SITUACIONES DE VALIDACIÓN EN EL AULA DE MATEMÁTICAS

SITUACIONES DE VALIDACIÓN EN EL AULA DE MATEMÁTICAS
EN TORNOA LA FUNCIÓN LINEAL
Luz Marina Casallas Gómez
Javier Mauricio Buitrago
Universidad Pedagógica Nacional de Colombia
Maestría en Docencia de la Matemática
RESUMEN: Este trabajo es un avance de investigación en torno a las prácticas evaluativas en la
Educación Básica Secundaria relativos al concepto de función lineal dentro del Campo Conceptual
Multiplicativo. Se presenta un primer acercamiento a las categorías para tal estudio, contextualizado en el
campo de la investigación en Didáctica de la Matemática.
Tradicionalmente, la evaluación en matemáticas ha sido considerada, como algo
periférico a los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas,
importándose modelos de evaluación generales, que han sido producto principalmente
de la psicometría, que tiende ha reducir la evaluación a un estado dicotómico (sabe o no
sabe) o un grado o porcentaje unidimensional (conoce x por ciento). Tales modelos, han
tenido como supuesto que el aprendizaje se produce en tiempos predeterminados e
independientes del currículo y la instrucción, arraigándose una concepción de la
evaluación como una actividad terminal, exclusiva de profesores a alumnos, utilizando
los test como única evidencia del progreso de los estudiantes, convirtiéndose en un
instrumento que cumple una función de selección.
En efecto, estos modelos no analizan procesos de pensamiento, mitifican el error del
estudiante como falta de habilidad y la evaluación pierde el contexto del aula. En una
nueva perspectiva la evaluación debe reconocer la necesidad de considerarse parte del
proceso de enseñanza aprendizaje y no puede evadirse de las interacciones sociales que
ocurren en el aula. Es por esto, los cambios educativos están descentrando la evaluación
de una postura diagnóstica de tipo clasificatorio hacia una posición más intervencionista
en el quehacer cotidiano.
Atendiendo a esto último y al reconocimiento de la necesidad de una teoría específica
para la valoración en matemáticas que tenga en cuenta la naturaleza del conocimiento
matemático dadas las características que lo distinguen de otros, se propone una
concepción de valoración entendida como “el proceso por el cual el profesor trata de
comprender el significado que los estudiantes asignan a las ideas matemáticas que están
en los diálogos que tienen lugar entre profesores y estudiantes durante el proceso de
enseñanza” (Webb, 1994, pp 8); este planteamiento le asigna a la valoración un
significado de proceso continuo y dinámico versus un significado estático, en un tiempo
especifico de la enseñanza y mediante un sólo método el examen u otro tipo de prueba
de carácter terminal.
De otra parte, los avances en Didáctica de la Matemática ponen de manifiesto el interés
en las relaciones entre el estudiante, el profesor y el saber, relaciones que
tradicionalmente, han sido excluidas en la práctica de la evaluación; muestran que son
precisamente estas relaciones las que determinan la evaluación como Fenómeno
Didáctico, cuyas características principales son la referencia a un componente
matemático específico y los procesos propios de la actividad matemática.
Una de las primeras razones que sustentan el estudio de la evaluación en matemáticas
como campo diferenciado de la evaluación en general, es el reconocimiento de
características propias del saber matemático y de la actividad matemática. De esta
manera se considera que en la investigación cognitiva de las actuaciones de los sujetos,
es necesario hacer intervenir plenamente las características de los conocimientos en
relación a las características de las situaciones, o tareas (García, 2003). Esto establece
la necesidad de investigar en torno a dominios matemáticos específicos como es el caso
de la función lineal en el CCM. Consideramos que esto último responde a
planteamientos hechos desde los avances en Didáctica de las matemáticas tales como:
Distinción entre la evaluación como juicio y la valoración como análisis comprensivo
del desempeño de un estudiante, o grupo de estudiantes. Esta distinción, introducida por
Webb (1.992) implica considerar la actuación matemática del estudiante en relación con
el conocimiento y uso de las matemáticas en una variedad de contextos. El análisis
comprensivo de la actuación del estudiante incluye valorar tanto el conocimiento de las
matemáticas (hechos, conceptos, teoremas, propiedades) y la disposición hacia su uso.
Pero la valoración del uso de las matemáticas implica reconocer que esta modela una
amplia variedad de fenómenos, los cuales no solo se encuentran en contextos
matemáticos sino también en contextos de las ciencias. Este principio obliga a ampliar
las fuentes de información para poder valorar comprensivamente la actuación del
estudiante. Por su parte, la evaluación es identificada como la asignación de un valor a
los resultados de la valoración.
Cambios en los propósitos. Webb señala que la valoración cumple los siguientes
propósitos: 1) ser considerada por los profesores como herramienta que proporciona
evidencias para retroalimentar aquello que los estudiantes conocen y hacen; 2) ser
fuente de comunicación entre estudiantes y profesores y otras instancias, en tanto
comunica lo que es importante conocer y hacer en clase de matemáticas; 3) un tercer
propósito, es proporcionar información sobre la efectividad del sistema educativo como
un todo.
Nueva Organización de los contenidos a evaluar. Es necesario que los modelos de
evaluación se organicen en torno a núcleos conceptúales, dominios o campos
conceptúales, propios de la matemática y sus actividades.
En esta dirección, la teoría de los campos conceptuales de Vergnaud, que está
constituido desde un punto de vista práctico, por el conjunto de las situaciones cuyo
dominio progresivo requiere la utilización de una variedad de procedimientos, de
conceptos y de representaciones simbólicas que están en estrecha conexión y desde un
punto teórico, por el conjunto de conceptos y teoremas que contribuyen al dominio de
estas situaciones aunque sea de forma implícita; atiende a la necesidad de romper con la
atomización del saber, por cuanto establece relaciones entre conceptos básicos y otros
conceptos desde las matemáticas y las clases de situaciones asociadas al campo; como a
su vez nos permite analizar el desarrollo de competencias matemáticas alrededor de un
campos de problemas y por tanto su evaluación.
Webb (1992) señala al Campo Conceptual Multiplicativo (CCM) de Vergnaud como un
ejemplo de método conceptual que reflejan a las matemáticas como un cuerpo
estructurado de conocimientos, donde puede describirse lo que los estudiantes saben
acerca de un dominio de conocimiento al mismo tiempo que indaga sobre la maduración
de los conceptos dentro del dominio.
En el CCM se analiza cómo en muchos de los razonamientos de los estudiantes al tratar
con situaciones de tipo multiplicativo subyacen las propiedades de la linealidad como
estructura matemática que modela tales actuaciones, lo que Vergnaud ha llamado
teoremas en acto en su Teoría de los Campos Conceptuales.
Se pone de manifiesto así, que la función lineal en el CCM, permite reconocer el avance
en el aprendizaje y desarrollo de competencias multiplicativas, lo que inicia en la
Educación Básica con las clases de situaciones de multiplicación de estructura más
simple, complejizándose cada vez más no sólo por la estructura de tales situaciones,
sino por los valores numéricos que intervienen, así como por la ampliación a diferentes
dominios de experiencia.
Así, el análisis de los diferentes razonamientos de los estudiantes al abordar una misma
situación de tipo multiplicativo (Vergnaud, 1985) permite definir la competencia de los
estudiantes con criterios diferentes según las diferentes maneras para abordar el
problema, observándose por ejemplo cómo el uso del operador funcional se convierte en
una manera conceptualmente más elaborada que otras para tratar la situación, ya que
implica no sólo la noción de relación numérica sino igualmente la de cociente de
dimensiones. Por lo tanto, podría decirse que lo que define el avance en el desarrollo la
competencia multiplicativa del estudiante al finalizar la Educación Básica es el hecho de
que éste reconozca la función lineal y sus propiedades como una herramienta más
potente en el tratamiento de situaciones de tipo multiplicativo.
Vergnaud al presentar la multiplicación como una relación cuaternaria, permite
evidenciar la presencia de la función lineal, ya que aparece como un operador funcional
que cumple con las propiedades de linealidad, señalando que sin este análisis, no es
posible analizar los procedimientos usados por los estudiantes en situaciones que
involucran multiplicación.
Así, para que el profesor reconozca los conocimientos de la estructura multiplicativa
que usa el estudiante, es necesario que comprenda el desarrollo de las nociones que
intervienen en el isomorfismo de medidas y las dificultades que se derivan de esta
estructura, a su vez como la relación con otros conceptos matemáticos como: división,
razón, fracción, proporción, proporcionalidad y función lineal, lo cual hace pensar que
dichos conceptos no pueden estar desligados en la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas y los cuales se deben empezar a potenciar desde los primeros años de la
primaria y a lo largo de toda la educación básica y media. De la misma manera como
propone Vergnaud, es importante que el profesor identifique los conceptos en acto y
teoremas en acto que se encuentran implícitos en la acción del alumno y le ayude a
hacerlos explícitos, al menos parcialmente, y a través de formas adaptadas al nivel de la
escuela elemental, es decir sin formalismo excesivo.
La evaluación para el campo conceptual multiplicativo, supone un modelo de
interpretación de las actuaciones de los estudiantes ante clases de situaciones asociadas
a este campo. Así, el interés para el aprendizaje y por lo tanto para la evaluación se
centra en el desarrollo de competencias matemáticas cada vez más complejas, que se
manifiestan en la actuación del estudiante mediado por el contexto y las
representaciones que utiliza, como a su vez los conocimientos matemáticos que pone en
juego.
Este trabajo pretende mirar la evaluación como fenómeno didáctico, analizando las
relaciones que se establecen entre el maestro - el saber – el alumno, en su ambiente
natural (aula de clases), en situaciones de validación, es decir, en situaciones que
requieren justificar el carácter de verdadero de un enunciado, su consistencia o la
eficacia de una acción (Brousseau, citado por Godino, 1997), como a su vez las normas
sociomatemáticas, las cuales son aspectos normativos de las discusiones matemáticas
que son especificas de la actividad matemática de los estudiantes y que regulan las
argumentaciones matemáticas e influyen en las oportunidades de aprendizaje (Godino,
1997); lo anterior referido siempre a la función lineal dentro del campo conceptual
multiplicativo.
Por lo tanto, el objetivo de la investigación es caracterizar e interpretar las situaciones
de validación que se desarrollan en las aulas de matemáticas en los grados octavo y/o
noveno de la Educación Básica, en torno a la función lineal dentro del campo
conceptual multiplicativo.
Para el desarrollo de este objetivo general, planteamos cinco objetivos específicos, cada
uno de los cuales viene acompañado de una hipótesis:
1. Caracterizar y analizar las relaciones que se establecen entre la organización de los
contenidos, su enseñanza y su evaluación, en torno al Concepto de función lineal
dentro del CCM
Hipótesis: La evaluación del aprendizaje de la función lineal en el aula, depende del
marco de referencia que tiene el profesor sobre la enseñanza, el aprendizaje y la
evaluación de este concepto.
2. Identificar y analizar el tipo de representaciones que privilegia el maestro, de la
función lineal y la función que le asigna a éstas, para la evaluación.
Hipótesis: Las representaciones que las personas construyen en la resolución de
problemas reflejan los conocimientos y organizaciones de esos conocimientos que
poseen, o al menos, que son capaces de activar y procesar en su memoria. Desde
este punto de vista, las representaciones que el alumno construye durante la
resolución de un problema pueden servir para evaluar los conocimientos y los
esquemas de conocimiento que posee (Castro , 1995). Por lo tanto, se convierte en
un potente medio para la evaluación, ya que permite analizar la validez de los
razonamientos de los estudiantes y su nivel de competencia.
3. Analizar para qué se utiliza la información obtenida en las situaciones de validación
del concepto de función lineal dentro del CCM en los grados octavo y/o noveno de
la Educación Básica.
Hipótesis: Son necesarias múltiples evidencias, para tomar decisiones sobre el
aprendizaje y desarrollo de la competencia multiplicativa en la Educación Básica, en
particular sobre el dominio de la función lineal como modeladora de situaciones de
tipo multiplicativo.
4. Caracterizar el tipo de situaciones que se abordan en torno al concepto de función
lineal dentro del CCM en los grados octavo y/o noveno de Educación Básica.
Hipótesis: Es a través de una gran variedad de situaciones de tipo multiplicativo, que
es posible que los estudiantes den sentido al carácter multiplicativo de la función
lineal.
5. Identificar y analizar las normas sociomatemáticas presentes en el aula, cuando se
aborda la función lineal dentro del CCM, en los grados octavo y/o noveno de
Educación Básica
Hipótesis: La práctica matemática en el aula es un proceso de matematización
compartido que define una subcultura específica para ese profesor, esos alumnos y
esa aula (Bauersfeld, citado por Godino). Las normas sociomatemáticas son
específicas de los aspectos matemáticos de la actividad de los estudiantes. Su
importancia reside en que el desarrollo del razonamiento y los procesos de dotar de
sentido desarrollado por los estudiantes no puede ser separado de su participación en
la constitución interactiva del significado matemático (Godino, 1998). Esta mirada
permitiría identificar los criterios de validez en el aula de clases alrededor del
concepto de función lineal dentro del CCM y su relación con la construcción social
de competencias matemáticas.
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(Tomado de la evaluación en el aula de Matemáticas. Antonio Tortosa y otros.
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