17.-MCU_1

INSTITUCION EDUCATIVA N°
113 “Daniel Alomia Robles
AREA: C.T.A
Profesor: José Rivera Aldave
Grado: 5to ABCDR
Fecha:
SESION DESARROLLADA DEL APRENDIZAJE
I.- UNIDAD DE TRABAJO: MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
II.-CONTENIDOS BASICOS:
1.- Movimiento Circular.- Concepto
2.-.Elementos del MCU
3.- Ecuaciones del MCU.- Velocidad lineal y Velocidad angular
7.- Ejercicios y problemas
III.- OBJETIVOS.1. Identifican y cuantifican experimentalmente el movimiento circular
IV.- MOTIVACIÓN. Los alumnos dan una serie de ejemplos de movimiento circular de su entorno y
luego analizan y comparan con el movimiento rectilíneo, acelerado y de caída libre. Observan un
cuerpo amarrado de un pabilo y lo hacemos girar y analizan porque no se cae el cuerpo en movimiento
de rotación. Llegan a una conclusión sobre la aceleración centrípeta
V.- ADQUISICIÓN Y RETENCIÓN
MOVIMIENTO CIRCULAR.- Es el movimiento de un cuerpo alrededor de un eje fijo y traza una
trayectoria de una circunferencia.- Su velocidad es constante
Ejemplos:
 El movimiento de un partícula atómica
 El movimiento de una galaxia
 El Movimiento de rotación de la tierra
 Un rueda de molino
 La hélice de un aeroplano
 Volante de un motor
 La aguija de un reloj
 Una piedra que gira atada al extremo de una
cuerda.
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.1.- Movil
2.- Trayectoria
3.- Revolución
4.- Periodo (T)
5.- Frecuencia (f )
6.- Radio Vector(R)
7.- Arco recorrido (S)
8.- Ángulo barrido (θ):
ECUACIONES DEL MCU
 Velocidad Lineal o tangencial (V)
 Velocidad Angular (ω)
 Aceleración Angular (α )
ELEMENTOS
1.- MOVIL. Cuerpo que describe el movimiento
2.- TRAYECTORIA.- Describe un circunferencia
3.- REVOLUCION.- Es una vuelta completa del móvil en rotación
4.- PERIODO.- Es un magnitud que nos expresa el tiempo que demora un móvil en dar una vuelta
Ejemplo. Un satélite geoestacionario tiene el mismo tiempo de recorrido de la tierra es decir 24
horas
FORMULA
periodo= Tiempo
P= T
Nº de vueltas
nº v
UNIDAD: el segundo (s)
Ejemplo. El periodo del segundero= 60 s
El periodo del minutero = 60 minutos 60 x 60 = 3600/1 vuelta =3600 s
El periodo del horario = 12 horas
60 x 12 = 720 x 60 x 60 = 2 592 000 s
5.-FRECUENCIA.- Es aquella magnitud que nos indica el numero de vueltas en cada unidad de
tiempo que realiza un móvil con movimiento circular
FORMULA
f = Nº DE VUELTAS
f = nº
TIEMPO
t
Unidad: el Hertz = Hz
UNIDADES ESPECIALES
 rpm= revoluciones por minuto
 rps = revoluciones por segundo
Ejemplo: Un disco gira 30 vueltas en cada minuto. Determina su frecuencia
F= 30 vueltas = 30 = 1 Hz o 0.5 rps
1 min
60 s
2
Ejemplo 2.- Un rotor gira 50 vueltas por cada 2 minutos. Determine su frecuencia
F= 50 vueltas = 50 =
50
= 25 v = 25 v
o 25 Hz o 25 rpm
2 minutos
2(60 s)
120 s
60 s
1min
EJERCICIOS
1.- Una rueda gira a razón de 100 vueltas en 20 s. Calcular la frecuencia y su periodo
DATOS:
SOLUCION
Nº vueltas = 100
f= nº vueltas = 100 v = 5 Hertz
T = 20 s
T
20 s
f= ¿
T= ¿
T=
tiempo
= 20 s = 0.2 s
Nº de vueltas
100 v
2.- Una hélice realiza 1800 vueltas en ½ min. Calcular la frecuencia y su periodo.
DATOS
SOLUCION
Nº v = 1800
f= nº vueltas = 1800 v = 60 Hertz
t = ½ min = 30 s
T
30 s
F=¿
T = tiempo total = 30 s = 1 = 0,01666 s
T=¿
nº de Vueltas
1800 60
6.- RADIO VECTOR (R ) Es la radio de la circunferencia descrita por un móvil. Es decir la distancia del
móvil al eje. Su unidad es el metro (m) cambiando continuamente de dirección y sentido pero no así su
módulo
7.- ARCO RECORRIDO(S).- Es la porción de la trayectoria circular generada por el movimiento del
móvil en un intervalo de tiempo (S)
8.- ANGULO BARRIDO (Ѳ).- Es el ángulo central generado por el movimiento del móvil en un intervalo
de tiempo. El ángulo barrido (θ): Se mide en radianes (rad). Es un vector perpendicular al plano del
ángulo y sentido el del avance del tornillo.
Como en 1 vuelta = 360º = 2 rad = θ
½ vuelta = 180º =  rad
¼ vuelta = 90º =

2
ECUACIONES DEL MCU
1.- VELOCIDAD LINEAL (V).- Es una magnitud que nos indica el arco recorrido(S) con un intervalo de
tiempo
FORNULA
V= Arco recorrido =
V = S
Tiempo
t
S
UNIDADES
Magnitud
Arco recorrido
Tiempo
Velocidad lineal
v
Unidad
metro
segundo
metro por
segundo
t
Símbolo Abrev
S
m
t
s
v
m/s
 El módulo de la velocidad es constante
 El móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales
 La dirección de la velocidad es siempre tangente a la circunferencia
VELOCIDAD LINEAL EN FUNCION A LA VELOCIDAD ANGULAR (ω)
V=ω.R
V
ω
R
2.- VELOCIDAD ANGULAR (ω ).- Es aquella magnitud que nos indica el desplazamiento del ángulo
barrido(Ѳ) por un móvil en cada unidad de tiempo
FORMULA ω = Angulo barrido
=
ω= Ѳ
Tiempo
t
Ѳ
ω
UNIDADES
Magnitud
Angulo barrido
Tiempo
Velocidad angular
Unidad
radianes
segundos
Radianes
por
segundo
t
Símbolo Abrev
rad
Ѳ
t
s
rad/s
ω
 En el MCU la velocidad es constante
 El móvil recorre ángulos iguales en intervalos de tiempos iguales
 La dirección de la velocidad es perpendicular al plano de rotación
3.- ACELERACION CENTRIPETA(Acp).-.- Es aquella aceleración que provoca el cambio de la
velocidad de un móvil en cada unidad de tiempo cuando realiza un movimiento circular. La Aceleración
Centrípeta (Ac) siempre está dirigida al centro del movimiento y además siempre es perpendicular
a la velocidad lineal.
Para velocidad lineal
Para velocidad angular
FORMULAS:
Acp =
ω2
R
2
Acp = ω .R
Como:
ω=2π
T
UNIDADES
Magnitud
Velocidad Lineal
Radio
Aceleración
Centrípeta
Unidad
metro por
segundo
metro
metro por
segundo al
cuadrado
Símbolo
V
Abrev
m/s
R
Ac
m
m/s2
 El arco siempre está dirigido al centro del movimiento
 Siempre es perpendicular a la velocidad lineal
4.-ACELERACIÓN ANGULAR ( α).- Es la variación de la velocidad angular producida en cada unidad
de tiempo.
α = ∆ω
α = ω 1 - ω2
t
t
NOTA.- La velocidad angular (ω) es una magnitud vectorial cuyo
sentido se representa aplicando la regla de la mano derecha o
del
tirabuzón, tal como lo muestra en la figura
RESUMEN: UNIDADES ANGULARES DEL MCU.1.- Revolución.- una vuelta = 360º = 2 rad = θ
2.- Periodo (T) .- segundos (s)
3.- Frecuencia (f) .- Hertz o (r.p.s)
4.- Radio (R).- metros (m)
5.- Velocidad lineal (V) .- metros por segundo (m/s)
6.- Velocidad angular (ω ) .- radianes por segundo (rad/s)
7.- Aceleración Angular (α ).- radianes por segundo al cuadrado ( rad/s2)
8.- Arco Recorrido (S).- metros ( m)
9.- Angulo Barrido (θ ) .- radianes (rad)
.
EL RADIAN.- Es el ángulo en el centro de la circunferencia, cuyos lados interceptan un arco de
longitud igual al radio. Su valor es
1 radian = 360º
2π
= 57º, 17. 45”
De la definición del radian se deduce que el ángulo total al centro de una circunferencia es:
θ=S = 2π
R
R
S=θ.R
= 2 π radianes (siendo S la longitud de la circunferencia)
2 pi
S
θ
R
LA VELOCIDAD ANGULAR (ω) consiste en una vuelta completa o revolución, el ángulo será:
θ = 2 π rad ó 360º y el intervalo de tiempo será de un período, o sea t = T tenemos las siguientes
formulas:
ω=
θ
T
ω=
EQUIVALENCIAS.360º grados = 1 revolución
360º grados = 2π rad
2π radianes = 1 revolución
1 radian
= 57º,17·, 45”
θ
ω = 360º
2π
T
ω
T
Grados
0°
Radianes 0
30° 45° 60°
90°
π/6 π/4
π/2
π/3
T
180° 270° 360°
π
3π/2 2π
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
Es el movimiento en el cual la trayectoria es una circunferencia y la velocidad es constante.- El MCU
se refiere únicamente a una partícula o un punto material. En este tipo de movimiento la velocidad es
constante solo en su valor numérico, pues su dirección está cambiando constantemente
1.- VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (v).- Es la longitud del arco(S) recorrido por el móvil en la
unidad de tiempo. V= S/t
V
ω
R
ECUACIONES
V=ωR
v= S
ω= V
v= θ
t
v=
2
π
.
R
v
=
ω
R
R
t
t
R= V
ω
2.- Velocidad angular (ω).- Es el ángulo descrito por la radio en la unidad de tiempo
ω =θ
t.
ω= θ
ω = 2π rad
ω = 360º
ECUACIONES
t
t
ω=Θ
t
t
Θ=ωt
θ
ω
t
t=Θ
ω
FUERZA CENTRIPETA.-


La intensidad de esta fuerza se obtiene multiplicando la masa del cuerpo por la aceleración que
produce. Cuando se hace girar un objeto atado al extremo de una cuerda, ésta transmite la
fuerza centrípeta que se identifica con la tensión a que está sometida.
Formula
FUERZA CENTRIFUGA


En general, la fuerza centrífuga asociada a una partícula de masa en un sistema de referencia
en rotación con una velocidad angular y en una posición respecto del eje de rotación
Formula
Fcf = mω².R
VI.- CUESTIONARIO
1. ¿Qué es el movimiento circular?
2. ¿Cuáles son los elementos del movimiento circular?
3. ¿Qué unidades se usan para expresar los ángulos?
4. ¿Qué es un radian?
5. ¿Qué diferencia hay entre velocidad angular y velocidad lineal?
6. ¿Qué es la aceleración centrípeta. ¿Cuál es su formula?
7. ¿Qué es la velocidad angular y cuál es su formula?
8. ¿Calcula en radianes los ángulos correspondientes 90º, 60º y 120º?
9. ¿Qué es un movimiento de rotación?.
10. ¿Cuántas clases de velocidades hay en el movimiento circular uniforme?, ¿cuáles son sus
magnitudes?.
11. ) ¿Qué es período y frecuencia en el movimiento circular?.
12. Indicar la diferencia entre fuerza centrípeta y centrífuga.
13. ¿Cuál es la causa por la cual una piedra que hacemos girar mediante una cuerda, sale
tangencialmente y no radialmente al soltarse la cuerda?.
14. ¿Cuándo un móvil está afectado de un movimiento circular uniforme?.
15. ¿Qué relación existe entre velocidad angular y tangencial?.
16. ¿Qué es fuerza centrípeta y centrífuga?.
HOJA DE EJERCICIOS DE MCU
1.- Un móvil tiene MCU da una vuelta en 10 s. Calcular el periodo, frecuencia y la velocidad angular,
DATOS
SOLUCION
Nº vueltas= 1 vuelta = 2 π rad.= θ
Hallando ω = θ = 2 π rad = π rad/s
T = 10 s
t
10 s
5
ω=¿
Hallando frecuencia
F=¿
f = nª vueltas =
1 = 0,1 hertz
T=¿
T
10 s
Hallando Periodo
T=
t
= 10 s = 10 s
Nº de vueltas
1
2.- Un ciclista se mueve a razón de 0,02 π rad durante una hora. Calcular el nº de vueltas que ha dado.
DATOS
SOLUCION
ω = 0,02 π rad/s
θ=ω.t
T = 1 hora = 3600 s
θ = 0,02 π rad/s x 3600 s
Nº vueltas= θ = ¿
θ = 72 π rad
Entonces
72 π rad = 36 vueltas
2 π rad
3.- Un móvil que se desplaza con MCU describe un ángulo de 2.2 radianes en 1/5 de segundo. Si el
radio de la circunferencia descrita es de = 0.40 m. Calcula la velocidad lineal y su periodo.
DATOS:
θ = 2.2 rad.
t = 1/5 = 0.2 s
R = 0.40 m
V= ¿
T=¿
SOLUCION
a).- Calculamos la velocidad lineal (V) en función a la velocidad angular (ω)
v = ω R sabiendo que ω = θ
t
v = θ R = 2,2 rad x 0.40 m === 4,4 m/s
t
0.2 s
b).- Para obtener el periodo (T)
Despejamos T de: la Velocidad angular ω = θ será: t = θ
t
ω
Primero hallamos velocidad angular (ω)
ω = θ = 2.2 rad = 11 rad/s
t
0.2
Entonces:
t = θ = 2 π rad = 2(3.14) rad = 0.57 s
ω 11 rad/s
11 rad/s
= 2 π rad
ω
4.-Un disco de 3 m de diámetro, que está animado de MCU da 120 revoluciones por minuto (rpm)
Calcula
a).- El periodo
b).- La frecuencia
c).- La velocidad angular
d).- La velocidad lineal de un punto de su periferia si tiene un diámetro de 3 m.
DATOS:
Nº Vueltas = 120 v x 2 π rad (esto es una vuelta)
t = 1 min = 60 s
D = 3 m o radio R= 1,5 m
a).- calculamos el periodo (T)
T = t = 60 s = 0.5 s
n 120
b).- Encontramos la frecuencia (f)
f= 1 = 120 v
= 2 hertz ( 2 rps)
T
60 s
c).- Calculo de la velocidad angular (ω )
ω = θ = 2 π rad = 2 π rad x 120 v = 240 π rad = 4 π rad/s = 12.56 rad/s
t
t
60 s
60 s
d).- Calculo de la velocidad lineal.(V)
v = ω.R = 12.56 rad/s x 1..5 m = 18.84 m/s
5.- La volante de un motor gira a razón de 180 revoluciones por minuto. Calcular
a).- La velocidad angular
b).- La velocidad lineal de un punto situado a 20 cm. del eje
DATOS.
T = 1 min = 60 s
θ = 180 rev = 180 x 2 π rad. = 360 π rad.
R = 20 cm
W= ¿
V=¿
SOLUCION:
A).- Calculo de la velocidad angular
ω = θ
t
ω = 180 x 2 π rad = 360 π rad = 6 π rad/s = 6 (3.14) rad/s = 18.84 rad/s
60 s
60 s
B).- Calculo de la velocidad lineal (V)
v= ω R
v = 18.84 rad/s x 20 cm) = 376.8 cm/s o 3.76 m/s
6.-Un cuerpo con MCU posee un periodo de rotación de 8 s. ¿Cuál será su velocidad angular?
DATOS:
t= 8s
ω = ¿
a).- π / 2 rad/s
b).- π /4 rad/s
c).- π /8 rad/s
d),- 2 π rad/s
e).- π rad/s
SOLUCION
Formula a aplicar.
ω = θ = 2 π =π o
2(3.14) = 6.28 = 0.785 rad/s
t
8s
4s
8s
8s
7.- Un cuerpo gira 270º en 15 s con velocidad angular constante. Hallar dicha velocidad angular:
DATOS
θ = 270º =
3π
W=θ =3π
2
t
2
= 3 π = π rad/s
15s
30s 10s
t = 15 s
1
ω = ¿
a).- π /5 rad/s b).- π /10 rad/s c).- π /15 rad/s d).- 3 π / 5 rad/s e).- 2 π /15 rad/s
OTRA SOLUCION:
ω = θ = 3π
t
2
= 3 π : 15 s = 3 π = π rad
15 s
2
1
30 s
10 s
8.- Un cuerpo que describe un M.C.U. recorre una vuelta cada 60 s. Su velocidad angular será:
a).- 60 rps.
b).- π /30 rad/s
c).- 1/60 rps d).- 2 π rad/s
e).- N.A
DATOS
Nº vueltas = 1 = θ = 2 π
T = 60 s
SOLUCION:
ω = θ = 2 πrad = 2 πrad
t
t
60 s
= π rad/s ó
30 s
0.1046 rad/s
9.-Un cuerpo se mueve con un MCU de radio 2 m. Si da una vuelta cada minuto, su velocidad angular
en el Sistema Internacional de Unidades será:
a)- 2 π rad /s b).- 1 r.p.m. c).- 2 m/s d).- π /30 rad/s e).- N/A
DATOS
Nº vuelta: 1 = θ = 2 π rad.
T = 1 min = 60 s
R = 2 m.
SOLUCION
ω = θ = 2 π rad = 2 π rad = π
rad/s
t
60 s
60 s
30
10.-Las aspas de un molino giran con velocidad angular constante. Si dan 90 vueltas por minuto,
calcula:
a.- La velocidad angular en radianes por segundo;
b).- La velocidad lineal de un punto de las aspas que se encuentra a 0,75 m del centro; c).- El ángulo
girado en 10 s
DATOS
n = 90 r.pm = 90 x 2 rad = 180  rad
T = 1 min = 60 s
 =¿
v=¿
θ =¿
SOLUCION
a).- Calculando la velocidad angular
θ
 = — = _ θ __ = 180  rad = 3  rad/s
t
1 min
60 s
b) Calculando la velocidad lineal de un punto que se encuentra a 0.75 m del centro
v =  · R = 3  rad /s x 0,75 m = 7,065 m/s
v = 3(3.14) rad/s x 0.75 m
v= 9.42 rad/s x 0.75 = 7,065 m/s
c)
Calculando el ángulo girado en 10 s
θ =  . t = 3  rad/s x 10 s = 30  rad = 15 vueltas
30  rad = 15 vueltas
2
11.- Calcula el ángulo recorrido por un punto de un disco que gira a 16 r.p,m en 30 segundos.
DATOS:
n = 16 r.p.m = 16 x 2 rad = 32  rad
t= 30 s
θ=?
Θ= n
t
Soluciòn :
θ = n = 32  rad = 16  rad = 16(3.14) rad/s = 3,349 rad
t
30 s
15 s
15 s
12.- Una piedra atada a una cuerda posee un movimiento circular uniforme de periodo T = 0.2 s y radio
R= 10 cm. Calcula para la piedra
a).- La velocidad angular en rad/s Rpta. 10  rad/s
b).- La velocidad lineal en m/s
Rpta.  m/s
PROBLEMAS ADICIONALES
1.- Una partícula que está girando con M.C.U. tiene una velocidad angular de 3 rad/s. ¿Qué ángulo
habrá girando en 2 minutos?
a) 300 rad
b) 340 rad
c) 360 rad
d) 400 rad
e) 450 rad
2.- ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de la hélice de su avión que gira a 200 rps?
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
e) 500
3.- ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s del minutero de un reloj de aguja?
a) /450
b) /800
c) /24000
d) /38900
e) N.A:
4.- Se sabe que un ciclista esta dando vueltas alrededor de una pista circular dando 4 vueltas cada
minuto. ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de dicho ciclista mientras realiza su movimiento
circular?
a) /15
b) 2/15
c) /3
d) 4/3
e) 3/7
5.- ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s del rotor de una turbina que gira a 3600 r.p.m.?
a) 40
b) 50
c) 60
d) 70
e) 120
6.- Un ventilador gira dando 160 vueltas cada 4 segundos. ¿Cuál será la velocidad angular en rad/s de
dicho ventilador asumiendo que esta es constante?
a) 40
b) 50
c) 60
d) 70
e) 80