Teoremas de redes

I
Física III - Unidad 6
Teoremas de redes (circuitos)
Principio de superposición: Si un sistema experimenta efectos producidos por dos o más causas actuando
simultáneamente, se puede considerar que cada causa actúa independientemente y después superponer los dos o más
efectos resultantes, siempre que la relación entre causa y efecto sea lineal
La aplicación de este principio a circuitos en las que existen dos o más fuentes de fuerza electromotriz y resistores
lineales consiste en que se puede calcular para cada rama la corriente producida por una de las fuentes, después la
corriente producida por otra de las fuentes y finalmente sumar todas las corrientes calculadas para esa rama..
En la práctica el cálculo se realiza de la siguiente manera: Se reemplazan todas las fuentes de f.e.m por cortocircuitos
menos una y se calculan las corrientes en cada rama por cualquier método. Por ejemplo asociación de resistencias y ley
de Ohm, leyes de Kirchoff, etc...Luego se repite el procedimiento dejando activa otra de las fuentes y reemplazando
todas las otras por cortocircuitos. De esta manera para cada rama del circuito se han calculado 2 o más valores
“parciales” de la corrientes. La corriente en cada rama se obtiene sumando estas corrientes “parciales”.
Como ejemplo se recomienda resolver el problema 17 de la
unidad 6 de la guía de Física III
Teorema de Thévenin: Un circuito activo lineal de dos terminales puede ser reemplazado por un circuito equivalente
formado por una fuente de f.e.m y una resistencia en serie de manera tal que la d.d.p entre los terminales sea la misma
en el circuito real o en el equivalente.
La f.e.m. del circuito equivalente se puede obtener por medición o por cálculo, determinando la diferencia de potencial
entre los terminales A y B a circuito abierto. Si se procede por medición se debe conectar en paralelo con A y B un
voltímetro de gran resistencia interna. Sólo en el caso de un voltímetro ideal (R V  ) la diferencia de potencial
medida coincidirá exactamente con la ETH.
Si la ETH. se quiere obtener por cálculo hay que determinar la d.d.p entre A y B utilizando cualquiera de los
procedimientos para la resolución de circuitos eléctricos (Ley de ohm y asociación de resistencias, Reglas de Kircchoff,
teorema de superposición, etc.)
La resistencia en serie se obtiene reemplazando todas las fuentes de tensión de la red activa por cortocircuitos. De esta
manera queda un arreglo de resistencias. La resistencia equivalente de dicho arreglo es la resistencia en serie que hay
colocar en serie con la ETH. para “armar” el circuito equivalente de Thevenin
La resistencia RTH se obtiene midiendo la resistencia entre los terminales A y B. También se puede obtener por
cálculo. Por ejemplo asociando resistencias en serie y paralelo. Si esto no es posible habrá que aplicar otros métodos,
por ejemplo las reglas de Kircchoff. En ambos casos es fundamental que todas las fuentes de f.e.m estén reemplazadas
por cortocircuitos.
II
Si no es posible, en la práctica, cortocircuitar las fuentes de la red, se puede determinar la RTH de la siguiente manera.
Se coloca entre a y b un amperímetro de resistencia interna despreciable y se mide la corriente de cortocircuito entre a y
b. Como dicha corriente, por la ley de Ohm debe ser igual a I ab 
ET H
si la f.e.m. equivalente ya ha sido determinada,
RT H
es inmediato el cálculo de la RTH.
El circuito equivalente de Thévenin es particularmente útil cuando una gran parte de un circuito eléctrico se mantiene
sin cambios pero hay un parte de él que se va modificando. Entonces la parte fija se considera como una red de dos
terminales.
Como ejemplo se recomienda resolver el problema 18 de la
unidad 6 de la guía de Física III
Teorema de máxima transferencia de potencia: Supongamos que una red activa lineal de dos terminales ya ha sido
reemplazada por su equivalente de Thévenin. Entre los terminales A y B se conecta un resistor cuyo valor de R es
variable y que teóricamente puede tomar valores desde 0  hasta infinito.
Queremos determinar en qué condiciones la red activa transfiere
máxima potencia a la resistencia de carga RL
En primer lugar expresamos la potencia que se disipa en R L en función
de los valores de los elementos de circuito:
PL  I R L
2
I 
ET H
RT H  R L
Combinando estas dos expresiones en una sola, obtenemos:
2
PL 
ETH
 RTH
 RL 
2
RL
Que también se puede escribir de la siguiente manera:
2
PL 
Esta función se puede expresar como y 
ETH
R L / RTH
RTH 1  R L / RTH

2
x
1  x 
2
Para ello es necesario definir x  R L / RTH . Es decir, la variable x expresa la relación entre la resistencia de carga y la
resistencia de salida de la red activa. Si x = 0 significa que RL es cero (cortocircuito entre A y B) y por lo tanto la
potencia disipada en RL es cero. En estas condiciones toda la potencia se disipa en la resistencia RTH y vale ET2H / RT H
La variable y se define como la relación entre la potencia disipada en la resistencia de carga y la potencia disipada en
RTH cuando entre A y B hay un cortocircuito (RL = 0)
Al realizar el gráfico de y = y (x) estamos, en cierto modo, representando la potencia disipada en la resistencia de carga en
función del valor de la resistencia de carga sin necesidad de asignarle valores particulares a los elementos del circuito:
III
En este gráfico se pone en evidencia que existe un valor de resistencia de carga para el cual la potencia disipada en ella
es máxima. Encontrar ese valor equivale a hallar el máximo de la función y = y(x). Derivamos esta función respecto a
x, igualamos la derivada a cero y obtenemos:
dy
dx

2 x( 1  x )  ( 1  x )
(1  x )
2
4
0
2x  2x 1 2x  x  0
2
2
x 1  0
2
x 1
Este resultado significa que la máxima transferencia de potencia se produce cuando la resistencia de carga es igual a la
resistencia de salida de la red activa.
Como ejemplo se recomienda resolver el problema 19 de la
unidad 6 de la guía de Física III
(Como ayuda para este problema mostramos el gráfico que representa la
potencia disipada en la resistencia de carga en función del valor de dicha
resistencia de carga)
IV
Un ejemplo explicado
En el circuito de la figura el capacitor está inicialmente descargado. Se
cierra la llave. Calcular la carga del capacitor para un tiempo t >> 
(tiempo característico).
Como la relación entre la carga de un capacitor y la diferencia de potencial
es lineal lo podemos resolver aplicando el principio de superposición.
En primer lugar calcularemos la carga del capacitor debida a la f.e.m E1 .
Para ello ponemos en cortocircuito a la fuente E2 .
La diferencia de potencial entre las placas del capacitor es igual a la que hay
entre los extremos del resistor R2
La carga es el producto de dicha d.d.p por la capacitancia. Entonces:
q1  C
E1
R1  R 2
R2
Ahora reemplazamos la f.e.m E1 por un cortocircuito y calculamos la carga
en el capacitor debida a la f.e.m E2.
En este caso la d.d.p en el capacitor es igual a la d.d.p en R1. Por lo tanto la
carga debida a la f.e.m E2 es:
q2  C
E2
R1  R 2
R1
Entonces la solución, es decir la carga del capacitor para el circuito
propuesto es la superposición de las dos soluciones halladas. En este
V
superponer soluciones consiste simplemente en sumarlas. Por lo tanto:
q  q1  q 2
qC
qC
E1
R1  R 2
R2  C
E2
R1  R 2
R1
E1 R 2  E2 R1
R1  R 2
La misma solución se puede obtener utilizando el teorema de Thévenin. Consideramos al capacitor como la “carga” del
circuito formado por las dos fuentes. El circuito equivalente se obtiene de la misma manera que en el problema 18. Una
vez hallada la ETH se puede obtener directamente la carga del capacitor y verificar que el resultado es el mismo que el
obtenido por superposición.
Otro ejemplo explicado
1) En el circuito de la figura la f.e.m de cada una de las fuentes es de E1= 12Volt y E2= 15 Volt, R1 = 3  , R2 = 5  y
R3= 6 . Hallar el circuito equivalente de Thévenin. entre A y B, indicando
cómo se determinan sus elementos.
En primer lugar vamos a determinar la RTH, es decir la resistencia del
circuito equivalente. Para ellos colocamos todas las fuentes de tensión en
cortocircuito (también se acostumbra decir que las “pasivamos”). Al hacer
esto entre los puntos A y B tenemos la serie formada por R2 con el paralelo
formado por R1 y R3.Entonces resulta R TH  R 2 
R1 R 3
R1  R 3
Para determinar la f.e.m del circuito equivalente, es decir la ETH, tenemos
que determinar la diferencia de potencial entre los puntos A y B a circuito abierto. De esta manera circula corriente
solamente por la malla formada por la E1 con las resistencias R1 y R3 que ahora están en serie. Por lo tanto la intensidad de
corriente por dicha malla es: I 
E1
R1  R 3
Con esta corriente podemos calcular la diferencia de potencial entre A y B:
Es decir
E TH  V A  V B  E 2  I  R 3  E 2  R 3
V B  I  R3  E 2  0  R2  V A
E1
R1  R 3
Dejamos para el estudiante la tarea de realizar los cálculos numéricos.
Algunos comentarios y cuestiones:

En el circuito dado las resistencias R1 y R3, ¿están conectadas en serie o en paralelo?

En el circuito con las fuentes “pasivadas” (en cortocircuito) dijimos que las resistencias R 1 y R3 están en
paralelo. ¿Por qué?

Cuando calculamos la f.e.m del circuito equivalente consideramos a las resistencias R1 y R3 en serie, a pesar
de que en entre ellas hay un nodo. ¿Esto es una contradicción con lo que hicimos antes?

¿Por qué la resistencia R2 no está incluida en el cálculo de la f.e.m de Thevenin?
Bibliografía consultada:
Skilling: Circuitos en Ingeniería Eléctrica. CECSA. México. 1974
Hayt, Kemmerly: Análisis de circuitos en Ingeniería. McGraw-Hill. México. 1993
Purcell: Electricidad y magnetismo. Berkeley Physics Course. Volumen 2. Reverté. Barcelona. 2001