ÀLGEBRA LINEAL Guia de l’assignatura ENGINYERIA AERONÀUTICA
Anuncio
ENGINYERIA AERONÀUTICA ÀLGEBRA LINEAL Guia de l’assignatura ENGINYERIA AERONÀUTICA 30002 Àlgebra Lineal. Guia de l’assignatura Aprovada en C.A.A de data 8/06/05 Modificada en data 16/07/07 1 Crèdits: 6.0 (4,5 teoria + 1,5 pràctiques) Crèdits ECTS: 4,8 Tipus: Troncal Coordinador: Francesc Carreras Altres Professors: Departament: Matemàtica Aplicada II Presentació 0B Coneixements previs 9B Els conceptes bàsics de l’àlgebra lineal estudiats durant el batxillerat seran suficients. En particular, cal dominar la resolució de sistemes d’equacions lineals amb dues o tres incògnites, els determinants d’ordre dos o tres i les idees elementals de la geometria plana i la tridimensional. Relació amb altres assignatures 10B L’Àlgebra Lineal és una assignatura bàsica, fortament relacionada amb les restants assignatures de matemàtiques del pla d’estudis (Càlcul Infinitesimal I i II, Equacions Diferencials i Mètodes Matemàtics) i, menys estretament, amb les assignatures de Física, Mecànica, Estadística, etc. Objectius generals 1B A final de curs, l’alumnat haurà de comprendre i ser capaç d’aplicar la idea de linealitat i la seva traducció operativa: el càlcul matricial. La part mecànica es basarà en l’estudi, la resolució i la discussió de sistemes d’equacions lineals, el càlcul matricial pròpiament dit i l’ús alternatiu del mètode de Gauss i dels determinants, així com la resolució d’algunes equacions polinòmiques. Hom adquirirà, a més, les nocions essencials dels espais vectorials (dependència lineal, subespai, base, components i dimensió), les derivades del producte escalar (norma, angle, ortogonalitat, projecció ortogonal, orientació, producte vectorial i mètode dels mínims quadrats), el llenguatge de les transformacions lineals amb especial insistència en els endomorfismes (nucli, imatge, rang, canvi de base i classificació d’isometries en el pla i a l’espai –girs, rotacions, simetries i composicions–), les tècniques de diagonalització de matrius i diagonalització ortogonal en el cas simètric, la seva aplicació a l’estudi de les formes quadràtiques i els tensors i, finalment, les idees bàsiques de la geometria analítica plana i tridimensional: la lineal o de primer grau (coordenades, canvis de coordenades, rectes, plans, posicions relatives, paral·lelisme i perpendicularitat, angles, distàncies, àrees i volums) i la quadràtica o de segon grau (corbes del pla –còniques– i superfícies de l’espai –quàdriques–). ENGINYERIA AERONÀUTICA 30002 Àlgebra Lineal. Guia de l’assignatura Aprovada en C.A.A de data 8/06/05 Modificada en data 16/07/07 2 Temari 2B Mòdul 1. Sistemes d’equacions lineals, càlcul matricial i determinants Tema 1. Sistemes d’equacions lineals i matrius. Resolució pel mètode de Gauss. Regla del pivot. Mètode de Gauss–Jordan. Teorema de Rouché– Frobenius. Discussió de sistemes. Matrius. Rang (idea provisional). Operacions lineals. Producte. Defectes. Matrius quadrades. Matrius simètriques i ortogonals. Matrius regulars. Càlcul de la inversa per Gauss–Jordan. Equacions matricials. Tema 2. Determinants. Definició i propietats operatives. Regla de Sarrus. Adjunts. Regla de Laplace. Aplicacions: Matrius regulars. Inversa d’una matriu. Sistemes de Cramer. Interpolació polinòmica. Determinant de Vandermonde. Menors. Definició i càlcul del rang. Sistemes arbitraris. Discussió de sistemes. Mòdul 2. Espais vectorials i euclidians Tema 3. Espais vectorials. Definició. L’espai vectorial numèric. Combinacions lineals, dependència i independència lineal. Subespais vectorials. Equacions implícites d’un subespai. Sistemes de generadors. Bases. Teorema de les bases. Dimensió. Components d’un vector. Canvis de base. Tema 4. L’estructura euclidiana de l’espai vectorial numèric. Producte escalar. Ortogonalitat. Suplementari ortogonal. Mètode de Gram–Schmidt. Norma. Bases ortonormals. Angle no orientat. Projecció ortogonal i simetria. Sistemes sobredeterminats: mètode dels mínims quadrats. Orientació. Angle orientat. Productes vectorial i mixt. Mòdul 3. Transformacions lineals, diagonalització i tensors Tema 5. Transformacions lineals. Definició. Caracterització matricial. Endomorfismes. Canvis de base. Nucli, imatge i rang. Caràcter (in– jectiva, exhaustiva, bijectiva). Operacions i matrius associades. La identitat. Isometries. Caracterització matricial. Catàleg en el pla i a l’espai. Tema 6. Diagonalització de matrius. Endomorfisme/matriu diagonalitzable. Vectors i valors propis. Polinomi característic. Fórmula de les tra– ces. Condicions de diagonalització. Aplicació: potències d’una matriu diagonalitzable. Diagonalització or– togonal de matrius simètriques: teorema espectral. Classificació d’isometries en el pla i a l’espai. Matriu reduïda i elements geomètrics. Tema 7. Tensors i formes quadràtiques. Definició de tensor. Caracterització matricial. Canvis de base. Forma quadràtica associada. Diagonalització de tensors i formes. Expressions canòniques afí i euclidiana. Índexs d’inèrcia. Llei d’inèrcia de Sylvester. Teorema de Descartes. Classificació de formes quadràtiques. Criteri de Sylvester. Mòdul 4. Geometria lineal i quadràtica Tema 8. Geometria lineal. L’espai puntual. Referències cartesianes. Coordenades. Canvi de coordenades. Varietats lineals: rectes i plans. Posició relativa. Intersecció. Paral·lelisme. Perpendicularitat. Projecció ortogonal i simetria. Angles. Distàncies. Formulari del producte vectorial: distàncies, àrees i volums. Tema 9. Corbes i superfícies de segon grau. El·lipse, hipèrbola i paràbola. Circumferència. Equacions reduïdes. Còniques. Classificació, equació reduïda i elements geomètrics. Quàdriques. Classificació, equació reduïda i elements geomètrics. ENGINYERIA AERONÀUTICA 30002 Àlgebra Lineal. Guia de l’assignatura Aprovada en C.A.A de data 8/06/05 Modificada en data 16/07/07 3 Objectius específics dels mòduls 3B Mòdul 1 Domini de les tècniques d’estudi, resolució i discussió de sistemes d’equacions lineals: pels mètodes de Gauss i Gauss–Jordan (regla del pivot) i per determinants. Càlcul matricial, propietats i limitacions. Propietats fonamentals dels determinants. Aplicació de les dues tècniques anteriors a l’estudi de matrius. 4B Mòdul 2 Assimilació i pràctica dels conceptes relatius als espais vectorials i dels relacionats amb el producte escalar. Domini de la projecció ortogonal i del mètode dels mínims quadrats. Capacitat d’interpretar intuïtivament i visualitzar tots els conceptes estudiats. Mòdul 3 Assimilació i pràctica dels conceptes relatius a les transformacions lineals, sobretot en el cas dels endomorfismes. Capacitat d’interpretació gràfica. Coneixement de diversos exemples usuals d’endomorfismes en el pla i a l’espai tridimensional. Domini del concepte d’isometria. Adquisició de resultats teòrics i automatismes relatius a la diagonalització general i la diagonalització ortogonal de matrius simètriques. Càlcul de potències d’una matriu diagonalitzable. Classificació d’isometries en el pla i a l’espai i determinació dels seus elements geomètrics. Conceptes de tensor i forma quadràtica i la seva relació. Tècniques de diagonalització de tensors i expressions canòniques. Mòdul 4 Aplicació d’idees dels mòduls anteriors a l’estudi de la geometria. Domini de conceptes i capacitat operativa relativa a varietats lineals. Estudi i classificació de còniques i quàdriques, amb càlcul de les equacions reduïdes i localització dels elements geomètrics essencials. Metodologia de treball 5B Les sessions teòriques (3 hores setmanals) es dedicaran a introduir els conceptes i resultats fonamentals de cada tema, així com exemples i casos pràctics que permetin a cada estudiant comprendre els temes tractats. Hom seguirà un llibre de text ajustat al temari que es pot obtenir gratuïtament a la pàgina web de la Secció Departamental. A les sessions pràctiques (1 hora setmanal) es resoldran exercicis i problemes anunciats amb antelació. Seran d’un llibre ajustat també al temari que inclou al final els resultats numèrics i es igualment a l’abast de forma gratuïta a la citada pàgina web. Aquestes pràctiques ajudaran a cada estudiant a familiaritzar– se amb els conceptes exposats i a adquirir l’habilitat d’expressar–se correctament fent ús de les eines del curs. Com a complement orientatiu per a la resolució d’aquests exercicis, l’alumnat tindrà a la seva disposició a la pàgina web esmentada, també gratuïtament, un llibre de problemes resolts. A més, el professor designarà unes hores d’atenció individualitzada (com a mínim sis per setmana) en les que es podran consultar els dubtes referents a les classes de teoria i de problemes. A més dels exàmens parcial i final, durant el curs es duran a terme algunes proves d’avaluació i es tindrà en compte la participació en les classes de problemes. ENGINYERIA AERONÀUTICA 30002 Àlgebra Lineal. Guia de l’assignatura Aprovada en C.A.A de data 8/06/05 Modificada en data 16/07/07 4 Distribució de sessions de teoria y pràctica per temes 6B Tema 1: 5 sessions de teoria i 1 de pràctiques Tema 2: 3 sessions de teoria i 2 de pràctiques (1 de recopilació del mòdul) Tema 3: 4 sessions de teoria i 1 de pràctiques Tema 4: 4 sessions de teoria i 2 de pràctiques (1 de recopilació del mòdul) Tema 5: 5 sessions de teoria i 1 de pràctiques Tema 6: 4 sessions de teoria i 1 de pràctiques Tema 7: 3 sessions de teoria i 3 de pràctiques (2 de recopilació del mòdul) Tema 8: 5 sessions de teoria i 1 de pràctiques Tema 9: 6 sessions de teoria i 2 de pràctiques (1 de recopilació del mòdul) A més, es destina 1 sessió teòrica a presentació de l’assignatura i 2 més a proves d’avaluació, i es descompten les 4 sessions (3 + 1) perdudes durant la setmana d’exàmens parcials. Això completa les 60 hores del curs. Mòdul Sistemes d’equacions, càlcul matricial i determinants Espais vectorials i euclidians Transformacions lineals, diagonalització i tensors Geometria lineal i quadràtica Hores de classe 11 hores 11 hores 17 hores 14 hores Hores d’estudi 11 hores 11 hores 17 hores 14 hores Temps Total 22 hores 22 hores 34 hores 28 hores Materials 7B Bibliografia bàsica 1B 1. Amer, R., Carreras, F. Un Curs d'Àlgebra Lineal (2001) http://ruth.upc.es/algebra/curs_algebra_lineal.pdf HU 2. Amer, R., Carreras, F., Tudurí, J. Àlgebra Lineal. Problemes, exercicis i qüestions (2001) http://ruth.upc.es/algebra/algebra_problemes_exercicis_questions.pdf HU Bibliografia complementària 12B 3. Amer, R. i Sales, V. Àlgebra Lineal. Problemes resolts (2004) http://ruth.upc.es/algebra/problemes_resolts.pdf HU 4. Amer, R., Carreras, F., Moreno, J. M., Sales, V., Tudurí, J. Transparències d'Àlgebra Lineal (2004) ENGINYERIA AERONÀUTICA 30002 Àlgebra Lineal. Guia de l’assignatura Aprovada en C.A.A de data 8/06/05 Modificada en data 16/07/07 http://ruth.upc.es/algebra/algebra.pdf HU Sistema d’avaluació 8B NF = 0.3 NP1 + 0.5 NEF + 0.2 NEP NF : Nota final NP1 : Nota examen parcial NEF : Nota examen final NEP : Nota exercicis pràctics 5
