TRIGONOMETRÍA (REPASO). EJERCICIOS RESUELTOS. 1.- En el siguiente triángulo rectángulo, determina: a) Las razones trigonométricas del ángulo (seno, coseno, tangente y sus inversas). b) La medida del ángulo . Expresa el resultado en el Sistema Sexagesimal (en forma compleja: grados, minutos y segundos) y en el Sistema Internacional (en radianes). B a c = 9 cm C A b = 12 cm a) Hallamos la longitud de la hipotenusa: a b 2 c 2 122 9 2 15 cm sen 9 0,6 15 cosec cos 12 0,8 15 sec 9 0,75 12 cotg tg b) tg 9 12 arc tg Calculadora: TAN-1 (9/12) 1 15 sen 9 1 15 cos 12 1 12 tg 9 9 36,87º 36º 52'12' ' 0,64 rad 12 Modo DEG (Sistema sexagesimal) Para pasar de º a rad 36,87º 180º Modo RAD (Radianes) 0,2 rad 0,64 rad Nota: Para expresar un ángulo en radianes se suele dejar en función de e indicaremos 0,2 rad en lugar de 0,64 rad 2.- Se sabe que un faro tiene una altura, sobre el nivel del mar, de 196 m. Desde un barco situado en el mar se ve el faro bajo un ángulo de 14º 16’ 32’’ (como se observa en la siguiente figura). ¿A qué distancia se encuentra el barco de la costa? x tg 14º 16' 32' ' 196 x x 196 770.3 m tg 14º 16' 32' ' 1 3.- Resolver los siguientes triángulos rectángulos: ˆ 35º a) c = 15 cm y A Cˆ 90º Aˆ 90º 35º 55º a tg Aˆ c c cos Aˆ b b a c tg Aˆ 15 tg 35º 10,5 cm c cos Aˆ 15 18,3 cm cos 35º b) a = 5 cm y b = 8 cm c b 2 a 2 82 52 39 6,245cm a 5 sen Aˆ sen Aˆ b 8 5 Aˆ arc sen 38º 40' 56' ' 8 Cˆ 90º Aˆ 90º38º 40' 56' ' 51º 19' 04' ' c) b = 24 cm y Cˆ 62º45'12' ' Aˆ 90ºCˆ 90º62º 45'12' ' 27º 14' 48' ' a cos Cˆ b a b cos Cˆ 24 cos 62º 45'12' ' 10,99 cm c sen Cˆ b c b sen Cˆ 24 sen 62º 45'12' ' 21,34 cm 4.- Determina el perímetro y el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 16 cm de radio. Se determina el ángulo central 360º 72º 5 2 36º Se halla el lado del pentágono. x x 16 sen 36º 9,4 cm 16 l 2 x 2 9,4 18,8 cm sen 36º 16 cm a x Hallamos el perímetro del pentágono. P n l 5 18,8 94 cm Para determinar el área, hallamos previamente la apotema: cos 36º A a 16 a 16 cos 36º 12,94 cm P a 94 12,94 608,18 cm 2 2 2 2 5.- Determina el área de los siguientes triángulos: 8 cm h 32º 12 cm 8 cm 12 cm 14 cm h 60º 62º x 8 cm h 24 cm b a) Determinamos la altura. Como es un triángulo equilátero sus 3 ángulos internos son iguales 180º 60º 3 A h 8 sen 60º 6,93 cm b h 8 6,93 27,72 cm 2 2 2 b) Determinamos la base y la altura: x 12 sen16º 3,3 cm b 2 x 6,6 cm h 12 cos 16º 11,5 cm A b h 6,6 11,5 37,95 cm 2 2 2 c) Determinamos la altura: h 14 sen 62º 12,36 cm A b h 24 12,36 148,32 cm 2 2 2 6.- Calcula la altura del puente, sabiendo que tiene 24 m de largo. 24 m x h Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes): tg 40º h x h tg 47º 24 x h 24 x tg 47º h x tg 40º igualando ambas expresiones: 3 x tg 40º 24 x tg 47º x tg 40º 24 tg 47º x tg 47º x tg 40º x tg 47º 24 tg 47º x tg 40º tg 47º 24 tg 47º x 24 tg 47º 13,46 m tg 40º tg 47º h x tg 40º 1 3,46 tg 40º 11,3 m 7.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 metros hacia el pie de la torre, su punto más alto se ve bajo un ángulo de 60º. Determina la altura de la torre. h 60º 30º x 75 m Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes): tg 60º h x tg 30º h 75 x h 75 x tg 30º h x tg 60º igualando ambas expresiones: x tg 60º 75 x tg 30º x tg 60º 75 tg 30º x tg 30º x tg 60º x tg 30º 75 tg 30º x tg 60º tg 30º 75 tg 30º x 75 tg 30º 37,5 m tg 60º tg 30º h x tg 60º 37,5 tg 60º 65 m 4 8.- Desde un faro situado a 50 metros sobre el nivel del mar se observan dos barcos: uno se ve bajo un ángulo de depresión de 30º y otro (alineado con el primero y con el faro) bajo un ángulo de depresión de 10º. Calcula la distancia que hay entre los dos barcos. 50 m 30º 10º y x tg 30º 50 y tg 10º 50 x y x y 50 86,6 m tg 30º tg 10º 50 x 86,6 x 86,6 50 tg 10º 50 86,6 197 m tg 10º 9.- Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un plano vertical entre ellos. La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los dos observadores son 48º y 32º, respectivamente. Determinar la altura del globo y la distancia del globo a cada observador. C a b 48º A h x 32º 4-x 4 Km B Resolveremos el problema utilizando el método de la doble observación (o de las tangentes): tg 48º h x h tg 32º 4x h 4 x tg 32º h x tg 48º igualando ambas expresiones: x tg 48º 4 x tg 32º x tg 48º 4 tg 32º x tg 32º x tg 48º x tg 32º 4 tg 32º x tg 48º tg 32º 4 tg 32º 4 tg 32º x 1,44 Km tg 48º tg 32º h x tg 48º 1, 44 tg 48º 1,6 Km a h 2 (4 x) 2 1,6 2 (4 1,44) 2 3 Km b h 2 x 2 1,6 2 1,44 2 2,15 Km 5 10.- Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 42º. ¿bajo que ángulo se verá si nos colocamos al doble de distancia? ¿Y si nos colocamos al triple de distancia? h 42º x 2x 3x h x h x tg 42º [1] tg h 2x h 2 x tg [2] tg h 3x h 3 x tg [3] tg 42º Igualando las relaciones [1] y [2] se halla x tg 42º 2 x tg tg tg 42º 0,45 arc tg 0,45 24º 14'15' ' 2 Igualando las relaciones [1] y [3] se halla x tg 42º 3 x tg tg 11.- Sabiendo que cos tg 42º 0,3 arc tg 0,3 16º 42' 23' ' 3 2 y que 5 demás razones trigonométricas del ángulo es un ángulo del segundo cuadrante, determina las . A partir de la relación fundamental de la Trigonometría: sen 2 cos 2 1 2 2 1 1 4 1 1 sen sen 1 cos 1 5 5 5 5 5 2 Como 2 es un ángulo del segundo cuadrante ( 2 ) la única solución válida es la positiva (el seno es positivo en el segundo cuadrante). Por tanto, sen 1 5 1 tg sen 5 1 cos 2 2 5 seno + + - - Resta calcular cosec , sec y cotg . 6 12.- Sabiendo que tg trigonométricas del ángulo 1 tg 2 4 13 . 2 1 3 1 2 cos 2 1 cos 2 cos 2 3 y que 180º 270º , determina las demás razones 2 cos 1 9 1 4 cos 2 13 1 4 cos 2 4 2 13 13 Como en el tercer cuadrante el coseno es negativo, la única solución válida es la negativa: cos 2 13 Para hallar el seno: tg sen cos cosec sen tg cos 1 13 sen 3 sec 13.- Sabiendo que sen trigonométricas del ángulo . 3 2 3 2 13 13 1 13 cos 2 cotg α 1 2 tg 3 3 3 y que , determina las demás razones 5 2 Igual que el ejercicio nº 11 14.- Sabiendo que cotg trigonométricas del ángulo tg . 4 y que 270º 360º . Determina el resto de razones 3 1 3 y se sigue el mismo procedimiento que en el ejercicio nº 12 cotg 4 15.- Completa la siguiente tabla: 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º sen 0 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 tg 0 0 0 1 3 1 3 7 16.- Calcula (sin hacer uso de la calculadora): Ver apuntes (Circunferencia goniométrica y Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: ángulos suplementarios, ángulos complementarios, etc.). a ) sen 120º sen 60º 3 2 Nota: 120º y 60º son dos ángulos suplementarios (suman 180º). b) cos 150º cos 30º 3 2 Nota: 150º y 30º son dos ángulos suplementarios (suman 180º). c) tg 135º sen 135º sen 45º tg 45º 1 cos 135º cos 45º Nota: 135º y 45º son dos ángulos suplementarios (suman 180º). d ) sen 210º sen 30º 1 2 Nota: 30º y 210º son dos ángulos que difieren en 180º. e) cos 300º cos 60º cos 60º 1 2 Nota: 60º y - 60º son dos ángulos opuestos (300º = - 60º) f ) tg 240º sen 240º sen 60º tg 60º 3 cos 240º cos 60º Nota: 60º y 240º son dos ángulos que difieren en 180º. g ) sen 330º sen (30º ) sen 30º 1 2 Nota: 30º y - 30º son dos ángulos opuestos (330º = - 30º) h) cos 60º cos 60º 1 2 Nota: 60º y - 60º son dos ángulos opuestos. i ) tg 120º tg 240º sen 240º sen 60º tg 60º 3 cos 240º cos 60º 17.- Sabiendo que sen a y cos b (donde a y b son valores conocidos y es un ángulo del primer cuadrante), determina las razones trigonométricas de los siguientes ángulos (en función de los valores a y b ): a) sen DC AB sen a b) cos OD OA cos b c) tg sen sen a cos cos b 8 d ) sen DC OA cos b 2 e) cos OD AB sen a 2 sen 2 cos b f ) tg 2 cos sen a 2 g ) sen DC AB sen a h) cos OD OA cos b i ) tg sen sen a a cos cos b b j ) sen 360º AC AB sen a k ) cos OA cos b l ) cotg cos ( ) cos b sen ( ) sen a 18.- Sabiendo que sen a y cos b y que 0º 90º , calcula: a) tg ( ) ) 2 c) cos ( ) d ) sec ( ) b) cosec ( Igual que el anterior 9 19.- Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas: a) 1 tg 2 1 tg 2 1 tg 2 2 tg 2 2 1 cotg 1 1 tg 1 2 tg tg 2 También se puede simplificar de esta forma: sen 2 cos 2 sen 2 sen 2 cos 2 cos 2 tg 2 cos 2 sen 2 cos 2 cos 2 1 sen 2 sen 2 1 b) cos 2 1 sen 2 1 sen 1 sen 1 sen 1 sen 1 sen 1 sen sen 2 2 1 cos cos 2 cos 2 sen 2 cos 2 1 tg 2 1 c) tg cos cos cotg cotg sen sen sen cos sen 2 cos 2 1 d ) sen cos tg cotg sen cos cos sen e) tg 2 tg 2 sen 2 tg 2 1 sen 2 tg 2 cos 2 sen 2 cos 2 sen 2 2 cos 20.- ¿Puedes encontrar algún ángulo cuyo coseno sea igual a la secante? ¿Y cuyo seno sea igual a la secante? cos sec cos 1 cos sen sec sen 1 cos sen cos 1 sen 1 sen 2 1 sen 2 sen 4 1 cos 2 1 sen 2 1 sen 2 1 cos 1 0º 180º sen 2 sen 4 1 sen 4 sen 2 1 0 (bicuadrada) 2 Se hace el cambio x sen x 2 x 1 0 No tiene solución. Por tanto, no se puede encontrar ningún ángulo cuyo seno sea igual a la secante. 10