Cuaderno de trabajo de Matemáticas

Prologo
El cuaderno de Matemática que utilizarán los alumnos del séptimo grado, refleja en forma sencilla y
práctico los objetivos básicos del programa actual.
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un instrumento que, mediante
lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje dentro y fuera del aula.
Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del profesor Luis Eduardo
Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados fueron muy satisfactorios.
Los Teques, Septiembre del 2003
Agradecimientos:
Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:
Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática
Msc. Milagros Coromoto Camacho, Asesora Metodológica
Marcos Salas, Asesor en Computación
Especialmente a:
A mi esposa: por su apoyo.
A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.
A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.
A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”
Liceo San Pedro de Los Altos
U. E. C. “Andrés Bello”
Contenido
.- Números Naturales.....................5
.- Adición en N, multiplicación en N..............5,6
.- Propiedades de la multiplicación en N............7
.- Ecuaciones en N.............8,9
.- N° enteros, adición en Z............10
.- Propiedades de la suma en Z, sustracción en Z............11
1
.- Multiplicación en Z, propiedades............12,13
.- División en Z............14
.- Relaciones de orden.........15
.- Potencia en N..............15,16
.- N° racionales..........17
.- Adición en Q, propiedades...............17,18
.- Sustracción en Q..............19
.- Multiplicación en Q, propiedades................19,20
.- División en Q..............21
.- Potencia en Q ................21
.- Expresión decimal y cientÃ−fica................21,22
.- Fracción generatriz.................22,23
.- GeometrÃ−a, circunferencia...............24,25
.- Clasificación de triángulos ..................26,27,28
.- Cuadriláteros...................28,29
.- PolÃ−gonos.................29,30,31,32
.- Cálculos de áreas...............32,33
.- Medidas de capacidad y longitud................33,34,35
.- Poliedros..................35,36,37,38,39
.- Ejercicios......................40,41,42
.- Probabilidad estadÃ−stica.................43,44,45,46
.- EstadÃ−stica................47,48,49,50,51,52,53,54
.- Informática..................55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67
.- Ejercicios...................68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80
.- Juegos Matemáticos.............81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95
.. 96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,
2
...............................................................114,115,116,117,118,119,120,121
.- Páginas de resolución de ejercicios.............122,123,124,125,126,127,128
.- BibliografÃ−a...............129
Números Naturales: Llamamos número natural a cada uno de los números que empleamos para contar. Al
conjunto de los números naturales le asignamos la letra N, entonces:
N = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Adición en N:
La adición en N cumple con las siguientes propiedades:
# Conmutativa: a + b = b + a
# Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
# Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a
# Elementos Regulares: x + a = x + b â
a+b
Multiplicación en N:
La multiplicación en N cumple con las siguientes propiedades:
# Conmutativa: a . b = b . a
# Asociativa: (a . b) . c = a . (b . c)
# Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a
# Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0
# Elementos regulares: a . x = b . x â
a=b
# Distributiva: a . (b + c) = (b + c) . a = ab + ac
1.-Resuelve por propiedad conmutativa:
a) 4 + 7 =
b) 5 + 8 =
c)7+9=
d.) 4 + 12 =
2.-Resuelve por propiedad asociativa:
a) 2 + 8 + 7 =
3
b) 1 + 8 +6 =
c) 3 + 8 +4 =
d) 4 + 7 +9 =
3.-Resuelve por elemento neutro:
a) 5 + 0 =
b) 4 + 0 =
4.- Resuelve por elementos regulares: a) 18 + x = 18 + 83 c) 12 + x = 12 + 5
b) x + 21 = 10 + 21 d) x + 24 = 4 + 24
Aplica las Propiedades de la Multiplicación:
1.- Resuelve por Conmutativa:
a) 5 . 6 =
•3.7=
•4.8=
•8.4=
•7.5=
2.- Resuelve por Asociativa:
a) 3 . 8 . 7 =
•4.8.3=
•9.6.3=
•4.7.9=
3.- Resuelve por Elemento Neutro:
a) 4 . 0 =
•3.0=
•0.9=
•0.7=
4.-Resuelve por elementos regulares:
a) x . 3 = 4 . 3
b) x . 6 = 2 . 6
c) x . 9 = 3 . 9
d) x . 7 = 5 . 7
4
Ecuaciones en N: las ecuaciones de la forma x + b = a ( con a ε N y b ε N) sólo tienen solución en N
cuando es a â ¥ b ; teniéndose que: x + b = a â x = a - b
Ejemplos:
1) Resuelve: x + 5 = 6 x = 6 - 5 x = 1
2)Resuelve: x - 7 = 10 x = 10 + 7 x = 17
3)Resuelve : 2x + 4 = 10 x = 10 - 4 x = 6 x = 3
22
4)Resuelve: x + 4 = 5 x = 10 - 8 x = 2
2
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x +3 = 4 b) x + 3 = 5 c) 2x + 4 = 8
d) 3x - 5 = 10 e) 2x + 3x = 15 f) 4x - x = 20 - 5
g) 3x - 2x = 5 h) x + 2x = 9 i) x - 3 = 6
2
GuÃ−a para resolver problemas con números naturales:
x = número x + 1 = un número más uno.
2x = dos veces un número x + 2 = un número más dos.
3x = tres veces un número x + (x +1)= suma de dos N° consecutivos.
x/2 = mitad de un número. 2x + 1 = un número impar.
x + (x +1) = dos N° consecutivos. 2x+(2x+2)= dos N° pares consecutivos.
Números Enteros: Es el conjunto formado por los números positivos, los negativos y el cero.
+_
Z = +1,+2,+3,+4,+5,.... Z = -1,-2,-3,-4,-5,.....
*
Z = ....-5,-4,-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4,+5.... Z = 0
Adición de N° Enteros: a) (2)+(6)+(8)= b) (3)+(8)+(5)+(4)=
c) (-2)+(-4)+(7)= d) (-19)+(-5)+(-6)=
5
e) (4)+(-6)+(-5)= f) (-2+7)+(5-1)=
Propiedades de la suma en Z:
a)Conmutativa: (a) + (b) = (b) + (a) Resuelve: a) (3) + (6)=
b) (-5) +(-6)=
c) (4) + (-9) =
b)Asociativa: (a) +(b + c) = (a + b) +( c) Resuelve: a) (3)+(7)+(5)=
b) (-7)+(-6)+(9)=
c) (-4)+(-7)+(-9)=
d) (-8)+(4)+(-12)=
c)Elemento Neutro: (a) + (0) = (0) + (a) = a
Resuelve: a) (3)+(0)= c) (6)+(0)=
b) (7)+(0)= d) (-8)+(0)=
d) Elemento Simétrico: (a)+(-a) = 0
Resuelve: a) (5) + (-5)=
b) (6) + (-6)=
• (-4) + (4)=
• (-7) + (7)=
Sustracción de N° Enteros:
Resuelve: a) (5)-(-4)=
b) (5)-(7)-(9)=
c) (4+1)-(3-1)=
d) (8-2) - (-3-4) =
Multiplicación de N° Enteros:
Resuelve: a) (9).(7)=
b) (5).(4)=
c) (-3).(2).(4)=
d) (2).(4).(-3).(2)=
6
Propiedades de la Multiplicación:
Conmutativa. (a).(b) = (b).(a)
Resuelve: a) (3).(4)=(4).(3) b) (5).(-4) =(-4).(5) c) (-9).(-6) = (-6).(-9)
d) (-6).(5)=(5).(-6) e) (5).(8)=(8).(5)
Asociativa: (a).(b . c) = (a . b).(c)
Resuelve: a) (2).(4).(5)= d) (3).(8).(4).(5)=
• (-6).(2).(-3)= e) (-4).(6).(2)=
• (-7).(5).(-4)= f) (-4).(9).(3) =
Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a
Resuelve: a) (5).1=
• (-6).1=
• (8).1=
• (-5).1=
Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0
Resuelve: a) (5) . 0 =
• (-9) . 0 =
• 0 . (-7) =
• 0 . (6) =
División de N° Enteros:
Resuelve: a) (4) : ( 2) =
• (5+3) : (2) =
• (-2+4) : (2) =
• (7-1) : (5+ 1) =
• (8-3+4) : (2+1)=
• (5-3).(2-1) : (2) =
• (3+6-2) : (2+5) : (4-2) =
• (-3+9-2) + (-5+7-1) : (15-10) =
• (2+8-4) . (-1+3-6) : (9-1) =
7
• (5-2+9) - (-3+4-6) : (14+3) =
Relaciones de orden “mayor que” y “menor que”:
1) Ordena de menor a mayor (<) a) 5,-3,8,0,-1,6,100
• -5,-3,0,10,-26,8,-20
• -7,0,3,7,-20,-13,36
• 2,-4,-8,0,-1,24,-25
2) Ordena de mayor a menor (>): a) -3,4,7,-100,-26
• -5,-12,-15,18,1,0
• -7,-120,-36,0,-1,8,9,44
• 20,-1,0,-38,-4,16,2,3
Potenciación: Es una multiplicación reiterada.
par
Regla para potenciar: (+) = +
impar
(+) = +
par
(-) = +
impar
(-) = 0
Propiedades: 1) a = 1
1
•a=a
m n m +n
•a.a=a
m n m-n m n m . n
4) a : a = a 5) (a ) = a
Ejercicios:
8
a) 2³ = b) 2.2.2.2 =
c) ( -3)2 = d) (2)2 . (2)3 =
e) a² = f) 6 ². 6 ³=
g) 53 . 42 . 52 = h) 32 . 40 . 33
i) ( 22 . 32)3 = j) (52 . 43 )2 . (23 . 3 ) =
2 . 32
22 . 4 . 52
k) (32 . 43 . )2 . (52 . 3)2
= l) (23 . 32 )2 2 =
(32 . 43 . 52 )2 23 . 32
3.- Números Racionales:
Un número racional es el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una dada. Un
número racional está compuesto por un numerador y un denominador.
a numerador
b denominador
Hallar el m. c. m en :
a) 2 y 8 b) 4 y 9 c) 5 y 12 d) 3,2,4
e) 8,5,3 f) 2,7,6 g) 3,9,14 h) 5,8,7
Adición de N° Racionales:
Resuelve: a) 2 + 3 = b) 4 + 7 = c) 5 + 8 =
543532
Propiedades de la Suma de N° Racionales:
Conmutativa: a + c = c + a
bddb
Resuelve: a) 2/3 + 5/3 = b) 3/2 + 5/4 = c) 5/6 + 7/5 =
Asociativa: a + c + e = a + c + e
bdfbdf
9
Resuelve: a) 4/5 + 3/6 + 3/2 = b) 4/2 + 2/3 + 7/2 = c) 4/6 + 7/8 + 3/5 =
Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a
bb
Resuelve: a) 4/3 + 0 b) 5/3 + 0 c) 6/2 + 0 d) 5/2 + 0 e) 2/5 + 0
Elemento Simétrico: a - a
+
bb
Resuelve: a) 5/6 = b) 6/8 = c) 4/9 = d ) 3/5 = e) 7/9 = f) 8/5 =
Sustracción de Números Racionales:
Resuelve: a) 5/6 - 8/6 = b) 5/6 - 5/3 = c) 6/8 - 9/6 = d) 5/6 - 3/2 =
Problemas Simples:
• Si sumamos 2/5 con 3/6, que fracción obtenemos.
• Un tanque de agua vacÃ−o se llenó de la siguiente manera: el primer dÃ−a con ½ de agua,
el segundo dÃ−a con 2/3 de aguay el tercer dÃ−a con ¾ de agua. ¿ Cuál es la capacidad del tanque?
Multiplicación de N° Racionales:
a) 6/4 . 5/3 = b) 5/4 . 2/4 = c) 7/6 . 4/5 = d) 6/3 . 5/2 = e) 6/4 . 4/3 =
Propiedades de la Multiplicación de N° Racionales:
Conmutativa: a . c c . a
=
bddb
Resuelve: a) 5/4 . 7/6 = b) 5/3 . 6/5 = c) 4/3 . 7/2 = d) 6/2 . 9/5 =
Asociativa: a . c . e = a . c . e
bdfbdf
Resuelve: a) 7/4 . 6/5 . 3/2 = b) 3/2 . 4/2 . 6/5 = c) 4/3 . 7/5 . 4/1 =
Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a
bbb
Resuelve : a) 4/5 . 1 = b) 4/7 . 1 = c) 3/5 . 1 = d) 2/5 . 1 = e) 6/4 . 1 =
10
Factor Cero : a a
.0=0.
bb
Resuelve: a) 5/3 . 0 = b) 4/2 . 0 = c) 3/6 . 0 = d) 2/5 . 0 = e) 3/8 . 0 =
Distributividad a . c + e a . c + a . e
Ö¾ = Ö¾
bdfbdbf
Resuelve: a) 6/4 . ( 5/3 + 7/3 ) = b) 5/3 . ( 2/2 - 5/3 ) = c) 2/6 . ( 5/6 + 7/3 ) =
División de N° Racionales:
Ejemplo : 2 : 3 2 . 7 14
==
4 7 4 3 12
Resuelve: a) 2/4 : 7/9 = b) 6/2 : 3/5 = c) ( 5/4 . 8/6 ) : 7/3 =
d) (7/2 : 9/3) : 8/4 = e) (5/3 + 1/5) : 2/3 = f) 6/4 + ( 7/3 : 3/2) =
Potenciación de N° Racionales :
Resuelve : a) 2/5 ³ b) 2/4 ² c) 2/3 . 2/3 ² d) 2/3 ³ . 2/3 ² ²
e) 3/5 ³ : 3/5 f) 2/4 ² . 2/4 ³ ³
Expresión Decimal y CientÃ−fica:
Calcula: a) 4 = 0,4 b) 8 = c) 486 = d) 5789 = e) 44,567 =
10 100 1000 10 100
Escribe en Notación CientÃ−fica:
Calcula: a) 1.600.000 = 1,6 x 106 b) 1.470.000 = c) 45.200.000.000 =
d) 0,00083 = e) 0,3478 = f) 172 = g) 12,347 = h) 0,0789=
Escribe en forma decimal:
Calcula: a) 3,2 x 104 = 3,2 x 10.000 = 32.000 b) 1,3 x 103 = c) 1,26 10-4 =
d) 3,55 x 10-6 = e) 45 x 10-1 = f) 1,26 x 10-2 = g) 684 x 102 =
11
Fracción Generatriz:
A,BCDE..... A= unidad 1
B= décima 0,1
C= centésima 0,01
D= milésima 0,001
E= décima de mil 0,0001
Etc.......
Dado el decimal: 8,3 5 dónde: 8 es la parte entera
3 es el ante perÃ−odo
5 es el perÃ−odo
a) Dado f: 3,4 5 100f = 100 . 3,4 5 = 345, 5
-10f= -10 . 3,4 5 = -34, 5
90f = 311
f= 311
90
Resolver: a) 4,3 4 b) 6,57 8 = c) 9,4 32 = d) 95, 3 6 = e) 10,58 90 =
f) 7,4 4 g) 58, 78 9 = h) 4, 678 5 = i) 67,4 8546
GeometrÃ−a :
Circunferencia: es una lÃ−nea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia del centro.
Elementos de la Circunferencia:
• Radio: es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier
punto de ella.
• Arco: es la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.
• Cuerda: es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.
• Diámetro: es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
Radio . Arco
Cuerda Diámetro
12
Fórmula de la Circunferencia:
C = 2 . Ï” . r
Calcular: a) C = x b) C = x c) C = x d) C = x
r = 4 cm r = 3 cm r = 2 cm r = 6 cm
Construir circunferencias de:
• 5 cm de diámetro.
b) 2.5 cm de diámetro.
c) 4 cm de radio.
d) 3 cm de radio
e) 20 mm de radio.
f) 30 mm de diámetro.
Triángulos: Un triángulo es un polÃ−gono de tres lados. Está compuesto por: lados, vértices, ángulos
internos y externos, tiene superficie y perÃ−metro.
Clasificación de los triángulos:
Según sus lados: a.- Equilátero b.- Isósceles c.- Escaleno
Según sus ángulos: d.- Rectángulo e.- Acutángulo f.- Obtusángulo
abcd
ef
Óngulos Internos:
A α A + α B + α C = 180°
Ejercicios: 1) Dado : Hallar : x
2) Dado Hallar : x
Óngulos Externos :
Bâ
A+â
B+â
C = 360°
C
A
1.- Dado 120°
13
Hallar: X
X 80°
X
2.- Dado
Hallar: X
100°
120°
Cuadriláteros: un cuadrilátero es un polÃ−gono de cuatro lados.
Paralelogramo Rectángulo Rombo
abefs
vt
dcgh
u
Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo
Trapecio Escaleno
ie
mn
:
Construir los siguientes cuadriláteros:
1.- Un rombo, con las siguientes medidas: diagonal ac = 6cm, diagonal bd = 4cm.
2.- Un rombo: diagonal ac = 5cm, diagonal bd= 3cm.
3.- Un paralelogramo, cuyas diagonales midan cb = 7cm. , ad = 4cm y α a ó c = 50°.
4.- Un paralelogramo donde ab= 6cm y en `el construyamos un ángulo de 30°, ac= 5cm.
PolÃ−gonos: llamamos polÃ−gonos a la figura representada por una lÃ−nea poligonal cerrada y sus puntos
interiores.
PolÃ−gono regular PolÃ−gono irregular
b
14
b
ac
ca
eded
Nombre de los PolÃ−gonos:
3 lados : triángulo
4 lados: cuadrilátero
5 Lados: pentágono
6 lados: hexágono
7 lados: heptágono
8 lados: octógono
9 lados: eneágono
10 lados: decágono
PolÃ−gonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia.
Ejercicios: construir polÃ−gonos sabiendo que uno de sus lados mide:
a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.
b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.
c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.
d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm
PolÃ−gonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia
a
be
d
c
PolÃ−gonos circunscritos: son los que tienen todos sus lados tangentes a la misma circunferencia.
Ejercicios: construir polÃ−gonos sabiendo que uno de sus lados mide:
15
a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.
b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.
c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.
d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm
Cálculo de Óreas:
a.- A (triángulo) = b . h b.- A(rectángulo) = b . h c.- A(cuadrado)= L²
2
d.- A(paralelogramo) = b . h e.- A(trapecio)= B1 + B2 . h
2
f.- A(rombo) = D1 . D2
2
Ejercicios:
a.- Calcula el área del triángulo cuya base es 2 cm y la altura 3 cm.
b.- Calcula el área del trapecio cuya base 1 es igual a 4 cm, base 2 igual a 3cm y la altura
2 cm.
c.- Calcula el área del cuadrado, sabiendo que uno de sus lados mide 4 cm.
d.- Calcula el área del paralelogramo, sabiendo que base mide 4 cm y su altura 5 cm.
e.- Calcula el área del rombo, sabiendo que una diagonal mide 3 cm y la otra
diagonal mide 4 cm.
Medidas de Capacidad: Es el volumen que ocupan los lÃ−quidos y la unidad más usada es el litro.
Kl- hl - dal -l- dl - cl - ml
Kl= kilo-litro hl= hecto-litro dal= decalitro l= litro dl= decilitro
Cl= centrilitro ml= mililitro
Estas unidades aumentan de 10 en 10, y disminuyen de igual forma. De mayor a menor multiplicamos y de
menor a mayor dividimos.
Ejercicios: 1.- Transformar 25 Kl a l 2.- Transformar 267 l a cl
3.- Transformar 1280 cl a dal 4.- Transformar 34 dl a hl
16
Volumen cúbico: Estas unidades aumentan de 1000 en 1000, y disminuyen de igual forma. De mayor a
menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos.
Kl³-hl³-dal³-l³-dl³-cl³-ml³
Ejercicios: 1.- Transformar 3,4 m³ a cm³ 2.- Transformar 0,042 dam³ a mm³
3.- Transformar 4876 m³ a hm³ 4.- Transformar 346 dam³ a hm³
5.- Transformar 12345 mm³ a km³ 6.- Transformar 830 cm³ a hm³
Medidas de longitud: Viene dado por la unidad del metro, y es la distancia que existe entre dos cuerpos.
Km-hm-dam-m-dm-cm-mm
Km= kilómetro hm= hectómetro dam= decámetro m= metro dm= decÃ−metro
cm= centÃ−metro mm= milÃ−metro
Transformar: a.) 3,4m a cm b.) 0,456 dam a mm c.) 4876 m a hm
d.) 28 dam a dm e.) 24546 mm a cm f.) 7463 h a Km
Identificar Poliedros:
Son los cuerpos geométricos limitados totalmente por polÃ−gonos.
Cubo Prisma
ParalelepÃ−pedo Tetraedro
Vi pirámide
Caras de un poliedro: son los polÃ−gonos que lo limitan.
Aristas de un poliedro: son los lados de los polÃ−gonos que forman sus caras, o los
segmentos formados por la intersección de cada dos de sus caras.
Vértices de un poliedro: son los vértices de los polÃ−gonos que forman sus caras o los
puntos de intersección de sus aristas.
Calcular el volumen de poliedros:
• Volumen del cubo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base es un
cuadrado asÃ− que el área vale : A = lado2.
Fórmula: V = (lado)3
• Volumen del paralelepÃ−pedo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base
es un rectángulo cuya área vale:
17
A = largo x ancho.
a
Fórmula: V = l . a . h
h
l = largo
l a = ancho
h = altura
• Volumen del cilindro: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura, pero la base es un
cÃ−rculo cuya superficie vale: C = Ï” . r2
Fórmula: V = ϔ . r2 . h
r = radio
h h = altura
• Volumen de un prisma regular : se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura.
Fórmula: V = p . a . h
2
5) Volumen de la esfera: fórmula. V = 4 . ϔ . r3
3
r
• Volumen de una pirámide: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura y el resultado se
divide por tres.
Fórmula: V = b . h
3
• Volumen de un cono: se calcula multiplicando la superficie de su base por su altura y el resultado se divide
por tres.
Fórmula: V = ϔ . r2 . h
3
h
r
18
Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:
a) 3,4 m3 a cm3 b) 0,042 dam3 a mm3
c) 4876 m3 a hm3 d) 0,086 cm3 a dam3
e) 4 km3 a mm3 f) 18742 cm3 a dam3
Calcular el volumen del cubo, cuyas aristas son:
a) l = 6 m b) l = 5 cm c) l = 3 cm
d) l = 7 m e) l = 4 m f) l = 8 cm
Calcular el volumen de un paralelepÃ−pedo, cuyos datos son:
• l = 3 m b) l = 4 m c) l = 5 cm
a = 2,5 m a = 3 m a = 3 cm
h = 1,8 m h = 2 m h = 6 cm
d) l = 5 m e) l = 6 cm f) l = 7 m
a = 4 m a = 4,5 cm a = 8 m
h = 8 m h = 7 cm h = 10 m
Calcular el volumen de un cilindro, cuyos datos son:
a) r = 12 cm b) r = 10 m c) r = 8 cm
h = 45 cm h = 7 m h = 5 cm
Ï” = 3,14 Ï” = 3,14 Ï” = 3,14
d) r = 23 cm e) r = 14 m f) r = 9 cm
h = 30 cm h = 14 m h = 14 cm
Ï” = 3,14 Ï” = 3,14 Ï” = 3,14
Calcular el volumen de un prisma, cuyos datos son:
1) b = 240 cm2 2) b = 124 cm2
h = 14 cm h = 16 cm
3) b = 24 m2 4) b = 45 cm2
h = 6 m h = 5 cm
19
Calcular el volumen de una esfera, cuyos datos son:
1) r = 3 cm 2) r = 4 m 3) r = 5 cm
Ï” = 3,14 Ï” = 3,14 Ï” = 3,14
Calcular el volumen de un cono, cuyos datos son:
1) r = 6 m 2) r = 8 cm 3) r = 7 m
h = 4 m h = 6 cm h = 5 m
Ï” = 3,14 Ï” = 3,14 Ï” = 3,14
Probabilidad: también conocida como teorÃ−a de la probabilidad, es la rama de las matemáticas que se
ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que un suceso o experimento produzca un
determinado resultado. La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento
necesario de la estadÃ−stica.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII Blaise Pascal y
Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como Gerolamo Cardano en el siglo XVI,
habÃ−an aportado importantes contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como
un intento de responder a varias preguntas que surgÃ−an en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas
veces se han de lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos inclusive. La probabilidad
0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los
problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o
acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir. Si un
experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un suceso
favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la
probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian acontecimientos en que
los distintos resultados tienen distintas probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de
que salga 5 o 6 al lanzar un par de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.
Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles resultados, como la probabilidad
de que una cuerda de circunferencia dibujada aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.
Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad y la estadÃ−stica. Algunos
ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un 3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin
hacer trampas 50 veces; si una persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un
paso hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a
menos de 10 pasos del origen.
En términos probabilÃ−sticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente excluyentes si la
probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos sucesos son independientes si la
probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es igual al producto de sus probabilidades individuales. Es
decir, dos sucesos son excluyentes si la ocurrencia de uno prohÃ−be la ocurrencia del otro; dos sucesos son
independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el otro ocurra o no.
Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a
la vez; probabilidad total es la de que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se sabe que otro suceso ha
20
ocurrido o va a ocurrir.
Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la
confianza en que el suceso ocurra es p contra q y la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de
dos sucesos mutuamente excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y
no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los sucesos O1, O2,…, On,
mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2, …, pn, respectivamente, y si a cada uno de los
posibles resultados se le asigna un valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E
= p1v1 + p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si saca 1, 2 o 3 y 3
pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6.
El resultado esperado con un solo lanzamiento es 3/6 Ã 4 + 2/6 Ã 3 - 1/6 Ã 12 = 1, o lo que es lo mismo,
un pastel.
El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadÃ−stico.
Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa (se interpreta como) que
al lanzar dos dados aleatoriamente y sin hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de
los lanzamientos darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadÃ−sticamente la
probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. AsÃ−, si la estadÃ−stica a largo
plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo
que quiere decir que la probabilidad de que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por
ciento.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias fÃ−sicas, biológicas y sociales, asÃ− como en
el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares como la genética, la mecánica
cuántica y los seguros. También estudia problemas matemáticos teóricos de gran importancia y
dificultad y está bastante relacionada con la teorÃ−a del análisis matemático, que se desarrolló a partir
del cálculo.
P = CF casos favorables
CP casos posibles
Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.
P= 1 lo que significa 0,5 x 100% = 50%
2
2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 5.
P = 1 lo que significa 0,16 x 100% = 16,6%
6
Ejercicios: Hallar la probabilidad de que:
a.- Al lanzar dos dados salga el N° 4 y 6.
b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello.
21
c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde, salga una azul y una
roja.
d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.
EstadÃ−stica: Rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos y
que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la toma de decisiones.
Historia:
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadÃ−stica, pues ya se utilizaban
representaciones gráficas y otros sÃ−mbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para
contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya
pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción agrÃ−cola y de los
géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la
renta del paÃ−s mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bÃ−blicos de
Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadÃ−stica. El primero contiene dos censos
de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judÃ−as. En
China existÃ−an registros numéricos similares con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos
realizaban censos cuya información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población,
superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media sólo se realizaron algunos
censos exhaustivos en Europa. Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios
minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la
conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un censo. La
información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de
nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer
estudio estadÃ−stico notable de población, titulado Observations on the London Bills of Mortality
(Comentarios sobre las partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en
la ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund
Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la generalización del método
cientÃ−fico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los investigadores
aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las
descripciones verbales.
En nuestros dÃ−as, la estadÃ−stica se ha convertido en un método efectivo para describir con exactitud
los valores de datos económicos, polÃ−ticos, sociales, psicológicos, biológicos y fÃ−sicos, y sirve como
herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadÃ−stico no consiste ya sólo
en reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. El
desarrollo de la teorÃ−a de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadÃ−stica.
Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones
probabilÃ−sticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos estadÃ−sticos. La
probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadÃ−sticas y para predecir el tipo y
la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadÃ−stico.
Tipos de Gráficos:
1.- Gráfico de Barras:
2.- Gráfico Circular:
22
3.- Gráfico de PolÃ−gono:
4.- Gráfico de Ojiva:
5.- Gráfico de Columnas:
6.- Gráfico de Óreas:
Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:
Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada
01 - 05 6 6
06 - 10 8 14
11 - 15 4 18
16 - 20 5 23
8
7
6
5
Frecuencia 4
3
2
1
01 05 10 15 20
Intervalos
Ejemplo: Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular
Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada
01-05 5 3 5
06-10 6 8 11
11-15 4 13 15
16-20 7 18 22
23
Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras
Intervalos
001-002
003-004
005-006
007-008
frecuencias
6
8
7
4
Punto medio
P.mxf
Nociones elementales de Informática:
• Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera formalizada, ajustada
para la comunicación, interpretación o procedimiento manual o automatizado.
• Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un hecho o fenómeno.
c) Tipos de datos:
• Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen al proceso.
• Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten verificar todas las
transacciones.
d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,
capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate de una lectura o de una
escritura.
e) Formas de procesamiento de datos:
.- Medios perforados.
.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.
cintas perforadas.
.- Medios magnéticos: tambor magnético.
soporte magnético.
cintas magnéticas.
disco magnético
.- Medios ópticos.
.- Terminales de teclado-pantalla.
.- Impresora.
Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada por:
• Monitor o pantalla.
• Teclado.
24
• C .P.U
• Impresora.
• Mouse.
• Fax.
• Scanner.
Partes de un Computador
Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida
Traduce palabras y números Almacena datos e Traduce el lenguaje
a lenguaje de máquinas instrucciones de máquina a palabras y números
Unidad de Control
Controla los cálculos y el orden
de las instrucciones
Unidad Aritmética
Ejecuta todos los cálculos
Unidad Central de Procesamiento
CaracterÃ−sticas de los computadores:
• Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:
.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.
.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por
medio de lenguajes de programación.
• Tienen gran velocidad de cálculo.
• Tienen gran capacidad de almacenamiento.
• Tienen gran precisión.
• Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos
Tópicos.
• Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.
Aplicaciones de los computadores:
Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos administrativos de
la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de ofimática.
25
Tareas administrativas del computador:
• Gestión de personal.
• Proceso de nóminas.
• Control de inventarios.
• Gestión de almacén.
• Facturación y contabilidad.
• Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.
• Información de productores, partes y materiales.
• Estado de cuentas de los clientes.
Aplicaciones Industriales:
• Control de procesos industriales.
• Robótica industrial.
• Diseño.
• Otros.
Aplicaciones tecno-cientÃ−fico:
• Predicciones meteorológicas.
• Control ambiental.
• Control de comunicación satelital.
• Programas de simulación (vuelos).
• Otros.
Aplicaciones médicas:
• Control clÃ−nico del paciente.
• Mantenimiento de hospitales.
• TomografÃ−a computarizada.
• Otros.
Concepto de algoritmo:
El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente especificado y sin
ambigüedades que conducen a la solución de un problema especÃ−fico (definido), siguiendo un número
infinito de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.
SÃ−mbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:
Proceso salida - entrada
Operación
Manual decisión
Inicio-fin introducción
manual
magnetic-tape
26
documento punched
card
Representación gráfica de algoritmos :
Problema N° 1: Algoritmo para abrir una puerta
inicio
acercarse a
la puerta
intentar abrirla
dándole vuelta
al pomo
no ¿ está cerrada si buscar la introducir la
con llave? Llave llave en la
cerradura
darle vuelta a
la llave
dar vuelta no ¿ Se abrió
al pomo la puerta
abrir complesalir tamente la
puerta
fin
Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)
2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)
27
4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
5.- Imprimir : SUM.
Comienzo
N=0
SUM = 0
N=N+1
SUM = SUM + N
Si
¿ Es N < 20
No
Imprima SUM fin
Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.
2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)
3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)
5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
6.- Imprimir
Comienzo
N=0
X=0
SUM = 0
X=X+2
N=N+1
SUM = SUM + X
28
Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima fin
SUM
1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.
2) Representar el algoritmo para bañarse.
3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.
4)Representar el algoritmo para levantarse.
Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos
• Leer los N° enteros positivos A y B
• Asignar a las variables PROD y N el valor 0
• Sumar a PROD el valor en A
• Aumentar a N en 1.
• Si N < B pasar a instrucción 3.
• Imprimir: PROD
Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.
1) Leer los N° enteros positivos A y B.
2) Asignar a las variable COC el valor 0.
• Efectuar A - B y asignarlo a A.
• Aumentar a COC en 1.
• Asignar a RES el valor A.
• Imprimir: COC y RES
Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros
positivos, utilizando divisiones sucesivas.
1) Leer los números enteros positivos A y B.
2) Si A > B, pasar a instrucción 4.
3)Intercambiar valores de A y B.
• Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R.
• Si R = 0 pasar a instrucción 7
• Asignar en A el valor de B, y en B el valor R.
• Imprimir; MCD (A , B) = B
Determina el valor de cada una de las siguientes expresiones.
• -4+(4+7-9)-{ (4-2)-(6+9)}-(4+1-7)=
• {-(3+8-4)-(4+12-5)}+{(8-6)-(5+13)}=
• {-(9-5+14)-(6-5+11)+(15-9+7)}+{(2-24)-(4+10)}=
29
• {-(3+15+19-3)-(4+3-9)}-{(13+8+4)-(25-14+2)}=
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:
a) x + 8 = 18 b) x - 4 = 10 c) 10 + x = 30
d) 20 + x = 70 e) 82 - x = 68 f) 5x + 10 = 15
g) x + 20 = 34 h) x - 25 = 50 i) 4x = 124
j) 5x + 103 = 153 k) 42x - 84 = 126 l) 1200 = 90 + 111x
Determinar el resultado de cada una de las siguientes operaciones:
a) (15+1):8= b) 20 : (7+3)= c) (-36) : (6-12)=
d) (23-11) : (-6)= e) 45 : (14-5)= f) (-80) : (15+5)=
Efectuar cada una de las siguientes expresiones:
• 32.34.35 = b) 23.34.25.310 = c) a3.b2a.b3 =
3.36 3.22.2.35 a2.b3
Hallar el m .c .m de los siguientes números:
a) 20 y 4 b) 30 y 6 c) 5 y 7 d) 15 y 25 e)21 y 34
f)12,3,15 g) 24,12,30 h) 4,8,9 i) 9,10,7 j) 5,9,16
Determinar el M .C .D de los siguientes números:
a) 72 y 90 b) 140 y 35 c) 24 y 56 d) 14 y 8 e) 12 y 34
f) 25 y 46 g) 14 y 28 h) 35 y 42 i) 28 y 35 j) 21 y 30
Efectuar cada una de las siguientes adiciones:
a) 2/6 + 7/4 = b) 5/3 + 6/5 = c) 8/4 + 9/2 + 5/2 =
d) 5/2 + 7/5 = e) 4/3 + 8/6 + 9/4 = f) 8/4 + 12/4 + 3/6 =
g) 4/8 + 9/8 + 10/6 = h) 9/6 + 13/6 = i) 12/5 + 8/4 + 9/8 =
Efectuar cada uno de los siguientes productos dando el resultado como
una fracción irreducible:
a) ( 3/4 ) . (-5/3)= b) (2/3) . (-4/5) . (5/3) = c) (2/7) . (-4/5) . (-3/4) =
d) (4/6) . (5/6) . (5/2) = e) (7/6) . (4/5) . (3/6) = f) (5/3) . (5/3) . (2/4) =
30
Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, dando la
respuesta lo más simplificado posible:
a) (3/4 + 2/5) : 2/3 = b) (5/2 - 1/5) : 2/4 = c) (2/3 -1/5 + 5/4) : 3/5 =
d) (6/5 . 3/5) . (2/3 - 5/4) = e) (5/6 : 4/3) : 6/4 = f) (4/6 - 8/4) . 6/3 =
g) (4/5 : 7/4) - (4/5 . (6/3) = h) (1/5 . 2/4) + (5/4) = i) (6/5 + 5/4) : 9/4 =
Efectuar cada una de las siguientes potencias:
a) (2/3)4 . (2/3)3 = b) (-1/3)2: (-2/3)4 = c) (3/5) . (3/5)4 =
d) (3/4)2 . (6/5) = e) (2/3)4 . (1/5) 4 = f) (6/4)3 : (6/4)2 =
g) (4/3)3 . (3/5)5 . (4/3)2 3 = h) (4/2)3 . (5/2)3 5 : (4/2) .(5/2)2 =
Determinar el representante decimal correspondiente a cada una de las
siguientes fracciones:
a) 4/10 = b) 8/100 = c) 486/1000 = d) 39/10.000 = e) 765/100 =
f) 34,2/10 = g) 2,45/100 = h) 0,0078/1000 = i) 8765/100 =
j) 78/1000 = k) 24537/10 = l) 2655364/10.000 = m) 2453/100.000 =
Determinar la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales:
a) 2, 35 = b) 34, 24 = c) 4, 786 = d) 76, 345 = e) 54, 8976 =
f) 5, 7 6 5 = g) 45,9 87 = h) 876,98 65 = i) 9,567 87 =
Calcular la longitud de cada una de las siguientes circunferencias cuyos radios son:
a) r = 2 cm b) r = 6 cm c) r = 2,4 cm d) r = 10 cm
e) r = 3,5 cm f) r = 34 mm g) r = 45 mm h) r = 5 m.
Dibujar los triángulos cuyos lados se dan a continuación:
• ab = 2 cm b) ab = 19 mm c) ab = 23 mm d) ab = 4 cm
ac = 2,2 cm ac = 20 mm ac = 20 mm ac = 6 cm
bc = 2 cm bc = 23 mm bc = 26 mm bc = 7 cm
Construir circunferencias de :
a) 3 cm de radio b) 23 mm de radio c) 5,3 cm de diámetro
31
d) 45 mm de diámetro e) 3,3 cm de radio f) 8 cm de diámetro
Construir los siguientes cuadriláteros:
• Un paralelogramo: ab = 4 cm ; ad = 2 cm
• Un rectángulo: ab = 6 cm ; ad = 2 cm
• Un rombo: diagonal ac = 5 cm; diagonal bd = 3 cm
• Un trapecio isósceles :b1 = 5 cm ; b2 = 2 cm ; h = 3 cm
• Un trapecio rectángulo: b1 = 6 cm; b2 = 3 cm; h = 4 cm
• Un trapecio escaleno : b1 = 4 cm ; b2 = 2 cm; h = 3 cm
Construir polÃ−gonos, cuyas circunferencias son:
• Un triángulo, en una circunferencia de 5 cm de diámetro.
• Un cuadrilátero, en una circunferencia de 4 cm de diámetro.
• Un pentágono, en una circunferencia de 6 cm de diámetro.
• Un hexágono, en una circunferencia de 7 cm de diámetro.
Calcular las siguientes áreas:
• De un triángulo: b = 5 cm; h = 6 cm
• De un rectángulo: b = 4 cm ; h = 3 cm
• De un cuadrado: l = 3 cm
• De un paralelogramo: b = 6 cm; h = 2 cm
• De un trapecio: B1= 5 cm; B2= 3 cm; h = 3 cm
• De un rombo: D1= 4 cm; D2= 5 cm
Dibujar los triángulos cuyos ángulos y lados adyacentes se dan a continuación:
• αA = 68°; ab = 23 mm; ac = 22 mm
• αB = 120°; ba = 17 mm; bc = 23 mm
• αC = 47°; ca = 20 mm; cb = 32 mm
• αA = 100°, ab = 5 cm; ac = 2 cm
• αB = 45°; ba = 4 cm; bc = 6 cm
Calcular el valor del ángulo x en cada una de las siguientes figuras:
a) 75° b)
x 45°
x
52°
c) 56°
x
32
52° 82°
En cada una de las siguientes figuras calcular el área sabiendo que:
• En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 m2.
• En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 cm2.
• En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 km2.
a) b)
c)
Calcular el área de cada una de las siguientes figuras: (dibujarlas)
• Un cuadrado si uno de sus lados mide 5 cm.
• Un triángulo cuya base es 4 cm, y su altura 6 cm.
• Un rectángulo cuya base es 3 cm, y su altura 4 cm.
• Un paralelogramo cuya base es 5 cm, y su altura 5 cm.
• Un trapecio cuya b1= 4 cm; b2= 6 cm y su altura 4 cm.
• Un rombo cuyo D1= 4 cm; D2= 3 cm.
Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:
a) 2,6 m3 a ml3 b) 0,0003 hl3 a cl3 c) 456,74 l3 a mm3
d) 3,53678 dal3 a ml3 e) 1234,65 kl3 a dl3 f) 2,4 x 102 dal3 a hl3
Transformar cada una de las siguientes medidas de longitud:
a) 45 km a hm b) 456,3 m a km c) 1,245 mm a m d) 0,786 m a km
e) 984 dam a dm f) 12,45 km a mm g) 56,387 dm a hm h)36,2 km a m
Hallar la probabilidad de que:
• Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara.
• Al lanzar tres dados salga: 3,6,5.
• Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello.
• En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras
verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas.
• En el siguiente cuadro numérico al lanzar un dardo, que posibilidad hay de
Acierte el N° 4.
4589103
12 4 7 10 23 13 43
32 89 45 54 78 98 46
33
27 37 4 60 100 48 41
96 3 12 76 1 0 52
Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras,
uno lÃ−neas y uno de puntos:
Clases frecuencias punto medio f. acumulada
•5
•7
•4
21-27 8
Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras
uno de puntos.
Intervalos frecuencias punto medio p. m x f
1 - 10 5
11 - 20 8
21 - 30 6
31 - 40 9
Ludo de los Números Naturales
Descripción:
Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro colores : verde, azul,
amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules, 4 amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por
cuatro jugadores.
El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas con los números
naturales.
Regla del Juego:
1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).
2.- Se utilizará un dado a la vez.
3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la
casilla de llegada.
4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto esperara
34
su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.
5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.
Objetivo Terminal:
El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales de
los números naturales.
Relaciónate con los Números Naturales
Descripción:
Consta de 55 piezas rectangulares, elaboradas en cartulina doble-fax, donde cada lado consta de relaciones
de dos números, donde se pueden sumar o multiplicar según el objetivo que se quiera lograr. La relación
viene dada d todas las combinaciones de los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Se elaborarán 17 circunferencias en cartulina de 20 cm ó 30 cm de diámetro, cada una enumerada del 1
al 17.
Regla del juego:
1.- Se debe repartir 11 piezas a cada alumno en grupos de cinco (5), en una meza o el piso.
2.- Se dispondrá de las 17 circunferencias ya recortadas en medio de los jugadores (suma) y 35
circunferencias para el (producto).
3.- Se les indicará a los alumnos que introduzcan las 11 fichas de cada combinación, dependiendo de la
suma o el producto de los números en la circunferencia correspondiente.
4.- Ganará el que termine de relacionar las fichas dentro de las circunferencias en forma correcta.
Objetivo Terminal:
El alumno conocerá mediante el juego , los números naturales, las relaciones entre ellos, además de
sumar y multiplicar en N.
SUMA
1234
5678
9 10 11 12
13 14 15 16
17
PRODUCTO
35
0149
16 25 36 49
64 81 8 3
5 6 7 12
21 18 15 24
20 28 27 45
32 63 36 42
72 48 54 40
35 56 14
PIEZAS
Memoria de los Números Enteros
Descripción:
Consta de 56 piezas en forma de cuadriláteros, elaborados en cartulina doble-fax, donde un lado estará
con un número, palabra o signo, relacionado con el tema de los números enteros (preferiblemente en
colores), y el otro lado en blanco.
Regla del juego:
1.- Se colocará todas las piezas con el color blanco hacia arriba.
2.- Pueden jugar hasta 5 alumnos.
3.- Cada alumno irá levantando de dos piezas hasta que coincidan las figuras, una vez que coincidan se
anexarán al jugador.
4.- Ganará aquel jugador que logre acumular el mayor número de parejas.
Objetivo Terminal:
Comprobar que el alumno esté en capacidad de relacionar los números negativos, los positivos y el cero
como números enteros.
Conocer que los números enteros se escriben como Z.
Establecer que los números naturales son un sub-conjunto de los números enteros.
Nâ …ZNâ …Z
± ±
36
|
Juguemos con los Dados
Suma de Fracciones
Descripción del juego:
Se formarán 6 grupos de seis alumnos y cada grupo se dividirá en tres (3 equipos).
Luego se les entregará dos (2) dados que tienen en cada cara una fracción. Los alumnos dirán que
pareja del grupo de seis comienza lanzando los dados, para comenzar la competencia entre ellos.
Al lanzar los dados quedarán dos fracciones que la pareja tendrá que sumar y los que lo hagan en
menor tiempo y correctamente se anotarán un (1) punto y competirá con la otra pareja.
La pareja ganadora se queda y sale la perdedora, y asÃ− sucesivamente.
Al final competirán entre sÃ− los ganadores de los seis equipos, y se irán eliminando hasta quedar un
(1) ganador. El profesor recogerá el record de todos los competidores, asignándole desde 0,25 puntos
hasta 2 puntos a los ganadores (dependiendo de las veces que haya ganado).
Propósito:
.- Practicar la suma de fracciones con igual y diferentes denominadores.
.- Compartir conocimientos. Solidaridad.
.- Ser crÃ−ticos.
Objetivo terminal:
Que los alumnos afiancen los conocimientos en suma de fracciones.
Caras de los Dados
Primer Dado:
Segundo Dado:
Carrera Geométrica
Descripción:
El juego consiste de un tablero de cartulina doble-fax, construido por los alumnos, conteniendo cuadros
sucesivos en los que hay preguntas, observaciones y respuestas que el jugador debe acatar.
Se jugará con cuatro alumnos en el piso o una mesa. Se utilizará un dado por juego.
Ganará el alumno que logre salvar todos los obstáculos y llegue primero. Consta de 26 tarjetas de
preguntas y 26 tarjetas de respuestas.
37
Regla:
1.- Se sorteará el salidor, lanzando el dado.
2.- Cuando caiga en ? se deberá levantar la tarjeta de arriba y leer la pregunta al jugador. Si coincide con
la tarjeta de respuesta podrá volver a lanzar el dado.
3.- Cuando caiga en “avanzar”, “ pierdes turno, “retrocede espacios”, debes cumplir con lo escrito.
4.- Los espacios con figuras geométricas son neutros.
5.- El jugador que llegue primero, será el ganador.
Objetivo Terminal:
Se cumplirá el objetivo, si los alumnos responden satisfactoriamente todas las preguntas en los que ha
caÃ−do el alumno.
El juego persigue estimular al alumno en el conocimiento teórico y práctico de la geometrÃ−a de 7mo
grado.
Parte posterior Parte anterior
. 1- Pregunta 1.- Respuesta
Preguntas
Respuestas
Juego de Dominó en la GeometrÃ−a
Descripción:
El juego de dominó consta de 28 fichas rectangulares. Cada ficha está dividida en dos recuadros iguales.
Cada recuadro expresa una relación.
El juego tiene 56 relaciones en total, las cuales pertenecen al objetivo de figuras geométricas y cuerpos
geométricos. El juego consiste en empatar la figura, fórmula o cálculo del extremo de una ficha, con
una relación de su misma clase, perteneciente a otra ficha:
Regla del Juego:
Juegan cuatro (4) jugadores por mesa de juego, en el taller, o juntando pupitres en una aula normal. Para
una sección de 24 a 32 alumnos, se necesitará 6 ó 8 juegos semejantes.
El juego se desarrolla en la misma forma que un dominó convencional: se revuelven las fichas boca
abajo, cada jugador recoge 7 piezas y las ordena frente suyo.
El jugador irá colocando las fichas dependiendo de la relación que exista al momento de jugar. Ganará
el jugador que logre colocar todas las fichas. Su quipo sumará un (1) punto cada vez que llegue primero
uno del equipo.
38
Se jugarán 11 rondas por cada juego de manera que siempre halla un equipo ganador.
FICHAS
Subiendo y bajando la escalera (EstadÃ−stica)
Descripción:
Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas de colores diferentes para
identificar los jugadores .
Regla del juego:
1.- Constará de 24 escalones enumerados.
2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia, deberá
contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.
3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.
4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.
5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder cumplir con
los ejercicios.
6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.
7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.
8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la sabe, y
librarse de la caÃ−da de la casilla 13.
Objetivo terminal:
El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de los objetivos de estadÃ−stica y probabilidad
del programa de Matemática de una manera sencilla y amena.
Vuelve a empezar
Tarjetas de Preguntas
Posterior
Tarjetas de Inmunidad
Respuestas
1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fenómenos que han
39
ocurrido
2.- Significa porcentaje
3.4.- La probabilidad es P = 1/6
5.- Gráfico circular
6.- Es el estudio de fenómenos ocurridos al azar
7.- P = 2/4
8.9.- Frecuencia relativa
10.11.- Gráfico de barras
12.- Avanza 2 escalones
13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigación
14.15.- Es un subconjunto de la población
16.- La moda es: 3
17.18.- Retrocede 4 escalones
19.20.21.- La mediana es el valor central de una distribución.
22.- x = 42 x = 6
7
23.- 35%
24.- es 5
Crucigrama Matemático:
40
15
23
67
4
89
10 11 10
12
Horizontal: Vertical:
1.- Suma de 3 + 4 1.- se define + como
2.- Se llama 3.- 8 se escribe
4.- . se escribe 5.- 3 se escribe
6.- Siete en ingles 7.- 21 - 1 es igual
8.- 2 + 3 es igual 9.- x en x = 5 - 1 es igual
10.- 13 se escribe 11.- se conoce como
12.- + se escribe
Bingo Geométrico
El juego consiste en llenar el cartón del bingo geométrico primero que los demás. Este consta de 7
cartones y 12 fichas que estarán dentro de una bolsa.
Habrá un cantador que puede ser un jugador o el profesor. Podrán participar hasta 7 jugadores.
CARTONES
Memoria Geométrica
El juego es individual. Cada alumno encuentra las sumas y cuando uno de los participantes designado por el
profesor lee sus resultados, los demás lo confirman o los corrigen.
Ganará el jugador que obtenga los resultados correctos.
Número de: Triángulos:_____ Cuadrados:_____ Hexágonos:____ CÃ−rculos.____
Triángulos pequeños:_____ Triángulos grandes:_____ Cuadrados pequeños:_____
Cuadrados grandes:_____ Hexágonos pequeños:_____ Hexágonos grandes:_____
41
CÃ−rculos pequeños:_____ CÃ−rculos grandes:________
BIBLIOGRAFIA
NAVARRO, E……………………………..Matemática 7mo Grado. Distribuidora
ZacarÃ−as. Caracas Venezuela.1987.
SARABIA, José y BARRAGÓN, F........ Matemática 7mo Grado. Ediciones
CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993
MICROSSOF ENCARTA 99
3
Puedes aprenderte estas propiedades, para que se te facilite el objetivo.
Debes recordar que para hallar el mÃ−nimo común múltiplo, se toman los N° comunes y no comunes con
su mayor exponente.
Realiza estos ejercicios en tu cuaderno.
23
¿ Qué porcentaje es 350 de 1000?
24
Calcular la mediana en:
1, 3, 4, 5, 6, 2, 8
22
Calcular la media en:
5, 3, 10, 9, 5, 6, 4
21
Define la mediana
19
Grafica el siguiente cuadro:
Intervalos Frecuencia
00 - 05 1
06 - 10 4
42
11 - 15 6
16 - 20 2
20
Toma una tarjeta de inmunidad
18
Retrocede 4 escalones
17
Toma una tarjeta de inmunidad
15
Define muestra
16
¿ Cuál es la moda en?
3,4,5,2,1,3,6,8,3
14
Toma una tarjeta de inmunidad
13
Define población
11
¿ Este es un gráfico de?
12
Avanza 2 escalones
10
Toma una tarjeta de inmunidad
9
¿Qué significa fr ?
Completa el cuadro y realiza el gráfico. correspondientes
43
7
Lanza dos monedas y halla la probabilidad de que salga cara y sello
8
Toma una tarjeta de inmunidad
6
¿ Que es la probabilidad ?
5
¿Este es un gráfico?
3
Toma una tarjeta de inmunidad
4
Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 4
2
¿ Qué significa % ?
Observa la estructura de un N° decimal
1
Define EstadÃ−stica
1
2
24
Realiza el gráfico. Correspondiente.
En las ecuaciones con N° naturales debes recordar
que x es una
incógnita que
debes hallar.
Los números naturales son un subconjunto de los números enteros N â … Z
44
Al dividir N° enteros, recuerda dividir los signos también.
Recuerda que en la suma de N° enteros, los números de igual signo se suman y se coloca el mismo signo, y
los de diferentes signos se restan y se coloca el signo de mayor valor absoluto.
El orden de los factores no altera el producto
Resuelve éstos ejercicios
3
23
4
22
5
21
6
20
7
19
8
18
9
17
10
16
11
15
14
12
13
26.- Cilindro
45
25.- Cubo
22.- b = base
h = altura
23.- Kilolitro
24.- Metro
20.- Rombo
19.- Un polÃ−gono regular
21.- Hexágono
16.- Llamamos polÃ−gono a la figura representada por una lÃ−nea poligonal.
17.- Rectángulo
18.- Externos
13.- Es un polÃ−gono de cuatro lados
14.- Isósceles
15.- Paralelogramo
10.- Equilátero
11.- Rectángulo
12.- Internos
7.- Circunferencia
8.- Radio
9.- Un triángulo es un polÃ−gono de tres lados.
4.- Es la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.
5.- Es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.
6.- Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
1.- Estudia el espacio y las formas, figuras y cuerpos que se imaginen.
2.- Es una lÃ−nea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia del centro.
3.-Es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto.
46
25.-¿ La figura es un?
26.- La figura es un?
22.-En la fórmula:
At = b . h
2
b=?
h=?
23.- ¿ La notación Kl se llama?
24.-¿ La unidad para medir la longitud es?
19.- La figura representa un:
21.- ¿Un polÃ−gono de 6 lados se llama?
20.- La figura representa un:
16.- ¿ Un polÃ−gono es?
17.- La figura representa un:
18.-Los ángulos de la figura son:
13.- ¿ Un cuadrilátero es?
14.- ¿ Qué triángulo es?
15.- La figura representa un:
10.-Qué triángulo es?
11.- ¿ Qué triángulo es?
12.- ¡Los ángulos de la figura son?
7.- ¿ La fórmula
C = 2.Ï” . r es para
calcular la?
8.- ¿ El segmento de la figura es?
9.- ¿ Un triángulo es?
47
4.- ¿El arco es?
5.- ¿Define la Cuerda?
6.- ¿ El Diámetro es?
1.- ¿La GeometrÃ−a estudia?
3.-¿ Radio es?
2.-¿ La circunferencia es?
5
2
4
6
6
4
2
7
4
6
3
5
3
4
2
5
3
6
1
2
48
2
3
1
4
Suma = 29
Busca el camino correcto para sumar 29
49