PROBLEMA 4 DE LA UNIDAD 1 RESUELTO POR ENERGÍA

1
PROBLEMAS 4 Y 5 DE LA UNIDAD 1 RESUELTOS POR ENERGÍA
4) Cuatro cuerpos cargados positivamente, dos
con carga Q y dos con carga q, están
conectados mediante cuatro hilos inextensibles
de la misma longitud. En ausencia de fuerzas
externas adoptan la configuración de equilibrio
de la figura.
Q
3
2
2
Demuestre que: tan = q /Q .
Este problema, que se puede resolver aplicando
la ley de Coulomb y la condición de equilibrio
de fuerzas en cada vèrtice, también se puede
resolver utilizando el concepto de energìa potencial
q

Q
q
Podemos pensar que la energía potencial del sistema es la energía necesaria para colocar a esas cuatro
cargas en esas posiciones relativas. Luego colocamos los hilos para impedir que las cargas que la
repulsión de las cargas las aleje entre sí. Es imposible “armar” un sistema que se mantenga en equilibrio
sólo con partículas cargadas. La repulsión o la atracción entre ellas inexorablemente tienden a desarmar el
sistema.
También podemos imaginar que armamos el sistema con lo hilos incluidos pero formando un rombo
donde el ángulo entre los lados tenga un valor arbitrario. Entonces si lo liberamos, el sistema tiende a una
forma donde el ángulo  tomará el valor que satisface la expresión tan3= q2/Q2
Esta configuración es la que corresponde al equilibrio estable y por lo tanto a un mínimo de la función
energía potencial.
Escribamos la energía potencial de este sistema de 4 partículas cargadas. La expresión general es
U
1
4 o

i j
qi q j
rij
En este caso tendrá 6 términos. Un término corresponde a la carga Q con la otra
carga Q en el vértice opuesto separada por la distancia D (diagonal mayor del rombo). Otro término
corresponde a la carga q con la carga q del vértice opuesto separadas por la distancia d (diagonal menor
del rombo). Luego Q con q separadas por L (largo del hilo) 4 veces…
Q 2 q 2
Qq 

4


4 o  D
d
L 
q2
Qq 
1  Q2
U

4


4 o  2 L cos 2 Lsen
L 
U
1
La única variable de esta expresión es el ángulo , tanto Q, como q y el largo L de los hilos son
constantes. Es decir la energía potencial de la configuración de cargas toma distintos valores según cuál
sea el valor del ángulo . Si este ángulo vale 0 las dos cargas q están “pegadas” y en el centro entre Q y
Q. Es decir D = 2L y d = 0. Si el ángulo es 90, Q está pegada con Q y las otras dos q en los extremos de
un segmento vertical de longitud 2L.
Cuál es el ángulo que asegura que el equilibrio será estable. Será aquel valor de  que minimice a la
función U. Entonces:
2

dU
1  Q  1
 sen   q  12 cos   0  0


2
d 4 0  2 L cos 
2 L sen 

Q 2 sen
q 2 cos

0
2 L cos2  2 L sen 2
2
2
De esta última expresión fácilmente se obtiene:
q
tg    
Q
2
3
a) ¿Cuánto vale el ángulo  si q = Q? ¿Qué figura se forma? ¿Es plausible que sea así?
b) ¿Cuánto vale el ángulo  si q es la mitad de Q?
c) ¿Y si q es la tercera parte?
d) Si q << Q, ¿a qué valor tiende el ángulo ?
_______________________ . ________________________
5) Dos cargas muy pequeñas de masas iguales m y cargas
iguales q están suspendidas del mismo punto por hilos de
igual longitud L. El sistema se mantiene en equilibrio. a)
Hallar la expresión que debe satisfacer el ángulo  que
cada hilo (de masa nula) forma con la vertical

m
m
q
q
Como ya hemos visto, el ángulo cumple con esta
condición se puede determinar planteando el equilibrio de fuerzas sobre cada bolita. Es decir la resultante
entre la fuerza de repulsión electrostática, la tensión del hilo y el peso debe ser nula.
Pero si plantemos la energía potencial de este sistema en función del ángulo y minimizamos la función,
deberíamos obtener el mismo resultado. Sólo que en este caso la energía potencial será una función que
tendrá términos electrostáticos y términos gravitatorios.
Tomaremos como nivel cero para la energía potencial gravitatoria el punto más bajo al que pueden encontrar
las cargas puntuales. Si no estuvieran cargadas estarían a una distancia L del punto de sujeción de los hilos.
Cuando los hilos están separados un ángulo cada partícula se encuentra a una altura h respecto al nivel de
referencia adoptado. Entonces:
U
q2
 2 m gh
4 o d
1
d  2 L sen
h  L  L cos
q2
U
 2 m g  L(1  cos )
4 o 2 L sen
1
Ya tenemos la expresión de la energía potencial del sistema en función del ángulo Todos los demás
símbolos representan constantes. Para que esta función U= f(tenga un mínimo su derivada debe ser nula:
3
dU
1 q 
1


 cos   2m gL sen  0

2
d 4 o 2 L  sen 

2
cos
 2m gL sen  0
8 o L sen 2
q2
cos
 4m gL sen
4 o L sen 2
q2
Haciendo algunos pasos matemáticos llegamos a que:
tg  sen2 
q2
4 0 4L2 mg
1
El mismo resultado que figura en el problema 5 de la unidad 1.