PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN

PROBLEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE SEGUNDO ORDEN
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES:
CASO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
a y ( t )  b y ( t )  cy ( t )  0
Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:
a  b  c  0
2
De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:
Caso 1:  1   2 , raíces reales y distintas. La solución de la EDO es:
y (t )  C 1 e
1 t
 C 2e
2t
Caso 2:  1   2   , raíces reales e iguales. La solución de la EDO es:
y (t )  C 1 e
t
 C 2 te
t
Caso 3:  1    i  ,  2    i  , raíces complejas conjugadas. La solución de la EDO
es:
y (t )  C 1 e
y (t )  C 1 e
t
1 t
 C 2e
2t
cos  t  C 2 e
(solución compleja)
t
sen  t
(solución real)
Vemos que en cada uno de estos casos existe un espacio de soluciones, resultante de la
combinación lineal de dos funciones. El conjunto de estas dos funciones se conoce
como base de soluciones de la EDO homogénea.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES:
CASO NO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
a y ( t )  b y ( t )  cy ( t )  f ( t )
Para resolverla, se debe hallar primero la solución de la ecuación homogénea asociada:
a y ( t )  b y ( t )  cy ( t )  0
y la solución es de la forma:
y (t )  y c (t )  y * (t ) ,
donde yc es la solución de la homogénea asociada, y y* es una solución particular del
problema no homogéneo que se obtiene a partir de un método adecuado (ver más
abajo).
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A
COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES
INDETERMINADOS
Este método se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos
(finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Son ellas:
 polinomios en t
 función exponencial eht
 combinaciones lineales dedcos(t) y sen(t)
Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación lineal del mismo
tipo de funciones, cuyos coeficientes se determinarán reemplazándola en la EDO.
El caso más general es:
f (t )  e
ht
 p (t ) cos(  t )  q ( t ) sen(  t ) 
donde h,   0 y p(t), q(t) polinomios de grado n.
La función de prueba general es:
y * (t )  e
ht
( k
 k 2 t   k n 1 t ) cos(  t )  ( l1  l 2 t   l n  1 t ) sen(  t )
n
1
n
,
donde k, l son los coeficientes a determinar. Si h + i es raíz de la homogénea asociada
(lo que ocurre cuando esta función de prueba es solución del problema homogéneo),
y*(t) debe multiplicarse por t.
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A
COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS
PARÁMETROS
Es un método más general, y válido aun cuando los coeficientes de la EDO no sean
constantes, sino funciones. En este caso la solución particular toma la forma:
y *  v1 y 1  v 2 y 2
donde v1 y v2 se obtienen del sistema:
 v 1 y 1  v 2 y 2  0

f (t )
  
v y  v 2 y 2 
 1 1
a
donde y1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea
asociada. Estas funciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben
cumplir con la condición:
W 
y1
y2
y 1
y 2
 0
Esto es, su determinante Wronskiano no debe ser idénticamente nulo.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.) Variación de los parámetros. La posición y la aceleración, en función del tiempo, de
una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la
ecuación diferencial
x ( t )  a ( t )  tg t  0
(unidades mks)
Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la partícula
si la misma parte del origen con una velocidad de 3 m/s.
SOLUCIÓN
Expresando la aceleración como la derivada segunda de la posición y reordenando la
ecuación tenemos:
x ( t )  x ( t )  tg t
Hallemos primero la solución de la ecuación homogénea asociada. Es ésta:
x ( t )  x ( t )  0
La ecuación característica es:
  1  0       i  x c  C 1 cos t  C 2 sen t
2
Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que,
por el tipo de función excitación, deberemos usar En vista de la base de soluciones del
problema homogéneo halladas, será:
x *  v 1 cos t  v 2 sen t
Hallemos ahora v1 y v2:

 v 1 cos t  v 2 sen t  0
sen t

 v 1 sen t  v 2 cos t  tg t 

cos t

multiplica ndo arriba por sen t
y abajo por cos t


 v 1 cos t sen t  v 2 sen

  v 1 sen t cos t  v 2 cos
2
t  0
2
t  sen t
2
t
Si ahora sumamos las dos ecuaciones de este último sistema tendremos.
Re emplazando
en la
primera ecuación

v 2  sen t  v 2   cos t

v 1 cos t sen t  sen
3
t  0  v 1  
sen

cos t
tablas
1  cos t
2
 
cos t
 cos t 
1
cos t

 v 1  sen t  log sec t  tg t
Con las funciones v1 y v2 así obtenidas podemos escribir:
x *  v 1 cos t  v 2 sen t  sen t  log sec t  tg t  cos t  cos t sen t  log sec t  tg t  cos t
con lo cual la solución general del problema no homogéneo es:
x  x c  x *  C 1 cos t  C 2 sen t  log sec t  tg t  cos t
Las condiciones iniciales indican que cuando t es 0 , x = 0 y v = 3. De esta manera,
podemos escribir:
x ( 0 )  C 1 cos 0  C 2 sen 0  log sec 0  tg 0 cos 0  C 1  0
v ( 0 )  x ( 0 )   C 1 sen 0  C 2 cos 0  1  log sec 0  tg 0 sen 0  C 2  1  3  C 2  2
Con estos valores de la constante tenemos, finalmente:
x  2 sen t  log sec t  tg t  cos t
Que es la solución al problema de valores iniciales planteado.
2.) Coeficientes indeterminados. Resolver el problema de valores iniciales:
x ( t )  2 x ( t )  2 x ( t )  e
t
cos t
x ( 0 )  x ( 0 )  0
SOLUCIÓN
Primero resolvemos la ecuación homogénea asociada. La ecuación característica será:
2
  2  2  0   
2
2  4 1  2
2
t
 1  i  x c  C 1e
2
cos t  C 2 e
t
sen t
Ahora nos toca hallar la solución particular del problema no homogéneo. Vemos que la
función excitación es un producto de una exponencial por un coseno, por lo cual
podemos intentar hallar la solución particular por el método de los coeficientes
indeterminados. La función excitación es e-tcost, de modo que normalmente
propondríamos como función de prueba una combinación lineal de senos y cosenos, Aet
cost + Be-tcost. Sin embargo, en este caso particular ésta sería una solución del
problema homogéneo, por lo cual debemos multiplicarla por la variable t. Obtenemos
así:
x ( t )  Ate
t
cos t  Bte
t
x  ( t )  Ae
t
cos t  Ate
t
x  ( t )   Ae
 Ate
t
 Bte
t
t
cos t  Ae
cos t  Be
cos t  Bte
  2 Ae
t
t
sen t
t
sen t  Ae
sen t  Be
t
t
cos t  Ate
t
t
sen t  Be
t
t
cos t  Ate
cos t  Be
t
sen t  Bte
t
cos t  Ate
sen t  Bte
t
sen t  Bte
t
t
sen t  Ae
sen t  Bte
t
cos t
t
sen t  Ate
cos t  Be
t
t
sen t 
cos t 
sen t 
cos t  2 Ae
t
sen t  2 Ate
t
sen t  2 Be
t
sen t  2 Be
t
cos t  2 Bte
t
cos t
Con estas expresiones podemos reemplazar en la EDO del enunciado y obtener:
x   2 x   2 x   2 Ae
 2 Ae
t
cos t  2 Ate
t
t
t
cos t  2 Ae
cos t  2 Ate
t
sen t  2 Ate
sen t  2 Be
t
igualando
función
 2 Bte
t
sen t   2 Ae
t
sen t  2 Be
t
t
sen t  2 Be
sen t  2 Bte
t
sen t  2 Be
t
sen t  2 Bte
t
cos t  2 Bte
t
cos t 
cos t  2 Ate
t
cos t 
con la
excitación

cos t
t

e
t
cos t  A  0 , B  
1
2
De modo que una solución particular al problema no homogéneo será:
t
x * ( t )   12 e t sen t  x ( t )  x c ( t )  x * ( t )  C 1 e
t
cos t  C 2 e
t
sen t 
1
2
t
e t sen t
Queda como ejercicio para el lector deducir a partir de las condiciones iniciales que las
constantes deben ser nulas y obtener que x ( t )   12 e  t t sen t .
Como se ve, este método puede requerir derivaciones algo complicadas.
3.) Sistema masa-resorte. Un sistema masa-resorte está caracterizado por los siguientes
valores: masa m = 0,2; constante del resorte k = 80; constante de amortiguamiento h = 2.
Si se aplica una excitación F(t) = 2cos30t, obtener el estado estacionario de la respuesta,
expresándolo en la forma x(t) = Acos(t - ).
SOLUCIÓN
El cuerpo se mueve bajo la acción de 3 fuerzas: F, la del resorte y la del amortiguador.
La del resorte es proporcional y de signo contrario al desplazamiento, mientras que la de
amortiguación es proporcional y de signo contrario a la velocidad. En otras palabras:
F
i
 F  F resorte  F amortiguad
or
 F  (  kx )  (  hv )  F  kx  hv
i
Por otro lado, y según la segunda ley de Newton, esta sumatoria debe ser igual a la masa
por la aceleración. Si además tenemos en cuenta que la velocidad y la aceleración son la
derivada primera y segunda de la posición, tendremos:
datos

F  kx  hv  ma  ma  hv  kx  F  m x   h x   kx  F  0 , 2 x   2 x   80 x  2 cos 30 t
Esta última es una EDO de 2º orden a coeficientes constantes, no homogénea. Para
resolverla, primero encaramos el problema homogéneo. Planteando la ecuación
característica y resolviendo tenemos:
 
2
2  4  0 , 2  80
2
 5 
0,4
375 i  x c  C 1 e
5t
cos
375 t  C 2 e
5t
sen
375 t
Ahora buscaremos una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que la
función excitación es cosenoidal, y por ende usaremos como función de prueba una
combinación lineal de senos y cosenos.
x *  A cos 30 t  B sen 30 t
x *    30 A sen 30 t  30 B cos 30 t
x *    900 A cos 30 t  900 B sen 30 t
0 , 2 x *   2 x *   80 x *   180 A cos 30 t  180 B sen 30 t  60 A sen 30 t  60 B cos 30 t  80 A cos 30 t 
 80 B sen 30 t  (  100 A  60 B ) cos 30 t  (  60 A  100 B ) sen 30 t  F ( t )  2 cos 30 t 
5
A   340
  100 A  60 B  2
 

 x*  
3
B  340
  60 A  100 B  0
5
340
cos 30 t 
3
340
sen 30 t
De modo que la solución general del problema no homogéneo será:
x  x c  x*  C 1e
5t
cos
375 t  C 2 e
5t
sen
375 t 
5
340
cos 30 t 
3
340
sen 30 t
En el estado estacionario, para tiempos muy grandes, los dos primeros términos tienden
a 0 y podemos escribir:
x est  
5
340
cos 30 t 
3
340
sen 30 t
La manera normal de expresar un movimiento oscilatorio de este tipo es de la forma x(t)
= Acos(t - ). Si aplicamos la identidad trigonométrica del coseno de una suma,
tendremos:
en nuestro caso

A cos(  t   )  A cos  t cos   A sen  t sen 
  30
 A cos   
A sen  
5
340


5
340
cos 30 t 
3
340
sen 30 t 
dividiendo m.a.m.
la 3a. con la 2a.


tg   
3
5
   tg
3
340
1
 53  
2 ,6  A 

5
340
 0 , 01716
cos 2 , 6
De modo que finalmente podemos escribir:
xest = 0,01716cos(30t - 2,6)
Nótese que A, la amplitud del movimiento, es siempre un valor positivo. Por eso
elegimos un  tal que su coseno fuera negativo, de modo que al despejar A nos diera un
número positivo.
4.) Circuito eléctrico. Hallar la corriente que circula en un circuito serie RLC, sabiendo
que R = 120 , L = 10 H, C = 10-3 F si la fuerza electromotriz viene dada por E(t) =
17sen2t V, y si la intensidad cumple las condiciones i(0) = 0, i ( 0 )   201 . Hallar
asimismo la corriente en estado estacionario.
SOLUCIÓN
La intensidad es la derivada de la carga eléctrica Q. Genéricamente se puede escribir
para un circuito RLC:
en nuestro problema
 Q
2
L
t
2
R
Q
t

1

Q  E (t )

 Q
Q
2
10
C
t
2
 120
 1000 Q  17 sen 2 t
t
Ésta es una típica ecuación de 2º orden a coeficientes constantes. Hallamos primero la
solución general del problema homogéneo y luego le sumamos una solución particular
del problema no homogéneo. Para lo primero planteamos:
 
 120 
120
2
 4  10  1000
20
  6  8i  Q c  C 1 e
6t
cos 8 t  C 2 e
6t
sen 8 t
Para la solución particular del problema no homogéneo, podemos usar una función de
prueba:
Q *  A sen 2 t  B cos 2 t
Q *   2 A cos 2 t  2 B sen 2 t
Q *    4 A sen 2 t  4 B cos 2 t
10 Q *   120 Q *   1000 Q *   40 A sen 2 t  40 B cos 2 t  240 A cos 2 t  240 B sen 2 t 
en este problema

 1000 A sen 2 t  1000 B cos 2 t  ( 960 A  240 B ) sen 2 t  ( 240 A  960 B ) cos 2 t
A  601
 960 A  240 B  17
 17 sen 2 t  

 Q* 
1
B   240
 240 A  960 B  0
1
60
sen 2 t 
1
240

cos 2 t
De modo que la solución general del problema no homogéneo es:
Q  Q c  Q *  C1e
6 t
cos 8 t  C 2 e
6 t
sen 8 t 
1
60
sen 2 t 
1
240
cos 2 t
Introduciendo las condiciones iniciales es:
Q   C1 (6e
6 t
cos 8 t  8 e
 Q ( 0 )   6 C 1  8 C 2 
Similarmente,
6 t
1
30
sen 8 t )  C 2 (  6 e
6 t
sen 8 t  8 e
 i (0 )  0  6 C 1  8C 2 
1
30
6 t
cos 8 t ) 
1
30
cos 2 t 
1
120
sen 2 t 
Q   C 1 ( 36 e
48 e
6t
6 t
cos 8 t  48 e
cos 8 t  48 e
6t
6 t
sen 8 t  48 e
cos 8 t  64 e
 Q ( 0 )   18 C 1  96 C 2 
1
60
6t
6 t
sen 8 t  64 e
sen 8 t ) 
 i ( 0 )  
1
20
1
15
sen 2 t 
6 t
1
60
cos 8 t )  C 2 ( 36 e
6 t
sen 8 t 
cos 2 t 
 18 C 1  96 C 2 
1
15
Reuniendo los dos últimos resultados, podemos escribir:
 6 C 1  8C 2 

18 C 1  96 C 2 
1
30
1
15

C2  
C1 
1
3600
7
1350
De modo que la corriente que circula por el circuito vendrá dada por:
Q  Qc  Q* 
7
1350
e
6 t
cos 8 t 
1
3600
e
6 t
sen 8 t 
1
60
sen 2 t 
1
240
cos 2 t
La corriente en estado estacionario vendrá dada por los dos últimos términos de esta
expresión.