Algoritmos Aproximados para el Problema del 2-árbol generador de costo
mínimo en un grafo no dirigido
Hugo Bravo Azlán - Héctor Beck Fernández
Depto. de Matemática - Depto. de Computación e Informática
Universidad de Tarapacá- Arica
Email: [email protected] - [email protected]
Resumen: El Problema del 2-árbol generador de costo mínimo en un grafo no dirigido,
completo y ponderado en las aristas, consiste en encontrar una estructura especial conocida
como 2-árbol, que contenga todos los vértices del grafo y sea de costo total mínimo. Un 2árbol se define recursivamente como sigue: un 2-clique es un 2-árbol y si T es un 2-árbol
con n vértices entonces un nuevo 2-árbol puede ser formado agregando a T un vértice v
unido a un 2-clique en T. El problema es de altísima complejidad computacional, por lo
cual sólo soluciones aproximadas del mismo son viables en tiempos razonables. En este
trabajo se presentan varios algoritmos aproximados para la solución del problema
incluyendo estudios con metaheurísticas como Simulated Annealing y Algoritmos
genéticos.
Palabras Claves: optimización, grafos, metaheurísticas
El Problema del 2-árbol generador de costo mínimo en un grafo no dirigido, completo y
ponderado en las aristas, consiste en encontrar una estructura especial conocida como 2árbol, que contenga todos los vértices del grafo y sea de costo total mínimo.
Un 2-árbol se define recursivamente como sigue: un 2-clique es un 2-árbol y si T es un 2árbol con n vértices entonces un nuevo 2-árbol puede ser formado agregando a T un vértice
v unido a un 2-clique en T.
No se conocen formulaciones de programación lineal para este problema, excepto para
algunas relajaciones del mismo. En aplicaciones, la estructura de 2-árbol es un alternativa
de conexión menos vulnerable a fallas que la estructura de árbol, aunque con mayor costo.
Cuando una red admite fallas en los nodos o en las aristas, una estructura de árbol queda
desconectada si la falla se produce en una arista o en un nodo con grado mayor que 1. Ello
no sucede con la estructura de 2-árbol si la falla es aislada. De allí la importancia de este
problema y de la generación de algoritmos que lo resuelvan de manera eficiente y eficaz.
Dada la alta complejidad computacional del problema, este estudio se ha focalizado en la
búsqueda de soluciones aproximadas mediante métodos del tipo determinísticos como
“suma de costos” o “mayor costo” y de metaheurísticas como Simulated Annealing y
Algoritmos Genéticos.
Para estos dos últimos algoritmos se muestran dos tipos diferentes de representación de
soluciones factibles ( 2-árboles).
En el caso de Simulated Annealing se ha utilizado una representación sobre las aristas que
contiene el 2-árbol ( se sabe que todo 2-árbol generador tiene exactamente 2n 3 arista
para un grafo con n vértices). Un vecino se obtiene eliminando una o más aristas y
agregando apropiadamente el mismo número de aristas. Cuando este procedimiento de
busca de vecinos no genera nuevas soluciones, se aplica una segunda modalidad consistente
en la reordenación de 2 vértices en la lista que mantiene el orden de ingreso de los mismos.
En el caso de Algoritmo Genético la representación de un solución factible se hace aún más
compleja, por cuanto debemos considerar que las operaciones de cruce y mutación debieran
generar nuevas soluciones factibles. Aquí se utiliza un gen con 2 componentes numéricas,
una referente al nodo y otra a la arista a la cual dicho nodo ha sido conectado.
Adicionalmente se muestran resultados numéricos obtenidos por la aplicación de los
algoritmos propuestos en instancias de prueba generadas específicamente para el problema.
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