Derivada parcial de un campo vectorial respecto de una variable escalar
Derivar un campo vectorial respecto una variable escalar (por ejemplo el tiempo o la frecuencia) no es
nada evidente. Hay un momento en que nos encontramos con la necesidad de derivar los vectores
unitarios de la base del sistema de coordenadas respecto de esa variable escalar. Si trabajamos con
coordenadas cilíndricas o esféricas dicha derivada no tiene por qué ser nula y hay que calcularla, que es
lo difícil del asunto. Para poder calcularla habrá que hacer un cálculo tedioso que involucrará un cambio
a coordenadas cartesianas, al ser este sistema de coordenadas CONSTANTE (vectores unitarios siempre
ocupan la misma posición, lo que no pasa en las coordenadas cilíndricas y esféricas). Veámoslo:
Sea un sistema de coordenadas 3-D con carácter general 𝐵 = {𝑢̂1 , 𝑢̂2 , 𝑢̂3 }. Sea una función vectorial
𝐹⃗ (𝑟⃗, 𝑡). Queremos calcular:
𝜕 𝐹⃗ (𝑟⃗, 𝑡)
𝜕𝑡
Por lo tanto:
3
3
𝑖=1
𝑖=1
𝜕 𝐹⃗ (𝑟⃗, 𝑡) 𝜕
𝜕
= (∑ 𝐹𝑖 (𝑟⃗, 𝑡) ∙ 𝑢̂𝑖 ) = ∑ [𝐹𝑖 (𝑟⃗, 𝑡) ∙ 𝑢̂𝑖 ] =
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
3
=∑
𝑖=1
𝜕𝐹𝑖 (𝑟⃗, 𝑡)
𝜕𝑢̂𝑖
∙ 𝑢̂𝑖 + 𝐹𝑖 (𝑟⃗, 𝑡) ∙
=
𝜕𝑡
𝜕𝑡
Aplicando la regla de la cadena podemos derivar el vector unitario respecto del tiempo:
3
3
𝑖=1
𝑘=1
𝜕 𝐹⃗ (𝑟⃗, 𝑡)
𝜕𝐹𝑖 (𝑟⃗, 𝑡)
𝜕𝑢̂𝑖 𝜕𝑢𝑘
= ∑[
∙ 𝑢̂𝑖 + 𝐹𝑖 (𝑟⃗, 𝑡) ∙ ∑ (
∙
)]
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑡
̂
𝜕𝑢
La parte difícil de todo esto es calcular 𝜕𝑢 𝑖 . Hay que hacer un cambio a coordenadas cartesianas, operar
𝑘
y después volver al sistema de coordenadas original. Si la matriz de cambio de base a cartesianas es 𝑀,
por ser esta matriz ORTOGONAL su inversa coincidirá con su traspuesta, de manera que es relativamente
sencillo volver desde cartesianas al sistema de coordenadas de partida:
𝑓1𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓1𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓1𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
𝑢̂1
𝑥̂
[𝑢̂2 ] = [𝑓2𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓2𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓2𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )] ∙ [𝑦̂]
𝑢̂3
𝑧̂
⏟𝑓3𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓3𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓3𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
𝑀
𝑓1𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓2𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓3𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
𝑢̂1
𝑢̂1
𝑥̂
𝑇
[𝑦̂] = 𝑀 ∙ [𝑢̂2 ] = [𝑓1𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓2𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓3𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )] ∙ [𝑢̂2 ]
𝑢̂3
𝑢̂3
𝑧̂
𝑓1𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓2𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) 𝑓3𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )
Evidentemente las funciones f son funciones escalares cuyas variables describen el sistema de
coordenadas de partida de nuestro problema. Así pues:
𝜕𝑢̂𝑖
𝜕
=
[𝑓 (𝑢 , 𝑢 , 𝑢 )𝑥̂ + 𝑓𝑖𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑦̂ + 𝑓𝑖𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 )𝑧̂ ] =
𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑘 𝑖𝑥 1 2 3
=
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕
(𝑓𝑖𝑥 ∙ 𝑥̂) +
(𝑓 ∙ 𝑧̂ ) =
[𝑓𝑖𝑥 ∙ 𝑥̂ + 𝑓𝑖𝑦 ∙ 𝑦̂ + 𝑓𝑖𝑧 ∙ 𝑧̂ ] =
(𝑓𝑖𝑦 ∙ 𝑦̂) +
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘 𝑖𝑧
𝜕𝑓𝑖𝑦
𝜕𝑓𝑖𝑥
𝜕𝑥̂
𝜕𝑦̂
𝜕𝑓𝑖𝑧
𝜕𝑧̂
=(
∙ 𝑥̂ + 𝑓𝑖𝑥 ∙
∙ 𝑦̂ + 𝑓𝑖𝑦 ∙
∙ 𝑧̂ + 𝑓𝑖𝑧 ∙
)+(
)+(
)=
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢
⏟𝑘
⏟𝑘
⏟𝑘
⃗⃗
0
⃗⃗
0
=
⃗⃗
0
𝜕𝑓𝑖𝑦
𝜕𝑓𝑖𝑥
𝜕𝑓𝑖𝑧
∙ 𝑥̂ +
∙ 𝑦̂ +
∙ 𝑧̂
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
Como en nuestro problema original trabajamos con coordenadas (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) debemos expresar la
̂
𝜕𝑢
derivada parcial 𝜕𝑢 𝑖 en el sistema de coordenadas original:
𝑘
𝜕𝑓𝑖𝑦
𝜕𝑢̂𝑖 𝜕𝑓𝑖𝑥
𝜕𝑓𝑖𝑧
=
∙ 𝑥̂ +
∙ 𝑦̂ +
∙ 𝑧̂ =
𝜕𝑢𝑘 𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
=
𝜕𝑓𝑖𝑦
𝜕𝑓𝑖𝑥
𝜕𝑓𝑖𝑧
(𝑓1𝑥 ∙ 𝑢̂1 + 𝑓2𝑥 ∙ 𝑢̂2 + 𝑓3𝑥 ∙ 𝑢̂3 ) +
(𝑓1𝑧 ∙ 𝑢̂1 + 𝑓2𝑧 ∙ 𝑢̂2 + 𝑓3𝑧 ∙ 𝑢̂3 ) =
∙⏟
∙ (𝑓 ∙ 𝑢̂ + 𝑓2𝑦 ∙ 𝑢̂2 + 𝑓3𝑦 ∙ 𝑢̂3 ) +
∙⏟
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘 ⏟1𝑦 1
𝜕𝑢𝑘
𝑥̂
= 𝑢̂1 ∙ [
𝑦̂
𝑧̂
𝜕𝑓𝑖𝑦
𝜕𝑓𝑖𝑦
𝜕𝑓𝑖𝑦
𝜕𝑓𝑖𝑥
𝜕𝑓𝑖𝑧
𝜕𝑓𝑖𝑥
𝜕𝑓𝑖𝑧
𝜕𝑓𝑖𝑥
𝜕𝑓𝑖𝑧
∙𝑓 +
∙𝑓 +
∙ 𝑓 ] + 𝑢̂2 ∙ [
∙𝑓 +
∙𝑓 +
∙ 𝑓 ] + 𝑢̂3 ∙ [
∙𝑓 +
∙𝑓 +
∙𝑓 ]=
𝜕𝑢𝑘 1𝑥 𝜕𝑢𝑘 1𝑦 𝜕𝑢𝑘 1𝑧
𝜕𝑢𝑘 2𝑥 𝜕𝑢𝑘 2𝑦 𝜕𝑢𝑘 2𝑧
𝜕𝑢𝑘 3𝑥 𝜕𝑢𝑘 3𝑦 𝜕𝑢𝑘 3𝑧
Simplificando la notación:
3
𝜕𝑓𝑖𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑓𝑖𝑧
𝜕𝑢̂𝑖
= ∑ ( 𝑖𝑥 ∙ 𝑓𝑚𝑥 +
∙ 𝑓𝑚𝑦 +
∙𝑓 )∙𝑢
̂𝑚
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘 𝑚𝑧
𝑚=1
Finalmente obtenemos que:
3
3
3
𝜕𝑓𝑖𝑦 (𝑟⃗)
𝜕𝑓 (𝑟⃗)
𝜕𝑓𝑖𝑧 (𝑟⃗)
𝜕 𝐹⃗ (𝑟⃗, 𝑡)
𝜕𝐹𝑖 (𝑟⃗, 𝑡)
𝜕𝑢𝑘
= ∑{
∙ 𝑢̂𝑖 + 𝐹𝑖 (𝑟⃗, 𝑡) ∙ ∑ [ ∑ ( 𝑖𝑥
∙ 𝑓𝑚𝑥 (𝑟⃗) +
∙ 𝑓𝑚𝑦 (𝑟⃗) +
∙ 𝑓𝑚𝑧 (𝑟⃗)) ∙ 𝑢
̂𝑚] ∙
}
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑢𝑘
𝜕𝑡
𝑖=1
𝑘=1 𝑚=1
Anexo
̂
𝜕𝑢
Matrices para conocer directamente 𝜕𝑢 𝑖 :
𝑘
Coordenadas Cilíndricas:
𝜕𝜌̂
𝜕𝜌
𝜕𝜙̂
𝜕𝜌
𝜕𝑧̂
[ 𝜕𝜌
𝜕𝜌̂
𝜕𝜙
𝜕𝜙̂
𝜕𝜙
𝜕𝑧̂
𝜕𝜙
𝜕𝜌̂
𝜕𝑧
0̂ 𝜙̂
𝜕𝜙̂
= [0̂ −𝜌̂
𝜕𝑧
0̂ 0̂
𝜕𝑧̂
𝜕𝑧 ]
0̂
0̂]
0̂
Coordenadas Esféricas:
𝜕𝑟̂
𝜕𝑟
𝜕𝜃̂
𝜕𝑟
𝜕𝜙̂
[ 𝜕𝑟
𝜕𝑟̂
𝜕𝜃
𝜕𝜃̂
𝜕𝜃
𝜕𝜙̂
𝜕𝜃
𝜕𝑟̂
𝜕𝜙
0̂ 𝜃̂
𝜕𝜃̂
= [0̂ −𝑟̂
𝜕𝜙
0̂ 0̂
𝜕𝜙̂
𝜕𝜙]
sin 𝜃 𝜙̂
]
cos 𝜃 𝜙̂
− sin 𝜃 𝑟̂ − cos 𝜃 𝜃̂
0
