Estructuras algebraicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Prof. Hugo Omar Pajello
Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no
vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.
En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición
interna y también leyes de composición externa.
Empecemos por recordar algunas definiciones:
Operación binaria ó Ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A
Es una aplicación o función  del producto cartesiano de A x A en A
En símbolos:  es una ley interna en A   : A x A  A
Es decir
(a1,a2)  a1  a2
Ejemplo 1
La suma ó la multiplicación en N , en Z , en Q , en R ó en C.
Ejemplo 2
Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto
A = {a , b , c }
i)

a
b
c
ii)

a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
c
c
a
b
a
a
c
b
b
b
a
c
c
b
c
a
Ley de composición externa
Una ley de composición externa definida en A con operadores de B es toda función ó
aplicación  de B x A en A.
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En símbolos
 es ley externa en A con operadores en B  B x A  A
es decir, si b  B y a  A la imagen del par (b ; a) = b  a  A
Según las propiedades que deban satisfacer estas leyes de composición, se tienen los
distintos tipos de estructuras ó sistemas axiomáticos.
Monoide
El par (A ,  ) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de
composición interna  se denomina monoide.
Ejemplos de monoides
( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoides.
( N , - ) no es un monoide porque la sustracción no es ley de
composición interna en N.
( N ,  ) donde  está definido como a  b = máx.{a , b}
es un monoide.
Semigrupo
Un monoide asociativo se denomina semigrupo.
Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo
conmutativo.
Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo
con identidad.
El elemento neutro de llama identidad.
Ejemplos de semigrupos
( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro.
( N0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0.
( N ,  ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad
igual a 1.
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Grupo
Sea el par (A ,  ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición
interna binaria  :
(A ,  ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:
a)  es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c  A  a  b  c  a  b  c
b)  posee elemento neutro en A. Es decir e  A / a , si a  A  a  e  e  a  a
c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de  .
Es decir a  A , a´ A / a  a´ a´ a  e
Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo es cuando además de ser un grupo,
d)  es conmutativa. Es decir a , b : a, b  A  a  b  b  a
Si G = (A ,  ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y
su cardinal se llama orden del grupo.
Ejemplos
1) El par ( Z ,  ) donde Z es el conjunto de los números enteros y  es una
operación definida como a  b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.
Comprobación:
 es una ley de composición interna en Z pues si a y b  Z , a + b + 3  Z
 es asociativa pues
a  b  c = (a + b +3)  c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6
y a  b  c = a  (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6
 tiene elemento neutro e = –3 , pues
a  A , a  e = a entonces a + e +3 = a  e = –3
y e  a = a entonces e + a + 3 = a  e = –3
3
 tiene inverso a , a / a  a  e , en nuestro caso
a  a = –3  a  a  3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha
a  a  3  a  a  3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a izquierda
 es conmutativa pues a  b = a + b + 3 = b + a + 3 = b  a
Otros ejemplos:
1) (Z,+) ; (Q,+) ; (R,+) y (C,+)
Son grupos abelianos .
También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva.
2 ) ( N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento.
3 ) ( N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso
aditivo.
4 ) ( Q ,  ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.
5 ) ( R ,  ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.
6 ) ( Q – { 0 } ,  ) y ( R – { 0 } ,  ) Son grupos.
Subgrupo
Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A ,  ) si y solo sí
( B ,  ) es un grupo.
Por ejemplo, ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).
Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composición interna con
ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A ,  ,  ) que también
son estructuras algebraicas.
Estas nuevas estructuras son:
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Anillo
Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna  y  , la
terna ordenada (A ,  ,  ) tiene estructura de Anillo si y solo si
a)  es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c  A  a  b  c  a  b  c
b)  posee elemento neutro en A. Es decir e  A / a , si a  A  a  e  e  a  a
c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de  .
Es decir a  A , a´ A / a  a´ a´ a  e
d)  es conmutativa. Es decir a , b : a, b  A  a  b  b  a
Estas 4 propiedades muestran que ( A ,  ) es un grupo abeliano.
e)  es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c  A  (a  b)  c = a  ( b  c)
Esta propiedad muestra que ( A ,  ) es un semigrupo.
f)  distribuye doblemente sobre  . Es decir, a , b , c : a, b, c  A
 a  (b  c ) = ( a  b )  (a  c ) y (b  c )  a = (b  a )  ( c  a )
Resumiendo podemos decir que:
(A ,  ,  ) es un Anillo sii (A ,  ) es un grupo abeliano ; ( A ,  ) es un semigrupo y
la segunda operación distribuye sobre la primera.
Una aclaración oportuna
Como la operación  es aditiva y la operación  es multiplicativa, es común
representarlas con los conocidos signos de la suma y el producto, pero en todos los
casos deberá respetarse la definición que corresponde a cada operación.
Con esta aclaración debe quedar claro que ( A , + ,  ) representa una estructura
algebraica, talvez un anillo, pero que la operación + y la operación  no representan
la suma y el producto conocido, salvo ello esté expresamente indicado.
Con igual margen de tolerancia en la interpretación de este tema, debemos decir que el
elemento neutro de la operación aditiva se representa con 0 (cero) y el neutro de la
operación multiplicativa con 1 (uno) sin que ellos sean necesariamente el 0 y 1
conocidos.
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Si además
g)  conmutativa. Es decir a , b : a, b  A  a  b = b  a
entonces tenemos un Anillo conmutativo.
h)  posee elemento neutro en A. Es decir e  A / a , si a  A  a e  e a  a
entonces tenemos un Anillo con identidad ó Anillo con unidad.
i) Todo elemento de A distinto de cero es invertible en A respecto de  .
Es decir a  A , a  0 , a´ A / a  a´ = a´  a = e entonces se llama
Anillo de división.
Ejemplos
1.- ( N , + ,  )
con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en N no
existe neutro para la adición.
2.- ( N0 , + ,  ) con las operaciones conocidas no es anillo, pues N0 carece de
inversos aditivos.
3.- ( Z , + ,  ) con las operaciones conocidas, es un anillo conmutativo con
unidad.
Anillos sin divisores de cero
Un anillo (A ,  ,  ) se dice sin divisores de cero si y solo sí elementos no nulos de A
dan producto no nulo.
En símbolos:
(A ,  ,  ) carece de divisores de cero si y solo sí a , b : a, b  A si a  0 y b  0
entonces a  b  0
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Anillo de integridad
(A ,  ,  ) es un Anillo de integridad si y solo sí (A ,  ,  ) es un anillo y 0 es su único
divisor de cero
Dominio de integridad
La terna (A ,  ,  ) se llama Dominio de integridad si y solo sí (A ,  ,  ) es un
Anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero.
Dicho de otra manera, un Dominio de integridad es un Anillo conmutativo con
identidad y de integridad.
Ejemplos
1.- ( Z , + ,  ) con las operaciones conocidas es un dominio de integridad.
2.- ( Q , + ,  ) ; ( R , + ,  ) y ( C , + ,  ) con las operaciones conocidas
son dominio de integridad.
3.- Los polinomios en una indeterminada ( o más ) con coeficientes en Q , R ó
C forman dominio de integridad con las operaciones conocidas.
Cuerpo
La terna ordenada ( A , + ,  ) es un cuerpo, o tiene estructura de cuerpo si y solo si
( A , + ,  ) es un anillo de división conmutativo.
Esto es: ( A , + ,  ) es un cuerpo si y solo si ( A , + ,  ) es un anillo conmutativo,
con unidad cuyos elementos no nulos admiten inverso multiplicativo.
Un cuerpo queda caracterizado por las siguientes estructuras:
( A , + ,  ) es un cuerpo si y solo si
a) ( A , + ) es un grupo abeliano.
b) ( A – {0} ,  ) es un grupo abeliano.
c)  distribuye respecto de +
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Ejemplos
1.- ( Z , + ,  ) con las operaciones conocidas, no es cuerpo, pues Z carece de
inversos multiplicativos.
2.- ( Q , + ,  ) ; ( R , + ,  ) y ( C , + ,  ) con las operaciones conocidas
son cuerpos.
3.- Todo cuerpo es un dominio de integridad.
Para proveer de un ejemplo de estructura algebraica no tan conocida, definiremos el
conjunto Zn llamado conjunto de los enteros modulo n.
Enteros módulo n (Zn)
Si n es un número entero tal que n  2 , se denomina Zn al conjunto
Zn = { 0 , 1 , 2 , 3 ,..., n-1}
Este conjunto, provisto de las operaciones de suma y producto definidas así:
+ suma : si h y k pertenecen a Zn , entonces h + k es igual al resto de la división
de h + k por n.
Ejemplo: si n = 8 ; h = 5 y k = 7 , entonces h + k = 4
 producto : si h y k pertenecen a Zn , entonces h  k es igual al resto de la
división de h  k por n.
Ejemplo: si n = 8 ; h = 5 y k = 7 , entonces h  k = 3
La terna (Zn , + ,  ) es un anillo conmutativo con unidad. Se llama Anillo de los
enteros módulo n.
( Zn , + ,  ) es un dominio de integridad si y solo sí n es primo.
Esto puede verse en las siguiente tablas de operaciones en el conjunto Zn
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Para n = 3 Zn = { 0 , 1 , 2 } las tablas de operaciones son:
Para la suma
+
0
1
2
Para el producto
0
0
1
2
1
1
2
0

2
2
0
1
0
0
0
0
0
1
2
1
0
1
2
2
0
2
1
El producto No posee divisores de cero
Para n = 4
Zn = { 0 , 1 , 2 , 3 } las tablas de operaciones son:
Para la suma
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
Para el producto
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1

3
3
0
1
2
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
El producto posee divisores de cero
Espacio Vectorial
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto V , cuyos elementos se
denominan vectores, provisto de dos operaciones, una interna que se denomina suma
y otra externa que se denomina producto y que cumplen ciertas propiedades.
La operación externa , multiplica un elemento del conjunto K por un elemento del
conjunto V.
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Notación
Esta estructura suele representarse de las siguientes maneras:
Como la cuaterna ordenada ( V , + , K ,  ) ; como la terna ordenada ( K , V ,+ ) y
también es muy usual la expresión sintetizada VK  , todas ellas se leen Espacio
Vectorial V sobre el cuerpo K . o simplemente K – espacio vectorial.
Las operaciones enunciadas deben cumplir las siguiente propiedades:
1. ( V , + ) es un Grupo conmutativo
a) + Es asociativa
b) + Es conmutativa
c) + Tiene neutro
d) + Tiene inverso
2. La operación externa asocia de la siguiente manera:
a , b : a, b  K y x  A , a  ( b  x ) = ( a  b )  x
3. La operación externa distribuye sobre la interna de la siguiente manera:
a : a  K y  x , y  A
, a ( x + y ) = a  x + a y
4.
La operación externa tiene elemento neutro.
Ejemplos
1.- ( Rn, + , R ,  ) es un Espacio Vectorial con las suma y el producto conocidos.
Siendo Rn , con n  1 el conjunto de las n – uplas de números reales.
2.- ( K x , + , K ,  ) es un Espacio Vectorial con la suma y el producto
conocidos, siendo K un cuerpo y K x el conjunto de los polinomios en una
indeterminada con coeficientes en K.
3.- ( Rm x n, + , R ,  ) en el Espacio Vectorial de la matrices de orden m x n en el
cuerpo de los reales, con la suma y el producto conocidos.
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Morfismo u Homomorfismo
Una aplicación de conjuntos f: A  B se dirá que es un morfismo de la estructura
(A ,  ) en la estructura (B ,  ) o simplemente un morfismo de A en B si se cumple
que:
; f(x  y) = f(x)  f(y)
x , y  A
Ejemplo:
Sean las estructuras ( R , + ) y ( R + ,  ) con las operaciones + y  usuales.
La aplicación f : R  R + definida por f(x) = 2 x es un morfismo de estas
estructuras ya que cumple que:
f (x + y) = 2 x + y = 2 x  2 y = f (x)  f (y)
Endomorfismo
Se llama así a todo morfismo de A en A.
Monomorfismo
Se llama así a todo morfismo inyectivo.
Epimorfismo
Se llama así a todo morfismo sobreyectivo.
Isomorfismo
Se llama así a todo morfismo biyectivo.
Automorfismo
Se llama así a todo endomorfismo biyectivo.
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Ejemplos
1.
Sean las estructuras ( R3 , + ) y ( R2 x 2 , + ) y la aplicación
x
0
f ( x1 , x2 , x3 ) =  1

 x2 x3 
Las operaciones consideradas son las de suma de ternas ordenadas de
números reales y la de suma de matrices.
Entonces, como :
f  x1, x2 , x3    y1, y2, y3   = f  x1  y1 , x2  y2 , x3  y3  =
0 
 x1  y1
x  y x  y  =
2
3
3
 2
=
 x1
x
 2
0
+
x3 
 y1
y
 2
0
=
y3 
f x1, x2, x3  + f y1, y2, y3 
f es un morfismo.
Además es inyectivo, es decir un monomorfismo.
puesto que x  y  al dominio, resulta:
x
f x1, x2, x3  =  1
 x2
0
y
 f y1, y2, y3  =  1

x3 
 y2
0
y3 
1 2
Para probar que no es sobreyectivo, basta ver que, por ejemplo 
 no es
3
4


imagen de nadie.
2. f : R  R tal que f (x) = – 3x es un automorfismo respecto a la suma.
i) Es morfismo pues f (x + y ) = – 3 (x + y ) = – 3x – 3y = f (x ) + f (y )
ii) f es biyectiva porque:
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es inyectiva:  x  y ; f (x )  f (y )
ya que – 3x  – 3y
y es suryectiva:  y  R  x  R tal que f (x ) = y ;
– 3x = y entonces x = –
y
3
3. f : R  R tal que f(x) = x + 1 no es homomorfismo respecto a la
adición.
Efectivamente no cumple la definición de morfismo
f (x + y)  f (x) + f (y)
ya que
x + y + 1  x +1 + y + 1 = x + y + 2
Es interesante saber que la Topología es la parte de la matemática que se ocupa de
estudiar los conjuntos estructurados mediante relaciones que nos permiten decir
cuando un elemento del conjunto es “contiguo” o próximo a una parte del mismo.
Topología deriva del griego que significa:
Topos: Lugar , extensión ó posición.
Logos: Ciencia ó saber.
Luego la topología puede definirse como la “ Ciencia de la extensión ó del lugar”.
Bibliografía consultada
- Álgebra Lineal y Geometría
Ángel Rafael Larrotonda
Editorial Eudeba - 1973
- Notas de Álgebra I
Enzo R. Gentile
Editorial Eudeba - 1976
- Álgebra I
Armando Rojo
Editorial El Ateneo - 1978
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