MÉTODO AXIOMÁTICO-DEDUCTIVO Y DOS EJEMPLOS Método

MÉTODO AXIOMÁTICO-DEDUCTIVO Y DOS EJEMPLOS
Método "axiomático-deductivo": Este es el método propio de las ciencias formales
(lógica y matemáticas). Su verdad se basa en la no-contradicción de enunciados que
componen un sistema formal. Se puede hablar aquí de hipótesis, pero de una forma
diferente a las hipótesis en las ciencias empíricas. Una hipótesis en las ciencias formales es
una solución posible a un problema de construcción formal. Para probar una hipótesis
formal se la intenta demostrar a partir de de principios básicos ya conocidos (axiomas) y de
otras hipótesis ya demostradas (teoremas).
EJEMPLO 1: DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Vemos varios triángulos rectángulos siendo los lados cortos a y b, y el área de cada uno de
estos triángulos es, por consiguiente, (1/2) ab.
Vea el cuadrado de la izquierda construido por cuatro triángulos (a,b,c). la longitud de cada
lado es (a+b) y, por lo tanto, el cuadrado tiene un área de (a+b)2.
No obstante, el cuadrado se puede a su vez dividir en cuatro triángulos (a,b,c) más un
cuadrado de lado c en el centro (en rigor, también debemos de probar que es un cuadrado,
pero nos saltaremos esto). El área de cada triángulo, como se mostró anteriormente, es
(1/2)ab, y el área del cuadrado es c2. Como el cuadrado grande es igual a la suma de todas
sus partes
(a + b) 2 = (4)(1/2)(a)(b) + c2
Usando la igualdad para (a + b)2 y multiplicando (4)(1/2) = 2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
Reste 2ab de ambos lados y obtendrá
a2 + b2 = c2
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EJEMPLO 2: DEMOSTRACIÓN DE LA CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS DE ÁREAS
DOBLES.(De Platón: "Menón")
SÓC. –– (Al servidor.) Dime entonces, muchacho, ¿conoces que una superficie cuadrada es
una figura así? (La dibuja.)
SERVIDOR. –– Yo sí.
SÓC. –– ¿Es, pues, el cuadrado, una superficie que tiene todas estas líneas iguales, que son
cuatro?
SERVIDOR. –– Perfectamente.
SÓC. –– ¿No tienen también iguales éstas trazadas por el medio?
SERVIDOR. ––Sí.
SÓC. –– ¿Y no podría una superficie como ésta ser mayor o menor?
SERVIDOR. –– Desde luego.
SÓC. –– Si este lado fuera de dos pies y este otro también de dos, ¿cuántos pies tendría el
todo? Míralo así: si fuera por aquí de dos pies, y por allí de uno solo , ¿no sería la superficie
de una vez dos pies ?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– Pero puesto que es de dos pies también aquí, ¿qué otra cosa que dos veces dos
resulta?
SERVIDOR. –– Así es.
SÓC. –– ¿Luego resulta, ciertamente, dos veces dos pies?
SERVIDOR. –– Sí.
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SÓC. –– ¿Cuánto es entonces dos veces dos pies? Cuéntalo y dilo.
SERVIDOR. –– Cuatro, Sócrates.
SÓC. –– ¿Y podría haber otra superficie, el doble de ésta, pero con una figura similar, es
decir, teniendo todas las líneas iguales como ésta?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. ––¿Cuántos pies tendrá?
SERVIDOR. –– Ocho.
SÓC. –– Vamos, trata ahora de decirme cuál será el largo que tendrá cada una de sus líneas.
Las de ésta tienen dos pies, ¿pero las de ésa que es doble?
SERVIDOR. –– Evidentemente, Sócrates, el doble.
SÓC.––¿Ves, Menón, que yo no le enseño nada, sino que le pregunto todo. Y ahora él cree
saber cuál es el largo del lado del que resultará una superficie de ocho pies, ¿o no te parece?
MEN. –– A mí sí.
SÓC. –– ¿Pero lo sabe?
MEN. –– Claro que no.
SÓC. –– ¿Pero cree que es el doble de la otra?
MEN. –– Sí.
SÓC. –– Observa cómo él va a ir recordando en seguida, como hay, en efecto, que recordar.
(Al servidor.) Y tú, dime: ¿afirmas que de la línea doble se forma la superficie doble? Me
refiero a una superficie que no sea larga por aquí y corta por allí, sino que sea igual por
todas partes, como ésta, pero el doble que ésta, de ocho pies. Fíjate si todavía te parece que
resultará el doble de la línea.
SERVIDOR. ––A mí sí.
SÓC. –– ¿No resulta ésta el doble que aquélla, si agregamos desde aquí otra cosa así?
(Sócrates añade al lado BC su igual CE)
SERVIDOR. –– Por supuesto.
SÓC. –– ¿Y de ésta, afirmas que resultará una superficie de ocho pies, si hay cuatro de ellas
iguales?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– Dibujemos, pues, a partir de ella, cuatro iguales (BE, EF, FG,GB). ¿No sería ésa
la superficie de ocho pies que tú afirmas?
SERVIDOR. –– Por supuesto.
SÓC. –– ¿Pero no hay en esta superficie estos cuatro cuadrados (ABCD, DCEH, HFID,
IGAD), cada uno de los cuales es igual a ése de cuatro pies (ABCD)?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– ¿De qué. tamaño resultará entonces? ¿No es cuatro veces mayor?
SERVIDOR. –– Desde luego.
SOC. ––¿Y es doble lo que es cuatro veces mayor?
SERVIDOR. –– ¡No, por Zeus!
SÓC. ––¿Cuántas veces entonces?
SERVIDOR. –– El cuádruple.
SÓC. –– Entonces, de la línea doble, muchacho, no resulta una superficie doble sino
cuádruple.
SERVIDOR. –– Es verdad.
SÓC. –– Y cuatro veces cuatro es dieciséis, ¿no?
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SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– Entonces la superficie de ocho pies, ¿de cuál línea resulta? De ésta (BE) nos ha
resultado el cuádruple.
SERVIDOR. –– Eso digo.
SÓC. –– ¿Y esta cuarta parte resulta de la mitad de esta línea aquí (BC)?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC.––Bien. ¿Pero la de ocho pies no es el doble de ésta y la mitad de esa?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– ¿No resultará entonces una línea mayor que ésta, pero menor que ésa, o no?
SERVIDOR. ––A mí me parece que sí.
SÓC. –– ¡Muy bien!, pues lo que a ti te parece es lo que debes contestar. Y dime: ¿esta
línea no era de dos pies y ésa de cuatro?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– Entonces es necesario que la línea de la superficie de ocho pies sea mayor que
ésta, que tiene dos pies, y menor que ésa, que tiene cuatro.
SERVIDOR. –– Es necesario.
SÓC. –– Trata de decir qué largo afirmas que tendrá.
SERVIDOR. ––Tres pies.
SÓC. –– Si ha de ser de tres pies, ¿agregamos la mitad de ésta y tendrá tres pies? Porque
ésos son dos pies (BC), éste (CJ), uno; y por aquí, igualmente, dos éstos (JL) y uno (LK)
éste, y así resulta la superficie que tú afirmas.(MBJK)
SERVIDOR. ––Sí.
SÓC. –– De modo que si tiene tres por aquí y tres por allí, ¿la superficie total resulta tres
veces tres pies?
SERVIDOR. –– Evidentemente.
SÓC. ––Tres veces tres, ¿cuántos pies son?
SERVIDOR. –– Nueve.
SÓC. ––¿Y cuántos pies tiene la superficie del doble?
SERVIDOR. –– Ocho.
SÓC. –– Entonces de la línea de tres pies tampoco deriva la superficie de ocho.
SERVIDOR. –– Desde luego que no.
SÓC. ––Pero entonces, ¿de cuál? Trata de decírnoslo con exactitud. Y si no quieres hacer
cálculos, muéstranosla en el dibujo.
SÓC. –– Te das cuenta una vez más, Menón, en qué punto se encuentra ya del camino de la
reminiscencia? Porque al principio no sabía cuál era la línea de la superficie de ocho pies,
como tampoco ahora lo sabe aún; sin embargo, creía entonces saberlo y respondía con la
seguridad propia del que sabe, considerando que no había problema. Ahora, en cambio,
considera que está ya en el problema, y como no sabe la respuesta, tampoco cree saberla.
MEN. –– Es verdad.
SÓC. ––¿Entonces está ahora en una mejor situación con respecto del asunto que no sabía?
MEN. –– Así me parece.
SÓC. –– Al problematizarlo y entorpecerlo, como hace el pez torpedo, ¿le hicimos algún
daño?
MEN. –– A mí me parece que no.
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SÓC. –– Le hemos hecho, al contrario, un beneficio para resolver cómo es la cuestión.
Ahora, en efecto, buscará de buen grado, puesto que no sabe, mientras que muchas veces
antes, delante de todos, con tranquilidad, creía estar en lo cierto al hablar de la superficie
doble y suponía que había que partir de una superficie del doble de largo.
MEN. –– Así parece.
SÓC. ––¿Crees acaso que él hubiera tratado de buscar y ‘aprender esto que creía que sabía,
pero ignoraba, antes de verse problematizado y convencido de no saber, y de sentir el deseo
de saber?
MEN. ––Me parece que no, Sócrates.
SÓC. ––¿Ha ganado, entonces, al verse entorpecido?
MEN. –– Me parece.
SÓC. –– Observa ahora, arrancando de este problema, qué es lo que efectivamente va a
encontrar, buscando conmigo, sin que yo haga más que preguntar, y sin enseñarle. Vigila
por si me coges enseñándole y explicándole en lugar de interrogarle por sus propios
pareceres.
(Al servidor.) Dime entonces tú: ¿No tenemos aquí una superficie de cuatro pies ? (ABCD)
SERVIDOR. ––Sí.
SÓC. ––¿Podemos agregarle a ésa otra igual? (DCEH)
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– ¿Y esta tercera (DHFI), igual a cada una de ésas?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– ¿No podríamos completar, además, este del ángulo (GADI)?
SERVIDOR. –– Por supuesto.
SÓC. ––¿No resultarían entonces estas cuatro superficies iguales?
SERVIDOR. ––Sí.
SÓC. ––¿Y qué? ¿El todo (BEFG) éste cuántas veces es mayor que aquél (ABCD)?
SERVIDOR.––Cuatro veces.
SÓC. –– Pero nosotros necesitábamos que fuera doble, ¿no te acuerdas?
SERVIDOR. –– Por supuesto.
SÓC. –– Entonces esta línea que va de un ángulo (CA).
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. –– ¿No son cuatro estas líneas iguales (CA, CH, HI, IA) que encierran esta superficie
(ACHI)?
SERVIDOR. –– Lo son, en efecto.
SÓC. ––Observa ahora: ¿qué tamaño tiene esta superficie?
SERVIDOR. –– No entiendo.
SÓC. –– De éstas, que son cuatro, ¿no ha cortado cada línea (CA, CH, HI, IA) en su
interior la mitad de cada una?, ¿o no?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. ––¿Y cuántas de esas mitades hay en ésta? (ACHI)
SERVIDOR. ––Cuatro.
SÓC. –– ¿Y cuántas en ésa? (ABCD)
SERVIDOR. –– Dos.
SÓC. ––¿Qué es cuatro de dos?
SERVIDOR. –– El doble.
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SÓC. –– ¿Y esta superficie (ACHI), ¿cuántos pies tiene?
SERVIDOR. ––Ocho pies.
SÓC. –– ¿De cuál línea?
SERVIDOR. –– De ésta (AC) .
SÓC. –– ¿De la que habíamos trazado de ángulo a ángulo en la superficie de cuatro pies?
SERVIDOR. –– Sí.
SÓC. ––Los sofistas la llaman «diagonal», y puesto que si «diagonal» es su nombre, de la
diagonal se llegará a obtener, como tú dices, servidor de Menón, la superficie doble.
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