Lo básico a saber para el examen final

TEMAS QUE USTED DEBE SABER PARA PRESENTARSE AL EXAMEN FINAL DE
CALCULO III (Grupo 01)
Profesora: Doris Hinestroza
El examen cubrirá los capítulos de Funciones Vectoriales, Campos vectoriales y Campos Escalares (o
Funciones de Varias Variables). El examen será apróximadamente de hora y media.
Los temas que usted debe conocer son siguientes:
1. Elementos básicos del algebra lineal. Usted debe saber distinguir entre vectores y escalares,
!
!
entre el producto escalar !
a b que es un número (como se calcula) y el producto cruz !
a
b que
es un vector (como se calcula). Usted debe saber calcular la norma de un vector (es un número) y
!
a
debe saber construir un vector unitario u = ! . Usted debe saber como se calcula la ecuación
kak
cartesiana de un plano dado un vector normal al plano y un punto dado del plano. Usted debe
conocer como se halla la ecuación vectorial y paraméctricas de una recta que pasa por un punto P
y que tiene un vector director !
a
2. Funciones Vectoriales
(a) Funciones Vectoriales: Usted debe saber que es una función vectorial. Usted debe saber dar
ejemplos de funciones vectoriales. Dado una función vectorial !
r (t); usted debe saber calcular
!
!
!
!
0
00
el vector velocidad v (t) = r (t) y la aceleración a (t) = r (t): Usted debe conocer la propiedad
geométrica de las funciones vectoriales dieferenciables que tienen longitud constante.
(b) Vectores tangente, Normal, y Binormal: Dado una función vectorial !
r (t) saber calcular
!
!
!
!
0
00
el vector velocidad v (t) = r (t) y la aceleración a(t) = r (t): Calcular el vector tangente
!
!0
0
!
!
!
!
!
r (t)
, el vector normal N (t) = T 0 (t)
N (t).
T (t) = !
! y el vector binormal B(T ) = T (t)
0
r (t)
T (t)
Usted debe poder hallar la ecuación vectorial de la recta tangente y la ecuación del plano
osculador a la curva en un punto dado.
!
(c) Descomposición de la aceleración. Usted debe saber por qué el vector aceleración a(t);
!
!
!
se puede descomponer como a(t) = aT T (t) + aN N (t) y como se llaman los números aT y aN
y como se calculan.
(d) La Longitud del arco: Usted sebe saber calcular la longitud de una función vectorial entre
Zb
!
!
!
dos puntos dados r(a) y r(b), L =
r0 (t) dt . Usted debe saber de…nir la función longitud
a
de arco s(t) =
Zt
!
r0 ( ) d y sus propiedades por ejemplo que es s0 (t); que s es invertible
a
(porqué). Usted debe saber la importancia de parametrizar una curva por la longitud del
arco, y por dada la parametrización de una curva como reparameterizar la curva por longitud
de arco.
(e) Curvatura: Usted debe saber que signi…ca la curvatura y como calcularla, k(t) =
!
!
a(t) v(t)
:
v 3 (t)
1
!
T 0 (t)
v(t)
=
3. Campos Vectoriales y Campos Escalares (o Funciones de varias variables)
(a) campos vectoriales y campos escalares: Usted debe saber que son campos vectoriales y
campos escalares. Usted debe saber dar ejemplos campos vectoriales y campos escalares.
(b) Grá…ca de un campo escalar, Curva de Nivel y Super…cies de Nivel: Usted debe
entender qué son curvas del nivel, dibujarlas y su relación al grá…co de una super…cie. Usted
debe entender que son super…cies de nivel, dar algunos ejemplos como los cílindros, el cono,
la esfera, etc. Usted debe saber la diferencia entre grá…ca de una función, curvas de nivel y
super…cies de nivel.
(c) Los límites y la Continuidad: Usted debe saber calcular los límites de una función de dos
variables, y poder determinar cuando una función de más de una variable tiene límite o no,
cuando es continua o no.
(d) Derivadas en un punto y en una dirección dadas. Usted debe conocer la de…nición
f (!
a + t!
y ) f (!
a)
; cuando se habla de derivada direccional, que son las
f 0 (!
a ;!
y ) = lim
t!0
t
derivadas parciales y saber calcularlas. Entender que representa f 0 (!
a ;!
y ):
(e) Diferenciabilidad de una función de un campo escalar. Usted debe conocer la de…nición de cuando un campo escalar f :
Rn ! R (n = 2; 3) sea diferenciable en !
a 2 :
!
Un campo es diferenciable en a 2 ; si existe un vector, denotado por rf (a) 2 Rn talque
!
!
f (!
a + h ) f (!
a ) rf (!
a) h
lim
= 0: Esto también lo podemos expresar equivalente!
! !
h!0
h
!
!
!
!
!
mente como f (!
a + h ) = f (!
a ) + rf (!
a ) h + h E(!
a ; h ); donde !lim! E(!
a ; h ) = 0:
h!0
Usted debe conocer la importancia de que una función sea diferenciable en !
a : (i) f es continua en !
a ; (ii) f 0 (!
a ;!
y ) existe para todo !
y 2 Rn y f 0 (!
a ;!
y ) = rf (!
a) !
y : Usted debe
saber la interpretación geométrica de la derivada direccional f 0 (!
a ;!
y ). ¿Qué importancia
tiene el vector gradiente rf (!
a )? Debe saber que el rf (!
a ) es la dirección de máximo crec!
imiento y que signi…ca krf ( a )k : Usted debe conocer la regla de la cadena. debe saber
!
r (t)) = rf (!
r (t)) r0 (t): Utilizando la regla de la cadena Usted debe saber que
que d (f (!
dt
el gradiente siempre es perpendicular a las curvas de nivel. Usted debe saber pintar el
gradiente y conocer el signo de las componentes del gradiente cuando le dan algunas super…cies de nivel. Usted debe saber construir una dirección !
y sobre las curvas de nivel tal que
f 0 (!
a ;!
y ) = 0: Usted debe saber utilizar la regla de la cadena cuando le dan z = f (x; y) donde
@z @z @ 2 z @ 2 z @ 2 z
x = x(u; v); y = y(u; v) y saber calcular
;
;
:
;
: Lo mismo para funciones
@u @v @u@v @u2 @v 2
de tres variables t = f (x; y; z) donde x = x(u; v; w); y = y(u; v; w); z = z(u; v; w) y saber
@t @t @t @ 2 t @ 2 t
calcular
;
;
;
:
; etc: Usted debe saber calcular la ecuación del plano tangente
@u @v @w @u@v @u2
a una super…cie cuando la super…cie está dada como la super…cie de nivel de una función de
tres variables o como la grá…ca de una función de dos variables. Usted debe saber utilizar
!
!
el gradiente para hallar aproximaciones lineales utilizando el hecho que si h
0 entonces
!
!
f (!
a ) + df , donde df = rf (!
a ) h (llamado diferencial de f en !
a : Usted
f (!
a + h)
debe saber hallar la diferencial total de una función. Usted debe saber que es los máximos
y mínimos globales y locales de una función de dos variables. Debe saber que es un punto
!
silla. Usted debe saber calcular los puntos críticos de una función, rf (!
x ) = 0 y clasi…car los
puntos críticos en máximos, mínimos y puntos silla usando el criterio de la matriz Hessiana.
2
4. Integrales dobles y triples
(a) Integrales dobles y triples. Usted debe saber la de…nición de la integral doble y triple.
Usted debe saber dibujar la región de integración tanto en el plano como en el espacio. Debe
saber como expresar el área como una integral doble y debe saber como expresar el volumen
limitado entre dos grá…cas de dos funciones de dos variables con ralción al dominio. Debe
saber aplicar el teorema de Fubini y debe saber invertir el orden de integración.
(b) Cambio de Variable. Usted debe conocer como se de…ne el cambio de variable tanto en
el plano como el espacio. Debe tener en cuenta el Jacobiano del cambio de variable y debe
expresar de forma precisa la región al de…nir el cambio de variable y escribir bien la integral
al hacer el cambio de variable. Básicamente debe conocer el cambio en coordenadas polares
en el plano. Debe conocer el cambio a coordenadas cilíndricas y esféricas en el espacio.
(c) Aplicaciones de las integrales dobles y triples. Usted debe haber leido las aplicaciones
fundamentales de las integrales múltiples al cálculo de masa y momentos.
5. Teoremas básicos del Cálculo Avanzado.
(a) Integral de línea de un campo vectorial y de un campo escalar. Saber las de…niciones
de las integrales de linea tanto para campos vectoriales como escalares. Conocer las propiedades
de la integral de línea cuando parametrizamos la curva. Saber calcular las integrales de línea
cuando se conoce el campo y la parametrización de la curva. Conocer la interpretación física
de la integral de línea como el trabajo cuando el campo vectorial es un campo de fuerzas y
expresar la integral de línea en términos de la energía cinética.
(b) Campo conservativos. Saber que es un campo conservativo. Dar ejemplos de campos
conservativos. Dar las propiedades que tienen los campos conservativos. Saber como se prueba
que en los campos vectoriales conservativos se da la ley de la conservación de la energía. Saber
conocer la integral de línea cuando conocemos las integrales de línea de un campo conservativo.
Debe saber determinar si un campo es conservativo o no.
(c) Teoremas de Green, de Stokes y de la Divergencia. Conocer los teoremás básicos del
cálculo avanzado y como se aplican. Usted debe conocer claramente las condiciones bajo las
cuales se dan estos teoremas. Debe tener presente el teorema de Green en el plano. Debe
saber aplicarlo. Conocer la importancia y la aplicación del teorema de Stokes y del teorema
de la Divergencia.
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