎥⎥ ⎥⎥ =
4π ⎢ ∫1 ⎢ ∫1
(1)
⎣
⎦
⎣
⎦⎦
⎣
x
⎤
⎡
⎤⎤
µ ⎡ ⎡
=
⎢∫ ⎢∫ + ∫ ⎥ + ∫ ⎢∫ + ∫ ⎥ ⎥ = 0
4π ⎣⎢ 1 ⎣ 1
⎥
3 ⎦
3 ⎣1
3 ⎦⎦
ya que: ∫ ∫ = − ∫ ∫ , ,∫ ∫ = − ∫ ∫
1 1
1 3
3 1
3 3
La posición de mínimo de energía es con lasrdosr espiras coplanares y sus
corrientes circulando en sentido contrario. dl1 ⋅ dl2 ≤ 0 Equilibrio -> Wint máxima
16/01/2008
EyM 5-30
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Cálculo de la Autoinducción
El coeficiente de autoinducción puede obtenerse de la energía:
L=
2Wm 1
= 2
I2
I
r r
∫∫∫ B ⋅ Hdv
V
Considerando una distribución finita de corriente habrá campo magnético, y
energía asociada al mismo, tanto en el interior como en el exterior de la
distribución.
A cada una de estas energías se asocia un coeficiente de autoinducción que se
denominan respectivamente coeficiente de autoinducción interna y coeficiente
de autoinducción externa.
L = Li + Le =
2Wm ,i
I
2
+
2Wm,e
I
2
=
1
I2
r r
r r
1
∫∫∫ B ⋅ Hdv + I ∫∫∫ B ⋅ Hdv
2
Vi
Ve
Cálculo de la Autoinducción
Por otra parte la energía y L pueden obtenerse también a partir del flujo.
Considerando un tubo de flujo, cada elemento de
volumen puede considerarse como: dv = dS dl´ donde
dl´ está alineado con el campo B y dS es el área
transversal del tubo de flujo.
r
B
r
J
Por tanto
dl´
dS
Se puede entonces poner:
( )
r r
r r
r
r r
B ⋅ Hdv = lˆ′B ⋅ HdSdl ′ = dl ′ ⋅ H (BdS ) = H ⋅ dl ′dΦ
Wm =
[
]
r r
r r
1
1
1
B ⋅ Hdv = ∫∫ ∫ H ⋅ dl ′ dΦ = ∫∫ I (l ′)dΦ
∫∫∫
2 V
2 S l′
2 S
donde I(l´) es la corriente encerrada dentro del tubo de flujo elemental l´.
En los tubos de flujo exteriores a la distribución (Se) la corriente encerrada es la
corriente total pero no así en los interiores (Si). Por tanto:
L=
16/01/2008
2Wm 1
= 2
I2
I
r r
∫∫∫ B ⋅ Hdv = I ∫∫ I (l ′)dΦ = I ∫∫
V
1
2
1
S
2
Si + S e
I (l ′)dΦ =
1
I2
Φ
∫∫ I (l ′)dΦ + I
e
Si
EyM 5-31
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Autoinducción de un Hilo Conductor
El coeficiente de autoinducción puede obtenerse a partir de la energía como:
2Wm
I2
L=
Considerando un hilo conductor rectilíneo de radio a y supuesta una
distribución uniforme de la corriente habrá campo magnético, y energía
asociada al mismo, tanto en el interior como en el exterior del hilo.
A cada una de estas energías se le asocia un coeficiente de autoinducción que
se denominan respectivamente coeficiente de autoinducción interna y
coeficiente de autoinducción externa.
En una longitud infinita de conductor la energía almacenada será infinita por lo
que se estudian la energía y autoinducción por unidad de longitud.
I
En el exterior:
a
1
Lext
= 2
m
I
Z
r
I
H ext =
ϕˆ
2πρ
2
⎛ I ⎞
µ
∫ρ =a ∫ϕ =0 µ ⎜⎜⎝ 2πρ ⎟⎟⎠ ρdϕdρ = 2π
∞
2π
∫
∞
a
dρ
ρ
=∞
Autoinducción Interna
En el interior:
r
I ρ
Hi =
ϕˆ
2π a 2
Wint
1 a 2π ⎛ I ρ ⎞
µI 2
= ∫ ∫ µ⎜
ρdϕdρ =
⎟
2
16π
metro 2 ρ =0 ϕ =0 ⎝ 2π a ⎠
2
Lint
=
m
2Wint
m = µ Henrios
m
I
8π
2
Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción interna por
unidad de longitud que puede dar lugar a una impedancia importante en
fenómenos de variación rápida con el tiempo.
X = ωLint = ω
16/01/2008
µ0
4π 10 −7
=ω
= ω ⋅ 5 ⋅10 −8 = 10π Ω ( f = 100 MHz )
8π
8π
EyM 5-32
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Autoinducción Cable Coaxial
Sea un cable coaxial de conductor interior de radio a y conductor exterior de
radio b y espesor despreciable. Por unidad de longitud la energía almacenada
en el conductor interior dará lugar a una autoinducción interna igual a la
calculada para el hilo. Por otra parte ni en el conductor exterior (de espesor
despreciable) ni en la región exterior al mismo hay campos ni en consecuencia
energía almacenada ni contribución a la autoinducción .
r
I
H=
ϕˆ
El campo en la región entre conductores es:
2πρ
y por tanto la autoinducción externa por unidad de longitud:
2
I
Lext 1 b 2π ⎛ I ⎞
µ b dρ µ ⎛ b ⎞
⎟⎟ ρdϕdρ =
= 2 ∫ ∫ µ ⎜⎜
=
ln⎜ ⎟
2π ∫a ρ 2π ⎝ a ⎠
m
I ρ = a ϕ =0 ⎝ 2πρ ⎠
I
La autoinducción interna del conductor interior por
– I
unidad de longitud será igual que la del hilo: µ/8π.
a
Si el conductor exterior tuviese un espesor c-b su
b
autoinducción interna por unidad de longitud seria:
2
⎛ c2
⎞⎞
Lint 1 1 c 2π ⎛
1
⎟
⎜
⎟
ρ
= 2 ∫ ∫ ∫ µ ⎜⎜
−
⎟ ⎟ ρdϕdρdz =
Z
m I z =0 ρ =b ϕ =0 ⎝ 2π c 2 − b 2 ⎜⎝ ρ
⎠⎠
=
µ
(
2π c − b
2
)
2 2
⎡ 4
⎢⎣c
(
c
ln − c (c
b
2
2
)
1
− b ) + (c
4
2
4
)
⎤
− b4 ⎥
⎦
Autoinducción Cable Coaxial
El valor de la autoinducción también puede obtenerse a partir del flujo.
Para el cable coaxial la autoinducción externa por unidad de longitud se
obtiene del flujo a través de la sección Se indicada en la figura.
b
1
Φ=∫
z=1
z=0
z =0
b
dρ
Se
∫ρ
=a
⎛ I ⎞
µI
⎟⎟dρdz =
2π
⎝ 2πρ ⎠
µ ⎜⎜
b
dρ
a
ρ
∫
=
µI ⎛ b ⎞
ln⎜ ⎟
2π ⎝ a ⎠
Y por tanto la autoinducción por unidad de
longitud correspondiente resulta:
a
µ ⎛b⎞
Lext Φ ext
ln⎜ ⎟
=
=
2π ⎝ a ⎠
m
I
Si
De forma análoga se obtiene la autoinducción
interna del conductor interior a partir del flujo a
través de Si:
Li =
16/01/2008
1
I2
∫∫
Si
I (l ′)dΦ =
1
I2
⎛ πρ 2 ⎞⎛ I ρ
µ
⎞
∫z =0 ∫ρ =0 ⎜⎜⎝ I πa 2 ⎟⎟⎠⎜⎝ µ 2π a 2 dρdz ⎟⎠ = 2πa 4
1
a
∫
a
0
ρ 3dρ =
µ
8π
EyM 5-33
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Línea Bifilar de Conductores Gruesos
La distribución de la corriente estacionaria en el interior de los conductores
será uniforme. El potencial vector podrá obtenerse como la superposición de
los creados por cada uno de los dos hilos. Por tanto se comenzará calculando
el potencial vector creado por un hilo de radio a.
Aplicando simetría resultan ∂ /∂z =∂ /∂ϕ = 0. Solo hay componente ϕ de B y por
r
tanto:
r
∂A
B = Bϕϕˆ = ∇ × A = − z ϕˆ
∂ρ
ρ
Por tanto integrando se obtiene: Az = − ∫ Bϕ dρ + C
Bϕ
I
Az
µIρ
µIρ 2
dρ + C1 = −
+ C1
2
2πa
4πa 2
µI
µI
Az = − ∫
dρ + C 2 = −
ln ρ + C2
2πρ
2π
Para el interior del hilo será: Az = − ∫
Para el exterior será:
Las constantes C1 y C2 se obtienen haciendo que el potencial en la superficie
ρ = a sea un valor constante A0. Resultan:
⎧ µI ⎛ ρ 2 ⎞
µIa 2
µI
A0 = −
+ C1 ⇒ C1 = A0 +
⎪⎪−
2
⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ − A0 , , ρ < a
4πa
4π
Az = ⎨ 4π ⎝ a ⎠
µI
µI
⎪ − µI ln a − A , , ρ > a
A0 = −
ln a + C2 ⇒ C2 = A0 +
ln a
0
⎪⎩
2π ρ
2π
2π
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
Sea la línea bifilar formada por dos conductores iguales de radio a y
separados una distancia d como se indica en la figura.
El cálculo de la energía almacenada por unidad de longitud a partir de la
integración de B·H resulta cuanto menos tediosa. Sin embargo puede
abordarse a partir de la integración de A·J
La distribución de la corriente estacionaria en
los conductores es uniforme por lo que el
potencial puede obtenerse a partir del creado
por cada uno de los conductores aislados.
2
1
y
a
x
z
d
Si el potencial en la superficie del conductor
1 se toma arbitrariamente como A0 su
potencial en cualquier punto vale:
⎧ µI ⎛ ρ12 ⎞
⎟ − A , , ρ1 < a
⎜1 −
⎪−
⎪ 4π ⎜⎝ a 2 ⎟⎠ 0
Az(1) = ⎨
⎪ − µI ln a − A0 , , ρ1 > a
⎪⎩ 2π ρ1
siendo ρ1 la distancia del punto considerado al eje del conductor 1.
16/01/2008
EyM 5-34
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
En cuanto al potencial creado por el conductor 2 se obtiene de forma análoga y
tomando, también arbitrariamente, potencial cero en este caso en su superficie.
Resulta:
⎧ µI ⎛ ρ 22 ⎞
⎪ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ , , ρ 2 < a
a ⎠
( 2 ) ⎪ 4π ⎝
A
=
⎨
z
y
1
2
⎪ µI ln a
, , ρ2 > a
ρ1
a
⎩⎪ 2π ρ 2
ρ2 ϕ
x
z
En un punto arbitrario del conductor 2, su distancia
al eje del conductor 1 es: ρ1 = d 2 + ρ 22 + 2dρ 2 cos ϕ
d
Por tanto el potencial vector en dicho punto será:
⎞
µI ⎛⎜ ρ 22
a
⎟− A
1 − 2 − 2 ln
Az = Az(1) + Az(2 ) =
0
4π ⎜ a
d 2 + ρ 22 + 2dρ 2 cos ϕ ⎟⎠
⎝
La densidad de corriente en el conductor 2 vale Jz=I/πa22 por lo que su
contribución a la inductancia será:
⎧ µ ⎛ ρ2
⎞ A ⎫⎪
a
1
2π ⎪
a
1 r r
⎟ − 0 ρ dϕdρ dz
L(2 ) = 2 ∫ A ⋅ Jdv = ∫ ∫ ∫ ⎨ 2 2 ⎜1 − 22 − 2 ln
2
2
2
z = 0 ρ 2 = 0 ϕ = 0 4π a ⎜
⎟ πa 2 I ⎬⎪ 2
I V
a
+
+
d
d
2
cos
ρ
ρ
ϕ
⎪⎩
2
2
⎝
⎠
⎭
Linea Bifilar de Conductores Gruesos
La integral en z da la unidad. La integral restante del tercer término resulta:
a
=0
⎛
a
⎜ − 2 ln
⎜
2
2
=0 ⎜
d + ρ + 2dρ cos ϕ
⎝
2π
∫ρ ∫ϕ
2
⎞
⎟ ρ dϕdρ = a 2π ⎛⎜ 2 ln d + ln⎛⎜1 + ρ + 2 ρ cos ϕ ⎞⎟ ⎞⎟ ρdϕdρ
2
2
2
∫
∫
⎜ d
⎟⎟
ρ =0 ϕ = 0 ⎜
a
d
⎟⎟
⎝
⎠⎠
⎝
⎠
Aquí la integral del segundo término es nula. Por ello resulta la siguiente
autoinducción por unidad de longitud:
L(2 ) =
2
⎡1
µ 2π ⎡ a 2 a 4
a2
1 ⎛ d ⎞⎤ A0
⎛ d ⎞ a ⎤ A0
π
2
ln
2
ln⎜ ⎟⎥ −
−
= µ⎢ +
−
+
⎟
⎜
⎢
⎥
2 2
2
2
4π a ⎣ 2 4a
2
⎝ a ⎠ 2 ⎦ πa I
⎣ 8π 2π ⎝ a ⎠⎦ I
Procediendo de forma análoga con el conductor 1 se obtiene:
⎡1
1 ⎛ d ⎞⎤ A0
ln⎜ ⎟ +
L(1) = µ ⎢ +
π
π ⎝ a ⎠⎥⎦ I
8
2
⎣
Por tanto:
µ
µ ⎛d ⎞
L
ln⎜ ⎟
= L(1) + L(2 ) = 2
+
8π 2π ⎝ a ⎠
m
2
Se ve claramente que el primer término es la autoinducción interna y por
tanto el segundo es la autoinducción externa por unidad de longitud.
16/01/2008
EyM 5-35
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Linea Bifilar usando el Flujo
Para integrar el flujo a través de la superficie indicada en la figura (de
longitud 1 en z) se superpone el flujo de cada uno de los dos hilos.
Lext
µ d −a
1 1 d − a ⎛ µI ⎞
= L(1) + L(2 ) = 2 ∫ ∫ ⎜⎜
ϕˆ ⎟ ⋅ ϕˆdρdz = ln
m
I z =0 ρ = a ⎝ 2πρ ⎟⎠
π
a
2
1
y
a
z
x
Para d>>a:
d
Lext µ d
µ ⎛d ⎞
ln⎜ ⎟
≅ ln =
m π a 2π ⎝ a ⎠
2
Linea Bifilar usando el Flujo
A partir del potencial vector con solo componente z se puede obtener el flujo
como líneas de Az constante.
En la figura puede observarse como las líneas de flujo cortan la superficie de
los conductores por lo que la autoinducción obtenida a partir del flujo no
representa exactamente la autoinducción externa.
2
Línea de integración
del flujo
1
Zona de la que no se
ha tenido en cuenta
la energía almacenada
0
1
2
4
2
0
2
4
B
16/01/2008
EyM 5-36
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Linea Bifilar usando el Flujo
Sin embargo cuando la separación entre conductores es mucho mayor que el
radio de los mismos las líneas de flujo se ajustan más a la superficie de los
conductores como puede verse en la figura adjunta.
1
0
1
8
6
4
2
0
2
4
6
8
B
Por tanto se comete menos error al obtener la autoinducción por el método
del flujo.
Linea Bifilar usando el Flujo
La figura compara los valores normalizados de autoinducción (πL/µ) en
función de la relación d/a para las expresiones exacta (Le) y aproximada (La)
por unidad de longitud.
4
Le( d)
2
La( d)
0
2
4
6
8
µ ⎛d ⎞ µ ⎛d ⎞
ln⎜ ⎟ = ln⎜ ⎟
Le =
2π ⎝ a ⎠ π ⎝ a ⎠
µ ⎛d −a⎞
La = ln⎜
⎟
π ⎝ a ⎠
2
El error relativo cometido al usar
la expresión aproximada es menor
del 5% para d/a > 10.
10
12
14
16
18
20
d
30
25
20
e( d) 15
10
5
0
4
6
8
10
12
14
16
18
20
d
16/01/2008
EyM 5-37
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Autoinducción de un Solenoide Toroidal
Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular
como el indicado en la figura de radios a y b y altura d. El arrollamiento es de
N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios.
Por simetría y aplicando la regla de la mano
derecha el campo solo puede tener componente
ϕ en cada punto. Además su valor debe ser
d
constante
en cualquier circunferencia ρ = cte.
b
r
a
H = H ϕ ( ρ )ϕˆ
Aplicando el teorema de Ampere a circunferencias
de radios mayores que b o menores que a se ve
que el campo es nulo en el exterior del toroide. En
el interior se obtiene:
r
NI
ϕˆ
H ϕ (ρ ) ⋅ 2πρ = NI ⇒ H =
πρ
2
El flujo en cada espira es:
a
ρ
⎛ NI ⎞
µNId b
ln
ϕˆ ⎟⎟ ⋅ ϕˆdρdz =
a
2π
⎝ 2πρ ⎠
El flujo de las N espiras será n
NΦ es µN 2 d b
=
ln
L=
veces el anterior. La
I
a
2π
autoinducción por tanto es:
b
Φ es = ∫
d
∫
b
z =0 ρ = a
µ ⎜⎜
Superficie de integración para el Cálculo
de Flujo del Solenoide
En un solenoide cilíndrico de N
espiras el flujo es N veces el de
una espira.
14
12
10
Suponiendo el campo constante
en el interior del solenoide será.
8
6
Φ B = µnIπa 2 ⋅ N
4
2
0
1
0.5
1
0.5
0
L=
ΦB
= µnNπa 2
I
0
-0.5
-0.5
-1 -1
16/01/2008
EyM 5-38
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Problema
Sean dos espiras cuadradas de lado L metros, situadas la primera con el
centro en el origen y contenida en el plano x=0, y la segunda con centro en el
punto P (r,θ,ϕ) y contenida en un plano z=cte., tal como se muestra en la figura.
Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ambas espiras para r>>L.
Consideramos la segunda espira en el campo
lejano de la primera, que calcularemos a partir de
su momento dipolar. Además se considera que el
campo en toda esta espira es igual a su valor en P.
Por tanto el flujo del campo de la 1ª en la 2ª será:
r
Φ B1, 2 = ∫∫ B1 (P ) ⋅ zˆdxdy = B1z (P )L2
z
θ
L
L
L
P 2
r
1
L
r rr r
r
µ ⎡ 3(m ⋅ r )r m ⎤
r
r
B1 =
− 3⎥
m ⋅ zˆ = 0
m = IL2 xˆ
⎢
r ⎦
4π ⎣ r 5
r
rˆ = cos θzˆ + senθ cos ϕxˆ + senθsenϕyˆ
m ⋅ rˆ = msenθ cos ϕ
y
ϕ
x
µ 3IL2 r 2 senθ cosϕ cosθ
r5
4π
Φ B1, 2 3µL4 senθ cosθ cosϕ
L12 =
=
I
4πr 3
Por tanto: B1z =
Φ B1, 2 =
µ 3IL4 senθ cosθ cosϕ
4π
r3
Inducción Mutua entre 2 Espiras
Calcular la inducción mutua entre dos espiras filiformes coaxiales de radios a y
b separadas una distancia d como indica la figura.
z
br
C2
dl2
r r
r1 − r2
d
a
C1
y
r
dl1
x
ϕ$ 2
Por tanto: L12 =
ϕ$ 1
θ
La inducción mutua, por la fórmula de Neumann es:
r r
µ
dl1 ⋅ dl2
L12 =
r r
4π ∫C1 ∫C2 r1 − r2
Puede verse fácilmente que:
r
r r
dl1 = adϕϕˆ1 ⎫
r
⎬ ⇒ dl1 ⋅ dl2 = abdϕdθϕˆ1 ⋅ ϕˆ 2 = abdϕdθ cosθ
dl2 = bdθϕˆ 2 ⎭
r r
r1 − r2 = d 2 + a 2 + b 2 − 2ab cosθ
ϕ
µ
4π
π
= µab ∫
2π
∫ϕ
θ =0
=0
bdϕ ∫
2π
a cosθdθ
d 2 + a 2 + b 2 − 2ab cosθ
cosθdθ
θ =0
=
d 2 + a 2 + b 2 − 2ab cosθ
Que o bien se expresa en términos de integrales
elípticas o se integra numéricamente.
16/01/2008
EyM 5-39
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Inducción Mutua entre 2 Espiras
La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función de la
separación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y tomando
como parámetro la relación entre sus radios (b/a).
La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son coplanares
(d=0).
Si las dos espiras son de radios muy parecidos (b/a~1) la inducción mutua
crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares (d=0).
6
L12( 1.01, d )
4
b/a=1.01
L12( 1.5, d )
b/a=1.5
b/a=2
L12( 2, d )
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
d
d/a
Autoinducción de la Espira
La autoinducción de una espira circular de radio r formada por un conductor de
radio a, como se indica en la figura, puede obtenerse a partir del flujo.
El campo creado por esta espira de radio a puede obtenerse aproximadamente
como el creado por una espira filiforme a lo largo de r.
r
2a
El coeficiente de autoinducción externo puede
pues aproximarse por el coeficiente de inducción
mutua entre dos espiras filiformes coplanarias
de radios r y r-a. De acuerdo con lo visto
anteriormente será:
π
cosθdθ
Lext ≅ µr (r − a )∫
2
θ =0
2
2
d + r + (r − a ) − 2r (r − a ) cosθ
Una aproximación a la anterior expresión,
obtenida expresándola en términos de integrales
elípticas y aproximándolas para valores grandes
de r/a, es:
⎛ ⎛ r⎞ ⎞
Lext ≅ µr ⎜⎜ ln⎜ 8 ⎟ − 2 ⎟⎟
⎝ ⎝ a⎠ ⎠
µ
2πr
Una aproximación para la autoinducción interna será: Lin ≅
8π
16/01/2008
EyM 5-40
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Autoinducción de la Espira
La figura adjunta representa la autoinducción externa normalizada (L11/µa)
en función del radio normalizado (r/a) para las dos expresiones anteriores.
L11/µa
1000
100
L11( r)
L11a( r )
10
1
1
10
100
r
r/a
Autoinducción de la Espira
El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta se
representa en la siguiente figura:
%
20
15
e( r) 10
5
0
0
20
40
60
80
100
r
r/a
El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta es
menor del 5% para r/a > 15.
16/01/2008
EyM 5-41
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Efectos Mecánicos
Se recordará la expresión de la fuerza de Lorentz (fuerza del campo
electromagnético sobre una carga q en movimiento, con velocidad v) dada por:
r
r r r
F = q E+v×B
Si en un conductor se tienen N cargas por unidad de volumen que constituyen
una corriente de densidad J, la fuerza sobre la corriente por unidad de volumen
será:
r
r ⎛ Nq ⎞ r
r r
r r
dl
r
r
v
dF = Nqv × B = Nq lˆ × B = ⎜
lˆ ⎟ × B(dSdl ) = J × Bdv
B
dt
dSdt
dS
⎝
⎠
dl
Por tanto la fuerza sobre una distribución de
r
corrientes J en el seno de un campo B es: r
r r
J
F = ∫∫∫ J × Bdv
V
V
r r
r
En el caso de que la corriente sea filiforme será: F = I ∫ dl × B
(
)
C
Por la identificación realizada entre corrientes elementales y dipolos
magnéticos, teniendo
en cuenta la analogía con electrostática,
r r r la fuerza vendrá
r
r r
T = m× B
dada por:
y el par por:
F = ∇ m⋅ B
(
)
Completando la analogía, la energía de interacción
entre las rcorrientes de
r r
momento m y un campo B será: Wm,int = −m ⋅ B y la fuerza: F = −∇(Wm ,int )
Ejemplo 1
Fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes filiformes paralelas e
indefinidas.
r µI
µI1 r r
La corriente I1 crea un campo: B1 = 1 ϕˆ =
(u1 × r )
2
r
2
πr 2
π
I2
I1
siendo u1 un vector unitario en la dirección de la corriente
I1 .
r
r
La fuerza sobre un elemento de I2 será:
r r
r
r r
dF = I 2 dl2 × B1 = I 2 dl2u2 × B1
La fuerza unitaria será por tanto:
r
0
r dF
r r
r78
r r
r r r⎤
µ I1 I 2 r r r
µ I1 I 2 ⎡ 6
⎢
(
)
(
= I 2u2 × B1 =
×
×
=
f =
u
u
r
u
2 ⋅ r )u1 − (u 2 ⋅ u1 )r ⎥ =
2
1
2
2
2π r
2π r ⎢
dl2
⎣
⎦⎥
=−
µ I1 I 2 r r r
(u2 ⋅ u1 )r = − µ I1I 2 (ur2 ⋅ ur1 )rˆ
2
2π r
2π r
Si las dos corrientes llevan el mismo sentido la fuerza será de atracción,
mientras que si llevan sentidos contrarios la fuerza será de repulsión.
16/01/2008
EyM 5-42
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Ejemplo 2
Calcular la fuerza entre una corriente IH por un hilo rectilíneo indefinido y una
IE por una espira circular situada en un plano que contiene al hilo.
z
IE ϕ$
x
u$
r
α dl
r
IH
R
d
Para calcular la fuerza es más fácil obtener el
campo que crea el hilo en los puntos de la
r
espira que lo contrario. Será: B = µI H ϕˆ
H
2πr
La fuerza sobre un elemento de corriente de
la espira será:
r r
x
r
µI I
µI I Rdα
dF = I E dl × BH = H E Rdα (− αˆ × ϕˆ ) = H E
uˆ
2πr
2πr
uˆ = cos αxˆ + senαzˆ
Pero: r = d + R cos α
La componente z de la fuerza, que debe anularse por
simetría:
2π
⎤
µI I R 2π senαdα
µI I R ⎡ 1
Fz = H E ∫
= H E ⎢− ln(d + R cos α ) ⎥ = 0
α
0
=
2π
d + R cos α
2π ⎢⎣ R
0 ⎥
⎦
En cuanto a la componente x:
Fx =
µI H I E R 2π cos αdα
2π ∫α =0 d + R cos α
Ejemplo 2
Haciendo el cambio de variables tg(α/2)=x y descomponiendo en fracciones
se obtiene:
2π R cos αdα
⎡
⎤
d
∫α =0 d + R cosα = 2π ⎢⎣1 − d 2 − R 2 ⎥⎦
⎡
⎤
d
Por tanto: Fx = µI H I E ⎢1 −
⎥
2
2
d −R ⎦
⎣
Si la separación d es mucho mayor que el radio de la espira d>>R, esta podrá
r
considerarse como un dipolo: m = πR 2 I Eϕˆ
r
r r
µI
µI I R 2 ∂ ⎛ 1 ⎞
µI I R 2 xˆ
⎛
⎞
= H E
=− H E
F = ∇ m ⋅ BH = ∇⎜ πR 2 I Eϕˆ ⋅ H ϕˆ ⎟
⎜ ⎟ xˆ
2
∂x ⎝ x ⎠ x = d
2πx ⎠ x = d
2
d2
⎝
(
)
Pero si en Fx se desarrolla en serie:
(d
2
− R2 )
− 12
=
1 ⎡ R2 ⎤
⎢1 − ⎥
d ⎣ d2 ⎦
− 12
=
⎤
1 ⎡ 1 R2
+ L⎥
⎢1 −
d ⎣ 2 d2
⎦
⎡
⎤⎤
µI I R 2
1 ⎡ 1 R2
+ L⎥ ⎥ ≅ − H E2
Fx = µI H I E ⎢1 − d ⎢1 −
2
d⎣ 2d
2d
⎦⎦
⎣
que coincide con el resultado anterior.
16/01/2008
EyM 5-43
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Ejercicio
Un cable coaxial tiene un conductor interior cilíndrico de radio a y uno exterior de
radio b y espesor despreciable como se indica en la figura. Entre ambos hay un
dieléctrico de permitividad ε y permeabilidad µ0, el conductor exterior está a masa, el
interior a potencial V voltios y circula una corriente de I amperios en sentidos
contrarios en cada conductor y distribuida uniformemente en cada uno de ellos.
r
Si rlos conductores son eléctricos perfectos calcule E
y H en la región entre conductores a < ρ < b. (2p).
I
V
Por simetría el potencial solo depende de ρ por lo que
I
a
∆φ =
b
z
φ=
1 ∂ ⎛ ∂φ ⎞
⎜ρ
⎟=0
ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠
ρ
∂φ
=A
∂ρ
r
Por tanto el campo E será:
r
∂φ
A
ρˆ = − ρˆ =
E = −∇φ = −
∂ρ
ρ
⎛b⎞
V
ln⎜ ⎟
⎛ b ⎞ ⎜⎝ ρ ⎟⎠
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
φ = A ln ρ + B
V 1
ρˆ
⎛b⎞ ρ
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
r
H
Cont
r
I
ϕˆ
H=
2πρ
Calcule el vector de Poynting y su flujo a través del plano z=0 en la región a < ρ < b.
(2p)
r r r
El vector de Poynting se define como P = E × H
r r r
V 1 I
VI
(ρˆ × ϕˆ ) =
zˆ
P = E×H =
⎛ b ⎞ ρ 2πρ
⎛b⎞
ln⎜ ⎟
2π ln⎜ ⎟ ρ 2
⎝a⎠
⎝a⎠
r
Por otra parte, aplicando Ampere, el campo H resulta:
Por lo tanto el flujo pedido será:
r
r
b
2π
r
r
∫∫ P ⋅ dS = ρ∫ ϕ∫ (E × H )⋅ zˆρdρdϕ =
= a =0
ρd ρ
VI
2π
= VI
⎛ b ⎞ ∫a ρ 2
2π ln⎜ ⎟
⎝a⎠
b
Calcule la densidad superficial de carga en el conductor interior. (2p)
Obtenga la capacidad por unidad de longitud del cable. (2p)
16/01/2008
EyM 5-44
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Cont
Si la región h < z < h+L, a < ρ < b, 0 < ϕ < α se rellena con un material de
conductividad σ calcule el valor de su resistencia. (2p)
r
r
V σ
J = σE =
ρˆ
La densidad de corriente en la región pedida es:
⎛b⎞ ρ
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
La corriente total es por tanto:
r r h+ L
I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫
z =h
α
ασVL
V σ
ρˆ ⋅ ρˆdzadϕ =
b
a
⎛
⎞
⎛b⎞
= 0 ln
ln⎜ ⎟
⎜ ⎟
a
⎝ ⎠
⎝a⎠
∫
ϕ
⎛b⎞
ln⎜ ⎟
V
a
R= = ⎝ ⎠
I
ασL
Y la resistencia será
Ejercicio
Una línea biplaca está formada por dos cintas metálicas, planas, paralelas,
de espesor despreciable, anchura w, longitud indefinida y separadas d.
Entre ambos hay un dieléctrico de permitividad ε0 y permeabilidad µ0, el
conductor superior está a masa, el inferior a potencial V voltios y circula
una corriente de I amperios en sentidos contrarios en cada conductor y
distribuida uniformemente en cada uno de ellos como se indica en la figura.
Suponiendo w>>d pueden despreciarse los efectos de borde.
Si los conductores son eléctricos perfectos
calcule y en la región entre conductores
I
I
ŷ
(aproxime las placas por hojas indefinidas de
carga y de corriente). (2p)
w
Calcule el vector de Poynting y su flujo a través
del plano z=0 en la región –w/2 < x < w/2, -d/2 <
ẑ
y < d/2. (2p)
Obtenga la capacidad por unidad de longitud del cable (C). (1p)
d
x̂
V
Calcule la energía del campo magnético almacenada por unidad de longitud
en la región, la autoinducción por unidad de longitud de la línea (L) y el
producto LC. (3p)
16/01/2008
EyM 5-45
Electricidad y Magnetismo
Campo Magnético Estacionario
Cont.
Si la región h < z < h+L, –w/2 < x < w/2, -d/2 < y < d/2 se rellena con un material
de conductividad σ calcule el valor de su resistencia (R) así como el producto
RC. (2p)
16/01/2008
EyM 5-46