1. Ondas internas en el océano

UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
CUCEI
MAESTRÍA EN CIENCIAS EN HIDROMETEOROLOGÍA
CON ESPECIALIDAD EN OCEANOGRAFÍA Y METEOROLOGÍA FÍSICA
PROYECTO de TEIS de MAESTRÍA
“ONDAS INTERNAS LINEALES Y NO LINEALES EN EL MAR.
TEORÍA Y EXPERIMENTOS”
PRESENTACIÓN
1 2 3 4
REPORTE del AVANCES del TEIS
De: Calendario 2004B (Enero, 2005)
Hasta: Calendario 2005A (Julio, 2005)
PRESENTADO A EL COMITÉ TUTORIAL
Dr. Anatoliy Filonov
Dra. Iryna Tereshchenko
Dr. Emilio Palacios Hernández
POR
CARLOS ADRIÁN VARGAS AGUILERA
DIRECTOR DE TESIS
DR. ANATOLIY E. FILONOV
JULIO 2005
Índice
Resumen ................................................................................................................................. 3
Introducción ............................................................................................................................ 4
1. Ondas internas en el océano ............................................................................................... 5
2. Teoría lineal de ondas internas en el océano ...................................................................... 6
2.1 Ecuación gobernante y su solución ............................................................................ 6
2.2 Condiciones de frontera ............................................................................................ 10
2.3 Aproximación WKB ................................................................................................. 11
Conclusiones……………………………….………………………………………………14
Bibliografía ......................................................................................................................... 145
2
Resumen (no más que 150 palabras)
Todos los océanos y mares del mundo se encuentran bajo una estratificación vertical
estable e influenciados por fuerzas externas como la gravedad de la Luna y de la misma
Tierra, que perturban dicho estado. Como resultado se generan ondas en el interior del agua
marina llamadas simplemente ondas internas. La teoría nos dice que además de propagarse
horizontalmente también lo hacen por la vertical y que interaccionan con la topografía de
una forma muy peculiar. Asimismo, son ondas que dependiendo de su dirección de
propagación tienen alguna de un conjunto numerable de posibles frecuencias, es decir, son
dispersivas. Su estructura vertical viene gobernada por modos también discretos. En el
presente trabajo se presenta la teoría sobre la dinámica de ondas internas lineales y no
lineales. Estas últimas gobernadas por la ecuación de Korteweg–de Vries (KdV). Por
último se presentan experimentos en la plataforma continental del estado de Jalisco.
3
Introducción
La observación del fenómeno de ondas internas en el océano se remonta a tiempo de
los vikingos, ya que además de ser un fenómeno dinámico, es visible y en ocasiones
audible en superficie (ver Osborne y Burch, 1980). Sin embargo, la explicación no llegó
hasta principios del siglo pasado cuando se inventaron aparatos capaces de tomar
mediciones precisas de temperatura y salinidad por debajo de la superficie del agua. dentro
Con ellos se observó que se trataban de grandes oscilaciones en el interior del
océano de los parámetros físicos como la densidad, temperatura, salinidad y velocidad del
agua, de hasta decenas de metros, es decir, mucho más grandes que las que se observaban
en la superficie del mar y por ende más fascinantes.
También los fenómenos dinámicos vinculados con estas onda internas dieron origen
a teorías sorprendentes como la de “Aguas Muertas”. Un fenómeno misterioso en el cual
las embarcaciones son incapaces mantener su velocidad normal en ciertas regiones costeras.
Fue V. Bjerknes el primero en dar una explicación fehaciente y rectificada luego por su
alumno V. W. Ekman en 1904 (Ekman, 1904).
El explica que una embarcación sobre una capa de agua dulce yaciendo sobre otra
de agua más salada, producirá no sólo las conocidas ondas en la superficie del mar, sino
también otras invisibles justo en la capa de frontera bajo el agua formada por estas dos
aguas. Luego, la resistencia del barco es debida al trabajo realizado por ella al generar estas
ondas.
El agente crucial para la existencia de ondas internas en el océano es que éste se
encuentre estratificado, lo cual no representa ningún problema ya que todos los océanos del
mundo tienen una fuerte estratificación debido a dos factores: el balance hidrostático y la
radiación solar.
En el primero, la fuerza de gravedad trabaja continuamente para mantener las capas
de agua más densas por debajo de las menos densas, generando una estratificación estable
en toda la columna de agua; mientras que en el segundo factor, la fuerte estratificación de la
capa de agua cercana a la superficie, es debido a la disminución exponencial de la
intensidad de la radiación solar al penetrar la columna de agua, calentándola sólo las
primeras decenas de metros.
El Sol es la fuente principal de energía calorífica del océano en las zonas tropicales
y es precisamente está estratificación que genera la más importante en esta área, donde las
variaciones de salinidad son pequeñas comparadas con las de la temperatura. Luego, es en
la capa de frontera de agua caliente sobre la fría, llamada termoclina, donde se observan las
ondas internas.
4
1. Ondas internas en el océano
La generación de ondas requiere de un medio en estado de equilibrio estable,
perturbado por un agente externo y una fuerza que lo restaure a su condición inicial. Por su
inercia el medio vuelve a salirse de esa condición. La fuerza cambia de signo y se repite el
mismo procedimiento una y otra vez, generándose un efecto oscilatorio.
En una aproximación lineal, donde la velocidad de las partículas es mucho menor
que la de la onda, las partículas de un fluido oscilan alrededor de su punto de equilibrio
haciendo pasar por él la energía de la onda, la cual se propaga.
A partir de observaciones se ha determinado que el principal mecanismo
perturbador de la estratificación estable del océano es la marea. Al interaccionar ésta con la
topografía se generan las llamadas mareas internas. Las cuales tiene amplitudes mayores y
ejercen una influencia mucho mayor en la estructura termohalina del océano que las mareas
normales (ver Defant, 1950).
Para las ondas internas, es la fuerza de gravedad reducida por la diferencia relativa
de densidades, es decir, la flotabilidad, la que provee el mecanismo restaurador. Luego
estas ondas son llamadas ondas internas de gravedad y son equivalentes a las superficiales.
Pero el contraste de densidades entre una capa de agua más densa que otra es mucho menor
que el que existe entre el agua marina y el aire, por lo que la fuerza restauradora es también
mucho menor. Esto ocasiona que las ondas internas de gravedad tengan mayores
amplitudes y longitudes, y menores velocidades de fase que las ondas superficiales de
gravedad, bajo la misma fuerza.
La estratificación del agua marina no es discreta sino continua. En este medio las
ondas internas siguen con su mayor amplitud dentro de él. Además, tienen la libertad de
propagarse no sólo de manera horizontal, sino oblicuamente.
Dentro de los océanos también se pueden dar oscilaciones inerciales, donde la
fuerza restauradora es la fuerza de Coriolis, o el efecto de rotación de la Tierra. Sin
embargo, debido a que siempre existe estratificación, es muy raro observar únicamente este
tipo de ondas. Lo usual es observar una mezcla de ambas llamadas ondas internas inerciogravitacionales.
Las trayectorias de las partículas de las ondas internas de gravedad son líneas rectas
inclinadas, que bajo el efecto de rotación terrestre se vuelven elipses también inclinadas,
donde el límite es el círculo, en cuyo caso serían oscilaciones inerciales puras.
La estabilidad de la columna de agua se mide a partir de la frecuencia de
flotabilidad o también llamada frecuencia de Brunt-Väisälä. La cual indica la máxima
frecuencia con que oscilará una parcela de fluido al ser movida de su punto de equilibrio.
Depende de la gravedad, del gradiente vertical de densidad de la columna de agua y de la
velocidad del sonido
5
g d0 ( z )
g2
.
N ( z)  
 2
0 ( z ) dz
cs ( z )
2
(1)
La estratificación es estable si N 2  0 . El segundo término considera el efecto térmico al
subir y descender la parcela de agua, pero en general se desprecia al considerar el fluido
como incompresible.
2. Teoría lineal de ondas internas en el océano
2.1 Ecuación gobernante y su solución
Las ecuaciones básicas son las de conservación de momento
u
1 p '
 fv  
t
0 x
v
1 p '
 fu  
t
0 y
w
1 p '  '

 g,
t
0 z 0
(2)
(3)
(4)
donde se ha eliminado el término no lineal, se considera sólo la componente vertical local
de la aceleración de Coriolis 2 u  fkˆ  u , f  2 sen  es el término de Coriolis y  es
la latitud. También se ha considerado la aproximación de Boussinesq con p ' y  ' como
las perturbaciones de la presión y de la densidad respectivamente.
Para la ecuación de continuidad se considera al fluido como incompresible
u v w
 
 0.
x y z
(5)
Y por último, al movimiento como isentrópico y sin cambio de fase. La ecuación de la
energía termodinámica dice entonces que la derivada material de la densidad es nula, es
decir,
d
 '
w 0 0
t
dz
(6)
una vez linealizada (ver Gill, 1982). Se tiene entonces un sistema cerrado de 5 ecuaciones y
5 incógnitas.
6
Para encontrar la solución del sistema (2)-(6) primero se toma la divergencia de las
ecuaciones de momento horizontal, sumando la derivada con respecto de x de (2) con la
derivada con respecto de y de (3)
2w
1
 f   2h p ' ,
tz
0
(7)
donde se ha utilizado la ecuación de continuidad (5) para la divergencia horizontal de la
velocidad,   v x  u y es el rotacional vertical de la velocidad y
2h  2 x2  2 y2 el operador laplaciano horizontal.
Se calcula el rotacional de las mismas ecuaciones de momento, es decir, se le resta a
la derivada con respecto de x de (3) la derivada con respecto de y de (2)

w
f
 0,
t
z
(8)
obteniéndose una relación entre el rotacional y el gradiente vertical de w . Se utiliza la
expresión (8) en la derivada con respecto de t de (7)
 2
1  2
2  w

h p ' .
 2f 
 t
 z 0 t
(9)
La cual representa el movimiento horizontal y donde aparece únicamente el parámetro de la
frecuencia inercial f y no la de flotabilidad N .
Para el movimiento vertical, se elimina  ' sustituyendo la ecuación de la energía
(6) en la derivada con respecto de t de la ecuación de momento vertical (4)
2 w
1 2 p '
2
,

N
w


t 2
0 tz
(10)
donde N es la frecuencia de Brunt-Väisälä (1) para un fluido incompresible
N2  
g d0
.
0 dz
(11)
(ver Miropolsky, 2001). Ahora no aparece el parámetro de Coriolis.
Para eliminar la perturbación de la presión de este último par de ecuaciones, se
sustituye 0 veces (10) en la derivada con respecto de z de (9) multiplicada también por
0
7
2
 2

w 
2  
2 w

f





 N 2w .
 2
  0
0 h

2
 t
 z  z 
 t

(12)
La aproximación de Boussinesq considera que las variaciones verticales de la densidad son
menores que las de la velocidad vertical, es decir,
1   w   2 w
.
0

0 z  z  z 2
(13)
Se utiliza (13) en (12) y se obtiene finalmente la ecuación para la componente vertical de la
velocidad
2
2 
2  w

w

f
 N 2 2h w  0 ,
t 2
z 2
(14)
donde   es el laplaciano completo de tres dimensiones y se observa que la estructura no
es espacialmente isotrópica. Además, si N  f  0 la ecuación se reduce a la ecuación de
Laplace, es decir, a la de ondas de gravedad superficiales. Esta es la ecuación gobernante de
las ondas internas en el océano considerando el efecto de rotación terrestre.
Se sustituye la solución de una onda plana
w  w0 exp[i(kx x  k y y  kz z  t )]
(15)
en (14) y se obtiene la relación de dispersión
w2  N 2 cos2   f 2 sen 2  ,
(16)
donde  es el ángulo que forma el vector número de onda k con la horizontal. Vemos que
en el caso de ondas internas lineales, la frecuencia no depende de la magnitud del vector
número de onda, es decir, de la longitud de onda, sino sólo de su orientación con respecto a
la horizontal. Además, por ser un problema lineal, las demás variables físicas como la
perturbación de la presión, de la densidad, la velocidad horizontal e incluso la trayectoria de
las partículas del fluido tendrán esta misma frecuencia característica.
Las superficies de igual frecuencia con respecto a las componentes cartesianas del
vector número de onda son conos hacia arriba y hacia abajo, cuyo eje de simetría es el eje
kz y su vértice es el origen. Cuando   0 la frecuencia tiende a N , y a f si   90º .
En el océano N  f , por lo tanto, entre más abierto sea el cono, la frecuencia aumenta,
quedando
f w N
(17)
8
como el rango de frecuencias de las ondas internas lineales en el océano.
La velocidad de fase
cf 
w

k
N2
f2
2
cos


sen 2 
2
2
k
k
(18)
es hacia k  krˆ , es decir, se aleja radialmente del origen y se encuentra entonces sobre las
caras del cono, en cambio, la velocidad de grupo es el gradiente de la relación de dispersión
con respecto de las componentes del vector número de onda, es decir, normal al cada cono
y apunta hacia donde la frecuencia aumenta. La velocidad de fase y de grupo forman 90º
entre sí y cuando una apunta hacia arriba, la otra lo hace hacia abajo y viceversa.
El vector velocidad de grupo es
cg
N
   ( )  
2
 f 2  sen 2
k
2k
ˆ ,
(19)
donde ̂ es el vector unitario que apunta hacia donde crece el ángulo  .
Al sustituir la solución (15) en la ecuación se continuidad (5) se observa que el
movimiento de las partículas del fluido es totalmente en planos transversales al vector
número de onda
u k  0 .
(20)
La trayectoria de las partículas es elíptica con el eje mayor formando el ángulo  con
respecto a la vertical y es  f sen  veces más grande que el eje menor, el cuál es
horizontal (ver Gill, 1982). Luego, si la rotación es despreciable el eje horizontal de la
elipse es nulo; y si tenemos oscilaciones inerciales puras, la trayectoria es un círculo.
La ecuación de los rayos característicos, es decir, la dirección de la energía de la
onda, se obtiene a partir de que es perpendicular al vector número de onda
kh
2  f 2
c  tan     
  cot  ,
kz
N 2 2
(21)
donde   90º  es el ángulo que forma el vector velocidad de grupo o el rayo
característico con la horizontal y kh  k x2  k y2 es la componente vertical del vector
número de onda.
9
Esta peculiar relación entre la velocidad de fase y de grupo de las ondas internas
provocan que la reflexión de la onda sobre una frontera sea también muy distintiva de estas
ondas. Durante una reflexión, la frecuencia y la componente del vector número de onda
paralela a la frontera se conservan para una onda plana (ver Pedlosky, 2003). Para las ondas
internas lineales, esto implica que el ángulo que forma dicho vector con la horizontal se
conserva, sin importar la orientación de la frontera. Esto es diferente a la conocida Ley de
Snell para las ondas cortas (no dispersivas) donde el ángulo de incidencia simplemente es
igual que el de reflexión.
Como consecuencia, si un rayo característico con ángulo  dirigido hacia abajo,
incide sobre un fondo marino con un ángulo  con respecto a la horizontal menor que  , el
rayo reflejado tendrá el mismo ángulo  pero subirá por la pendiente, es decir, seguirá
avanzando horizontalmente en la misma dirección. Por el contrario, si    , el rayo
seguirá descendiendo. El rayo avanzará horizontalmente en sentido contrario. Entonces, 
es un ángulo crítico para las ondas internas
 1
fondo tan  

 1
rayo tan  
 1
subcrítico (avanza)
crítico
supercrítico (regresa).
(22)
2.2 Condiciones de frontera
Se consideran como fronteras de las ondas internas la superficie del mar y el fondo
marino. Las condiciones de frontera más usuales son las de deslizamiento en el fondo plano
y de tapa rígida
w  0 , en z  0,  H .
(23)
Se considera nuevamente la ecuación (13) de la componente vertical de la
velocidad. Ahora se supone una solución de la forma
w  W ( z ) exp i (k x x  k y y  t )  .
(24)
que al sustituirla en (13) y (23) se obtiene el sistema
2
2
d 2W
2 N 

k
W 0
h
dz 2
2  f 2
W  0 , en z  0,  H .
(25)
(26)
10
En el cual se encuentra toda la información respecto a la estructura vertical de las ondas
internas.
El factor del segundo término de la ecuación (25) se traduce como el cuadrado de la
componente vertical, kz2 , del vector número de onda, usando la relación de dispersión (15)
o la pendiente del rayo característico (20).
Si dicho factor es constante, o más específicamente, si N , la frecuencia de
flotabilidad, es constante, la solución del sistema (25) – (26) se encuentra fácilmente y es
W ( z )  w0 sin
m z
H
 m  1, 2,3, 
(27)
siempre que
w 
2
m
N 2 kh2  f 2  m H 
kh2   m H 
2
2
 m  1, 2,3,  .
(28)
Se concluye que las condiciones de frontera (26) discretizan los modos verticales de
oscilación de las ondas internas y la relación de dispersión.
2.3 Aproximación WKB
En el océano la frecuencia de flotabilidad no es constante, por el contrario, debido a
la estratificación del agua marina, depende de manera significativa de la posición vertical
N  N ( z ) y muy poco de las coordenadas horizontales. En consecuencia, la componente
vertical del número de onda varía con respecto a la profundidad, y principalmente, a partir
de los resultados anteriores, la frecuencia  también.
Si se considera entonces que la frecuencia de flotabilidad varía aunque ligeramente
con la profundidad, la ecuación gobernante de las ondas internas (13) queda como
2
2 
2  w

w

f
 N 2  z  h2 w  0 ,
2
2
t
z
(29)
donde únicamente se ha expresado explícitamente la dependencia de N con respecto de z .
Para eliminar la dependencia de la relación de dispersión con la profundidad, se
cambia ligeramente la fase  k x x  k y y  k z z  t  de la solución (14), y se considera que su
dependencia con respecto de z se encuentra en una sola función  ( z ) , quedando la
solución de (29) como
11
w  W ( z ) exp i (k x x  k y y  ( z )  t )  ,
(30)
suponiendo que la variación vertical de la fase es mayor que la de W ; es decir, N varía
lentamente con z para que localmente la solución sea como ondas planas.
Para ondas planas, del gradiente de la fase con respecto a las componentes del
vector número de onda, se obtiene dicho vector. De ahí se define kz como
kz ( z) 
d ( z )
,
dz
(31)
donde se muestra explícitamente su relación con respecto a la profundidad.
Sustituyendo (30) en la ecuación (29) se obtiene
 2 kh2W   2  f 2  W   2i W   i W     W   N 2 ( z )kh2W  0 ,
2


(32)
donde las primas denotan diferenciación con respecto de z . Separando la parte real e
imaginaria y dividiendo por   2  f 2  se obtiene luego de reagrupar
 N 2 ( z )   2  2
2
12 d
  1 2 W   0 .
W   
 kh      W  2i   
2
2

dz 

   f

(33)
Ambas partes deben anularse por separado. Se supuso que   es de orden uno
mientras que W  W 1, entonces para la parte real el término dominante es el segundo.
Esto genera la igualdad
d ( z )
N 2 ( z)   2
 kh
 kz ( z) .
dz
2  f 2
(34)
Y de la parte imaginaria de deduce que
d 
d (z) 
W ( z )
  0.
dz 
dz 
(35)
Se puede especular que la relación (34) es la condición necesaria para que se
satisfaga la relación de dispersión (15)
12
N 2 ( z )kh2  f 2 k z2 ( z )
w 
kh2  k z2 ( z )
2
(36)
y a su vez ésta sea independiente de la profundidad. Sólo que ahora, primero se conoce  y
después k z ( z ) .
La dependencia vertical de la fase a partir de (34) queda como
z
 ( z )   kh
z0
N 2 ( )   2
d ,
2  f 2
(37)
donde z0 es una profundidad de referencia. Luego, para una frecuencia de flotabilidad
variable, la estructura vertical de la fase no viene dada por una línea recta con el factor (34),
sino por la integral (37).
Por último, de (34) se obtiene la relación
W ( z) 
W ( z0 )
.
kz ( z ) k z ( z0 )
(38)
De (34) se concluye que si la onda entra en un ambiente donde la frecuencia de flotabilidad
aumenta, kz también lo hace y entonces la amplitud de la onda disminuye. Esto, aunado a
la dependencia con respecto a la inversa de su raíz cuadrada, es una consecuencia de la
conservación de la energía (ver Pedlosky, 2003).
Conclusiones
13
Bibliografía
DEFANT, A.,1950. On the origin of internal tide waves in the open sea. J. Mar. Res. 9 (2),
111-119.
EKMAN, V. W., 1904. On dead water. Sci. Results Norw. North Polar Expedi., 5 (15),
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GILL, A. E. 1982. Atmosphere-Ocean Dynamics. Academic Press, San Diego, 662 p.
MIROPOLSKY, Yu. Z., 2001. Dynamics of Internal Gravity Waves in the Ocean. Edited
and traduced by O. D. Shishkina. Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 406 p.
OSBORNE, A. R. and T. L. BURCH, 1980. Internal solitons in the Andaman Sea. Science,
208, 451-460.
PEDLOSKY, J., 2003. Waves in the Ocean and Atmosphere. Introduction to Wave
Dynamics. Springer-Verlag, Berlin, 260 p.
14