Contenidos: - Operaciones básicas entre expresiones

MATEMÁTICA
Contenidos:
I- Conjunto de números
II- Operaciones básicas entre expresiones algebraicas.
a).- Suma de expresiones algebraicas.
b).- Resta de expresiones algebraicas.
c).- Multiplicación de expresiones algebraicas.
IIIEcuación
de
Primer grado con una
incógnita
NÚMEROS
NATURALES ( lN ):
N =  1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, .......
Conjunto de números
NÚMEROS ENTEROS ( Z ):
Z =  ....... -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, ....... 
Si observamos veremos que los Número Naturales están contenidos en los números
enteros, esto se representa matemáticamente como lN  Z
Cada número entero a puede representarse como a/1, por lo tanto los números
NÚMEROS RACIONALES ( Q ):
Cada número racional puede representarse de la forma a/b
(1/2 , 17/4 , 15/6, etc.) donde a y b son números enteros y
1 =  a/b : a Z  b Z  b  0 
además b es distinto de cero: Q
entero (Z) están contenidos en los racionales: Z  Q y a la vez los números enteros estan en
los números naturales por lo que: IN  Z  Q
Cada número racional también tiene representación decimal, pero existen
NÚMEROS REALES ( lR ):
Cada número real tiene representación decimal y
cada expresión decimal representa a un número
real.
expresiones decimales que no representan a números racionales. Por lo tanto: Q  R y de
acuerdo a lo ya visto IN  Z  Q  R
Es decir, cada número real es racional o es irracional, pero no ambas afirmaciones
NÚMEROS IRRACIONALES ( I ):
Los números irracionales son números
reales que no son racionales.
Por ejemplo 2, 
a la vez.
Por lo tanto: Q  I = la intersección entre los irracionales y racionales es un conjunto
distinto de vacio. Ejemplo:
Por otro lado Q  I = lR
Podemos integrar realizando el siguiente esquema
I
Z
lN
lR
Q
Q
Operación o ley de composición
En matemática una operación es la acción de un operador sobre una selección de
elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro
elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no. Así por ejemplo si
tenemos una operación de suma entre números enteros tendremos como resultado un numero
entero: 3 + 6 + (-5) = 4
Pero se puede dar que al dividir número enteros el resultado no de un entero:
5 : (-2) = - 2,5
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Suma Algebraica
Se llama suma algebraica a la combinación de adiciones y sustracciones de
números naturales. Dentro de la misma se distinguen dos tipos de términos:
 Positivos: Están precedidos por el signo más.
 Negativos: Están precedidos por el signo menos.
Por lo tanto, se llama término a cada uno de los operandos de las sumas y restas:
 Sumandos en la suma.
 Minuendo y sustraendo en la resta.
Comúnmente la suma aritmética tiende solo a aumentar, en cambio en álgebra puede haber un
aumento o una disminución. Es decir que si se suma una cantidad negativa esto es igual a
restar una cantidad positiva de igual valor, ejemplo: la suma de "a" y "-b" esto es igual a tener
que restar de "a" el valor absoluto de "-b" (el cual es /b/)
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número se calcula de la
siguiente manera:
 si el número es negativo, lo convertimos a positivo.
 si el número es cero o positivo, se queda igual.
Ejemplos: |4| = 4 y de |-4| = 4
Regla de los signos:
(+) x (-) = (+) x (+) = +
(-) x (-) = +
Ej: + (-2) = - 2
- (- 5) = + 5
Ejemplo:
80 + 32 – 12 + 4 - 18 – 7
112 – 12 + 4 – 18 – 7
100 + 4 - 18 - 7
104 – 18 – 7
86 – 7
=
=
=
=
= 79
Otra forma es reunir los positivos y los
negativos por otro, y al final restarlos:
80 + 32 – 12 + 4 - 18 – 7 =
(80 + 32 + 4) + (–12 -18– 7) =
116 - 37 = 79
Si en una suma algebraica aparecen paréntesis, corchetes y llaves, para resolver la misma se
resuelven, en primer lugar las operaciones que figuran entre paréntesis, luego las que
aparecen entre corchetes y por último las que están entre llaves, en ese orden.



44 + 3 + [2 – (8
+12) – (5
– 12) -6
=

44 + 3 + [2 -

20 - (-7) ] - 6
=
3

44 + 3 + [2 - 20 +
7 ]–6

=

44 + 3 +

(-11)
-6
=

44 + 3
- 11
-6
 = 30
Resolver las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
70 – 35 + 17 – 22 – 8 + 10 =
-27 + 20 + 55 – 14 – 22 =
3 + ((-5) + 7) =
-1+ (-2)-(-6) - (+5) + (-4) +3 =
-(- 25) + (-32) - (- 46) - 8 + (-14) -1 =

8 – 3 – 2 + [7 + (-18 + 10) – 22 – (-7)] + 22
=
Suma de fracciones
para sumar o restar fracciones que tengan todas el
mismo
denominador simplemente se suman y
restan los numeradores y se coloco de denominador el
común a las distintas fracciones.
2 5 1 2  5 1 6
  
 2
3 3 3
3
3
2 3 2
  
3 2 6
6
Si las fracciones tienes distintos denominadores se pasan a común
denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero
con el mismo denominador todas (en este el 6).
Para ello se siguen estos pasos:
- Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores (en el ejemplo el 6) y se
pone de denominador de cada una.
3 5 2
  
2 6 3
- Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número
por el denominador de una fracción y se multiplica por el numerador (esto
9  5  4 10 5


6
6 3
es: (6:2).3=9, (6:6).5 = 5, (6:3).2= 4)
- Finalmente se suman los numeradores (18) y se pone el mismo denominador (6).
- En caso de poder, se simplifica.
Multiplicación
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La multiplicación en define recurriendo a la suma, de este modo: Multiplicar a por b
significa sumar b consigo mismo tantas veces como indica a; esto se puede expresar con más
precisión del siguiente modo:
a.b = b+b+...b (con a sumandos).
Ejemplo:
a)
2.3 = 3 + 3 = 6
b)
1 1
1
2. . =
+
3
3 3
c)
3.2,1 = 2,1 + 2,1 + 2,1 = 6,3
=
2
3
Se sobrentiende que a debe ser mayor o igual que dos para que esta definición tenga
sentido, por lo cual hay que definir explícitamente la multiplicación en los casos a = 0 y a =
1. Las definiciones son las siguientes:
0.b = 0;
1.b = b.
El resultado de la multiplicación se llama producto y los números que intervienen en la
operación se llaman factores.
Ejercicios:
Resolver las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
(1+3+7).2 =
6 – 38.(15 + 6 – 11) + (-2).(- 40 + 25 + 14) =
8 – 2.( – 2) + 3. [7 + (-18 + 10). – 28 – (-7)] -15 =
6 – (8. – 2) + [2 - .(-18 + 10) – 50] + 32 =
1 – (–3). + 2.[4 + (18 - 10). – 22)] =
f)
3 5 7
  
4 2 4
g)
10 10 7
 

3 5 15
h)
6 5 7
  
5 3 2
5
i)
2
5 3
 
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Definición de multiplicación de racionales. Para hallar el producto de dos números
racionales se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí, y se coloca el
signo que corresponda de acuerdo con la regla de los signos vista para la multiplicación de
enteros. O sea:
m o m.o
. 
n p n. p
Ejemplo:
5 7 5.7 35
. 

2 3 2 .3 6
División
La división se define como operación inversa de la multiplicación: se dice que a:b = c,
siendo, si c.b = a. O sea que la división entre el número entero a y el número entero b (no
nulo), dados en ese orden, es un número entero c tal que c.b = a. Si la división que se plantea
es a:b (o a/b), el número a se llama dividendo, el número b divisor, y el resultado cociente
con respecto a la operación planteada. Entonces el cociente es un número que multiplicado
por el divisor da el dividendo. Ejemplo:
24:(-4) = -6 porque -4.(-6) = 24.
La división por 0 sigue careciendo de sentido. En una división el divisor debe ser siempre no
nulo.
En una división de fracciones la operación se transforma en una fracción simple de este
modo: se coloca como numerador el producto del numerador de la primera fracción por el
denominador de la segunda, y se coloca como denominador el producto del denominador de
la primera fracción por el numerador de la segunda.
Ejemplo:
2 5 2.7 14
: 

3 7 3.5 15
Ejercicios:
a- -10:2.4.(-9 + 11) - 4.(-4:(-2).3) + (12-6):3 - 20:(5 + 7) =
b- - 4:2 + 5.9:3 - (-2).(7 - 8:(4.2)-1) + 3.(5-7.2) =
5
3 5
c- 7  2.    18. 
6
2 4
 12 5 8   5 4 
d- 25   3.        =
 5 3 15   3 5 
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Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas)
relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3y + 4x = 2x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la
x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por
tanto a 1).
Ejemplos:
4x = x - 2
4 + 5x = 6x - 10
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y
realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
Ejemplo resuelto:
a) 4x = 3 – 7
4x = - 4
x = - = -1
Comprobemos
al lado izquierdo de la ecuación: 4x = 4.(-1) = - 4
y esto es igual a lo que tenemos a la derecha de la igualdad 3 – 7 = - 4
b) 4 + 5x = 6x – 10
Primero agrupamos los términos comunes, esto es: 4 + 10 = 6x – 5x
14 = x, puede comprobar reemplazando x en la ecuación dada inicialmente.
Nuestra incógnita esta como divisor, nos conviene pasarlos al númerador, con lo queda
20 = - 4(6 – x)
20 = - 24 + 4x
20 + 24 = 4x
44 = 4x
x = = 11
Resolver.
Despejar el valor de x en las siguientes ecuaciones:
a)
b)
c)
d)
3x – 4 = 5 – 12
6 – 2x = 8 + 4x
4x -[x -(x -10)] = x - (38 -5x)
5(x -5) -(x -3) = (x +1) -12
Aplicaciones de las ecuaciones con incógnita
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la
vida cotidiana.
Sea el siguiente ejemplo:
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El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 3 años más que el segundo y
este 4 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 44 años ¿qué
edad tiene cada hermano?
Las reglas a seguir para poder poner un problema en ecuaciones son:
1. Comprender el enunciado, identificando las cantidades conocidas (o datos) y las
cantidades desconocidas (incógnitas), así como las relaciones entre ellas.
2. Dar nombre a una de las cantidades desconocidas, asignándole una letra.
3. Representar las cantidades desconocidas mediante expresiones algebraicas que
traducen las relaciones entre esas cantidades y la que hemos designado con una
letra.
4. Escribir una igualdad entre expresiones algebraicas (una ecuación) a partir de las
relaciones existentes entre las diferentes cantidades.
5. Comprobar que los dos miembros de la igualdad representan la misma cantidad.
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En
este caso llamemos: x = edad del hermano menor = A
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos:
x + 4 = edad del hermano mediano = B
edad del hermano mayor: C = B + 3 = x + 4+3 = x + 7
Ecuación:
suma de las edades de los hermanos = 44; Esto es: A + B + C = x + x+4 + x+7 = 44,
3x + 11 = 44
3x = 44 – 11
3x = 33
x = = 11
Luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 11, 15 y 18 años.
Plantear y resolver los siguientes problemas:
1) Dentro de seis años, Julia tendrá 22 años. ¿Qué edad tiene actualmente
Julia?
(sol. 16 años)
2) En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de
naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada
sabor?
(Sol: 12, 24, 108).
3) Juan es 2 años menor que Pedro, pero 5 años mayor que Mimí. Si la suma de las edades
de los tres es 30, ¿qué edad tiene cada uno?
(sol. Juan: 11, Pedro: 13, Mimí: 6)
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4) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el
lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m)
5) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.
(Sol: 4).
6) Al triple de dinero de Pedro se le resta $ 5 y por resultado se obtiene $ 60 ¿Cuánto dinero
tenía Pedro?
(sol. $ 20)
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