Teorema de Bayes en medicina Probabilidad y Estadística en Medicina UNED

Probabilidad y Estadística en Medicina
UNED
Curso de Experto Universitario en
Probabilidad y Estadística en Medicina
www.ia.uned.es/cursos/prob-estad
Teorema de Bayes en medicina
F. J. Díez Vegas
Dpto. Inteligencia Artificial. UNED
[email protected]
www.ia.uned.es/~fjdiez
Teorema de Bayes
X
Sabíamos que
P ( x| y ) =
P ( x, y )
P (y )
P ( x , y ) = P ( x )·P ( y | x )
P (y ) =
∑ P (y| x ) ⋅ P (x )
por la definición de P(x|y)
por la definición de P(y|x)
por el teorema de la prob. total
x
X
Combinando estos resultados
P ( x| y ) =
P ( x, y ) P ( x ) ⋅ P ( y | x )
=
=
P (y )
P (y )
P (x ) ⋅ P (y| x )
∑ P (x' ) ⋅ P (y| x' )
x'
X
Es decir, conociendo P(x) y P(y|x) calculamos P(x|y)
1
Probabilidad y Estadística en Medicina
UNED
Teorema de Bayes. Ejemplo
X
X
X
X
X
La enfermedad pediátrica A tiene una prevalencia del 3%.
El 80% de las personas adultas que padecieron A en su
infancia desarrollan la enfermedad B.
Solamente el 1% de las personas que no padecieron A en su
infancia desarrollan B.
Tenemos un paciente que presenta la enfermedad B. ¿Cuál es
la probabilidad de que padeciera A en su infancia?
Solución:
P ( + b)
=
P ( + b|+ a ) ⋅ P ( + a ) + P ( + b| ¬ a ) ⋅ P ( ¬ a )
=
0'80 ⋅ 0'03 + 0'01⋅ 0'97 = 0'024 + 0'0097 = 0'0337
P ( + a|+ b ) =
=
P ( +a ) ⋅ P ( + b|+ a )
P ( + b)
0'03 ⋅ 0'8
= 0'7122
0'0337
Conceptos básicos en medicina
Enfermedad E, hallazgo H
X
Prevalencia: P(+e)
X
Sensibilidad: P(+h|+e)
X
Especificidad: P(¬h|¬e)
X
Incidencia absoluta
= nuevos casos / período de tiempo
X
Incidencia relativa
= nuevos casos / ( período de tiempo × nº
habitantes )
Ejemplo: 13’73 casos de IAM / año × 10.000
habitantes
·
En situaciones estables:
2
Probabilidad y Estadística en Medicina
UNED
Valor predictivo de un hallazgo
X
Valor predictivo positivo: P(+e|+h)
P ( + e ) ⋅ P ( + h|+ e )
P ( + e ) ⋅ P ( + h|+ e ) + P ( ¬ e ) ⋅ P ( + h | ¬ e )
P ( + e |+ h ) =
VPP =
X
P rev ⋅ S e ns
P re v ⋅ S ens + (1 − P re v ) ⋅ (1 − E sp ec )
Valor predictivo negativo: P(¬e|¬h)
P ( ¬ e| ¬ h ) =
VPN =
P ( ¬ e ) ⋅ P ( ¬ h| ¬ e )
P ( + e ) ⋅ P ( ¬ h|+ e ) + P ( ¬ e ) ⋅ P ( ¬ h| ¬ e )
( 1 − P re v) ⋅ E s p e c
P re v ⋅ ( 1 − S e n s ) + ( 1 − P re v ) ⋅ E s p e c
Ejemplo
Prev
0’01
0’08
0’01
0’01
Sens
0’99
0’99
0’999
0’99
Espec
0’99
0’99
0’99
0’999
Vpp
0’5
0’84
0’502
0’9
Vpn
0’9999
0’9995
0’99999
0’9999
3
Probabilidad y Estadística en Medicina
UNED
Advertencia
X
¡Mucho cuidado al hablar de la fiabilidad de un test!
X
Ejemplo:
³ La prevalencia de X es el 1‰
→ P(+x) = 0’001
³ La sensibilidad de Y es el 98% → P(+y|+x) = 0’98
³ La especificidad de Y es el 96% → P(¬y|¬x) = 0’96
³ Por tanto, la fiabilidad de Y es:
F = P(+x,+y) + P(¬x,¬y)
= P(+y|+x) · P(+x) + P(¬y|¬x) · P(¬x)
= 0’98 · 0’001 + 0’96 · 0’999 = 0’96002
³ Es decir, la prueba Y determina el valor correcto de X
en el 96% de los casos.
³ Sin embargo, un resultado positivo en Y no significa que el
paciente tenga un 96% de probabilidad de padecer X.
³ De hecho, Vpp = P(+x|+y) = 0’024 = 2’4% ≠ 96%
Forma racional del teorema de Bayes
P ( + e ) ⋅ P ( h |+ e )

P ( + e ) ⋅ P ( h |+ e ) + P ( ¬ e ) ⋅ P ( h | ¬ e ) 



P ( ¬ e ) ⋅ P ( h| ¬ e )
P ( ¬ e| h ) =
P ( + e ) ⋅ P ( h | + e ) + P ( ¬ e ) ⋅ P ( h | ¬ e ) 
P ( + e| h ) =
⇒
R P p re ≡
P (+e )
P (¬e )
P ( + e| h )
P ( + e ) P ( h |+ e )
=
⋅
P ( ¬ e| h )
P ( ¬ e ) P ( h| ¬ e )
R P post ≡
P ( + e| h )
P (¬ e| h )
RV ≡
P ( h |+ e )
P ( h| ¬ e )
RP = Razón de probabilidad (“odds”)
RV = Razón de verosimilitud (“likelihood ratio”)
R P p o s t = R P p re ⋅ R V
4
Probabilidad y Estadística en Medicina
UNED
Ejemplo
P ( + e ) = 0 '0 3
⇒
R P p re =
R P p o s t = R P p re ⋅ R V
h
severo
m oderado
leve
ausente
P(h|+e)
0’35
0’45
0’16
0’04
P ( + e| h ) =
P(h|¬e)
0’01
0’03
0’16
0’80
0 '0 3
= 0 '0 3 0 9
1 − 0 '0 3
P ( + e| h ) =
RV
35
15
1
0’05
R P post
1 + R P post
RP post
1’0825
0’4640
0’0309
0’0015
P(+e|h)
0’5198
0’3169
0’0300
0’0015
P ( + e ) ⋅ P ( h |+ e )
P ( + e ) ⋅ P ( h | + e ) + ( 1 − P ( + e )) ⋅ P ( h | ¬ e )
5