Ejemplos de Clase 14

EJEMPLO 4.4 Filtrado pasabajas de tiempo continuo ideal mediante un filtro pasabajas de tiempo
discrete.
Considere un sistema de tiempo discreto LTI cuya respuesta en frecuencia es
Esta respuesta en frecuencia se puede apreciar en la Figura 4.11
Figura 4.12. (a) Respuesta en frecuencia del sistema de tiempo discreto. (b) Respuesta en frecuencia de
tiempo continuo efectiva correspondiente para entradas de banda limitada.
Sabiendo que


j
H
(
e
),



T
H eff ( j)  

0



T
Tenemos
(4.40)
Como se muestra en la Figura 4.12(b), esta repuesta en frecuencia efectiva corresponde a la de un filtro
pasa bajas ideal con frecuencia de corte Ωc = ωc/T.
Como interpretación de este resultado considere la siguiente gráfica:
Figura 4.13. (a) Transformada de Fourier de una señal de banda limitada. (b) Transformada de Fourier
de una señal muestreada dibujada como función de la frecuencia de tiempo continuo Ω. (c)
Transformada de Fourier X(ejω) de la secuencia de muestra y respuesta en frecuencia H(ejω) del sistema
de tiempo discreto graficada vs. Ω. (d) Transformada de Fourier de la salida del sistema de tiempo
discreto. Transformada de Fourier de la salida del sistema de tiempo discreto y respuesta en frecuencia
del filtro de reconstrucción ideal graficados vs Ω. (f) Trasnformada de Fourier de la salida.
Nótese que un filtro pasa bajas de tiempo discreto ideal con frecuencia de corte ωc tiene el efecto de un
filtro pasa bajas ideal con frecuencia de corte Ωc = ωc/T cuando se usa en la configuración de la siguiente
figura:
Figura 4.11. Procesamiento en tiempo discreto de señales de tiempo continuo.
Esta frecuencia de corte depende de Ωc y T. En particular, usando un filtro pasa bajas fijo de tiempo
discreto, pero variando el periodo de muestreo T, se puede implementar un filtro equivalente pasa bajas
en tiempo continuo con frecuencia de corte variable. Por ejemplo si T se selecciona de tal manera que
ΩNT < ωc , la salida del sistema de la figura anterior sería yr(t) = xc(t). Además, la respuesta en frecuencia
efectiva, Ecuación (4.40), será valida aún si se presenta algo de aliasing (distorsión) en las Figuras 4.13
(b) y (c), siempre que estos componentes distorsionados sean eliminados por el filtro H(ejω). En
particular, en la Figura 4.13 (c) se puede observar que para que no haya aliasing (distorsión) en la salida,
se requiere que
(4.41)
Comparada con el requerimiento de Nyquist
(4.42)
EJEMPLO 4.5 Implementación en tiempo discreto de un diferenciador de tiempo continuo de banda
limitada ideal
Un diferenciador ideal de tiempo continuo se define como
Con la correspondiente respuesta en frecuencia
Obtenida del par
Ya que se considera una implementación en la forma indicada por la Figura 4.11, las entradas están
restringidas a ser de banda limitada. Para el procesamiento de señales de banda limitada, es suficiente
que
Tal como se muestra en la Figura 4.14 (a). El sistema de tiempo discreto correspondiente tiene la
respuesta en frecuencia
Y es periódica con periodo 2π. Esta respuesta en frecuencia se grafica en la Figura 4.14 (b). Se puede
demostrar que la respuesta al impulso correspondiente es
o equivalentemente
Por lo tanto, si un sistema de tiempo discreto con esta respuesta al impulso es usado en la configuración
de la Figura 4.11, la salida para toda entrada de banda limitada será la derivada de la entrada.
Figura 4.14. (a) Respuesta en frecuencia de un diferenciador de tiempo continuo de banda limitada ideal
Hc(jΩ) = jΩ, |Ω| < π/T. (b) Respuesta en frecuencia de un filtro de tiempo discreto para implementar un
diferenciador de tiempo continuo de banda limitada.
EJEMPLO 4.6 Uso del sistema del Ejemplo 4.5 con una entrada senoidal
Suponga que el sistema diferenciador del ejemplo anterior es alimentado con una entrada xc(t) =
cos(Ω0t) con Ω0 < π/T. La entrada muestreada será x[n] = cos(ω0n), donde ω0 = Ω0T < π, y la transformada
de Fourier de tiempo discreto (DTFT), expresada en función de Ω, es
La cual resulta del par
y
Enfocándose en la banda base de frecuencias –π/T < Ω < π/T, se obtiene
Para expresar la transformada de Fourier de tiempo discreto en términos de ω, se sustituye Ω = ω/T en
la Ecuación (4.48) y se usa el hecho de que δ(ω/T) = T δ(ω). El resultado es
La transformada de Fourier de tiempo discreto de X(ejω) se repite periódicamente, claro es, con periodo
2π en la variable ω, y X(ejΩ) se repite periódicamente con periodo 2π/T. Ahora, de la Ecuación (4.46), la
transformada de Fourier de tiempo discreto de la salida es
Sabiendo que la transformada de Fourier de tiempo continuo de la salida de un convertidor D/C es, para
|Ω| ≤ π/T, es
Se tiene
Entonces, el filtro de reconstrucción selecciona los dos impulsos en ±Ω0, por lo tanto se tiene que
la cual se obtiene del par
Por lo que se obtiene el resultado esperado