Apéndices. 1 Apéndice A1 Análisis del sistema de Lorenz. 1

Ap én d ic e s.
215
Apéndice A1
Análisis del sistema de Lorenz.
El sistema de Lorenz está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales [Lorenz, 1963],
 x1   ( x 2  x1 ),

 x 2   x1 x3  x3  x 2 ,
 x  x x  x .
1 2
3
 3
(A1.1)
donde x1 , x2 , x3 representan las variables de estado del sistema y  ,  ,   0 son
sus parámetros. Este sistema es un sistema disipativo ya que la divergencia de su
campo vectorial es negativa,
x1 x 2 x 3


     1  0 .
x1 x2 x3
(A1.2)
El sistema de Lorenz tiene tres puntos de equilibrio, E , E  y E  : el primer
punto de equilibrio E está situado en el origen (0,0,0) y los otros dos, E  y E  ,
tienen respectivamente como coordenadas,
( x1 , x2 , x3 )  (  (   1) ,  (   1) ,   1) .
El comportamiento físico interesante de este sistema ocurre cuando variamos
el parámetro de control  . Cuando   1 , todas las órbitas del campo vectorial
dado por (A1.1) tienden al punto fijo situado en el origen ( x1 , x2 , x3 )  (0,0,0). A
medida que se va incrementando el parámetro  más allá de la unidad, el (0,0,0)
pasa a ser inestable dando lugar, tras una bifurcación de Pitchfork en   1 , a dos
puntos fijos, estables, y simétricos E  y E  . Para todo   1 , la geometría del
comportamiento asintótico del sistema es la misma ya que todas las condiciones
iniciales tienden al origen E.
217
218
Apéndice A1
Para   1, se observan dos comportamientos. El primero, asociado a valores
de  menores que un cierto valor  H  ( (   )  3 ) /(    1) , valor para
el cual los puntos de equilibrio E  y E  pierden su estabilidad tras una
bifurcación de Hopf. Dentro de este rango de valores del parámetro  , todas las
órbitas terminan en uno de los dos puntos de equilibrio E  ó E  dependiendo de
las condiciones iniciales. La posición de estos puntos de equilibrio varía con los
parámetros.
Cuando    H , la situación cambia drásticamente. Los dos puntos fijos E 
y E  pasan a ser inestables y nuevos comportamientos pueden surgir. Para
estudiar estos comportamientos se considera el análisis dinámico del sistema
(A1.1).
La linealización del sistema (A1.1) en la proximidad del origen (0,0,0) nos
proporciona los siguientes autovalores :
  
.
1
   ((  1)  (  1) 2  4(  1) )
2
(A1.3)
asociados a la matriz Jacobiana,


 
 0


0 

1 0  .
0   
(A1.4)
Los autovalores  y   son siempre negativos; el autovalor   cambia de
negativo a positivo cuando  pasa por el valor 1. Para   1 el origen pierde su
estabilidad dando lugar a los dos nuevos puntos de equilibrio E  y E  . En la
Figura A1-1(a) se muestra la evolución, en función del parámetro de los citados
autovalores. Los parámetros  y  han sido fijados en los valores 16 y 4
respectivamente.
De modo similar, la linealización del sistema (A1.1) en la proximidad del
punto de equilibrio E  nos proporciona el siguiente sistema de autovalores,
3  2 (    1)   (  )  2(  1)  0
(A1.5)
Apéndice A1
219
asociado a la matriz Jacobiana,
 

   x3
 x
 2

0 

 1  x1  ,
x1   
(A1.6)
donde ( x1 , x2 , x3 )  (  (   1) ,  (   1) ,   1) .
El valor de para el cual la solución de la ecuación (A1.5) tiene un autovalor
real negativo  combinado con dos autovalores imaginarios puros,   i ,
corresponde al valor de bifurcación descrito anteriormente por  H . La evolución
en función del parámetro  de los autovalores del sistema (A1.5) se muestra en la
Figura A1-1(b). El punto de equilibrio E  es simétrico, con partes reales iguales
de los autovalores.
En la Figura A1.2 hemos representado el diagrama de bifurcación del sistema
de Lorenz de la ecuación (A1.1) asociado al mínimo local de la variable x1 para
valores de   16 ,   4 y para valores de  entre 5 y 50.
A pesar de que sería normal que la bifurcación de Hopf en  H diera lugar a
ciclos límites estables para H    C , donde  C es un cierto valor para el cual
los ciclos límites pasan a ser inestables, eso no ocurre en el modelo de Lorenz. De
hecho, cuando    H , el sistema de Lorenz no tiene ni puntos de equilibrio
estables, ni ciclos límites estables ni órbitas casi-periódicas estables. Pero, el
hecho de que las órbitas estén atraídas irreversiblemente dentro de una región
acotada del espacio de estados, sugiere intuitivamente la existencia de un atractor
en alguna parte de dicho espacio de estados, atractor donde ningún movimiento
periódico o casi-periódico estable es posible. Un atractor de estas características
se le llama atractor extraño.
El atractor del sistema de Lorenz de la ecuación (A1.1) con parámetros
  16 ,   4 ,   45.92 , así como la evolución temporal de sus variables de
estado se encuentran recogidos en las gráficas de la Figura A1-3.
220
Apéndice A1
Figura A1- 1: (a) Evolución en función de  de las partes reales de los autovalores del origen E .
(b) Evolución en función de  de las partes reales de los autovalores del punto de equilibrios E 
(ó E  ).
Apéndice A1
221
Figura A1- 2: Diagrama de bifurcación del sistema de Lorenz. El parámetro  ha sido variado
entre 5 y 50. La coordenada X representa el valor absoluto del mínimo local de la variable x 1 .
Figura A1- 3: (a) Evolución temporal de las tres variables del sistema de Lorenz. (b) Disposición
de sus puntos de equilibrio (estrellas rojas) con respecto a su atractor en el espacio de estados.
Apéndice A2
Análisis del sistema de Rössler.
El sistema de Rössler está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales,
 x1   x 2  x3 ,

 x 2  x1  ax2 ,
 x  b  ( x  c) x ,
1
3
 3
(A2.1)
donde x1 , x2 , x3 representan las variables de estado del sistema y a, b, c son sus
parámetros.
Este modelo tiene dos puntos de equilibrio, E  y E  , que existen sólo
cuando   c 2  4ab  0 , y cuyas coordenadas están dadas respectivamente por,
1
1
1
( x1 , x 2 , x3 )  ( (c   ),
(c   ),
(c   )) ,
2
2a
2a
(A2.2)
La linealización del sistema (A2.1) en la proximidad de los puntos de
equilibrio proporciona el siguiente sistema de autovalores:
a3  2 a( x1  c)   ( x3  1)  ax3  ( x1  c)  0 ,
(A2.3)
asociados a la matriz Jacobiana,
0

1
 x
 3
1
a
0
1 

0 ,
x1  c 
(A2.4)
y cuya solución proporciona autovalores, relativos respectivamente a los puntos
de equilibrio E  y E  , que pueden escribirse de la siguiente forma,




1, 2    i
 


 3  
(A2.5)



1, 2    i
 


 3  
(A2.6)
223
224
Apéndice A2
En la Figura A2-1 se muestra la evolución, en función del parámetro c, de las


partes reales de los autovalores respectivos a los puntos de equilibrio E y E .
Figura A2- 1: Diagrama de bifurcación de los autovalores dados respectivamente por las
ecuaciones (A2.5) y (A2.6) para una amplia gama de valores del parámetro c. Las gráficas (a) y (b)


muestran las partes reales de los autovalores asociados a los punto de equilibrio E y E .
Fijando dos de los parámetros de Rössler, por ejemplo a y b, y variando el
tercer parámetro c, podemos ver uno de los escenarios que conducen hacia el caos,
conocido como duplicación de periodo de Feigenbaum. Para valores pequeños de
c, el atractor de Rössler consiste en una órbita periódica o ciclo límite que tiene un
sólo mínimo local. A medida que vamos incrementando el parámetro c, el ciclo
límite va duplicando su periodo y como consecuencia, sus mínimos locales hasta
alcanzar un límite en el cual las trayectorias nunca se repiten lo que corresponde
al atractor caótico de Rössler.
En la Figura A2-2 hemos representado las proyecciones del atractor de
Rössler en el plano ( x1 , x2 ) para diferentes valores del parámetro c. Los
parámetros a y b han sido fijados en los valores a  0.2 y b  0.2 . Como se
puede apreciar en la Figura A2-2, a medida que incrementamos el valor del
parámetro c, el sistema de Rössler evoluciona de forma tal que las oscilaciones
Apéndice A2
225
van duplicando su período hasta alcanzar un régimen caótico donde las
oscilaciones nunca se repiten.
Figura A2- 2: Proyecciones del atractor de Rössler en el plano
( x1 , x2 ) para diferentes valores del
parámetro c.
En la Figura A2-3 hemos representado el diagrama de bifurcación del sistema
de Rössler para valores del parámetro c entre 1 y 10 y para los mismos valores del
los parámetro a y b considerados en la Figura A2-2. En este diagrama podemos
ver el rango de valores del parámetro c que corresponden al régimen caótico.
La evolución temporal de las tres variables del sistema de Rössler dado por la
ecuación A2.1 con parámetros a  0.2 , b  0.2 y c  5.7 así como su atractor en
el espacio de estados están recogidos en las gráficas de la Figura A2-4.
226
Apéndice A2
Figura A2- 3: Diagrama de bifurcación del sistema de Rössler. El parámetro c ha sido variado
entre 1 y 10. La coordenada X representa el valor absoluto del mínimo local de la variable x 1 .
Figura A2- 4: (a) Evolución temporal de las tres variables del sistema de Rössler. (b) Disposición
de sus puntos de equilibrio (estrellas rojas) con respecto a su atractor en el espacio de estados.
Apéndice A3
Análisis del sistema de Chua.
Para realizar un estudio analítico del circuito eléctrico de Chua, se ha
desarrollado el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.
x1  x 2  x13  cx1 ,
x 2  x1  x3  x 2 ,
(A3.1)
x 3   x 2 ,
donde x1 , x2 , x3 representan las variables de estado del sistema de Chua y , , c
son sus parámetros. Este modelo tiene tres puntos de equilibrio, E, E  y E  ; el
primero situado en el origen (0,0,0) y los dos otros tienen respectivamente como
coordenadas ( x1 , x2 , x3 )  (  c , 0,   c ) . Los puntos de equilibrio E  y
E  existen sólo para valores positivos del parámetro c.
La linealización del sistema (A3.1) en la proximidad del punto equilibrio E
proporciona la siguiente ecuación de autovalores:
3  2 a(c  1)  (c    )  c  0
(A3.3)
asociada a la matriz Jacobiana,
  c 

1
 1
 0


0

1 ,
0 
(A3.4)
Para valores de los parámetros   16 y c  0.143 , hemos analizado el
diagrama de bifurcación de los autovalores de la ecuación (A3.3) en función del
parámetro  cuyos valores han sido variados entre –10 y 10. Los resultados
numéricos están representados en la Figura A3-1 donde podemos detectar un
punto de bifurcación para   0 en el cual el autovalor real negativo pasa a ser
positivo provocando la inestabilidad del punto de equilibrio E que permanece
inestable para una amplia gama de valores del parámetro .
227
228
Apéndice A3
Figura A3- 1: Evolución en función del parámetro
 de las partes reales de los autovalores del
punto de equilibrio E frente a sus partes imaginarias.
De modo similar, hemos analizado el diagrama de bifurcación de los
autovalores de la matriz Jacobiana,
  3x12  c 

1
1


0


0

1
0 
(A3.5)
en la proximidad de los puntos de equilibrio E  y E  , para valores de
 10    10 y   16, c  0.143 . Los resultados están representados en la
Figura A3-2. Inicialmente, para valores de   0 , los puntos de equilibrio
consisten en dos espirales que permanecen en un estado inestable hasta un valor
de   0 en donde se produce una bifurcación de tipo Pictchfork que los vuelve
estables. A medida que vamos incrementando el parámetro , los puntos de
equilibrio experimentan una nueva bifurcación de tipo Hopf que corresponde a un
valor de   7.3 .
Apéndice A3
Figura A3- 2: Evolución en función del parámetro
229
 de las partes reales de los autovalores del
punto de equilibrio E  ( o E  ) frente a sus partes imaginarias.
La evolución temporal de las tres variables del sistema de Chua con
parámetros   10,   16, c  0.143 así como la proyección de su atractor en el
espacio de estados están recogidos en las gráficas de la Figura A3-3.
Figura A3- 3: (a) Evolución temporal de las tres variables del sistema de Chua. (b) Disposición de
sus puntos de equilibrio (estrellas rojas) con respecto a su atractor en el espacio de estados.