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EXAMEN DE MATEMÁTICAS 1º A. SOLUCIONES.
Jueves, 4 de octubre de 2001.
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1.- Halla el término que ocupa el lugar 505 en el desarrollo de a3b  c 2

506
SOLUCIÓN: Al desarrollar esa expresión por el binomio de Newton se obtienen 507 sumandos, por lo que el
problema nos pide que calculemos el antepenúltimo, que será:
 506 3 506 504 2

 a b
c
 504
 
 
504
 506 6 2 1008
 a b c
 
 504
Por otra parte, usando las propiedades de los números combinatorios resulta:
 506  506 506 505

  
 
 127765
2
 504  2 
Por lo tanto, el resultado final será 127.765
a6b2c1008.
2.- En una carrera, en la que participan 10 caballos existen dos tipos de apuesta: en la primera
hay que acertar quién va a quedar primero, quién segundo y quién tercero; en la segunda hay
que acertar cuáles van a ser los cuatro primeros caballos en llegar, pero no su clasificación.
¿Cuál de los dos tipos de apuesta crees que es más sencilla? Razona la respuesta.
SOLUCIÓN: En el primer tipo de apuesta se trata de averiguar de cuántas formas pueden agruparse 10 caballos
en grupos de 3 (1ª, 2ª y 3ª posición) no pudiendo repetirse (porque eso significaría que un mismo caballo ocupara
dos posiciones diferentes) e importando el orden (pues no es lo mismo que un caballo quede el primero que el
segundo). Se trata, por lo tanto de variaciones de 10 elementos tomados de 3 en 3, es decir:
V103  10  9  8  720
En el segundo tipo de apuesta se trata de averiguar de cuántas formas pueden agruparse 10 caballos en grupos
de 4 (los cuatro primeros) sin importar el orden (pues nos da lo mismo su clasificación). Se trata, por lo tanto, de
combinaciones de 10 elementos tomadas de 4 en 4, es decir:
C104 
10  9  8  7
 10  3  7  210
4  3  2 1
Como el segundo tipo de apuestas tiene menor número de resultados posibles será más sencillo acertar el
segundo tipo que el primero. Probablemente el premio por acertar la primera sea más importante que el de la
segunda.
3.- Hallar cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2,
3, 4, 5, 6 y 7 que estén comprendidos entre 400 y 600. Razona la respuesta.
SOLUCIÓN: Como entre las cifras no hay ningún cero no tendremos problemas especiales. Para que un número
de tres cifras esté comprendido entre 400 y 600 su primera cifra debe ser forzosamente un 4 o un 5, por lo tanto
existen sólo dos posibilidades para la primera cifra. Así pues, y puesto que el problema dice que las cifras deben
ser diferentes, una vez fijada la primera se trata de agrupar 5 cifras en dos lugares sin repetirse (cifras diferentes)
e importando el orden (no es lo mismo el número 23 que el número 32). Se trata, por lo tanto, de variaciones de 5
elementos tomadas de dos en dos. Es decir:
V52  5  4  20
Pero como había dos posibilidades para la primera cifra, el resultado final es 40.
 16   16 
  

4.- Resuelve la ecuación 
 x  1  x  1
SOLUCIÓN: Para que dos números combinatorios con igual parte superior sean iguales existen dos posibilidades:
1. Que las dos partes inferiores sean iguales, es decir: x+1 = x-1. Pero esto implica que 1 = -1, lo cual es
absurdo, luego esta opción la desechamos.
2. Que las dos partes inferiores sumen entre ambas la parte superior: es decir, x+1 + x-1 = 16, luego 2x=16
por lo tanto x=8 es la solución.
 x   x   x  x2
5.- Resuelve la ecuación         
1
 0  1  2 2
SOLUCIÓN: En este caso usaremos las definiciones y propiedades de los correspondientes números
combinatorios:
 x
   1;
 0
 x
 x  x x  1
   x;   
2
1
 2
Así pues, la ecuación queda:
1 x
x x  1 x 2

 1  2  x 2 x  1  x 2  2  x3  2 x 2  0  x 2 x  2  0
2
2
y las soluciones son x=0 y x=2. La primera no es válida porque no tendrían sentido los números combinatorios
 0  0
  y   por lo tanto, la solución única es x = 2.
1  2
6.- Un depósito de agua tiene 5 caños de desagüe, que arrojan 1, 3, 5, 10 y 20 litros por
minuto respectivamente. Abriendo indistintamente cuatro de estos caños, ¿en cuántos tiempos
diferentes se puede desaguar el depósito? Razona la respuesta.
SOLUCIÓN: Puesto que hay 5 grifos pero siempre se abren 4, se trata de agrupar 5 objetos en grupos de 4, no
pudiendo repetirse (un grifo no puede estar abierto dos veces) y no importando el orden (abrir el grifo de 3 litros y
el de 5 es lo mismo que abrir el de 5 y el de 3). Se trata pues de combinaciones de 5 elementos tomados de 4 en
4, es decir:
 5   5
C54        5
 4 1
(Para ser rigurosos deberíamos haber comprobado que esas 5 posibilidades producen realmente tiempos
diferentes. Las posibilidades son 1+3+5+10=19 litros por segundo; 1+3+5+20=29 litros por segundo;
1+3+10+20=34 litros por segundo; 1+5+10+20=36 litros por segundo y 3+5+10+20=38 litros por segundo. Todos
diferentes).
7.- ¿Cuántas palabras de dos vocales y dos consonantes pueden formarse con cuatro
consonantes y dos vocales, con la condición de que no puedan figurar dos vocales seguidas?
Razona la respuesta.
SOLUCIÓN: Para fijar ideas, supongamos que las consonantes son B, C, D, F y las vocales son A, E. Este
problema tiene varios niveles de dificultad.
En primer lugar nos debemos preguntar: cuántas palabras de dos letras pueden formarse con las letras B, C, D y
F. Evidentemente, se trata de agrupar 4 objetos en grupos de dos, pudiendo repetirse (pues el enunciado no lo
prohibe) e importando el orden (pues la palabra BC no es la misma que la palabra CB). Así pues, se trata de
variaciones con repetición de 4 elementos tomados de dos en dos, es decir:
VR42  42  16 .
Un argumento similar me permite deducir que con las letras A y E se pueden formar
diferentes.
VR22  22  4 palabras
De esta manera, si quiero escribir una palabra con dos consonantes y dos vocales, tengo un total de 16 x 4 = 64
posibilidades.
Por último, y supuesta ya escogida una palabra de dos consonantes y dos vocales debemos analizar de cuantas
maneras pueden escribirse esas cuatro letras con la condición de que no aparezcan las dos vocales seguidas. Si
empleamos la letra V para designar vocal y la C para consonante, las posibilidades permitidas son VCVC, VCCV,
CVCV. Por lo tanto, el resultado anterior debo multiplicarlo por 3. Total 3 x 64 = 192 palabras.
8.- Se tienen los números 5874 y 12369. ¿Cuántos números naturales pueden formarse que
contengan dos cifras no repetidas del primero y tres cifras no repetidas del segundo? Contesta
a la misma cuestión suponiendo que sí pueden repetirse las cifras. Por último, contesta a la
misma cuestión no repitiendo las cifras del primero pero sí las del segundo. Razona las
respuestas.
SOLUCIÓN:
En la primera pregunta se trata de agrupar 4 cifras del primer número en grupos de 2 y cinco cifras del segundo
en grupos de 3 no permitiéndose la repetición e importando el orden (de nuevo, no es lo mismo el número 58 que
el 85). Así pues tendríamos
V42 V53  4  3  5  4  3  720 números distintos. Sin embargo, el problema no indica
en qué lugar deben ir las cifras del primero ni las del segundo, por lo que podemos suponer que van en cualquier
posición. Si utilizo la letra P para indicar cifra del primer número y la letra S para indicar cifra del segundo, se trata
ahora de averiguar de cuántas maneras pueden colocarse las letras PPSSS. Es decir, de cuántas maneras
pueden escribirse dos letras P y tres letras S. Se trata evidentemente de permutaciones de 5 elementos donde
uno se repite 3 veces y otro 2:
PR52,3 
5!
5  4  3  2 1

 10
2!3! 2  1  3  2  1
Luego el total de números con las características del problema es 720 x 10 = 7.200
En la segunda cuestión sólo cambia el hecho de que las variaciones son con repetición, luego el resultado es
VR42  VR53  PR52,3  1612510  20.000
En la tercera cuestión una de las agrupaciones es sin repetición y la otra con:
V42  VR53  PR52,3  1212510  15.000