Osciladores lineales

GUIA 6
Osciladores lineales
El propósito de este capı́tulo es estudiar algunas caracterı́sticas de las soluciones de la ecuación diferencial lineal
dx
d2 x
+ k x = f (t),
m 2 +c
dt
dt
en el caso en que m, c y k son constantes positivas y f (t) es una cierta función del tiempo.
Esta ecuación puede tomarse como modelo matemático para un oscilador lineal en una
dimensión.
1.
Osciladores mecánicos
Un sistema (fı́sico, biológico, social, o un mecanismo artificial) exhibe comportamiento
oscilante o vibratorio cuando:
El estado del sistema varı́a alrededor de un estado medio de equilibrio.
El sistema posee partes que tienen masa o una propiedad análoga a la de la inercia, por
la cual el sistema permanece en reposo a menos que obre sobre él una fuerza externa.
El sistema posee un mecanismo elástico con una propiedad de rigidez que ejerce fuerzas
restauradoras tales que, si el sistema es desplazado del estado medio de equilibrio, ellas
tienden a devolverlo al equilibrio.
Las fuerzas restauradoras no sólo devuelven al sistema hacia el equilibrio, sino que tienden a llevarlo más allá del equilibrio en dirección opuesta y ası́ sucesivamente. Esto hace que
el sistema oscile. En nuestra discusión supondremos que la fuerza restauradora, fr = fr (x),
sólo depende del desplazamiento x respecto al equilibrio. Supondremos que a mayor desplazamiento mayor magnitud de la fuerza y que además


< 0 si x > 0,
fr (x) = 0
si x = 0,


> 0 si x < 0.
Junto a las fuerzas restauradoras también pueden actuar sobre el sistema fuerzas de fricción o de amortiguamiento que finalmente llevan al sistema hacia el reposo. Estas fuerzas
normalmente las ejerce el medio en el que oscila el sistema (agua o aire por ejemplo) o mecanismos como los amortiguadores de un coche. Supondremos que la fuerza de amortiguación
y que a mayor rapidez mayor fricción. Además
resultante fa depende de la velocidad v = dx
dt
fa actúa en dirección opuesta al movimiento, es decir,


< 0 si v > 0,
fa (v) = 0
si v = 0,


> 0 si v < 0.
1
También consideraremos fuerzas externas de excitación fex (t), que se deben normalmente
a mecanismos externos no especı́ficados (la salida de un circuito amplificador sobre el diafragma de un altoparlante, los vientos sobre una estructura, las sacudidas de una máquina,
etc.). Estas fuerzas describen influencias que son independientes de los mecanismos internos del sistema. Pueden ser deseables como fuentes de energı́a para sostener oscilaciones, o
indeseables como causa de resonancia.
La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un cuerpo de masa m que se
encuentra sujeto a la influencia de las fuerzas fr , fa y fex conduce a la ecuación
d2 x
dx
m 2 = fr (x) + fa
+ fex (t).
(1)
dt
dt
El modelo (1) presenta dificultades considerables debido a que la naturaleza de la dependencia de la fuerza restauradora respecto a la posición y de la fricción respecto a la velocidad
puede ser complicada. En un primer intento podemos abordar el problema aproximando estas fuerzas por sus linealizaciones respectivas. En efecto, si g es una función diferenciable
tenemos
g(s) ≃ g(0) + s · g ′ (0).
En otras palabras, cerca de (0, g(0)) podemos aproximar la función g mediante la recta que
es tangente a la gráfica de g en (0, g(0)).
En el caso de la fuerzas restauradora fr y de amortiguación fa se tiene fr (0) = 0 y
fa (0) = 0. De modo que fr (x) ≈ x fr′ (0) y fa (v) ≈ v fa′ (0). Escribiendo k = −fr′ (0) y
c = −fa′ (0) tenemos
fr (x) = −k x
fa (v) = −c v
(ley de Hooke),
(ley de amortiguación viscosa),
donde c y k representan constantes positivas. La aproximación lineal del modelo (1) está dada
2
por la ecuación m ddt2x + c dx
+ k x = fex (t), o equivalentemente por
dt
d2 x
c dx
k
1
+
+ x=
fex (t).
2
dt
m dt
m
m
(2)
Ejemplo 1. Un péndulo consiste de una masa m suspendida de una cuerda o una varilla
de masa despreciable y longitud l, que se halla fija en uno de sus extremos. Si la masa es
desvı́ada de su posición de equilibrio (en el punto más bajo), tenderá a moverse bajo la
acción de la gravedad de un lado hacia otro, sobre una circunferencia de radio l situada
en un plano vertical (ver Figura 1). Si se deprecian fuerzas distintas a la de la gravedad
(tales como la fricción y las fuerzas impulsoras externas), la única fuerza no compensada es
la componente tangencial de la gravedad ft = −m g sen θ, que se opone al aumento de la
desviación angular θ = θ(t) respecto de la vertical. Si v = v(t) denota la velocidad del centro
de masa en el tiempo t, entonces, de acuerdo a la segunda ley de Newton, se tiene que v
satisface la ecuación
dv
m = −m g sen θ.
dt
2
θ
l
fv
θ
mg
Figura 1: Fuerzas que actúan en un péndulo.
Puesto que v(t) = l θ′ (t), se obtiene la ecuación del péndulo libre
r
g
d2 θ
.
+ ω 2 sen θ = 0,
ω=
2
dt
l
Si se consideran ahora
el efecto de la fricción del aire, que proporciona una fuerza amortiguadora fa = fa dθ
dependiente de la velocidad y el efecto de fuerzas externas fex (t)
dt
dependientes del tiempo, la ecuación del movimiento toma la forma
1
1
dθ
d2 θ
2
= −ω sen θ +
fa
fex (t).
+
2
dt
ml
dt
ml
Si ocurren oscilaciones pequeñas, es decir si θ(t) y θ′ (t) permanecen cerca de 0, entonces
es razonable usar las aproximaciones sen θ ≈ θ y fa (θ′ ) ≈ −c θ′ . Se llega de este modo al
conocido modelo lineal
d2 θ
c dθ
m
2
+
+
ω
θ
=
fex (t).
dt2
m l dt
l
Ejemplo 2. Un sistema masa–resorte–amortiguador–fuerza externa consiste de un resorte de
masa despreciable que cuelga suspendido de un soporte rı́gido, una masa puntual m que
se encuentra sujeta al extremo libre del resorte y un mecanismo amortiguador (ver Figura
2). La masa se mueve a lo largo de un eje coordenado vertical cuya dirección positiva es la
que apunta hacia abajo y cuyo origen coincide con la posición de equilibrio de la masa. La
función x = x(t) que describe la posición de la masa en el tiempo t coincide entonces con
su desplazamiento respecto a la posición de equilibrio. Supondremos que la fuerza elástica,
ejercida por el resorte, y la fuerza de amortiguación, ejercida por el medio, están dadas
por sus respectivas aproximaciones lineales. En ese caso cuando la masa se encuentre en
la coordenada x la suma de su peso más la fuerza elástica será igual a −k x, donde k es la
3
fr
x=0
f
am
f
r
m
x
fam
m
fex
Figura 2: Sistema masa-resorte-amortiguador.
constante elástica del resorte. La fuerza de amortiguación por su parte es igual a fa (v) = −c v,
donde v = dx
y c es la constante de fricción. También en este caso la segunda ley de Newton
dt
proporciona la ecuación de movimiento del cuerpo
c dx
k
1
d2 x
+
+ x=
fex (t).
2
dt
m dt
m
m
En general, el movimiento de un oscilador mecánico está descrito por una ecuación lineal
de segundo orden
dx
d2 x
+ 2α
+ ω 2 x = f (t),
(3)
2
dt
dt
en donde las constantes α y ω ası́ como el término
pf (t) dependen del modelo especı́fico. Por
ejemplo, en el modelo de péndulo se tiene ω = gl y 2α = mc l mientras que en el modelo
q
k
y 2α = mc .
masa–resorte–amortiguador tenemos ω = m
2.
Oscilaciones libres
En ausencia de fuerzas externas (f (t) ≡ 0) se dice que las oscilaciones son libres. En tal
caso tenemos la ecuación de movimiento
d2 x
dx
+ 2α
+ ω 2 x = 0.
2
dt
dt
2.1.
(4)
Oscilaciones libres no amortiguadas
Consderaremos primero el caso en el cual no hay amortiguación, es decir, α = 0. La
ecuación (4) se reduce a la ecuación del oscilador armónico
d2 x
+ ω 2 x = 0.
2
dt
La solución general de esta ecuación está dada por
x(t) = c1 cos ω t + c2 sen ω t = A cos (ωt − φ).
4
A
T
φ
−A
Figura 3: Movimiento armónico, principales constantes
En la representación x(t) = A cos (ω t − φ) las constantes A y φ están dadas por
q
c1
c2
A = c21 + c22 ,
cos φ = ,
sen φ = .
A
A
. Las constanDebe notarse que todas las soluciones son periódicas con perı́odo T = 2π
ω
tes que aparecen en la solución de la ecuación del movimiento armónico tienen nombres e
interpretaciones especiales.
La constante A se llama amplitud y está caracterizada por el hecho de que los desplazamientos x = x(t) satisfacen
−A ≤ x(t) ≤ A.
A la constante φ se le conoce como ángulo de fase.
La constante ω se llama frecuencia angular.
T = 2π
es el perı́odo del movimiento, esto es, el tiempo necesario para completar una
ω
oscilación.
ω
La frecuencia natural de la oscilación es el número f = T1 = 2π
que corresponde al
número de oscilaciones que efectúa el oscilador por unidad de tiempo.
Observación. Es importante destacar que las constantes antes mencionadas no son independientes entre sı́. De hecho unas se pueden calcular en términos de otras.
Las oscilaciones correspondientes al movimiento no amortiguado persisten en el tiempo
con igual amplitud. En realidad toda oscilación libre cesa al pasar el tiempo. Una explicación
obvia es que el oscilador armónico es un modelo simplificado que no toma en cuenta ciertas
influencias que en la práctica siempre se presentan, tales como la fricción.
5
2.2.
Oscilaciones libres amortiguadas
Si se toman en cuenta los efectos de la amortiguación (c 6= 0) se obtiene la ecuación
(4), que resulta ser una ecuación homogénea con coeficientes constantes. La ecuación caracterı́stica asociada está dada por
λ2 + 2α λ + ω 2 = 0,
que tiene como discriminante
△ =4α2 − ω 2 .
El comportamiento del sistema varı́a en forma significativa de acuerdo al signo del discriminante. Distinguiremos las siguientes posibilidades.
Caso 1. (Oscilación amortiguada) △ < 0. Aquı́ la ecuación caracterı́stica tiene dos raı́ces
complejas conjugadas λ y λ̄ donde
√
λ = −α + i ωa ,
ωa = ω 2 − α2
La solución general en este caso es
Ta
Figura 5: Movimiento sobre-amortiguado
Figura 4: Oscilaciones amortiguadas
x(t) = e−α t (c1 cos ωa t + c2 sen ωa t) = A e−α t cos (ωa t − φ).
La constante α se conoce como constante de amortiguación. El factor e−α t es llamado factor
de amortiguación. En analogı́a con el movimiento armónico simple se definen los siguientes
términos:
p
Frecuencia angular amortiguada: ωa = ω 2 − α2 .
Perı́odo amortiguado:
Ta =
2π
.
ωa
Frecuencia de oscilación amortiguada: fa =
1
.
Ta
Caso 2. (Sistema crı́ticamente amortiguado) △ = 0 : La ecuación caracterı́stica tiene raı́ces
reales repetidas λ1 = λ2 = −α. El desplazamiento del cuerpo en el tiempo t está dado por
x(t) = c1 e−α t + c2 t e−α t ,
−∞ < t < ∞,
donde c1 y c2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Nótese que las soluciones no son periódicas y que el cuerpo tiende al equilibrio a medida que el tiempo transcurre.
6
Caso 3. (Sistema sobreamortiguado) △ > 0. En este caso se tienen dos raı́ces reales negativas
distintas λ1 , λ2 , digamos λ2 < λ1 < 0 :
√
λ1 , λ2 = − α ± α 2 − ω 2 .
La solución general está dada por
x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t ,
−∞ < t < ∞
Una observación cuidadosa de la solución general mostrará que en un sistema sobreamortiguado no se presentan oscilaciones.
De la discusión de los casos 1, 2 y 3 se concluye:
Teorema 1. Para un oscilador libre se tiene que
– Las soluciones periódicas se presentan sólo en el caso en el que no hay amortiguación
(c = 0).
– Todo oscilador amortiguado es asintóticamente estable, es decir, independientemente de
la velocidad y la posición iniciales lı́mt→0 x(t) = 0 y lı́mt→0 x(t) = 0.
– Si el sistema es o bien sobreamortiguado o bien cr’ticamente amortiguado no se presentan
oscilaciones alrededor del equilibrio.
3.
Oscilaciones forzadas
En esta sección estudiaremos el movimiento oscilatorio bajo el supuesto de que existan
fuerzas externas de excitación que afectan al sistema. Fuentes comunes de fuerzas de excitación externa son los movimientos vibratorios del oscilador como un todo (como las sacudidas
de una máquina, los desbalances de maquinarias rotatorias, los vientos sobre las estructuras,
etc). Limitaremos nuestro estudio a las llamadas fuerzas armónicas de excitación
f (t) = F0 cos ωe t.
Entender el comportamiento de un sistema sometido a excitaciones armónicas es esencial
para entender cómo responde el sistema a fuerzas de excitación más generales. La ecuación
(3) toma la forma
d2 x
dx
+ 2α
+ ω 2 x = F0 cos ωe t,
(5)
2
dt
dt
donde F0 es una constante. Si α 6= 0, es decir, en presencia de fuerzas amortiguadoras,
entonces (3) tiene una solución particular de la forma
xp (t) = b1 cos ωe t + b2 sen ωe t = Ap cos (ωe t − φe ) .
Empleando el método de los coeficientes indeterminados se calculan los valores
b1 =
(ω 2 − ωe2 ) F0
,
(ω 2 − ωe2 )2 + (2 α ωe )2
b2 =
7
(ω 2
(2α ωe ) F0
.
− ωe2 )2 + (2 α ωe )2
Figura 6: Movimiento transitorio y permanente.
Figura 7: Movimiento forzado.
Adicionalmente puede verse que
F0
Ap = p
(ω 2 − ωe2 )2 + (2 α ωe )2
La solución general tiene la forma
x(t) = xp (t) + xH (t),
donde xH (t) representa la solución general de la ecuación homogénea asociada, que corresponde al oscilador libre Como se sabe todas las soluciones de la ecuación del movimiento de
un oscilador libre amortiguado son asintóticamente estables, por ello xH (t) satisface
′
lı́m xH (t) = 0,
lı́m xH (t) = 0.
t→∞
t→∞
Se dice que xH (t) es un término transitorio (“respuesta a condiciones iniciales”), su presencia
tiende a desaparecer con el tiempo, mientras que la solución particular xP (t) corresponde al
régimen permanente del movimiento (“respuesta a la excitación externa”).
Teorema 2. Para un oscilador amortiguado forzado
– Existe una solución particular periódica xp (t)cuya frecuencia es igual a la de la excitación
externa.
– Los desplazamientos x = x(t) satisfacen
lı́m ( x(t) − xp (t) ) = 0,
y
t→∞
lı́m ( x′ (t) − x′p (t) ) = 0.
t→∞
de modo que el régimen permanente es estable
Oscilador no amortiguado con forzamiento armónico externo
Sin amortiguamiento (α = 0) la ecuación (5) se reduca a
d2 x
+ ω 2 x = F0 cos(ωe t).
dt2
Trataremos separadamente dos casos importantes.
8
Figura 8: Resonancia.
Caso ω 6= ωe . La frecuencia externa de excitación ωe es distinta a la frecuencia natural del
oscilador libre ω. La respuesta a la excitación externa (solución particular) está dada por
xp (t) =
F0
cos ωe t.
ω 2 − ωe2
Esta solución puede obtenerse de la fórmula para la solución particular del oscilador amortiguado con forzamiento armónico externo obtenida antes, si se toma α = 0. La solución
general viene entonces dada por
x(t) = xp (t) + xH (t),
donde la función xp (t) tiene la misma frecuencia que la fuerza externa de excitación, ωe , y
la frecuencia de xH (t) es igual a la frecuencia natural de excitación, ω.
Caso ω = ωe . Este caso se conoce como resonancia no amortiguada. Se presenta cuando
la frecuencia externa de excitación es igual a la frecuencia natural del oscilador libre. Existe
una solución particular xp = xp (t), que representa un movimiento oscilatorio no periódico
tal que la amplitud de las oscilaciones aumenta linealmente con t:
xp (t) =
F0
t sen(ωe t),
2ω
−∞ < t < ∞.
La solución general
x(t) = xp (t) + xH (t),
es dominada al pasar el tiempo por la respuesta xp (t) a la excitación externa.
Ejercicios
49
1. Una masa de 1 kg alarga un resorte en 320
m. Si la masa se desplaza 41 m respecto
de la posición de equilibrio y se suelta desde allı́ , y si se desprecia la resistencia
del aire, halle la amplitud, el perı́odo y la frecuencia de vibración del movimiento.
(Aquı́ g ≈ 9,8 m/s2 ).
2. El movimiento de un cuerpo está descrito por la ecuación diferencial z ′′ +6πz ′ +25π 2 z =
0. El sistema de unidades usado es el MKS.
9
a) Halle la frecuencia y el perı́odo naturales del oscilador armónico asociado.
b) Halle la frecuencia y el perı́odo amortiguados.
c) Si z(0) = 0,10m y z ′ (0) = 1 m/s, halle el tiempo necesario para que la amplitud
de la oscilación se reduzca a 0,001 m.
3. El mecanismo de un cañón de un tanque se puede modelar mediante un sistema masa–
resorte–amortiguador. Supóngase que la masa es la del cañon, igual a 100 kg, el coeficiente de amortización es c = 200 λ y la constante del resorte es k = 100 λ2 , en unidades
apropiadas en el sistema MKS, donde λ es una constante.
Supóngase que el movimiento del cañon respecto de la posición de equilibrio, después
de un disparo en el tiempo t = 0, está descrito por el problema de valor inicial.
100x′′ + 200 λ x′ + 100 λ2 x = 0,
x(0) = 0,
x′ (0) = 100 m/s.
a) Halle λ para que el sistema esté amortiguado crı́ticamente.
b) ¿Cuál ha de ser λ para que la cantidad x2 (t) + (x′ (t))2 se reduzca a 0,01 m en 1
segundo?
4. Un reloj tiene un péndulo de un metro de longitud. El reloj suena cada vez que el
péndulo llega al extremo derecho de su vaivén. Despreciando la fricción y la resistencia del aire, y suponiendo oscilaciones pequeñas, ¿cuántas veces suena el reloj en un
minuto?
5. Una boya cilı́ndrica de 0,2 m de radio y 1 m de altura, y cuya masa es de 100 kg flota
en el agua manteniendo su eje vertical. Si se hunde de forma que la cara superior del
cilindro coincida con la superficie del agua y luego se suelta, y se desprecia la resistencia
del agua, ¿cuáles serán su perı́odo natural de oscilación y su posición en cada instante?
(La fuerza arquimediana de flotación ejercida sobre la boya es igual al peso del agua
desplazada por ella. La densidad del agua es, aproximadamente, 1000 kg/m3 ).
6. Una placa delgada de área 2A (en m2 ) y masa M (en kg) está suspendida de un resorte
con constante de rigidez k (Newton) y es puesta es oscilación en un fluido viscoso.
a) Suponiendo que el fluido ejerce una fuerza de fricción viscosa fR sobre las caras
de la placa proporcional a la velocidad v, dada por fR = −µ(2A)v, donde µ es una
constante caracterı́stica de la viscosidad del fluido, halle una ecuación diferencial
para el movimiento de la placa.
b) ¿Para qué valor µ∗ de µ el sistema está amortiguado crı́ticamente?
c) Si Tn es el perı́odo natural de oscilación del sistema libre no amortiguado en el
aire y Ta es el perı́odo amortiguado cuando la placa está sumergida en un fluido
con coeficiente µ, 0 < µ < µ∗ , halle una expresión para el valor de µ en términos
de M, A, Tn y Ta .
10
7. Una masa de 1 kg está atada a un resorte con constante k = 64 Newton. En el
instante t = 0, cuando la masa se halla en reposo en la posición de equilibrio, se aplica
s cuando se desconecta la
una fuerza F (t) = 12 t (en Newt) hasta el instante t1 = 7π
16
fuerza. Despreciando efectos de amortiguación, plantee una ecuación diferencial que
determine la posición de la masa en el tiempo aún después de que la fuerza externa ha
sido desconectada. Resuelva esta ecuación.
8. Un modelo sencillo de las vibraciones verticales de un carro que viaja por una carretera
ondulada consiste en una masa M (masa total del carro), un resorte de constante k
(sistema de suspensión) y un amortiguador lineal de constante c (sistema de absorción
de choques). Al viajar, la carrocerı́a (la masa) se desplaza la distancia x desde la
posición de equilibrio y el soporte sube o baja la distancia y = y(s). El desplazamiento
relativo es x − y. Ası́ , el resorte ejerce la fuerza −k(x − y) y el amortiguador la fuerza
−c(x′ − y ′ ).
La ecuación del movimiento vertical del vehı́culo es M x′′ = −k (x − y) − c (x′ − y ′ ).
Es decir
M x′′ + c x′ + kx = ky + c y ′ .
Supóngase que la curva del camino es y = a sen 2π
s con a = 0,1 m y L = 10 m y que
L
el vehı́culo se mueve con velocidad horizontal constante v. Entonces y(t) = a sen 2πvt
L
y la ecuación de las vibraciones del carro será
M x′′ + c x′ + k x = k a sen
2πv
2πvt
2πvt
+c
a cos
.
L
L
L
Supóngase que M = 1000 kg y k = 4000 N/m.
a) Si el amortiguador se desconecta (es decir, c = 0), halle la frecuencia angular
natural ω de oscilación del carro y determina la velocidad v a la cual ocurre
resonancia.
√
b) Si c = 1000 7 new/m, halle la respuesta x = x(t) del carro a las ondulaciones del
camino cuando el carro parte del reposo con x(0) = 0, x′ (0) = 0 y v = 20m/s.
9. Un modelo simplificado de un edificio consiste en considerarlo como un cuerpo rı́gido
que contiene toda la masa M de la estructura y que está soportado por columnas de
masa despreciable que ejercen una fuerza elástica −k u opuesta a los desplazamientos
laterales u de M.
Se supone que la estructura posee amortiguación viscosa con constante de amortiguación c. El peso del edificio es W = 100 ton y el edificio es puesto en vibración
desplazándolo 5 cm de la posición de equilibrio y soltándolo desde allı́ en el tiempo
t = 0. Si el desplazamiento máximo en el (primer) vaivén de retorno es de 3,5 cm y
ocurre en un tiempo t = 0,64 s, determine:
a) La rigidez lateral k,
b) la constante de amortiguación c.
11
Respuestas
1. A = 41 , T =
2. (a) T =
2
5
π
4
y f = π4 .
yf=
5
2
(b) Ta =
1
2
y fa = 2 (c) t = 0,55.
3. (a) Para cualquier valor de λ el sistema esta crı́ticamente amortiguado, (b) λ = 8,99.
4. 30 veces.
√
√
5. T = π y x(t) = cos 2 π t.
6. (a) M x′′ + 2Aµx′ + kx = 0. (b)si µ =
q
1
(c)µ = 2πM
− T12 .
A
T2
n
√
Mk
A
el sistema esta amortiguado crı́ticamente
a
8. (a) si c = 0 entonces ω = 2 y la resonancia ocurre si v = 3,2 (b) x(t) = −486 cos 2t +
1049 sen 2t + 514,1 cos (12,5t + 19,05)
12