Red de Petri Acotada Estructuralmente

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ingeniería
75.66 - Manufactura Integrada Por
Computador II
Trabajo Grupal
“Teoría de Redes de Petri”
78.914 - Nicolás Germán Calvo ([email protected])
82.756 - Gonzalo Luna ([email protected])
81.350 – Pablo Bianchi ([email protected])
83.704 – Juan Pablo Vita ([email protected])
Índice
INTRODUCCIÓN
4
DEFINICIONES
5
DEFINICIÓN FORMAL
REPRESENTACIÓN
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
REPRESENTACIÓN MATRICIAL
EJEMPLO 1
MARCADO
EVOLUCIÓN DE MARCADO
SUBCLASES DE REDES DE PETRI
GRAFO DE ESTADOS
GRAFO MARCADO
RED DE LIBRE ELECCIÓN
RED SIMPLE
5
6
6
7
7
9
9
10
10
10
10
10
ESTRUCTURAS BÁSICAS
11
SELECCIÓN
ATRIBUCIÓN
DISTRIBUCIÓN
CONJUNCIÓN
EJECUCIÓN SECUENCIAL
SINCRONIZACIÓN
CONCURRENCIA
CONFLICTOS
11
11
11
12
12
12
13
13
PROPIEDADES
14
PROPIEDADES ESTRUCTURALES
RDP PURA
RED DE PETRI ACOTADA ESTRUCTURALMENTE
RED DE PETRI ESTRUCTURALMENTE VIVA
RED DE PETRI COMPLETAMENTE CONTROLABLE
RED DE PETRI ESTRUCTURALMENTE CONSERVATIVA
RED DE PETRI (PARCIALMENTE) REPETITIVA
RED DE PETRI (PARCIALMENTE) CONSISTENTE
PROPIEDADES DE COMPORTAMIENTO
VIVACIDAD
CICLICIDAD
ACOTAMIENTO
CONSERVATIVIDAD
ALCANZABILIDAD
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
16
17
18
18
EXTENSIONES
20
RECURSOS COMPARTIDOS
20
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I
ARCOS INHIBIDORES:
20
VALIDACIÓN
21
MÉTODOS DE ANÁLISIS
21
TÉCNICAS ENUMERATIVAS
TÉCNICAS DE TRANSFORMACIÓN
TÉCNICAS ESTRUCTURALES
21
22
23
TIPOS DE RED
25
RDP CON PESO
RDP CON TIEMPO
RDP COLOREADAS
RDP JERÁRQUICAS
ESTOCÁSTICAS
REDES DE PETRI ESTOCÁSTICAS GENERALIZADAS
25
25
25
26
26
27
EJERCICIOS
28
EJERCICIO Nº 1:
EJERCICIO Nº 2:
EJERCICIO Nº 3:
¿CÓMO MODELARÍA LA SITUACIÓN DE QUE CUANDO NO HAY MÁS BEBIDAS LA MÁQUINA
RETORNE LA MONEDA?
EJERCICIO Nº 4:
EJERCICIO Nº 5:
EJERCICIO Nº 6:
EJERCICIO 7
EJERCICIO 8
28
28
29
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS
31
EJERCICIO 1
EJERCICIO 2
EJERCICIO 3
EJERCICIO 4
EJERCICIO 5
EJERCICIO 6
EJERCICIO 7
EJERCICIO 8
31
31
32
32
33
33
33
35
GLOSARIO
36
CONJUNTOS
LÓGICA
36
36
ÍNDICE DE IMÁGENES
37
29
29
29
30
30
30
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BIBLIOGRAFÍA
38
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Introducción
Las Redes de Petri (RdP) son una teoría matemática, creada por el alemán Carl Adam Petri en
1962, que proporciona una herramienta gráfica y matemática de modelado para la descripción
formal de sistemas cuya dinámica se caracteriza por la concurrencia, sincronización, exclusión
mutua y conflictos, las cuales son características típicas de sistemas distribuidos.
La principal aplicación de las redes de Petri es el modelado y el análisis de sistemas con
componentes concurrentes que interactúan. Un modelo es una representación de las
características más importantes de un sistema de estudio. Manipulando esta representación,
se pueden obtener nuevos conocimientos del sistema modelado sin ningún coste o peligro
para el sistema real. Sin embargo, el modelado por sí solo sirve de poco, es necesario analizar
el sistema modelado.
El sistema se modela primero como una RdP y después, este modelo se analiza. Este análisis
nos lleva a una mejor comprensión del comportamiento del sistema modelado. Para realizar el
análisis de las propiedades de una red de Petri se han desarrollado diferentes técnicas, que
permiten la verificación de las propiedades que el sistema construido posea.
Las RdP se han utilizado en distintas áreas de aplicación como en química, redes informáticas,
Inteligencia artificial, tránsito, etc.
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4
Definiciones
Una RdP está formada por lugares y transiciones, unidos alternativamente por arcos dirigidos.
Un lugar puede o no contener marcas. El conjunto de marcas asociadas a cada uno de los
lugares en un momento dado, constituye un marcado de la RdP. Para la descripción funcional
de sistemas concurrentes los marcados representan estados y las transiciones sucesos, que
dependen del cumplimiento de determinadas condiciones.
Definición formal
Podemos definir a una red de Petri como una 5-upla:
RdP = (P, T, F, W, M0), donde:
P = {p1, p2, … pm} es un conjunto finito no vacío de lugares
T = {t1, t2, …, tn} es un conjunto finito no vacío de transiciones
PT=
F  (T X P) (P X T) U es un conjunto de arcos dirigidos
W: F{1,2,3,…} es una función de pesos
Mi: P{0,1,2,…} es el marcado inicial de la red // define un número inicial de marcas por
lugar
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5
Representación
Toda herramienta de modelado tiene una o mas formas de ser representada. En el caso de las
RdP, podemos encontrar una representación gráfica y otra matricial.
Representación gráfica
A una RdP podemos asociarle un grafo dirigido con dos clases disjuntas de nodos, los lugares y
las transiciones.
Un círculo representa un lugar, una barra representa una transición y un arco dirigido conecta
lugares y transiciones.
Algunos arcos van desde un lugar a una transición y otros desde una transición a un lugar. Un
arco dirigido desde un lugar p a una transición t define p como un lugar de entrada para t. Un
lugar de salida se indica con un arco desde la transición al lugar.
Los arcos se etiquetan con sus pesos (enteros positivos). Si una de esas etiquetas se omite,
significa que el arco tiene peso uno.
Las marcas se representan como puntos negros en los lugares.
lugar
transición
marca
p1
p2
t1
arco
Figura 1 Representación gráfica de una Rdp.
Los lugares que contienen marcas se consideran lugares activos.
p1
Figura 2 Lugar activo.
A las transiciones se les asocia eventos (funciones lógicas de las variables de entrada). Una
transición se dice que está sensibilizada cuando todos sus lugares origen están marcados.
p1
t1
p2
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6
Figura 3 Transición sensibilizada.
Cuando ocurre un evento asociado a una transición, se dice que la transición está validada.
p1
p2
t1
Figura 4 Transición validada.
Representación matricial
Una transición tiene un determinado número de lugares de entrada (o precondiciones) y de
lugares de salida (o postcondiciones). Cada uno de estos se puede representar por una matriz
binaria de dos dimensiones, donde las columnas representan las transiciones, las filas los
lugares y las celdas la conexión entre ambas. Las matrices reciben los nombres de “Matriz de
incidencia previa” y “Matriz de incidencia posterior” respectivamente.
Podemos decir que una RdP N se encuentra definida matricialmente por medio de dos
matrices. Sea n = |P| (número de lugares de P) y m = |T| (número de transiciones de T).
Se denominan:
Matriz de incidencia previa: C− = [c−ij]n×m en la que c−ij = Pre(pi, tj).
Matriz de incidencia posterior: C+ = [c+ij]n×m en la que c+ij = Post(ti, pj).
Matriz de incidencia de N: C = C+ − C−.
Ejemplo 1
Dada la RdP R1 = (P, T, F, W, M0), donde:
P = {p1, p2, p3, p4}, T = {t1, t2, t3 }, Mo=(5, 0, 0, 0)
t2
p1
t1
p4
p2
t3
p3
Figura 5 Red de Petri con cuatro lugares y tres transiciones.
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7
Matriz de Incidencia previa y matriz de incidencia posterior:
C- = Pre(pi, tj) =
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
C+ = Post(pi, tj) =
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
Sea N una RdP, donde t ∈ T y p ∈ P. Se definen los siguientes conjuntos:
Conjunto de lugares de entrada a t : •t = {p ∈ P | Pre(p, t) > 0}
Conjunto de lugares de salida de t : t• = {p ∈ P | Post(t, p) > 0}
Conjunto de transiciones de entrada a p : •p = {t ∈ T | Post(t, p) > 0}
Conjunto de transiciones de salida de p : p• = {t ∈ T | Pre(p, t) > 0}
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8
Marcado
Un marcado es una función que asigna a cada lugar un entero no negativo (marca), de forma
que decimos que un lugar p está marcado con k marcas, si el marcado asigna al lugar p un
entero k.
Un marcado M se representa mediante un vector con tantos componentes como lugares tenga
la red. La cantidad de marcas en el lugar p será M(p).
Una RdP marcada es un par (N, M) formado por una RdP N y un marcado M.
El marcado de la RdP del ejemplo 1 :
5
0
M0 =
0
0
Evolución de marcado
El marcado cambia al disparar las transiciones. Para disparar una transición ha de estar
validada y sensibilizada. Cuando una transición se dispara desaparecen las marcas de los
lugares origen y se añade una marca a cada uno de los lugares destino.
Una transición t ∈ T está sensibilizada (habilitada) para un marcado M dado, sii ∀p ∈ •t se
verifica M(p) ≥ Pre(p, t).
El grado de habilitación de una transición indica el máximo número que la transición puede ser
disparada concurrentemente.
Regla de evolución del marcado:
Si t está habilitada para un marcado M entonces t puede dispararse. En la operación se alcanza
un nuevo marcado M0, y se denota por M[t] > M0, el cual resulta de quitar Pre(p, t) marcas de
cada lugar p ∈ •t y añadir Post(t, p) marcas a cada lugar p ∈ t•.
El cambio en el marcado esta dado por la ecuación:
M0(p) = M(p) − Pre(p, t) + Post(t, p), ∀p ∈ P
Cada disparo de una transición modifica la distribución de las marcas, y por ello produce un
nuevo marcado en la red.
Siguiendo con el ejemplo 1, al disparar la transición t1, obtenemos:
M0
5
-
Pre(p, t)
1
0
0
+
Pos(t, p)
0
0
0
=
Mf
4
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9
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0
0
t2
p1
t1
p4
p2
t3
p3
Figura 6 Evolución del marcado de la red del ejemplo 1.
Subclases de Redes de Petri
Grafo de estados
Un grafo de estado (GE) o máquina de estados (ME) es una RdP que cumple:
∀t ∈ T, |•t| = |t•| = 1
Grafo marcado
Un grafo marcado (GM) o grafo de sincronización es una RdP que cumple:
∀p ∈ P, |•p| = |p•| = 1
Red de libre elección
Una RdP de libre elección (RLE) es una RdP que cumple:
∀p ∈ P, si |p•| > 1, entonces ∀t ∈ p•, |•t| = 1
Red simple
Una RdP simple (RS) es una RdP que cumple:
p•1 ∩ p•2 = ∅ ⇒ p•1 ⊆ p•2 o p•1 ⊇ p•2 para toda p1, p2 ∈ P.
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Estructuras básicas
Selección
Selecciona el proceso a ejecutar
t1
p1
t2
t3
p2
p2
Figura 7 Estructura básica. Selección.
Atribución
Ejecución independiente de un proceso por dos procesos distintos
t1
t2
p1
t3
Figura 8 Estructura básica. Atribución.
Distribución
Ejecución de procesos paralelos o concurrentes
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Figura 9 Estructura básica. Distribución.
Conjunción
Sincronización de procesos en paralelo
Figura 10
Estructura básica. Conjunción.
Ejecución Secuencial
La transición t2 puede ser disparada  sea antes disparado t1.
p1
Figura 11
t1
t2
p2
p3
Estructura básica. Ejecución secuencial.
Sincronización
La transición t1 estará habilitada para ser disparada  todos los nodos de entrada de la
transición t1 poseen al menos una marca en cada uno de ellos.
Esto ocurre principalmente en la electrónica. Ej: El en circuito AND las dos entradas producen
una salida lógica.
p1
=>
t1
t1
p3
p2
Figura 12
p1
p3
p2
Estructura básica. Sincronización.
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Concurrencia
Las transiciones t2 y t3 son concurrentes. Con esta propiedad, las RdP es capaz de modelar
sistemas de control distribuido con múltiples procesos ejecutándose concurrentemente.
p1
Figura 13
p2
t2
p3
p4
t3
p5
t1
Estructura básica. Concurrencia.
Conflictos
Tanto la transición t1 como t2 están listas para ser disparadas, pero el disparo de alguna de
ellas produce que la otra transición quede inhabilitada para ser disparada.
p1
p1
t1
=>
p2
t1
p2
p4
p4
t2
p3
Figura 14
t2
p3
Estructura básica. Conflictos.
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Propiedades
En las RdP podemos encontrar propiedades estructurales, que dependen de la estructura
topológica de las RdP, independientes del marcado inicial y, las propiedades de
comportamiento que sí dependen del marcado inicial
Propiedades estructurales
RdP Pura
Una RdP N es una red pura si no existe ninguna transición que tenga un lugar que sea al mismo
tiempo de entrada y salida de la transición:
∀tj ∈ T , ∀pi ∈ P, Pre(pi, tj) Post(tj , pi) = 0
Red de Petri Acotada Estructuralmente
Una red de Petri está acotada estructuralmente si está acotada para cualquier marcado inicial
finito.
Un lugar p en una red de Petri se dice no acotado estructuralmente si existe un marcado M y
una secuencia de disparo σ desde M tal que p no esté acotado.
Red de Petri Estructuralmente Viva
Una red de Petri está estructuralmente viva si existe algún marcado inicial para el que está
viva.
Red de Petri Completamente Controlable
Una red de Petri se dice completamente controlable si cualquier marcado es alcanzable desde
cualquier otro marcado.
Red de Petri Estructuralmente Conservativa
Una red de Petri es estructuralmente conservativa si, para cualquier marcado inicial M0 y un
marcado alcanzable M ∈ R(M0), existe un vector x (n × 1) tal que xi≠0, para cualquier i = 1,...,n,
y xtM = xtM0.
Red de Petri (parcialmente) Repetitiva
Una red de Petri es (parcialmente) repetitiva si existe un marcado finito M0 y una secuencia de
disparo s tal que (alguna) toda transición ocurre un número infinito de veces en σ.
Red de Petri (parcialmente) Consistente
Una red de Petri es (parcialmente) consistente si existe un marcado finito M0 y una secuencia
de disparo s cíclica (desde M0 a M0 tal que (alguna) toda transición ocurre al menos una vez en
σ.
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Propiedades de comportamiento
Vivacidad
Una transición t está viva para un marcado inicial dado M0, sii existe una secuencia de disparos
a partir de un marcado M sucesor de M0 que comprenda a t :
∀M ∈ M(R, M0) ∃σ : M σ→M0 tal que t ⊂ σ.
Una RdP marcada está viva para M0 sii todas sus transiciones son vivas para M0.
Se puede decir que la propiedad de vivacidad significa la ausencia en el conjunto de
alcanzabilidad de un marcado en el que la red se bloquee totalmente (deadlock), ya que, para
que esté viva, todas sus transiciones deben ser disparables desde cualquier marcado
alcanzable.
Se dice que una RdP marcada está parcialmente viva para M0 si, tomando como punto de
partida cualquier marcado alcanzable a partir de M0, existe al menos una transición disparable
y otra transición no viva. Toda RdP marcada parcialmente viva tiene la posibilidad de evolución
global, independientemente de que existan transiciones que no puedan ser disparadas.
Ejemplo: Una red de Petri no viva.
p1
t3
t1
p2
p4
p3
t4
p5
t2
Figura 15
Ejemplo de una RdP no viva.
Para la secuencia de disparos t1, t2, t1, t2, no hay bloqueo. Si ahora se disparan las transiciones
t1, t3, t4, ya no se puede disparar ninguna transición más, la red queda “bloqueada”.
Podemos tener redes pseudo-vivas en las que existen algunas transiciones vivas y no se
bloquea totalmente.
Ejemplo: RdP Pseudoviva
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p1
t1
p2
p3
t2
p4
t3
p5
t4
Figura 16
Ejemplo de una RdP pseudoviva.
Ciclicidad
Se dice que una RdP posee un comportamiento globalmente cíclico para M0 si existe una
secuencia de disparos que permite alcanzar el marcado inicial M0 a partir de cualquier
marcado M alcanzable a partir de M0:
∀M ∈ M(R, M0), ∃σ tal que M σ→M0.
La ciclicidad o reversibilidad de una RdP marcada garantiza que no existen subconjuntos finales
de estados (marcados). Un subconjunto final de estados (marcados) contiene estados
(marcados) mutuamente alcanzables entre sí y tales que el estado inicial (marcado inicial) no
es alcanzable a partir de ninguno de ellos.
Ejemplo de una red no reversible:
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p1
t1
p2
p3
t2
p4
t3
Figura 17
Ejemplo de una RdP no reversible.
Esta RdP es pseudoviva, además no tiene la propiedad de reversibilidad ya que el marcado
inicial no se puede obtener jamás.
Acotamiento
El significado de esta propiedad es el de asegurar que el sistema que una red representa posee
un número finito de estados (si suponemos que cada lugar de la red representa a una variable
de estado del sistema y su marcado el valor de dicha variable). Luego la propiedad de
acotamiento determina la finitud del número de estados del sistema representado por una
RdP.
Un lugar p es k-acotado para M0 sii existe un número entero k tal que M(p) ≤ k para cualquier
marcado M ∈ M(R, M0). Se denomina cota del lugar p al menor entero k que verifica la
desigualdad anterior.
Una RdP marcada es k-acotada para M0 sii todos sus lugares son k-acotados para M0:
∀p ∈ P y ∀M ∈ M(R, M0), M (p) ≤ k.
Merece una consideración especial la 1-acotación. Si una RdP es 1-acotada para M0, su
marcado es binario (un lugar está o no está marcado) y se dirá que la RdP es binaria para M0.
Una red segura, es una RdP 1-acotada. Una RdP es estructuralmente acotada si es acotada
para cualquier marcado inicial y finito.
Se dice que la red está k-acotada si para todo marcado alcanzable tenemos que ningún lugar
tiene un número de marcas mayor que k. Las redes 1-acotadas son conocidas como binarias.
Si la red diseñada generar más marcas que las que su acotación permite el modelado será
erróneo.
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Ejemplo: Una red no acotada:
p1
t1
p2
t2
p3
p4
t3
p5
t4
Figura 18
Ejemplo de una RdP no acotada.
Conservatividad
Las marcas de una red se pueden entender como recursos del sistema. Normalmente los
recursos de un sistema ni se crean ni se destruyen. Cuando las marcas se conservan, tras el
disparo de una secuencia de transiciones, se dice que la red es conservativa.
Sea R = (P, T, Pre, Post, M0) se dice que es estrictamente conservativa sii ∀M0 ∈ M(R, M0),
ΣiM0 (pi) = ΣiM(pi), pi ∈ P.
Esto es, se ha de mantener el número de marcas para cualquier marcado de la red. La
definición anterior implica que el número de entradas ha de coincidir con número de salidas,
es decir: (|I(tj)|) = |O(tj)|), para cada transición disparable.
Alcanzabilidad
La alcanzabilidad es una base fundamental para estudiar las propiedades dinámicas de
cualquier sistema. al dispararse una transición habilitada, esta cambiará la distribución de las
señales ( marcado). De esta forma, de una secuencia de disparos resultará una secuencia de
marcados, luego un marcado Mn es alcanzable a partir de M0, si existe una secuencia de
disparos que a partir de M0 nos lleve a Mn. Una secuencia de disparos la denotaremos por σ =
t1, t2, ....., tn . en este caso Mn es alcanzable desde M0, sii ∃σ t.q. M0 [σi Mn.
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Ejemplo RdP y su grafo de alcanzabilidad
Figura 19
Ejemplo de una RdP con su grafo de alcanzabilidad.
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Extensiones
Recursos compartidos
Las RdP permiten modelar sistemas donde un recurso es compartido por dos procesos de
forma que el uso del recurso durante la ejecución de un proceso impide que dicho recurso sea
utilizado por el otro proceso.
Un recurso compartido se modela mediante un lugar con una marca inicial y transiciones en
conflicto.
Ejemplo:
Figura 20
Extensiones. Recursos compartidos.
Arcos inhibidores:
Figura 21
Extensiones. Arcos inhibidores.
Estos tipos de arcos se relacionan con la transición a ser inhibida y con el lugar que, de tener
una marca, va a impedir el disparo de la transición.
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Validación
La validación consiste en comprobar que se cumplen las propiedades de:- VIVACIDAD;
LIMITACIÓN; REVERSIBILIDAD.
Hay que considerar :
M0 : marcado inicial. De este se desprende el comportamiento del sistema.
[M0] : vector de marcados posibles a partir de un marcado inicial. (marcados alcanzables).
Ejemplo:
Figura 22
Validación de una RdP.
Métodos de Análisis
Las técnicas para el análisis de RdP (análisis cualitativo de redes) se clasifican normalmente en
tres grupos.
Técnicas Enumerativas
En primer lugar se tienen las técnicas enumerativas.
Se basan en la generación del grafo de alcanzabilidad para sistemas limitados o del grafo de
cobertura para sistemas no limitados. Estas técnicas se pueden aplicar en teoría, pero en la
práctica están limitadas a sistemas pequeños debido a su elevada complejidad computacional.
En este grafo los nodos corresponden al marcado alcanzable y los arcos corresponden al
disparo de las transiciones. En la figura se muestra una red de Petri y su grafo de alcanzabilidad
(Grafo de marcados).
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Figura 23
Técnica enumerativa de validación.
Este grafo puede ser utilizado para mostrar que la red es segura, viva, reversible y que esta
tiene dos componentes que se repiten t1, t2,t4 y t1, t3,t5.
En una red no limitada, el número de señales en un lugar puede ser infinito. Un lugar que
puede llegar a tener un número infinito de señales se representa por ω. El grafo resultante es
llamado grafo de cobertura.
Técnicas de Transformación
En segundo lugar se tienen las técnicas de transformación. En este grupo de técnicas el
objetivo es reducir el tamaño de los modelos mediante reglas de reducción que preserven las
propiedades que se quieren estudiar. En la figura puede observarse un conjunto sencillo de
seis reglas de reducción que preservan vivacidad y k-limitación.
Reglas de reducción que presentan vivacidad y k-limitación:
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Figura 24
Técnica de transformación de validación.
Con este conjunto de reglas es posible reducir la complejidad del cálculo de la vivacidad y
limitación de un sistema.
Técnicas Estructurales
En tercer lugar se tienen las técnicas estructurales. En este grupo de técnicas el objetivo es
obtener la máxima información del modelo utilizando únicamente su estructura y marcado
inicial.
Los métodos de álgebra lineal son utilizados para determinar las propiedades de la red.
La ecuación de estado de una red de Petri se define como sigue: el marcado Mk se define como
un vector columna m × 1. La j−esima entrada de Mk denota el número de señales en el lugar j
inmediatamente después del k−esimo disparo en la secuencia de disparos. El k−esimo disparo
o vector de control uk es un vector columna de n × 1, con n−1 ceros y una entrada 1 en la
i−esima posición, indicando el disparo de la transición i. Esto es, la i−esima fila de la matriz de
incidencia C denota el cambio de marcado como el resultado del disparo de la transición i,
luego la ecuación de estado para la red de Petri se escribe como sigue:
Mk = Mk−1 + CT uk, k = 1, 2, 3, ….
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El marcado de una red de Petri puede ser cambiado cada vez que una transición se dispara. Si
no ocurre un bloqueo, el número de disparos es ilimitado. Sin embargo, no todos los marcados
pueden ser alcanzados y no todas las secuencias de disparos pueden ser llevadas a cabo. Las
restricciones son dadas por los invariantes de la red. Un marcado invariante es obtenido si la
suma de los pesos de el marcado de un subconjunto de lugares en una red es siempre
constante. Los lugares contenidos en este subconjunto son llamados componentes
conservativos y el vector que contiene los pesos es P-Invariante. Si el disparo de una cierta
secuencia de transiciones resulta en el mismo marcado como cuando inicio, la secuencia es
llamada componente repetitivo. El vector característico de la secuencia de disparos es el TInvariante.
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Tipos de red
RdP con peso
Permite que multiples tokens puedan ser quitados/agregados cuando se dispara una
Si no hay ningún
valor se asume que es 1.
RdP con Tiempo
Las Redes de Petri no incluyen concepto alguno de tiempo, por ello, solamente es posible
describir solamente la estructura lógica de los sistemas y no su evolución temporal.
La introducción del tiempo en el modelo permite la descripción de comportamientos
dinámicos de los sistemas, considerando la evolución de estados y la duración de cada acción
tomada por el sistema. Hay múltiples formas diferentes de introducir el concepto de tiempo.
Una primera posibilidad consiste en asociar a cada transición un número que indica, en alguna
unidad temporal adecuada, el retardo entre la habilitación y el disparo de la transición. Una
RdP Temporizada puede ser definida como:
TPN = {P, T, A, M0, Q}
donde P, T, A y M0 se definen como antes
Q=(q1, q2,…,qm) es el conjunto de retardos asociados a las transiciones.
Una segunda posibilidad para la introducción del concepto de tiempo consiste en asignar un
retardo q al proceso de convertir una ficha en disponible luego que la misma llega a un nuevo
lugar. Por ello, cada ficha puede estar en uno de dos estados: disponible y no disponible;
solamente fichas disponibles habilitan transiciones. La falta de disponibilidad de una ficha
modela el tiempo utilizado desarrollando una actividad. En esta abstracción, el tiempo es
asociado a los lugares.
La adición de tiempos en las Redes de Petri es un proceso crítico y se deberá prestar atención
especial a la comprensión total de la semántica del modelo y a los detalles de su
comportamiento.
Existe una amplia variedad de extensiones adicionales, que básicamente consisten en
adicionar tiempos a las diferentes componentes del grafo bipartito que constituye la red.
RdP coloreadas
En general, los tokens representan objetos (recursos, personas, etc) en el modelado de un
sistema. Para representar los atributos de estos objetos, se utilizan las RdP coloreadas, donde
los colores representan las características de los objetos modelados. Las transiciones usan los
valores de los tokens adquiridos para determinar los valores de los tokens producidos.
Una transición describe la relación entre los valores de los tokens. Es posible especificar
precondiciones, utilizando el color de los tokens para ser consumidos.
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RdP jerárquicas
Las especificaciones de sistemas reales tienen una tendencia a ser grandes y complejos. Un
mecanismo de abstracción, estructuración jerárquica, se utiliza para poder modificar más
fácilmente el modelo. La construcción jerárquica se llama subred. Una subred es un agregado
de número de lugares, transiciones y subsistemas. Se puede utilizar para estructurar grandes
procesos. En determinados niveles, se quiere dar una simple descripción de un proceso (sin
considerar todos los detalles). Pero a otro nivel quizás, se quiera especificar un
comportamiento mas detallado. Cada subred se representa con un rectángulo que encapsula
parte del modelo general.
Estocásticas
Los modelos de performance tratan de representar el comportamiento de sistemas
determinísticos complejos por medio de procesos estocásticos. De esta forma es posible evitar
una detallada descripción determinística de las operaciones del sistema, sustituyéndola por
asunciones probabilísticas, que capturen la esencia del sistema.
Las Redes de Petri Estocásticas (SPN) se obtienen asociando con cada transición en una RdP
una variable aleatoria con distribución exponencial que exprese el retardo desde la
habilitación hasta el disparo de la transición. Eliminando las variables aleatorias de una SPN se
obtiene la RdP asociada.
Consideremos una SPN y un marcado M en el cual múltiples transiciones están
simultáneamente habilitadas. La transición que tiene asociado el retardo más breve disparará
primero. La SPN alcanza un nuevo marcado M’, en el cual algunas transiciones estuvieron
habilitadas en el marcado M pero que no fueron disparadas y pueden aun estar habilitadas.
Debido a la propiedad de falta de memoria de las variables aleatorias exponencialmente
distribuidas, obtenemos una distribución de vida igual a la distribución del retardo de disparo
en sí mismo. Se puede asumir que la actividad asociada con cada transición recomienza con
cualquier nuevo marcado. Esto es válido inclusive cuando se está modelando actividades que
se suceden en forma continua: el modelo no “siente” la repetición de actividades asociadas
con una transición.
Una definición formal de una SPN es:
SPN = {P, T, A, M0, L}
donde P, T, A y M0 se definen como antes y
L=(l1, l2,…,lm) es el conjunto de tasas de retardos asociados con las transiciones, posiblemente
dependientes del marcado, asociadas con las transiciones de la Red de Petri.
Cuando sea necesario, la dependencia con un marcado dado M se representará como lj(M).
Se puede probar que, debido a la propiedad de falta de memoria de la distribución
exponencial de los retardos en los disparos, las SPN son isomórficas a cadenas de Markov de
tiempo continuo. En particular, una SPN k-acotada es isomórfica a una MC finita. La misma se
puede obtener aplicando las siguientes reglas:
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1. El espacio de estados S de la MC corresponde al conjunto de alcance R(M0) de la Red de
Petri asociada con la SPN (Mi<->i).
2. La tasa de transición del estado i (correspondiente a Mi) al estado j (Mj) es (Mj) es qij = Σk∈Hij
lk, donde Hij es el conjunto de transiciones habilitadas por el marcado Mi, cuyos disparos
generan el marcado Mj.
Una SPN se dice ergódica si genera una CTMC. Es posible mostrar que una SPN es ergódica si
M0, el marcado inicial, es alcanzable desde cualquier Mi que pertenece R(M0).
Si la SPN es ergódica, es posible calcular la probabilidad de distribución de marcados en el
estado estacionario resolviendo la ecuación matricial ΠQ = 0 con la restricción adicional ΣΠi = l,
donde Q es el generador infinitesimal cuyos elementos se obtienen por el método de
construcción de la MC anterior y p es el vector de probabilidades del estado estacionario. A
partir de la distribución de probabilidades del estado estacionario es posible obtener
estimaciones cuantitativas del comportamiento de la SPN.
Redes de Petri Estocásticas Generalizadas
Frecuentemente no es deseable asociar un tiempo aleatorio a cada transición. Naturalmente
se tiende a asociar tiempos con las transiciones más lentas o aquellas que se cree que tienen
un mayor impacto en la performance global del sistema y a asumir instantáneas aquellas muy
breves o cuya duración se estima que no tendrá impacto en la performance global.
Un ejemplo típico puede ser el caso en el cual las actividades que componen el sistema poseen
diferencias en duración de órdenes de magnitud. La opción se convierte en particularmente
conveniente si el número de estados de la Cadena de arkov asociada se reduce. Las Redes de
Petri Estocásticas Generalizadas (GSPN) se obtienen permitiendo que las transiciones
pertenezcan a dos clases diferentes: inmediatas y temporizadas. Las transiciones inmediatas
disparan en tiempo cero una vez que están habilitadas. Las transiciones temporizadas disparan
luego de un tiempo de habilitación aleatorio, exponencialmente distribuido. Una definición
formal para las GSPN se obtiene haciendo que los elementos del arreglo L sean solamente
elementos m’, aquellos asociados a transiciones temporizadas. Si el conjunto de transiciones
habilitadas H incluye solamente transiciones temporizadas, entonces la transición ti (i
pertenece H) dispara con probabilidad li / Σk∈Hlk como en el caso de SPN. Si H involucra
transiciones temporizadas e inmediatas simultáneamente, únicamente dispararán transiciones
inmediatas. Si H involucra cero o más transiciones temporizadas y solamente una transición
inmediata, solamente disparará la transición inmediata. Cuando H involucra varias transiciones
inmediatas, es necesario especificar la función de densidad de probabilidad en el conjunto de
transiciones inmediatas habilitadas de a cuerdo a la cual se obtiene la transición que dispara. El
subconjunto H que involucra todas las transiciones inmediatas habilitadas, junto con las
probabilidades de distribución es llamado switch aleatorio (random switch).
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Ejercicios
Ejercicio Nº 1:
a. Dada la siguiente RdP, indique cuál es la matriz de incidencia previa y la matriz de incidencia
posterior.
Figura 25
Ejercicio 1.
b. Dado el marcado inicial 0 = (0, 1, 0, 0) indique cuáles de los siguientes son marcados son
alcanzables desde 0.
a. = (w, 1, 0, 0), w >=0
b. = (w1, 0, 1, w2), w1 >=0, w2 >=0
c. = (0, 1, 1, w), w >=0
d. = (w1, 0, 0, w2), w1 >=0, w2 >=0
Ejercicio Nº 2:
Dadas las siguientes redes de Petri, indicar cuáles de ellas pueden entrar en deadlock. (si al
menos existe un marcado en el cual no se puede disparar ninguna transición, entonces la red
entra en deadlock)
En caso de que así sea dar una secuencia de disparos que lleve a esta situación.
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Figura 26
Ejercicio 2 a.
Figura 27
Ejercicio 2 b.
Ejercicio Nº 3:
Construya una red de Petri para especificar el funcionamiento de una máquina expendedora
de bebidas. La misma tiene un depósito de bebidas con una cierta carga inicial, y un depósito
de monedas el cual inicialmente se encuentra vacío.
Cuando se le ingresa una moneda y hay bebidas, la máquina entrega una bebida y almacena la
moneda en el depósito correspondiente.
¿Cómo modelaría la situación de que cuando no hay más bebidas la máquina retorne la
moneda?
Ejercicio Nº 4:
Existen pequeñas diferencias entre los sistemas de luces de tránsito en diferentes países. Por
ejemplo, el sistema de luces alemán tiene una fase extra en su ciclo. Las luces no cambian
repentinamente de rojo a verde sino que antes de pasar al verde enciende la luz verde junto
con la luz amarilla.
Construya una red de Petri que se comporte como el sistema de luces de tránsito alemán.
Asegúrese que la red no permita transiciones que no son posibles.
Ejercicio Nº 5:
a. Construya una red de Petri para especificar el funcionamiento de un sistema de control de
barreras de un paso a nivel.
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Cuando un tren se acerca, éste es detectado por un sensor que ocasiona que se baje la barrera
del paso a nivel. Cuando se aleja el tren, es detectado por otro sensor que ocasiona que se
eleve la barrera. Si la barrera está elevada, los vehículos que lleguen al paso a nivel pueden
pasar a través de él, en caso contrario deben esperar hasta que la barrera sea levantada.
b. Verifique que el modelo construido no permita la situación en la que la barrera se encuentre
alta, arribe un tren y un vehículo, y se le dé el paso al vehículo antes de bajar la barrera. Si no
es así modifíquelo para que no se dé dicha situación.a. Construya una red de Petri para
especificar el funcionamiento de un sistema de control de barreras de un paso a nivel.
Ejercicio Nº 6:
Usando alguna de las extensiones estudiadas, construya una Redes de Petri que describa el
siguiente problema: Un proceso despachador de mensajes recibe mensajes provenientes de
dos canales diferentes. Verifica la paridad de cada mensaje. Si la paridad es incorrecta, envía
un aviso de no-reconocimiento del mensaje a través de un canal de respuesta (existe un canal
de respuesta por cada canal de entrada); si la paridad es correcta, coloca el mensaje recibido
en un buffer. El buffer puede contener hasta diez mensajes. Cuando el buffer está lleno, el
despachador envía todo el contenido del buffer a una unidad de procesamiento a través de
otro canal. No se pueden colocar mensajes en un buffer lleno.
Ejercicio 7
Resuelva mediante una RdP el siguiente problema:
Un grupo de 5 filósofos se encuentran sentados en una mesa circular donde ha sido
depositada comida china. Cada filósofo tiene frente a él un plato donde servirse y entre cada
uno de ellos un palillo chino. Como sabemos, para comer comida china necesitamos dos
palillos, entonces cada filósofo para comer debe tener dos palillos en su poder.
El problema está en que si cada filósofo tiene un sólo palillo en su poder todos los filósofos
entrarán en una espera eterna para comer, otro problema puede surgir y es el que un filósofo
obtenga siempre los dos palillos y se mantenga comiendo, lo que producirá que los otros
filósofos no puedan comer.
Ejercicio 8
Tres fumadores están representados por los procesos F1, F3 y F3. Tres vendedores están
representados por los procesos V1, V2 y V3. Para fumarc cada fumador necesita tabaco, papel
para tabaco y un fósforo; cuando dispone de estos recursos, el fumador fuma un cigarrillo
hasta terminarlo y entonces queda elegible para fumar de nuevo. F1 tiene tabaco, F2 tiene
papel y F3 tiene fósforos. V1 vende tabaco y papel, V2 vende papel para tabaco y fósforos, y
V3 vende fósforos y tabaco. V1, V3 y V3 trabajan en exclusión mutua; sólo uno de los procesos
puede trabajar a la vez y el siguiente vendedor no puede trabajar hasta que los recursos
suministrados por el vendedor anterior hayan sido consumidos por un fumador.
A partir de este enunciado, dibuje una RdP que represente el problema y sus matrices de
incidencia previa y posterior.
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Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
Matriz de incidencia previa (P  t)
t1
t2
t3
t4
P1
0
1
0
0
P2
0
1
0
0
P3
0
0
1
0
P4
0
0
0
1
Matriz de incidencia posterior (t  P)
t1
t2
t3
t4
P1
1
0
0
0
P2
0
0
1
0
P3
0
1
0
0
P4
0
0
1
0
a. Marcado alcanzable.
b. Marcado alcanzable.
c. Marcado no alcanzable.
d. Marcado no alcanzable.
Ejercicio 2
a) no
b) no
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Ejercicio 3
Salida de
monedas
p3
Ingresa
moneda
Depósito
provisorio
t1
p1
t2
Depósito de
monedas
p4
t3
Figura 28
Bebidas
Salida de
bebidas
p2
p5
Respuesta al ejercicio 3. Máquina expendedora de bebidas.
Ejercicio 4
Verde
p2
Rojo
Verde
p4
p1
t2
t1
Amarillo
p3
Amarillo
t4
Figura 29
p5
t3
Respuesta al ejercicio 4. Semáforo alemán
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Ejercicio 5
t5
Automóviles
para cruzar
Automóviles
que cruzaron
p7
Barrera
en alto
p8
t6
p3
Barrera
baja
Sensor B
p4
t2
Tren
acercándose
p1
Sensor A
Tren
alejándose
p2
t1
p6
Figura 30
p5
t3
t4
Respuesta al ejercicio 5. Sistema de control de barreras de un paso a nivel.
Ejercicio 6
Se utilizaron RdP coloreadas para identificar los mensajes que circulan por distintos canales. En
rojo los mensajes del canal A y en azul los mensajes del canal B.
t9
p2
Mensajes
con errores
Calcular
paridad
Canal A
p8
t8
t2
p3
t5
p6
Buffer
K = 10
K = 10
Unidad de
procesamiento
p4
t4
Canal B de
error
Canal B
p1
Canal A de
error
t1
p7
t3
t6
p5
t7
Figura 31
Respuesta al ejercicio 6. Despachador de mensajes.
Ejercicio 7
Matriz de incidencia previa
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V1
V2
V3
F1
F2
F3
1
1
1
1
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
1
0
0
4
0
0
0
0
1
0
Matriz de incidencia posterior
V
1
V
2
V
3
F
1
F
2
F
3
1
0
0
0
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
3
0
1
0
0
0
0
4
0
0
1
0
0
0
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Ejercicio 8
p2
V1
p2
F3
Figura 32
V2
p2
F1
V3
p2
F2
Respuesta al ejercicio 8.
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Glosario
Conjuntos
{e1, e2, . . . , en}
Conjunto formado por los elementos e1, e2, . . . , en, (por extensión)
(e|r)
Conjunto formado por los elementos e que cumplen la propiedades r
(notación por comprensión)
∈
Pertenencia

No pertenencia

Conjunto vacío
AUB
Unión de los conjuntos A y B
AB
Intersección de los conjuntos A y B
AXB
Producto cartesiano de A por B [conjunto de los pares (a, b), aeA y bEB]
A⊂B
Inclusión del conjunto A en el conjunto B
A⊆B
Inclusión o igualdad del conjunto A en el conjunto B
Lógica
∃
Existe (cuantificador existencial)
∀
Para todo (cuantificador universal)
⇒
Implica.
⇔
Sí y solo sí.
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Índice de imágenes
FIGURA 1
FIGURA 2
FIGURA 3
FIGURA 4
FIGURA 5
FIGURA 6
FIGURA 7
FIGURA 8
FIGURA 9
FIGURA 10
FIGURA 11
FIGURA 12
FIGURA 13
FIGURA 14
FIGURA 15
FIGURA 16
FIGURA 17
FIGURA 18
FIGURA 19
FIGURA 20
FIGURA 21
FIGURA 22
FIGURA 23
FIGURA 24
FIGURA 25
FIGURA 26
FIGURA 27
FIGURA 28
FIGURA 29
FIGURA 30
NIVEL.
FIGURA 31
FIGURA 32
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA RDP. ................................................................. 6
LUGAR ACTIVO. ......................................................................................................... 6
TRANSICIÓN SENSIBILIZADA...................................................................................... 7
TRANSICIÓN VALIDADA. ............................................................................................ 7
RED DE PETRI CON CUATRO LUGARES Y TRES TRANSICIONES. ................................. 7
EVOLUCIÓN DEL MARCADO DE LA RED DEL EJEMPLO 1. ......................................... 10
ESTRUCTURA BÁSICA. SELECCIÓN. ......................................................................... 11
ESTRUCTURA BÁSICA. ATRIBUCIÓN. ....................................................................... 11
ESTRUCTURA BÁSICA. DISTRIBUCIÓN. .................................................................... 12
ESTRUCTURA BÁSICA. CONJUNCIÓN. .................................................................... 12
ESTRUCTURA BÁSICA. EJECUCIÓN SECUENCIAL. .................................................. 12
ESTRUCTURA BÁSICA. SINCRONIZACIÓN. ............................................................. 12
ESTRUCTURA BASICA. CONCURRENCIA. ............................................................... 13
ESTRUCTURA BÁSICA. CONFLICTOS. ..................................................................... 13
EJEMPLO DE UNA RDP NO VIVA. ............................................................................ 15
EJEMPLO DE UNA RDP PSEUDOVIVA...................................................................... 16
EJEMPLO DE UNA RDP NO REVERSIBLE. ................................................................ 17
EJEMPLO DE UNA RDP NO ACOTADA. .................................................................... 18
EJEMPLO DE UNA RDP CON SU GRAFO DE ALCANZABILIDAD. ............................... 19
EXTENSIONES. RECURSOS COMPARTIDOS. ............................................................ 20
EXTENSIONES. ARCOS INHIBIDORES...................................................................... 20
VALIDACIÓN DE UNA RDP. .................................................................................... 21
TÉCNICA ENUMERATIVA DE VALIDACIÓN. ............................................................ 22
TÉCNICA DE TRANSFORMACIÓN DE VALIDACIÓN. ................................................. 23
EJERCICIO 1. .......................................................................................................... 28
EJERCICIO 2 A. ....................................................................................................... 29
EJERCICIO 2 B. ....................................................................................................... 29
RESPUESTA AL EJERCICIO 3. MÁQUINA EXPENDEDORA DE BEBIDAS. ................... 32
RESPUESTA AL EJERCICIO 4. SEMÁFORO ALEMÁN ................................................ 32
RESPUESTA AL EJERCICIO 5. SISTEMA DE CONTROL DE BARRERAS DE UN PASO A
33
RESPUESTA AL EJERCICIO 6. DESPACHADOR DE MENSAJES. ................................. 33
RESPUESTA AL EJERCICIO 8. .................................................................................. 35
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Bibliografía
C. Ramchandan. “Analysis of Asynchronous concurrent systems by timed petri nets”, MIT MAC-TR-120,
1974.
Ing. Jair Cervantes Canales. Representación y aprendizaje de conocimiento con redes de Petri difusas.
Mexico 2005.
K. Jensen, “Colored Petri nets and the invariant method”, Theoretical Computer Science, volume 14, 1981,
pp. 317-336.
Murata, Tadao. “Petri Nets: properties, analysis and applications”. Proceedings of the IEEE, VOL. 77, No.
4. April 1989.
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