PROYECTO 2. CALCULO III PROPIEDADES DE REFLEXION EN LAS CONICAS.
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UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROYECTO 2. CALCULO III Profesora:. DORIS HINESTROZA G. PROPIEDADES DE REFLEXION EN LAS CONICAS. Según la historia el estudio de las secciones cónicas se inició en la Grecia clásica con Menecmo en el siglo IV a.d.C., y principalmente con Apolonio a finales del siglo III A.C.. Sus trabajos se retomaron en el siglo XVII para resolver problemas relacionados con la Astronomía y la Óptica. Las secciones cónicas se obtienen cuando se corta un cono con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una generatriz, la sección cónica se llama parábola. Si el plano corta una sóla hoja del cono, la sección cónica se llama elipse y si corta las dos hojas se llama hipérbola. (vea la figura). Lás cónicas tienen las siguientes definiciones: Elipse: Es el conjunto de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. Hipérbola: Es el conjunto de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola . Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz . Actividad 1. Haga un bozquejo de una elipse y de la hipérbola donde señale los focos. Similarmente con la parábola donde muestre la directriz y el foco. Actividad 2. Ubicando los focos F1 = (−c, 0) y F (c, 0) con c > 0 halle la ecuación cartesiana de la elipse y de la hiperbola de acuerdo a las definiones dadas anteriormente teniendo en cuenta que la intersección de estas cónicas con el eje x son los puntos (−a, 0) y (a, 0). Similarmente Halle la ecuación de la parábola cuando la directriz tiene ecuación x = −c y el foco está en F = (c, 0). Excentrincidad de las secciones cónicas. Una propiedad características de las cónicas se refiere al concepto de excentricidad. El estudio simultáneo de las cónicas se puede hacer mediante la siguiente definición: − → Dada una recta L y un punto F que no pertenee a recta L y un número positivo ε. El conjunto de todos los − → − → − → puntos X tales que la distancia de X , d( X , L) que saatisfacen la relación − → − → → − X − F = εd( X , L) 1 es una cónica de excentricidad ε. Si ε < 1 es una elipse; si ε > 1 es una hipérbola y si ε = 1 es una parábola. Actividad 3. Muestre que − − → → → − d( X , L) = ( X − P ) · N donde N es un vector unitario normal a la recta L y P es cualquier punto de la recta. Observe que de acuerdo a esto − − → → → − → − X − F = ε ( X − P ) · N . Puesto que una recta divide al plano en dos regiones, podemos caracterizar estas regiones de acuerdo a la − → − → − → − → escogencia del vector N. Diremos que X está en el semiplano positivo si ( X − P ) · N > 0 y si X − P ) · N < 0 − → diremos que X está en el semiplano negativo. − → Actividad 4. Suponga que el foco F está en el semiplano negativo y escoja P de la recta L más próximo − → a F . Muestre que la cónica de excentricidad ε se caracteriza por − → → − X − F = ε |(X − F ) · N − d| − → → − donde d = P − F . − → Actividad 5. Si el foco F lo considera en el origen tenemos que la ecuación de las cónicas es ε |X · N − d| . Si utiliza las coordenada polares de X, r y θ demuestre que − → X = r = ε |rcosθ − d| . Suponga que X está a la izquierda de la directriz y demuestre que |rcosθ − d| = rcosθ − d y por lo tanto εd . ε cos θ + 1 Suponga que X está a la derecha de la directriz y demuestre que |rcosθ − d| = d − rcosθ y por lo tanto r= r = εd ε cos θ − 1 Puesto que r > 0, concluya que en la última ecuación ε > 1. Es decir sólo en la hiperbola se tienen puntos a la izquierda y a la derecha de la recta L. Haga los cálculos cuando ε = 1 y concluya que para 0 < ε ≤ 1 la cónica es una elipse o parábola. Todo punto está a la izquierda de L y satisface la ecuación polar r= εd . ε cos θ + 1 Si ε > 1, la curva es una hipérbola y la rama de la derecha satisface r= εd ε cos θ − 1 PROPIEDADES DE REFLEXION EN LAS CONICAS. En la medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar ”cálculos” renales por medio de ondas intra-acuáticas de choque. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente forma, se coloca un medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe localizar en estos ”cálculos” y así al reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas convergeran en el ”cálculo” y este se desintegrará. Además existen capillas o galerías de los secretos. Son estructuras con techos elipsoidales aquí se puede oir a una persona que está en un foco desde el otro foco y las personas que están entre las otras dos no oirá nada. La capilla de los secretos la podemos encontrar en el Desierto de los Leones en México DF. Aplicaciones de las parábolas Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos interesa hacer conveger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. 2 Se pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloidal. Las parábolas tienen una propiedad muy interesante. Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergeran o convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad. Hipérbolas en nuestra vida La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f’. Este principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain. El sistema de navegación loran (acrónimo de long range navigation) usa las propiedades de la reflexión de la hipérbola. Para establecer las propiedades de reflexión necesitamos basta demostrar que los ángulos mostrados en la → y− → figura son iguales. En el caso de la elipse y la hipérbola consideremos un foco F1 en el origen y − u u 1 2 − → − → − → dos vectores unitarios en las direcciones de los vectores X y X − F2 , respectivamente siendo X un punto arbitrariode la cónica. → → − − Sea d1 = X y d2 = X − F2 las distancias de los focos a la conica. 3 Recordemos que en el caso de la elipse d1 + d2 = 2a y en el caso de la hipérbola d1 − d2 = 2a. Claramente − → → X = d1 − u 1 Lo cual implica que − → → u X = d1 − 1 y − → − → → u X − F2 = d1 − 2 y − → →+F . u X = d1 − 2 2 − → → − →, d , d son funciones diferenciables definidas en cierto intervalo de los números Consideraremos que X , − u1 , u 2 1 2 reales. − → Actividad 6. Muesre que la derivada X está dada por − → − → →, u X 0 = d1 u01 + d01 − 1 − →0 − →0 → 0− X = d2 u2 + d2 u2 y que − → → − → → X0 · − u1 = d01 y X 0 · − u2 = d02 lo cual implica que − → → − →) X 0 · (− u1 + u 2 − →0 − →−− →) X · (u u 1 2 = d01 + d02 = d01 − d02 Actividad 7. Muestre que − → → − →) X 0 · (− u1 + u 2 − →0 − → − → X · (u − u ) 1 2 = 0 para la elipse = 0 para la hipérbola −−→ y considerando el vector tangente unitario T (t) muestre que − → − → = T ·u 1 − → − → T · u1 = − → → −T · − u2 para la elipse − → − → T · u2 para la hipérbola − → → − → → Actividad 8. Si θ1 el ángulo entre T y − u1 donde 0 ≤ θ1 ≤ π y por θ2 el ángulo entre T y − u2 donde 0 ≤ θ2 ≤ π, y usando el resultado immediatamente anterior muestre que para la elipse cos θ1 = − cos θ2 cos θ1 = cos θ2 para la hipérbola Luego tenemos que θ2 = π − θ1 en la elipse y θ2 = θ1 en la hipérbola. Estas conclusiones entre los ángulos muestras las propiedades de reflexión de la elipse y la hipérbola. − → Actividad 9. Demuestre que la tangente en un punto X de la parábola biseca el ángulo formado por la recta F X y la recta que pasando por X es paralela al eje de la parábola. Esto da la propiedad de reflexión de la parábola. 4
