ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 ANÁLISIS DE VARIANZA ANOVA DE UNA VÍA Elaboró: Dr. Primitivo Reyes Aguilar Septiembre de 2007 Mail: [email protected] Tel. 58 83 41 67 / Cel. 044 55 52 17 49 12 Página 1 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 CONTENIDO 1. ANOVA 2. Ejercicios 3. Teoría de experimentos de un solo factor Página 2 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 ANALISIS DE VARIANZA DE UN FACTOR (ANOVA 1 VIA) El análisis de la varianza de un factor (ANOVA) es una metodología para analizar la variación entre muestras y la variación al interior de las mismas mediante la determinación de varianzas. Es llamado de una vía porque analiza un variable independiente o Factor ej: Velocidad. Como tal, es un método estadístico útil para comparar dos o más medias poblacionales. El ANOVA de un criterio nos permite poner a prueba hipótesis tales como: H 0 1 2 3 .... k H1 : Al menosdos medias poblacionales son diferentes. Los supuestos en que se basa la prueba t de dos muestras que utiliza muestras independientes son: 1. Ambas poblaciones son normales. 2. Las varianzas poblacionales son iguales, esto es, 12 22 . El estadístico tiene una distribución muestral resultando: Fc sb2 sw2 El valor crítico para la prueba F es: F (k 1, k (n 1)) Donde el número de grados de libertad para el numerador es k-1 y para el denominador es k(n1), siendo el nivel de significancia. k = número de muestras. Por ejemplo: Ejemplo: Se tienen 14 empleados seleccionados al azar que se someten a 3 diferentes cursos de entrenamiento: Programa 1, Programa 2 y Programa 3. Página 3 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Como los empleados se seleccionan aleatoriamente para cada programa el diseño se denomina DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO Se observa el aprovechamiento de los empleados en los programas: TRATAMIENTOS I c=1 c=3 c=2 J Programa Programa 1 2 Programa 3 r=1 85 80 82 r=2 72 84 80 r=3 83 81 85 r=4 80 78 90 r=5 ** 82 88 Medias 80.00 81.00 85.00 Xj Media de medias o media total 82.14 TIPOS DE VARIACIÓN Y SUMAS DE CUADRADOS 1. Variación total entre los 14 empleados, su puntuación no fue igual con todos VARIACIÓN TOTAL RESPECTO A LA MEDIA GENERAL r SCT i 1 c ( Xij X ) 2 j 1 SCT = (85-82.14)2 + (72-82.14)2+(83-82.14)2+.....+(88-82.14)2 SCT = 251.7 2. Variación entre los diferentes tratamientos o Variación entre muestras o variación entre programa 1, programa 2 y programa 3 EFECTO DE LA MEDIA DE CADA TRATAMIENTO RESPECTO A LA MEDIA GENERAL Página 4 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 r SCTR rj ( X j X ) 2 j 1 SCTR = 4(79.5 - 81.3333)2 + 5(81 - 81.3333)2 + 5(85 - 81.333)2 SCTR = 65.71 3. Variación dentro de un tratamiento o muestra o programa dado que no todos los empleados dentro de un mismo programa obtuvieron los mismos puntajes. Se denomina Variación dentro de los tratamientos. VARIACIÓN DENTRO DEL TRATAMIENTO O VARIACIÓN DEL ERROR CADA VALOR RESPECTO A LA MEDIA DE SU TRATAMIENTO r SCE i 1 c (X j 1 ij X j )2 SCE = SCT - SCTR = 186 4. GRADOS DE LIBERTAD Grados de libertad totales = n - 1 = 14-1 = 13 Grados de libertad de los tratamientos = c - 1 = 3 - 1 = 2 Grados de libertad del error = gl. Totales - gl. Tratamientos = 13 - 2 = 11 gl SCT = gl SCTR + gl SCE gl SCE = gl SCT - gl SCTR = (n -1) - (c - 1) = n -c 5. CUADRADOS MEDIOS (Suma Cuadrados/ Grados libertad) CMT = Cuadrado medio total = SCT / (n-1) = 19.4 CMTR = Cuadrado medio del tratamiento = SCTR / (c -1) = 32.9 CME = Cuadrado medio del error = SCE/ gle.= 16.9 Página 5 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 6. ESTADÍSTICO DE PRUEBA Fc Y ESTADÍSTICO F CRÍTICO DE ALFA Fc = CMTR / CME= 1.946745562 Falfa, gl .numerador , gl .deno minador F ,c1,nc Cálculo de F con Excel =DISTR.F.INV(ALFA, GL. TR, GL. ERR) =DISTR.F.INV(0.05, 2, 11) = 3.982297957 ZONA DE NO RECHAZAR RECHAZO Distr. F Como Fc es menor a Falfa no se rechaza Ho y las medias son iguales. 7. VALOR P DE Fc P = distr.f(Fc, gl. SCTr, gl. SCE) = distr.f(1.946, 2, 11) = 0.18898099 Como P es mayor a alfa no se rechaza Ho CONCLUSION: NO HAY SUFICIENTE EVIDENCIA PARA RECHAZAR HO, LAS MEDIAS DE LOS TRATAMIENTOS SON IGUALES Página 6 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 TABLA DE ANOVA FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO CUADRADOS LIBERTAD MEDIO VALOR F Entre muestras (tratam.) SCTR c-1 CMTR CMTR/CME Dentro de muestras (err.) SCE n-c CME Variación total SCT n-1 CMT Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de Excel para una cierta alfa USO DE EXCEL: En el menú herramientas seleccione la opción Análisis de datos, en funciones para análisis seleccione Análisis de varianza de un factor. En Rango de entrada seleccionar la matriz de datos (todas las columnas a la vez). Alfa = 0.05 En Rango de salida indicar la celda donde se iniciará la presentación de resultados. RESUMEN Grupos Análisis de varianza de un factor Cuenta Suma Promedio Varianza Programa 1 4 320 80 32.666667 Programa 2 5 405 81 5 Programa 3 5 425 85 17 Grados ANÁLISIS DE VARIANZA de Promedio de Suma Variaciones cuadrados Entre grupos 65.71428571 libertad Cuadrados Total 186 251.7142857 Probabilidad F crítica 2 32.85714286 1.9431644 0.18937731 3.98229796 Dentro de grupos Fc 11 16.90909091 13 Página 7 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 USO DE MINITAB Stat > ANOVA > One Way (Unstacked) en Responses in separate columns Indicar las columnas de datos En Confidence Level 95% Seleccionar Comparisons Tukey 5% OK One-way ANOVA: Programa 1, Programa 2, Programa 3 Source Factor Error Total DF 2 11 13 S = 4.112 SS 65.7 186.0 251.7 MS 32.9 16.9 F 1.94 R-Sq = 26.11% P 0.189 R-Sq(adj) = 12.67% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level Programa 1 Programa 2 Programa 3 N 4 5 5 Mean 80.000 81.000 85.000 StDev 5.715 2.236 4.123 ----+---------+---------+---------+----(------------*------------) (----------*-----------) (-----------*----------) ----+---------+---------+---------+----77.0 80.5 84.0 87.5 Pooled StDev = 4.112 NOTA: Si los Intervalos de confianza se traslapan, las medias son iguales estadísticamente Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals All Pairwise Comparisons Individual confidence level = 97.94% Programa 1 subtracted from: Programa 2 Programa 3 Lower -6.451 -2.451 Center 1.000 5.000 Upper 8.451 12.451 --------+---------+---------+---------+(------------*-----------) (-----------*------------) --------+---------+---------+---------+-6.0 0.0 6.0 12.0 Upper 11.025 --------+---------+---------+---------+(-----------*----------) --------+---------+---------+---------+-6.0 0.0 6.0 12.0 Programa 2 subtracted from: Programa 3 Lower -3.025 Center 4.000 NOTA: Si el cero se encuentra en el intervalo de confianza de la diferencia entre medias, este par de medias no son diferentes. Página 8 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 2. EJERCICIOS: 1. Cuatro catalizadores que pueden afectar la concentración de un componente en una mezcla líquida de tres componentes están siendo investigado. Se obtienen las siguientes concentraciones: Catalizador A B C D 58.2 56.3 50.1 52.9 57.2 54.5 54.2 49.9 58.4 57 55.4 50 55.8 55.3 51.7 54.9 2. Para determinar si existe diferencia significativa en el nivel de Matemáticas de 4 grupos de estudiantes de Ingeniería se realizó un examen aleatorio a 6 individuos por grupo. Determine cuales son los grupos en los cuales existen diferencias a un 95% de nivel de confianza. A 75 93 78 71 63 76 B 78 91 97 82 85 77 C 55 66 49 64 70 68 D 64 72 68 77 56 95 3. Las calificaciones en el examen a 18 empleados de tres unidades de negocio Se muestran a continuación: Probar si no hay diferencia entre las unidades a un 5% de nivel de significancia. A B C 85 71 59 75 75 64 82 73 62 76 74 69 Página 9 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA 71 69 75 85 82 67 P. Reyes / Sept. 2007 4. Probar si hay diferencia en los tiempos de servicio de 4 unidades de negocio para el mismo servicio a un nivel de significancia del 5%. A B C D 5.4 8.7 11.1 9.9 7.8 7.4 10.3 12.8 5.3 9.4 9.7 12.1 7.4 10.1 10.3 10.8 8.4 9.2 9.2 11.3 7.3 9.8 8.8 11.5 Página 10 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 3. TEORÍA DE EXPERIMENTOS DE UN SOLO FACTOR En esta parte se analiza el caso en que se desea conocer el efecto de un solo factor o variable independiente sobre la característica de calidad que sé esta analizando. Esto implica que a fin de poder detectar su efecto, este factor se debe de variar manteniendo el resto de los factores en un valor fijo. Experimentos sin restricciones en la aleatoriedad. Cuando se desea analizar el efecto de un factor sobre una variable dependiente o característica de calidad es necesario el variar el "nivel” valor de ese factor. A cada diferente nivel al cual se realiza el experimento se le conoce como tratamiento. Por ejemplo si el factor es el proveedor los diferentes niveles o serian proveedor A, proveedor B, proveedor C, etc. , si el factor es el tipo de proceso los tratamientos serian proceso 1, proceso 2. Si el factor es temperatura los diferentes niveles serian por ejemplo 10, 20, 30 y 40 °C,etc. Por otro lado en cada nivel del factor se efectúan una serie de pruebas, a cada una de estas pruebas se les conoce como replicaciones. EL factor se considera fijo. Ejemplo 1: Suponga que se desea saber si los ejes que surten cuatro proveedores tienen diferente resistencia a la tracción. Para ello se decide llevar a cabo un experimento de un solo factor donde la variable dependiente es la resistencia a la tracción del eje medida en Kgs/cm 2 y el factor es el proveedor. El factor tiene cuatro niveles o tratamientos diferentes. Uno para cada proveedor (llámelos I, II, III, IV) se decide probar 5 ejes de cada proveedor haciendo un total de 20 pruebas ejecutadas en la misma maquina de prueba y con él mismo operario (recuerde que el resto de los factores se deben de mantener a un nivel fijo). Para que el experimento sea aleatorio se numeran los ejes del 1 al 20 y se selecciona al azar un número entre 1 y 20. Según él numero seleccionado es el siguiente eje que se prueba. De esta manera, el siguiente eje a probar es seleccionado sin ninguna restricción. Suponga. que los resultados de experimento se muestran en la tabla siguiente: Página 11 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Proveedor I II III IV 56 64 45 42 55 61 46 39 62 50 45 45 59 55 39 43 60 56 43 41 El proveedor = factor Tratamiento = I, II, III, IV Con cinco replicaciones en cada tratamiento. Observando la tabla se "ve" que existen evidentemente diferencias entre la resistencia de los ejes de un proveedor a otro. Pero también existen entre los ejes de un mismo proveedor, entonces, ¿la diferencia detectada entre, los ejes de un proveedor y otro existe realmente? O ¿la diferencia es debida al azar?, La herramienta estadística conocida como análisis de varianza (ANOVA) puede ayudar a despejar esta duda. Para esto suponga un caso general como sigue: Si define Yij como el valor correspondiente de la variable dependiente o característica de calidad de la i-ésima observación o replicación bajo el tratamiento j, los resultados de un experimento de un solo factor con k tratamientos y n replicas u observaciones por tratamiento seria: Tratamiento Observaciones Totales Promedios (nivel) 1 Y11 Y12 ... Y1n Y1. Y.. 2 Y21 Y22 ... Y2n Y2. Y 2. 3 Y31 Y32 ... Y3n Y3. Y 3. ... ... ... ... ... ... ... K Yk1 Yk2 ... Ykn Yk. Yk. Página 12 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Este caso se puede representar mediante el modelo estadístico lineal: Yij μ τj εij Donde representa la media general, j representa el efecto del tratamiento j, y ij es el error aleatorio al hacer la observación ij. Esto es, se supone que todos los datos en general pertenecen a una misma población con media excepto que existan desviaciones para diferentes tratamientos del mismo factor. Por su parte ij representa el error aleatorio o medida de la variabilidad natural dentro de cada tratamiento. Generalmente se supone que: n τ 0; j j 1 Y que el error aleatorio sigue una distribución normal con media cero y varianza 2, esto denota: εij N(0, σ 2 ) Sean Yi. El total de las observaciones bajo el i-esimo tratamiento, y Yi. el promedio de las observaciones bajo el i-esimo tratamiento. Similarmente sean Y.. La suma de todas las observaciones y Y.. la media general de todas las observaciones. Expresado matemáticamente esto es: n Yi. Yij i 1 Yi. Yi./n con i 1,2,..., n n k Y.. Yij i 1 j 1 Y.. Y../n Página 13 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 N = kn es él numero total de observaciones Las hipótesis en este caso son: Ho: j = 0; para todo valor de j. H1: j 0; para al menos un valor de j. Ho significa que el factor (los niveles bajo estudio) no tiene efecto sobre la variable dependiente y H1 que si lo tiene, esto es que existe diferencia, estadística. Recuerde también que la hipótesis nula se asume como cierta a menos que los datos indiquen lo contrario. Descomposición de la suma total de cuadrados La denominación de análisis de varianza resulta de descomponer la variabilidad total de los datos en sus partes componentes. La suma total de cuadrados corregida es: Yij Y.. n Yi. Y.. Yij Yi. k n 2 j 1 i 1 k j 1 2 k n 2 j 1 i 1 SST SStr SSE Donde: La ecuación anterior muestra la variabilidad total de los datos, medida por la suma total corregida de los cuadrados. SStr se denomina suma de cuadrados debida a los tratamientos (es decir, entre tratamientos), SSE es la suma de cuadrados debido al error (es decir, dentro de los tratamientos) SST = Suma de cuadrados total: con N -1 grados de libertad SStr = Suma de cuadrados debido a los tratamientos, con k - 1 grados de libertad. SSE = Suma de cuadrados debido al error aleatorio k grados de libertad. Para simplificar los cálculos: Página 14 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA k P. Reyes / Sept. 2007 n SST (Yij 2 j 1 i 1 Y..2 Y..2 ) n k Yi.2 Y..2 SStr N j 1 n SSE SST SStr El análisis de varianza será: Fuente De error Variación entre tratamientos Variación dentro de Tratamientos o error Total SS G.L. MS F0 SStr k – 1 MStr MStr/MSE SSE N – k MSE SST N – 1 Si F0 > F,k-1,N-k, H0 debe ser rechazada. Donde F, k-1,N-k es el valor de la variable F con un nivel de significancia (error tipo I), k-1 grados de libertad en el numerador y N-k grados de libertad en el denominador. Bajo la hipótesis nula la relación MStr/MSE sigue una función de densidad F, por lo tanto si F0 es mayor que F, k-1,N-k existirá una diferencia significativa y el factor afecta la respuesta de la característica de calidad en los niveles bajo estudio. Si Ho no puede ser rechazada la conclusión es por lo tanto que el factor bajo estudio no afecta la respuesta. Sin embargo, si Ho es rechazada y existe diferencia significativa entre los diferentes tratamientos de un solo factor el siguiente paso es el analizar en detalle cual de los tratamientos es el mejor y cuales son iguales. Aplicando el ANOVA a los datos del ejemplo 2.2 se tiene: Totales Promedios I II III IV 56 64 45 42 55 61 46 39 62 50 45 45 59 55 39 43 Yi 292 286 218 210 58.4 57.2 43.6 42 1006 40.24 60 56 43 41 Y..= Página 15 de 26 Yi. Y .. ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA 4 5 Yij 2 P. Reyes / Sept. 2007 562 552 ... 412 51940 j1 i1 Entonces, calculando las sumas de cuadrados tenemos que: SST = 51,940 – (10062)/20 = 1338.2 SStr = 2922/5 + 2862/5 + 2182/5 + 2102/5 –10062/20 = 1,135.0 SSE = SST – SStr = 1338.2 – 1135.0 = 203.2 MStr = SStr/(k-1) = 1135.0/(3 - 1) = 378.2 MSE = SSE/(n-k) = 203.2/(20-4) = 12.70 Esto se resume en la siguiente tabla: Fuente De error SS Factor o tratamientos SStr=1135 G.L. MS k – 1 = 3 MStr =378.3 Error SSE=203.2 N – k = 16 MSE=12.7 Total SST=1338.2 N – 1 = 19 F0 MStr/MSE = 29.79 Donde F0= MStr/MSE = 378.3/12.70=29.79 con 3 grados de libertad en el numerador y 16 grados de libertad en el denominador. Si el nivel de aceptación (error tipo I) lo fijamos en 5%, esto es, = 0.05, de la tabla de la función F se tiene que: Página 16 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 F,3,16 = 3.24 Dado que F0 = 29.79 > 3.24= F0.05,3,16 Se concluye que Ho se rechaza y el factor proveedor afecta la variable resistencia a la tracción. Experimentos con un solo factor y diferente número de lecturas por tratamiento (o caso desbalanceado) Cuando por alguna razón él numero de lecturas que se tienen bajo cada tratamiento es diferente, digamos Zi observaciones en el tratamiento j, el análisis se puede llevar a cabo de una manera similar con las siguientes formulas para k tratamientos: k n 2 SST Yij 2 - Y.. ; con N - 1 grados de libertad N j 1 i 1 Yi. 2 Y ..2 ; con k - 1 grados de libertad N j 1 ni k SStr SSE SST - SStr; con N - k grados de libertad Es, sin embargo, deseable que él numero de muestras sea igual bajo cada tratamiento, puesto que el poder de la prueba se maximiza cuando él numero de muestras es igual. Ejemplo 2: El tiempo de respuesta en milisegundos fue determinado para tres tipos diferentes de circuitos y los resultados son: tr I II III 9 20 6 Observaciones 12 10 8 23 30 5 8 16 15 13 Y.. Totales Yi 67 73 35 175 Promedios Yi. 11.17 24.33 8.75 14.75 Y .. Con un nivel de significación de = 0.05. ¿Tiene los circuitos diferente tiempo de respuesta? Página 17 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 k = 3; n1 = 6; n2 = 3; n3 = 4; N = 6 + 3 + 4 = 13 k n SST (Yij2 Y..2 /N) j 1 i 1 1752 9 12 ... 8 16 13 2993 2355.76 637.24 2 2 2 2 k SStr (Yi.2 /ni Y..2 /N) j 1 672 732 352 1752 474.98 6 3 4 13 SSE SST - SStr 637.24 - 474.98 162.29 La tabla ANOVA es: Fuente SS De error G.L. MS Factor o tratamientos SStr=474.98 k – 1 = 2 MStr =237.49 Error SSE=162.29 N – k = 10 MSE=16.22 Total SST=637.24 N – 1 = 12 F0 MStr/MSE = 14.64 Dado que F.05,2,10 = 4.10, se concluye que los circuitos muestran diferentes tiempos de respuesta. Estimación de parámetros del modelo A continuación, se desarrollan estimadores para los parámetros del modelo de clasificación en un sentido: Página 18 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Yij μ τi εij Usando el método de los mínimos cuadrados, las soluciones de las ecuaciones normales son: μ̂ Y.. τ̂i Yi. Y.. con i 1,2,3,...,k Y es posible determinar fácilmente un intervalo de confianza para estimar la media del i-ésimo tratamiento. Dicha i-ésimo media es: i = + i Un estimador puntual para i podría ser μ̂i μ̂ τ̂i Yi. ahora si se supone que los errores están distribuidos normalmente, las Yi. son NID(0,2/n), entonces podría usarse la distribución normal para definir el intervalo de confianza buscado si se conoce . Al usar MSE como estimación de, 2, el intervalo de confianza se debe basar en la distribución t., por tanto, un intervalo de confianza de (1-)100% para la media del i-ésimo tratamiento, es: MS E Y i . t α / 2 , N k n un intervalo de confianza del (1-)100% para la diferencia de las medias de dos tratamientos cualesquiera, por ejemplo i-j, será: 2MSE Y i . Y j . t α / 2 , N k . n Ejemplo 3: Al usar los datos del ejemplo 2.3, las estimaciones de la media general y de los efectos de los tratamientos son μ̂ 376 25 15.04; y Página 19 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 τ̂1 Y1. Y.. 9.80 15.04 5.24 τ̂ 2 Y 2. Y.. 15.40 15.04 0.36 τ̂3 Y 3. Y.. 17.60 15.04 2.56 τ̂ 4 Y 4. Y.. 21.60 15.04 6.56 τ̂5 Y 5. Y.. 10.80 15.04 4.24 usando la formula para calcular el intervalo de confianza del 95% para la media del tratamiento 4 es: MSE 8.06 Y i . t / 2 , N k 21.60 2.086 n 5 o, bien. 21.60 2.65 por tanto, el intervalo deseado es 18.95 24.25 Estimación de la variable de respuesta La descomposición de la variabilidad en las observaciones por medio del análisis de variancia, es una relación puramente algebraica. Yij μ τi εij El residuo de la observación i del tratamiento j se define mediante: ij eij Yij Ŷ en donde Ŷij es una estimación de la observación Yij correspondiente calculada por: Página 20 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Ŷij μ̂i τ̂i Ŷij Y.. ( Yi. Y..) Ŷij Yi. La ecuación anterior muestra un resultado que se intuye fácilmente, ya que la estimación de cualquier observación del i-ésimo tratamiento es igual al promedio del tratamiento correspondiente. El examen de los residuos debe ser automático en el análisis de variancia. Si el modelo es adecuado, los residuos no deben tener estructura. Comparación de medias de tratamientos individuales Supongamos que al efectuar un análisis de variancia para un modelo de efectos fijos la: hipótesis nula es rechazada. Se concluye que existe diferencia entre las medias, aunque no se especifique exactamente cual de ellas es diferente. En esta situación puede ser útil realizar comparaciones adicionales entre grupos de medias de los tratamientos. La media del i-ésimo tratamiento se define mediante i = + i y su estimación es Yi. . Las comparaciones entre medias de tratamientos se realizan en términos de los totales de tratamientos Yi. O de los promedios de tratamientos Yi. . Los procedimientos para efectuar estas comparaciones se conocen como métodos de comparación múltiple. Método de la Mínima Diferencia Significativa (LSD, del inglés least significant difference) Supongamos que después de haber rechazado la hipótesis nula, con base en una prueba F de análisis de variancia, se desea probar Ho: i = j para toda i j. Esto puede hacerse empleando la estadística t: to Yi. Yj. 1 1 MS E ni nj Página 21 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Suponiendo una hipótesis alterna bilateral, la pareja de medias i, j se consideran diferentes Sí Yi. Yj. tα / 2, N k MS E(1/ ni 1/ nj La cantidad: 1 1 LSD tα/2, N k MS E ni nj Se denomina mínima diferencia significativa. Si el diseño es balanceado, entonces n1 = n2 = nk = n. Para usar el procedimiento de la LSD, simplemente se comparan las diferencias observadas entre cada par de promedios con el valor correspondiente de la LSD. Si, se concluye que las medias poblacionales i = j son diferentes. Ejemplo 4: Para ilustrar este procedimiento, si se usan los datos del Ejemplo 2.3 el valor de la LSD con = .05 es: 1 1 LSD tα/2, N k MSE n i nj 2.086 2(8.06) 3.75 5 Por tanto, una pareja de medias difieren significativamente si el valor absoluto de la diferencia de promedios en los tratamientos correspondientes es mayor que 3.75. Los cinco promedios de tratamiento son: Y1. 9.8 Y2. 15.4 Y3. 16.6 Y4. 21.6 Y5. 10.8 Y las diferencias de los promedios son: Página 22 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Y1. Y 2. 9.8 15.4 5.6 * Y1. Y 3. 9.8 17.60 7.8 * Y1. Y 4. 9.8 21.6 11.8 * Y1. Y 5. 9.8 10.8 1.0 Y 2. Y 3. 15.4 17.6 2.2 Y 2. Y 4. 15.4 21.6 6.2 * Y 2. Y 5. 15.4 10.8 4.6 * Y 3. Y 4. 17.6 21.6 4.0 * Y 3. Y 5. 17.6 10.8 6.8 * Y 4. Y 5. 21.6 10.8 10.8 * Los valores marcados con asterisco indican parejas de medias que son significativamente diferentes. Resulta útil graficar los datos como se muestra en la Fig. 4, subrayando las parejas de medias que no difieren en forma significativa. Claramente los únicos pares que no difieren significativamente son 1 y 5, y 2 y 3. El tratamiento 4 produce una resistencia a la tensión de manera significativamente mayor que los otros tratamientos. Y 1. Y 5. 9.8 10.8 Y 2 . Y 3. 15.4 17.6 Y 4. 21.6 Figura 4. Resul tados del procedi mineto LSD Fig. 4 Comparación de Tratamientos con un Control En muchos experimentos, uno de los tratamientos es un control, y al analista puede interesarle su comparación con las k -1 medias de tratamiento con el control. Por tanto, sólo deben realizarse k -1 comparaciones. Un procedimiento para hacerlas fue desarrollado por Dunnett (1964). Supongamos que el tratamiento k es el control. Se desean probar las hipótesis: Ho : μi μk H1 : μi μk Página 23 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Para i = 1, 2,..., k -1. El procedimiento de Dunnett es una modificación de la prueba t. Para cada hipótesis se calculan las diferencias que se observan en las medias muéstrales: Yi. Yk. coni 1,2,...,k - 1 La hipótesis nula Ho: i = k es rechazada con un nivel de error tipo I según alfa sí: 1 1 Yi. Yk. dα(k 1, f) MS E ni nk En donde la constante d (k -1, f) se encuentra en la Tabla IX del Apéndice del texto de Diseño y Análisis de Experimentos de Douglas C. Montgomery (son posibles tanto pruebas unilaterales como bilaterales). Hay que notar que alfa constituye el nivel de significación conjunto asociado a las k -1 pruebas. Ejemplo 5: Para ilustrar la prueba de Dunnett, considérense los datos del Ejemplo 3, y su póngase que el tratamiento 5 es el control. En este ejemplo, k = 5, k -1 = 4, f = 20, ni = n = 5, y con un nivel del 5% se encuentra en la Tabla IX del Apéndice que d 0.05 (4,20) = 2.65. Por tanto, la diferencia crítica es: d.05(4,20) 2MSE 2(8.06) 2.65 4.76 n 5 (Hay que notar que esta es una simplificación de la Ecuación anterior y que resulta de un diseño balanceado.) En consecuencia, un tratamiento debe considerarse significativamente diferente del control si la diferencia es mayor que 4.76. Las diferencias observadas son: 1 vs 5; Y1. Y5. 9.8 10.8 1.0 2 vs 5; Y 2. Y 5. 15.4 10.8 4.6 3 vs 5; Y 3. Y 5. 17.6 10.8 6.8 4 vs 5; Y 4. Y 5. 21.6 10.8 10.8 Página 24 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Sólo las diferencias Y3. Y5.; Y4. Y5. indican una diferencia significativa al ser comparadas con el control; por tanto, se concluye que 3 = 5 y 4 = 5. Es conveniente usar más observaciones para el tratamiento de control (es decir, n k) que para los otros tratamientos (o sea, n, suponiendo el mismo número de observaciones en los otros k -1 tratamientos) cuando se comparan tratamientos con un control. Debe elegirse la razón nk / n aproximadamente igual a la raíz cuadrada del número total de tratamientos. En otras palabras, se elige n k/n = k Suposiciones del análisis de varianza Al aplicar un análisis de varianza se hacen las siguientes suposiciones siguientes: 1. El proceso esta en control estadístico (estable). Esto es, se pueden repetir y las causas de variación se han eliminado. 2. La distribución de la población que se muestra es normal. 3. La varianza de los errores dentro de los k niveles del factor es la misma: esto es, la variabilidad natural dentro de cada tratamiento es la misma de un tratamiento a otro. Grafica de residuos contra el valor ajustado de ŷij Si el modelo es correcto y las suposiciones se satisfacen, los residuos no deben tener algún patrón, ni deben estar relacionados con alguna variable, incluyendo la respuesta Y ij. Una comprobación sencilla consiste en graficar los residuos contra los valores ajustados ŷij (debe recordarse que para el modelo en un sentido ŷij - yi. , el promedio del tratamiento i-ésimo). En esta grafica no debe revelarse ningún patrón obvio en la siguiente figura se grafican los residuos contra los valores ajustados de los datos de la resistencia a la tensión del ejemplo 2.3 Ningún patrón inusual es evidente. Página 25 de 26 ANÁLISIS DE VARIANZA – ANOVA DE UNA VÍA P. Reyes / Sept. 2007 Grafica de residuos contra valores ajustados Un efecto que en ocasiones revela la grafica es el de una varianza variable. Algunas veces la varianza de las observaciones lo hace. Esto resulta cuando el error es proporcional a la magnitud de la observación (comúnmente esto sucede en instrumentos de medición – el error es proporcional a la escala de la lectura). Si este es el caso, los residuos aumenta a medida que Yij lo hace, y la grafica de los residuos contra Yij parecerá un embudo que se ensancha o un altavoz. La varianza variable también ocurre en casos cuyos datos no tienen distribución normal y están sesgados, porque en las distribuciones sesgadas la varianza tiende a ser función de la media. Página 26 de 26