PARTE-II-MADE

1
INDICE .
PARTE II. ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
1.
Estadística Descriptiva
1.1 Introducción
1.2 Organización de los datos de un conjunto
1.3 Distribuciones de frecuencias
1.3.1 Definición de distribución de frecuencia. Terminología
1.3.2 Reglas generales para formar distribuciones de frecuencia
1.3.3 Ejercicios
1.4 Representación grafica de los datos de un conjunto
1.4.1 Variables Cualitativas
1.4.2 Variables Cuantitativas Discretas
1.4.3 Variables Cuantitativas Continuas
1.4.4 Ejercicios
1.5 Medidas de tendencia central
1.5.1 La media aritmética (Media Ponderada)
1.5.2 La moda
1.5.3 La mediana
1.5.4 Ejercicios
1.6 Medidas de dispersión
1.6.1 Amplitud (recorrido o rango)
1.6.2 Desviación típica (o estándar).Varianza
1.6.3 Ejercicios
1.7 Medidas de Posición
1.7.1 Cuantiles(cuartiles, deciles y percentiles)
1.7.2 Ejercicios
2
PARTE II. ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1.1 INTRODUCCION
La estadística se puede definir como la ciencia encargada de recopilar,
organizar e interpretar conjuntos de datos, de manera que pueda llevar a
conclusiones válidas. Los datos se obtienen (de una muestra o población)
observando o experimentando.
-
La primera parte de la definición: recopilar, organizar e interpretar
conjuntos de datos se llama “Estadística Descriptiva”.
-
La segunda parte: interpretar datos de manera que pueda llevar a
conclusiones válidas se llama “Estadística Inferencial”.
Nos ocuparemos de la Estadística Descriptiva.
Cuando el número de datos es relativamente grande, resulta conveniente,
para facilitar su interpretación, primero organizarlos y luego representarlos
gráficamente.
1.2 ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS DE UN CONJUNTO
Los datos recopilados se analizan de acuerdo con una característica:
“CUALITATIVA”, por ejemplo, el estado civil, sexo y nacionalidad de una
persona; calidad de un plaguicida, como dañino o no dañino para la salud.
Cuando la característica es “CUANTITATIVA” se distinguen dos casos:
características discretas, como el número de hijos en la familia. En este caso la
variable toma valores aislados, 0, 1, 2, 3, etc. Características continuas, como el
peso y la estatura de una persona. Aquí la variable en consideración toma
todos los valores reales en un intervalo.
1.3 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
1.3.1 DEFINICION DE FRECUENCIA Y TERMINOLOGÍA
Definición:
Las distribuciones de frecuencias son disposiciones tabulares de los datos, por
clases con sus respectivas frecuencias absolutas.
Terminología:
CLASES. (Para una característica continua): Son intervalos abiertos o cerrados.
Deben ser exhaustivos y excluyentes; es decir, tales que se elimine la posibilidad
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
3
de que un dato dado no corresponda a clase alguna o que pueda quedar
incluido en más de una.
FRECUENCIA ABSOLUTA: Es el número de datos que pertenecen a la clase.
Ejemplo 1.
Distribución de frecuencias de puntajes obtenidos por 120 estudiantes en un
examen de matemática.
Clase
1ra.
2da.
3ra.
4ta.
5ta.
6ta.
7ma.
Puntajes (x)
28 - 32
33 - 37
38 – 42
43 – 47
48 – 52
53 – 57
58 - 62
Total
Frecuencias Absolutas
10
15
20
35
19
12
9
120
-
Los números que definen una clase: 28-32, 33-37, etc. se llaman Límites de
Clase.
Los valores a la izquierda: 28, 37, etc. se llaman Limites Inferiores
aparentes, los valores a la derecha: 32, 37, etc. son los Limites Superiores
aparentes de la clase.
-
La diferencia entre el límite superior (ls) y el límite inferior (li), más 1, es un
Intervalo de Clase (o Amplitud de Clase); y se denota por ic . En símbolos:
-
i c = ls – l i + 1
-
Marca de clase o punto medio: Es la mitad de la suma de los límites
de la clase.
Los datos que corresponden a una variable continua, generalmente no son
medidas exactas. Así decimos por ejemplo que 58 es un valor que está entre
57.5 y 58.5; el primero es el límite real inferior y el segundo es el límite real
superior. Para estas distribuciones ic = lrs – lri.
A continuación se presenta la distribución de frecuencias del ejemplo anterior,
con límites reales.
Ejemplo 2.
Clase
1ra.
2da.
3ra.
4ta.
5ta.
6ta.
7ma.
27.5
32.5
37.5
42.5
47.5
52.5
57.5
Puntajes
a menos de 32.5
a menos de 37.5
a menos de 42.5
a menos de 47.5
a menos de 52.5
a menos de 57.5
a menos de 62.5
Total
Frecuencias Absolutas
10
15
20
35
19
12
9
120
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
4
En general, la distribución de frecuencias para una muestra de tamaño n y un
número k de clases, con frecuencias fk, respectivamente, se representa así:
Clase
clase 1
clase 2
Frecuencia Absoluta
F1
F2
clase i
Fi
clase k
Total
Fk
n
k
La frecuencia relativa es fi/n, donde 0 ≤ fi/n ≤ 1 y “  fi / n = 1.
i 1
Cuando fi/n se multiplica por 100, se llama frecuencia porcentual. La frecuencia
acumulada menor que fi se denota por Fi y es la suma de las frecuencias
absolutas que van desde la clase 1 hasta la clase i. En símbolos:
Fi = f1 +f2 + f3 +…+ fi
Ejemplo 3.
Distribución de frecuencias porcentuales y acumuladas, basada en los datos
que aparecen en la ejemplo 1.
Puntajes (x)
28 - 32
33 - 37
38 - 42
43 - 47
48 - 52
53 - 57
58 - 62
Frecuencias
absolutas
10
15
20
35
19
12
9
Frecuencia
porcentual
8.33
12.50
16.67
29.17
15.83
10.00
7.50
fa
10
25
45
80
99
111
120
Fia
menor que
8.33
20.83
37.50
66.67
82.50
92.50
100.00
Fia más que
100
91.67
79.17
62.50
33.33
17.50
7.50
Con ésta distribución de frecuencias podemos tener, entre otras, las siguientes
informaciones:
-
El 29.17 % de los estudiantes obtuvieron puntaje entre 43 y 47.
El 61.67 % sacaron puntajes entre 38 y 52.
La Fa, 45, que aparece en la tercera clase significa que 45 estudiantes
sacaron puntajes de 42 o menos.
El 17.5 % de estudiantes obtuvieron 53 y más puntos.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
5
1.3.2 REGLAS GENERALES PARA FORMAR DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
1.
2.
3.
Determinar el mayor y el menor de todos los datos, hallando así el rango
(diferencia entre ambos).
Dividir el rango en un número adecuado de intervalos de clase del
mismo tamaño (de igual amplitud).
Mediante una hoja de recuentos, determinar el numero de datos que
caen dentro de cada intervalo de clase; esto es hallar la frecuencia de
clases.
1.3.3 EJERCICIOS
1. A continuación se le presenta las calificaciones de un examen de
matemática, de un grupo de 40 estudiantes.
6.7
6.3
8.7
7.9
8.8
9.2
8.6
8.3
7.8
4.1
6.6
6.8
7.7
4.6
7.6
8.1
9.2
8.4
8.6
7.0
6.0
7.7
8.1
9.8
7.5
8.1
8.2
8.7
7.8
7.0
6.1
9.4
8.1
5.2
7.9
8.2
7.7
7.7
7.0
7.4
a) Transforme la serie simple en una distribución de clases y frecuencias,
utilizando ic = 0.5.
b) Haga lo mismo utilizando ic = 0.7.
c) Determine las marcas de clase .
2. Con los datos del ejercicio anterior, utilizando un ic = 0.7 calcule:
a) Las frecuencias relativas.
b) Las frecuencias relativas acumuladas “menos que” y “mas que”.
c) Haga un comentario de ésta variable.
3. Utilizando la siguiente tabla:
Estatura
en cm
178 –184
171 –177
164 - 170
157 -163
150 - 156
Total
f
4
10
15
8
3
40
Fa“menos que” Fa “más que”
40
36
26
11
3
4
14
29
37
40
f%
10.00
25.00
37.50
20.00
7.50
Fa %“más
que”
100.00
90.00
65.00
27.50
7.50
Fa %“menos
que”
10.00
35.00
72.50
92.50
100.00
6
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
a) ¿Qué % de personas tienen estaturas de más de 1.70 metros?.
b) ¿Qué % de personas tienen estaturas de 1.64 o más metros?.
c) ¿Qué % de personas tienen estaturas de menos de 1.64 metros?.
d) ¿Cuántas personas tienen estaturas debajo de 1.64 metros ?.
e) ¿Cuántas personas tienen estaturas arriba de 1.63 metros ?.
f) ¿Qué % de personas tienen estaturas entre 1.78 y 1.84 metros inclusive ?.
4) Dada la siguiente distribución de frecuencias:
Xi
80 - 81
82 – 83
84 – 85
86 – 87
88 - 89
90 - 91
f
6
14
30
33
13
4
a) Calcule las frecuencias acumuladas del tipo “menos que” y ”más que”.
b) Calcule el % de datos de 87 o menos.
c) Calcule el % de datos mayores o iguales a 82.
d) Calcule el % de datos mayores o iguales a 82 pero menores o iguales que 89
5. A continuación se presenta los resultados del rendimiento escolar de los
alumnos de dos secciones A y B de un sexto grado de una escuela:
Calificaciones
1-2
3-4
5-6
7-8
9-10
F (sección A)
2
5
15
5
3
F (sección B)
2
8
22
9
5
Cree usted que la sección B, ha salido mejor que la sección A, ya que en la
sección B hay 22 alumnos cuyas calificaciones están entre 5 y 6, mientras que
en la sección A sólo hay 15 alumnos entre esas calificaciones. Justifique su
respuesta.
Sugerencia: Transforme las frecuencias absolutas, en frecuencias relativas.
7. La siguiente información corresponde al peso, en libras, de un grupo de 50
estudiantes.
7
Lic. Mauro Henríquez Rauda
100
116
124
131
140
103
117
124
131
141
113
118
124
131
142
110
117
124
132
145
110
117
127
133
148
107
120
125
134
146
108
117
125
135
145
110
121
128
136
162
114
120
128
138
152
115
120
130
138
150
Transforme esta serie en una distribución de clases y frecuencias, con 9 clases.
8. Transforme la serie del ejercicio anterior en una distribución de clases y
frecuencias, utilizando un intervalo de clase de ic = 10.
9. Dada la siguiente distribución de clases y frecuencias:
x
100-106
107-113
114-120
121-127
128-134
135-141
142-148
149-155
156-162
Total
F
2
6
11
8
9
6
5
2
1
50
Calcule las siguientes columnas: frecuencia relativa, frecuencia relativa
acumulada y marcas de clase.
10. A continuación se presentan 40 mediciones del diámetro de arandelas:
0.19
0.35
0.37
0.25
0.29
0.19
0.17
0.20
0.30
0.32
0.37
0.22
0.27
0.27
0.26
0.27
0.32
0.39
0.37
0.32
0.22
0.32
0.27
0.27
0.22
0.24
0.32
0.34
0.15
0.27
0.29
0.27
0.22
0.23
0.26
0.26
0.27
0.28
0.28
0.27
Presente ésta información mediante una distribución de clases y frecuencias,
usando un intervalo de 0.05. Comience la primera clase con 0.15 como límite
aparente inferior.
8
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
1.4 REPRESENTACION GRAFICA DE LOS DATOS DE UN CONJUNTO
La selección apropiada de una gráfica puede relacionarse con el carácter de
la variable en estudio. Los principales tipos de gráficas que corresponden a las
variables cualitativas , cuantitativas discretas y continuas, se pueden ver en el
cuadro siguiente:
Variable
Tipo de Gráfica
Barras separadas
Circular o de Pastel
Barras
Circular o de Pastel
Histograma
Polígono de frecuencias
Cualitativa
Cuantitativa discreta
Cuantitativa continua
1.4.1 VARIABLES CUALITATIVAS.
BARRAS SEPARADAS.
Ejemplo 4.
Una pequeña encuesta estudiantil sobre preferencias de bebidas gaseosas
produjo los siguientes resultados:
Pepsi
Salva
Sprite
Sprite
salva
coca
coca
coca
fanta
pepsi
salva
coca
fanta
fanta
pepsi
coca
coca
pepsi
coca
coca
fanta
pepsi
coca
coca
fanta
pepsi
coca
sprite
fanta
coca
coca
pepsi
salva
sprite
pepsi
fanta
pepsi
pepsi
coca
salva
salva
coca
salva pepsi
salva sprite
pepsi
coca
coca
fanta
Después del conteo, la distribución en clases y frecuencias queda como sigue:
i
1
2
3
4
5
bebida
Coca
Fanta
Pepsi
Salva
Sprite
total
fi
17
8
11
8
6
50
fri %
34
16
22
16
12
Fi %
34%
50%
72%
88%
100%
9
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
Grafica de barras separadas para las compras de bebidas gaseosas.
CIRCULAR
Grafica circular para las compras de bebidas gaseosas.
1.4.2 VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS
Ejemplo 5.
10
Distribución de frecuencias del número de maestros en una muestra de
escuelas públicas, en Chalatenango.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
Número de maestros
5
6
7
8
9
10
11
12
Cantidad de escuelas
6
8
10
12
8
11
7
4
1.4.3 VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS
Un histograma es una gráfica constituida por barras verticales no
separadas(límites reales).
Para construirlo se marcan en el eje horizontal las clases y en el eje vertical las
frecuencias. Sobre el intervalo correspondiente a cada clase se dibuja una
barra de área proporcional a su frecuencia.
Ejemplo 6.
Clasificación de 40 alumnos de una escuela rural de acuerdo a su peso en
libras.
11
Clases
Frecuencia
Puntos medios
29.5 – 34.5
34.5 – 39.5
39.5 – 44.5
44.5 – 49.5
49.5 – 54.5
54.5 – 59.5
59.5 – 64.5
64.5 – 69.5
69.5 – 74.5
Total
1
3
8
9
7
4
3
3
2
40
32
37
42
47
52
57
62
67
72
Frecuencia
acumulada
“menos de”
1
4
12
21
28
32
35
38
40
Frecuencia
relativa
0.025
0.075
0.200
0.225
0.175
0.100
0.075
0.075
0.050
1.000
La comparación de dos o mas distribuciones de frecuencias resulta fácil, si en
lugar de levantar una barra sobre el intervalo correspondiente al la clase, se
marca un punto con abscisa el punto medio y como ordenada la frecuencia.
Luego los puntos se une con segmentos de recta y la figura resultante se
denomina polígono de frecuencias. El área bajo el polígono de be ser igual al
área comprendida por el histograma. Para lograr esto, usualmente el polígono
se prolonga tal como puede apreciarse en la gráfica siguiente, procediendo
como si existiera una clase adicional al principio y otra al final, ambas con
frecuencia de cero.
12
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
1.4.4 EJERCICIOS PROPUESTOS: Ver guía de ejercicios.
1.5 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.5.1 LA MEDIA ARITMETICA
Entre las medidas de tendencia central, la mas popular es la “media
aritmética”, que comúnmente se llama “promedio”
DEFINICION: La media aritmética de un conjunto de N datos:
x1, x2, ….., xN, se denota por x y se define así:
13
N
Suma de todos los datos
x  Número total de datos
xi
x1  x 2  .....x N 
i 1

=
N
N
NOTA: El símbolo  es la letra griega “sigma mayúscula” que corresponde a la
letra S.
EJEMPLO 1: Calcular la media de 8, 16, 4, 12 y 10
SOLUCION:
8  16  4  12  10 50

 10
5
5
Advierta: la media es uno de los datos.
x
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
EJEMPLO 2: Calcular la media de
8, 16, 4, 12 y 5
SOLUCION:
8  16  4  12  5 45

9
5
5
La media, 9, no es uno de los datos
Si los números x1  x2  .....x N ocurren f1 , f 2 ,....., f N veces, respectivamente (o sea
x
con frecuencias f1 , f 2 ,....., f N ), la media aritmética es
N
f x  f x  ........f N x N
x 1 1 2 2

f1  f 2 ..........f N
 fi x i
i 1
N
f
i 1
N

f x
i
i 1
i
N
i
EJEMPLO 3: 5,8,6 y 2 ocurren con frecuencias 3,2,4 y 1 respectivamente. Hallar
la media.
SOLUCION:
3(5)  2(8)  4(6)  2 15  16  24  2 57
x


 5.7
3  2  4 1
10
10
A veces asociamos con los números x1 , x2 ,....,.x N , unas ponderaciones (o pesos)
w1 , w2 ,.....,wN , dependiente de la relevancia asignada a cada número (no a su
frecuencia). En este caso:
N
w x  w2 x 2  .....wN x N
x 1 1

w1  w2  .....wN
w x
i 1
N
i
w
i 1
i
i
14
Se llama “media aritmética ponderada” con pesos w1, w2,......, wn
EJEMPLO 4: El primer examen parcial vale el 20%, el segundo parcial, el 25%, las
tareas el 30% y el examen final el 25% de la nota final. Si un estudiante tiene las
calificaciones 1er. P: 3.0; 2º.P: 5.8; tareas: 8.0 y EF: 6.4, ¿Cuál es la media
aritmética ponderada (nota final)?SOLUCION:
x
(0.2)( 3.0)  (0.25)( 5.8)  (0.3)(8.0)  (0.25)( 6.4)
 6.05
0.2  0.25  0.30  0.25
VERIFICANDO SU COMPRENSIÓN
1. Calcule la media aritmética para el conjunto de datos.
a) 6,8,3,9 y 5
b) 6,6,8,8,3,9,9,9,5 y 5
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
2. Calcule la media aritmética ponderada para el conjunto de datos 3.0, 2.0,
6.5 y 8.4 con los pesos: 20%, 20%, 30% y 30% respectivamente.
1.5.2 LA MODA
DEFINICION: La moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con
mayor frecuencia (valor más frecuente)
NOTA: La moda de un conjunto puede no existir, e incluso no ser única, en caso
de existir.
EJEMPLO 5. El conjunto 1,2,3,3 y 4 tiene moda 3
EJEMPLO 6. El conjunto 1,2,3, y 4 no tiene moda
EJEMPLO 7. El conjunto 1,1,2,2,3 y 4 tiene dos modas: 1 y 2; se dice que es
bimodal.
1.5.3 LA MEDIANA
DEFINICION: La mediana (med) de un conjunto de números ordenados en
sentido creciente (decreciente) es: el valor central, si el número de datos es
impar; o la media de los valores centrales, si el número de datos es par.
EJEMPLO 8. El conjunto de números 3,4,4,5,6,8,8,8 y 10 tiene mediana 6
68
7
EJEMPLO 9. El conjunto de números 5,5,6,8,9 y 10 tiene mediana x 
2
15
EJEMPLO 10. Calcular la mediana del conjunto: 8,5,10,7,6,9,2,2,5 y 6
SOLUCION:
Primero se ordenan los números (orden creciente): 2,2,5,5,6,6,7,8,9 y 10. Como
hay un número impar de datos, la mediana es 6 (la mediana es uno de los
datos)
EJEMPLO 11. Calcular la mediana del conjunto: 7,4,7,4,5,5,6,6,6,3,3,2,1 y 1
SOLUCION:
Primero se ordenan los números (orden creciente): 1,1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,6,7 y 7.
45
 4.5 (la mediana no es
Como hay un número par de datos, la mediana es
2
uno de los datos)
VERIFICANDO SU COMPRENSION
Calcule la mediana a cada uno de los conjuntos de números dados.
a) 7,5,6,4,4,4,3,3,1 y 10 b) -4, -6, -1, 1, 4, 10 y 3
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
1.5.4 EJERCICIOS
1.
Explicar que es una medida de tendencia central; cuales son y como se
definen.
2.
¿Cuál de las siguientes fórmulas se utiliza para calcular la media de
x1 , x2 y .x3 ?
x  x 2  .x3
x  .x 3
a) x  x1  x2  .x3
b) x  1
c) x  1
3
2
3.
Encuentre la media, mediana y moda del conjunto de datos
a) 1,2,3,4 y 5
c) 4,7,10,6,9 y 10
b) 12,13,14 y 15
d) 79,90,95,95 y 96
e) 9,12,8,10,9,11,12,15,20,9,14,15,21 y 10
4.
Considérese el conjunto de datos: 4,5,6,3,4,3,3,31 y 4.
a) Encontrar la media
b) Hallar la mediana
5.
Elimine el 31 del conjunto de datos en 4.
c) encontrar la media;
d) Hallar la mediana
e)Comparar los resultados a), b), c) y diga ¿Cuál de las medidas de
tendencia central, la media o la mediana, es mejor para evitar la distorsión
producida por un valor extremo?.
6.
Se pidió a 30 reclutas de la Academia de Policía se sometieran a una
prueba que mide la capacidad para el ejercicio. Se midió esta capacidad
de cada recluta (en minutos)
25
27
30
33
30
32
30
34
30
27
26
25
29
31
31
32
34
32
33
30
16
27
30
31
36
28
30
31
26
29
32
Calcular la moda, media y mediana.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
17
1.6 MEDIDAS DE DISPERSION
La localización o tendencia central no necesariamente proporciona
información para describir datos de manera adecuada. Para el caso,
consideramos los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 1.
Suponga que en un hospital, el nivel de azúcar en la sangre de cada paciente
se mide tres veces por semana. En cierta semana los registros de dos pacientes
indican:
Paciente A: 90, 100 y 110 miligramos por decilitro
Paciente B: 40, 100 y 160 miligramos por decilitro
El promedio de ambos pacientes es 100.
En efecto:
90  100  110 300

 100
3
3
40  100  160 300

 100
Paciente B:
3
3
Observe la diferencia en variabilidad. Mientras que el paciente A es bastante
estable, el nivel del paciente B fluctúa ampliamente. Este resultado deberá
tomarse en cuenta cuando se prescriba su tratamiento.
Paciente A:
COMENTARIO: Un paciente con un nivel de azúcar en la sangre de 40 mg/dl,
convulsiona; con un nivel de 160 mg/dl podría ser diabético.
EJEMPLO 2.
Se va a seleccionar a un atleta para que represente a la Universidad en los
juegos estudiantiles, en la prueba de los 100 metros. Se tienen dos candidatos:
A y B. Para decidir por uno de ellos se les toman los tiempos que se tardan en
recorrer los 100 metros en cinco ocasiones. A continuación de detallan:
Atleta A: 11.0, 11.8, 11.6, 11.3 y 12.3 segundos
Atleta B: 11.5, 11.6, 11.6, 11.8 y 11.5 segundos
El tiempo promedio de ambos atletas es 11.6 segundos (verificarlo) pero el
grado de variabilidad del atleta B es menos que el del atleta A. Por tener menos
altibajos, el atleta B tendría que ser el seleccionado.
Casos como los anteriores (medicina, deportes) muestran la necesidad de
descripciones estadísticas que midan el grado en que se dispersan (o varían) los
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
18
datos, respecto a su centro; es decir; la necesidad de las medidas de dispersión.
Dos de ellas son: la amplitud (o rango) y la desviación típica.
1.6.1 AMPLITUD (RECORRIDO O RANGO)
DEFINICION: La amplitud (recorrido o rango) de un conjunto de datos
numéricos es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos.
EJEMPLO 3.
En el ejemplo 1, el rango para el nivel de azúcar en la sangre del paciente A es
110 – 90 = 20 y de 160 – 40 = 120, para el paciente B.
En el ejemplo 2, el rango para el tiempo del atleta A es de 12.3 – 11.0 = 1.3
segundos, y de 11.8 – 11.5 = 0.3 segundos, para el atleta B.
1.6.2 DESVIACION TIPICA (O ESTANDAR)
El rango se utiliza principalmente como indicación fácil y rápida de la
variabilidad, pero por lo general, no es medida de dispersión útil. Su principal
inconveniente radica en que nada se dice acerca de la dispersión de los
valores que están entre el mayor y el menor valor.
Por ejemplo, cada uno de los conjuntos de datos siguientes:
Conjunto A: 3,4,5,6,11,16,17,18 y 19
Conjunto B:
3,8,9,10,11,12,13,14 y 19.
Tiene un rango de 19 - 3 = 16 ( y una media de 11); pero la dispersión (como se
ve en el diagrama adjunto) es completamente distinta en cada caso.
media
Conjunto A:
3 4 5 6
11
16 17 18 19
media
Conjunto B:
3
8
9 10 11 12
13
14
19
Observamos que la dispersión en un conjunto de datos:


Es pequeña si los datos están ubicados muy cerca alrededor de su media
aritmética y
Es grande si los datos están ubicados distantes alrededor de su media.
Por lo tanto, parece razonable tener una medida para la dispersión de un
conjunto de datos, en términos de las cantidades por las que difieren de su
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
19
media aritmética. A estas cantidades les asignaremos un nombre, en la
siguiente definición.
DEFINICION: Si un conjunto de datos x1 , x2 ,.....,.x N tiene la media x , las
diferencias x1  x, x2  x,........,.x N  x , se llaman “desviaciones de la media”.
DEFINICION: La desviación típica de una población de N datos: se denota por
 , (letra griega sigma) y se define como
N
 (x

i 1
i
 x) 2
N
Si x1 , x2 ,.....,.x N ocurren con frecuencias f1 , f 2 ,.....f N respectivamente, la
desviación típica puede expresarse como
N

 f (x
i 1
i
i
N
 x) 2
donde N =
N
f
i 1
i
En palabras:  es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de
las desviaciones.
DEFINICION: La desviación típica de una muestra de N datos: se denota por S
y se define como
N
S
 (x
i 1
i
 x) 2
N
S
para datos sin agrupar
N 1
 f (x
i 1
i
i
 x) 2
N 1
para datos agrupados en tablas de frecuencia
NOTA: “Muestra” es el conjunto de datos que se pueden utilizar, en forma
razonable, para hacer generalizaciones acerca de la población de la cual
provienen.
ADVIERTA: Las fórmulas para S se obtienen escribiendo N-1 en el denominador
de las formulas para  .
CASO 1: Desviación típica para datos sin agrupar
EJEMPLO 1. Considérese cada una de las siguientes muestras:
Muestra A: 3,4,5,6,11,16,17,18 y 19
Muestra B: 3,8,9,10,11,12,13,14 y 19
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
20
Obtenga la desviación típica de cada muestra e indique cuál de ellas es la que
presenta mayor dispersión.
SOLUCION.
Para la muestra A.
3  4  5  6  11  16  17  18  19 99
x

 11
Paso 1.
9
9
Paso 2.
El cálculo de
9
S   ( xi  x) 2
se facilita con una tabla como la que
i 1
sigue:
Variable x
Desviación ( xi  x)
Cuadrado de la
desviación ( xi  x)2
-8
-7
-6
-5
0
5
6
7
8
64
49
36
25
0
25
36
49
64
3
4
5
6
11
16
17
18
19
9
S   ( xi  x) 2 = 64 + 49 + 36 + 25 + 0 + 25 + 36 + 49 + 64 = 348
y
i 1
9
S
 (x
i 1
i
 x) 2
N 1
=
348
=
9 1
348
= 6.6
9 1
Para la muestra B
3  8  9  10  11  12  13  14  19 99
x

 11
Paso 1.
9
9
Paso 2. Calculamos
9
 (x
i 1
i
 x) 2
Variable x
Desviación ( xi  x)
Cuadrado de la desviación
( xi  x)2
3
8
9
10
11
12
-8
-3
-2
-1
0
1
64
9
4
1
0
1
21
13
14
19
9
 (x
i 1
i
 x) 2 = 64 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 64 = 156
9
S
2
3
8
 (x
i 1
i
 x) 2
N 1
=
3156
=
9 1
4
9
64
y
3156
= 4.4
9 1
Puesto que la desviación típica del conjunta A es mayor que la del conjunto B,
concluimos que la muestra A es la más dispersa.
DEFINICION: La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado
de la desviación típica, de modo que  2 y S 2 representan la varianza de la
población y la varianza de la muestra, respectivamente.
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1. Determine cuál de las siguientes muestras es la más dispersa.
a) 6,3,12,5,8 y 9
b) 3,5,6,7,4,10 y 8
2. Determine cuál de las siguientes muestras es la menos dispersa
a) 7,9,3,6,5,4 y 2
b) 8,7,4,11,2 y 5
3. Hallar, en cada caso, la desviación típica y la varianza
a) 3,6,2,1,7 y 5
b) 3,2,4,6,5 y 8
CASO 2: Desviación típica para datos agrupados
EJEMPLO 2. Supóngase que en 9º grado hay 40 alumnos, cuyas edades se
resumen en la siguiente tabla de frecuencias
Edades x
14
15
16
17
Hallar el valor de S.
No. de alumnos (f)
6
15
16
3
SOLUCION
Para facilitar los cálculos usamos la siguiente tabla
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
22
X
f
f (x)
( xi  x) 2
f ( xi  x) 2
f ( xi  x) 2
14
15
16
17
TOTAL
6
15
16
3
40
84
225
256
51
616
-1.4
-0.4
0.6
1.6
1.96
0.16
0.36
2.56
11.76
2.40
5.76
7.68
27.60
N
4
x

i 1
f i xi
N
616

 15.4
40
S
 f ( x  x)
i 1
i
i
N 1
2

27.6
 0.84
39
VERIFICANDO SU COMPRENSION
1. Hallar en cada caso, la desviación típica y la varianza.
a) 3,2,4,6,2,8,5,2,4 y 4
b) 0,0,0,0,0,1,1 y 1
2. Hallar el valor de S para los datos agrupados en la siguientes tablas de
frecuencia
a)
X
6
5
3
f
5
4
6
1.6.3 EJERCICIOS
x
2
3
4
5
f
4
3
5
2
Seleccione la respuesta correcta
1. El recorrido de un conjunto de datos:
a) Se obtiene con las desviaciones promedio de los datos y la media
b) Es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor
c) Es una medida de tendencia central
d) Es el promedio de la moda y la mediana
2. La desviación estándar de un conjunto de datos:
a) Está cerca de cero si los datos están dispersos.
b) Promedia las desviaciones entre cada dato y la media
c) No toma en consideración todos los datos
d) Promedia las desviaciones entre cada dato y la mediana
3. Explicar que es una medida de dispersión
4. Comparar la desviación estándar y el recorrido
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
23
5. Explicar que representa la desviación estándar de un conjunto de datos
6. Si la desviación estándar fuese cero ¿qué podrías decir acerca del conjunto
de datos?
En los ejercicios 7 - 10. Encontrar el recorrido, la varianza y la desviación
estándar del conjunto de datos
7.
1,2,3,4 y 5
9.
3,5,8,13 y 21
8.
21,22,23,24 y 25
10.
79,90,95,95 y 96
11. Realizar las operaciones indicadas con los siguientes datos
3,8,5,3,10,13
a) Encontrar el recorrido.
b) Hallar la media.
c) Determinar la desviación estándar poblacional.
d) Determinar la desviación estándar muestral.
1.7 MEDIDAS DE POSICIÓN
1.7.1 CUANTILES
Para muchos propósitos, es importante obtener valores que dividen un conjunto
de datos ordenados, en fracciones especificas. LA mediana es un ejemplo de
éste tipo de medida; ella divide al conjunto en dos partes iguales: La mitad de
los valores son inferiores a la mediana y la otra mitad superiores. En forma
similar se pueden calcular:
- Los cuartiles, que son valores de la variable que dividen a conjunto en cuartas
partes.
Así, el primer cuartil, Q1, es un valor tal que una cuarta parte de los datos son
menores que él y tres cuartas partes son mayores. Q2, es igual a la mediana y
Q3, supera a los tres cuartos de los datos y solo es superado por un cuarto de
ellos.
Además de la mediana y los cuartiles pueden calcularse también lo deciles: D1,
D2, ......D9, los cuales dividen al conjunto en décimas. Los percentiles: P1,
P2,....P99, que lo dividen en centésimos. Todos éstos valores reciben el nombre
de cuantiles y pueden resultar muy apropiados para apreciar la posición de los
datos de un conjunto y su posición.
Tanto la mediana como los cuartiles y los deciles constituyen casos particulares
de los percentiles y pueden expresarse como percentiles.
Por ejemplo: Mediana = P50, Q3 = P75, D4 = P40, etc.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
24
Resulta entonces que teniéndose una fórmula para el calculo de la posición de
los percentiles, puede obtenerse con ella, la posición de cualquier cuantil.
Para el calculo de la posición de los percentiles se debe, en primer lugar,
ordenar los datos.
Una vez hecho esto, puede aplicarse la fórmula siguiente:
n
La posición de k-ésimo percentil se encuentra calculando (
)k, donde n es el
100
número de datos. Sí el resultado es un número decimal, seleccione como
indicador del orden al entero próximo superior y el percentil a localizar es Pi.
Si el resultado es un entero seleccione como indicadores de orden al entero
xi  ( xi  i)
obtenido i y al siguiente i + 1. El percentil se obtiene haciendo Pk =
2
Ejemplo.
Calcular Q2 y la mediana. Considérense para ello, los siguientes datos, que se
refieren a los pesos de 40 estudiantes de una escuela rural y que se presentan
en el orden en que fueron pesado los alumnos:
49
44
46
45
42
35
51
41
60
59
52
36
53
74
67
46
45
40
55
50
53
43
40
32
37
62
41
51
68
47
70
57
54
47
66
48
56
60
49
43
Así como están los datos resulta difícil sacar una conclusión, por lo tanto, como
no son muchos, puede iniciarse el análisis haciendo una ordenación en forma
creciente.
32
35
36
37
40
40
41
41
42
43
43
44
45
45
46
46
47
47
48
49
49
50
51
51
52
53
53
54
55
56
57
59
60
60
62
66
67
68
70
74
40
x 50 = 20
La posición de Q2 es igual a la posición de P50, la cual se obtiene así:
100
Los datos a localizar son: X20 y X21. El valor de Q2 es:
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda
25
X 20  X 21 50  53

= 51.5
2
2
La mediana es igual a P50 = Q2 = 51.5
Q2 =
1.7.2 EJERCICIOS .
1. Calcule los cuartiles uno, dos y tres en la siguiente serie simple:
0.10, 0.12, 0.15, 0.15, 0.18, 0.20, 0.25.
2. La siguiente distribución corresponde a salarios mensuales de un grupo de 56
personas.
Salarios (x)
500-599
600-699
700-799
800-899
900-999
1000-1099
f
8
12
18
10
6
2
Calcule:
a) El valor del cuartil uno.
b) El valor del cuartil dos.
c) El valor del cuartil tres.
d) El valor del decil cinco.
e) El valor del decil cinco.
f) El valor del percentil ochenta.
g) El valor del percentil cincuenta.
h) El salario que limita el 20% superior de la distribución.
i) El salario que se deja sobre sí, el 70% de los casos.
j) Entre qué salarios está el 60% central de la distribución.
3. Determine la escala percentilar de la siguiente serie de puntajes de un
examen.
____Xi
f____
30
1
25
5
38
10
40
4
45
2
4. Calcule el percentil del punto medio de la clase 700-799 de la distribución del
ejercicio 2. Luego compruébelo.
Lic. Mauro H. Henríquez Rauda