GUÍA INSTRUCCIONAL N° 4. (Parte I)

UNEFA
GOBIERNO BOLIVARIANO DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
UNEFA
NÚCLEO CARABOBO-EXTENSIÓN GUACARA
ASIGNATURA:
Planificación y Evaluación de Proyectos
PROF:
Ing. Alexander Zavala
GUÍA INSTRUCCIONAL N° 4. (Parte I)
NOCIONES BÁSICAS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS
1. EL COSTO DEL CAPITAL: EL INTERÉS Y EL COSTO DE OPORTUNIDAD
La puesta en práctica de los proyectos implica la utilización de capital para la adquisición de equipos, su
instalación, el pago de personal, servicios, etc. Inicialmente, este capital proviene de cualquiera de las dos
grandes fuentes de financiamiento: propio o de deuda.
El inversionista que pide dinero prestado, adquiere el compromiso de pagar al propietario del capital todas
las obligaciones que se derivan como consecuencia de este préstamo; es decir, el monto del préstamo o capital
principal y los intereses. En cambio, el inversionista que posee capital para financiar sus proyectos, no tiene
necesidad de pagar intereses por la utilización de ese dinero; sin embargo, al invertir su dinero en la realización
de los proyectos seleccionados renuncia a los beneficios que ha venido percibiendo por esa cantidad de dinero.
Este beneficio, por ejemplo, pudiera estar representado por los intereses que se devengan en una cuenta
bancaria o por aquellos que generan los títulos que se negocian en el mercado de capitales.
De lo expuesto anteriormente se deduce que, en ambas situaciones la utilización del capital no es
gratuita, por cuanto, en el caso del capital prestado hay que pagar intereses y en el caso del capital propio se
renuncia a un beneficio que se traduce en un costo de oportunidad. Los intereses y el costo de oportunidad
constituyen lo que se denomina el costo de capital, que es un costo imputable a los proyectos de inversión en
virtud de que el mismo se origina como consecuencia de su realización y, por lo tanto, debe ser tomado en
cuenta en los análisis económicos.
Ejemplo 1 . Supóngase que para llevar a cabo un proyecto se requieren inicialmente 200.000,oo Bs., por
lo que:

Si se piden prestados, y se convienen en cancelar al cabo de 5 años 250.000,oo Bs., los
50.000,oo Bs adicionales son los intereses que deben cargarse al proyecto como un costo
inherente al mismo.

Si se tienen invertidos en certificados de ahorro que pagan el 11% de interés al año y se retiran
para utilizarlos en la inversión del proyecto; este beneficio que se deja de percibir debe ser
incluido como un costo inherente al proyecto.
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En las instituciones bancarias y financieras nacionales la tasa de interés que se aplica a los préstamos se
denomina tasa de interés activa; en cambio, aquella que se abona por los depósitos del público recibe la
denominación de tasa de interés pasiva la cual se asocia con el costo de oportunidad.
2. EL COSTO DEL CAPITAL
De una manera formal, el costo del capital (CC) se define, tal como lo indica su nombre, como la cantidad
de dinero que hay que pagar por utilizar un capital; en otras palabras, es lo que cuesta usar el capital.
El costo del capital, ya sea por el interés o por el costo de oportunidad, se suele expresar en forma
porcentual anual (%) y en el caso de una empresa que utilice las dos fuentes de capital para financiar sus
inversiones, uno de los enfoques es calcular un costo de capital promedio entre ellos
CC .
Ejemplo 2. Sea el caso de una empresa que requiere 300.000,oo Bs de capital de inversión y tiene que
obtenerlos mediante:

Un préstamo de 100.000,oo Bs al 15% y

Un retiro de 200.000,oo Bs de su cuenta bancaria que le paga el 12% de interés.
Un estimado de su costo de capital se puede calcular de la siguiente manera:
CC  0,15 
100 .000
200 .000
 0,12 
 0,1300  13%
300 .000
300 .000
Este costo de capital constituye un promedio ponderado de los costos de capital asociados con cada una
de las fuentes de capital utilizadas.
3. TASA MÍNIMA DE RENDIMIENTO
La tasa mínima de rendimiento (TMR o i min) de una empresa se define como la menor cantidad de dinero
que se espera obtener como rendimiento de un capital puesto a trabajar de manera de poder cubrir los
compromisos de costos de capital.
La TMR también suele expresarse en forma porcentual anual. Este porcentaje expresa el excedente
mínimo de los ingresos sobre los costos de cada año en relación con la inversión, necesario para cubrir los
compromisos derivados del uso del capital.
Usualmente, dentro de la TMR se incluye, además del costo de capital, el efecto de otros elementos, tales
como: el riesgo de las inversiones, la disponibilidad de capital de inversión, etc., que hacen que su valor sea
mayor que el costo de capital, por lo que:
TMR  CC
Por ejemplo, si el costo de capital promedio es del 13% y el nivel de riesgo se estima en un 5%, la TMR
es del 18%.
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Todo lo que hasta ahora se ha expuesto en relación con la TMR, costo de capital y su relación con los
proyectos de inversión se presenta en forma gráfica:
Capital de
deuda
Interés
(%)
Capital de
inversión
Proyecto
Capital de
capital (%)
Capital
propio
Costo de
oportunidad (%)
TMR (%)
Otros
factores
El origen del costo de capital y la TMR.
4. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
La existencia de la TMR implica la exigencia, por parte del propietario del capital, de una ganancia futura
cuando lo utiliza en una determinada actividad. Esta ganancia o utilidad mínima exigida es lo que ocasiona un
cambio del valor del dinero con el tiempo.
En efecto, el principio valor del dinero en el tiempo se refiere a las ganancias que se generan por el
dinero con el transcurso del tiempo. Esto implica que dos cantidades iguales de dinero colocadas en diferentes
puntos en el tiempo no tienen el mismo valor, siempre y cuando la tasa de interés sea mayor de 0%; esas dos
cantidades difieren en los intereses devengados. Por ejemplo, 100 Bs hoy, a un interés de 10% anual, al cabo
de un año valen 110 Bs, y al cabo de dos años valen 121 Bs y así sucesivamente. De igual forma, 108 Bs dentro
de una año, al 8% tienen un valor de 100 Bs hoy. En otras palabras, 100 Bs hoy no valen 100 Bs dentro de 1 ó
2 años o en cualquier fecha posterior, puesto que dichas cantidades deben diferir en los intereses ganados.
Es importante hacer notar que este efecto está únicamente relacionado con la capacidad del dinero de
generar ganancias y, por lo tanto, no toma en cuenta otros efectos simultáneos que ocurren en el medio
ambiente económico, como es el caso de la inflación que ocasiona una disminución del poder adquisitivo del
dinero.
En forma gráfica, el efecto del cargo de intereses sobre cantidades de dinero, en el tiempo, se representa
en la siguiente figura.
100
110
121
133,1…
100+intereses
0
1
2
3
n años
i=10% anual
El cambio del valor del dinero con el tiempo.
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La equivalencia entre cantidades de dinero es una consecuencia directa del valor del dinero en el tiempo,
por tanto, dos o más cantidades de dinero son equivalentes cuando tienen el “mismo valor” en el tiempo. Por
ejemplo, 100 Bs hoy son equivalentes a 110 Bs al cabo de un año, a 121 Bs al término de dos años, a 133,1 Bs
al cabo de tres años y así sucesivamente, si el interés es del 10% anual. La diferencia entre dichas cantidades
corresponde a los intereses ganados.
5. CAPITALIZACIÓN Y ACTUALIZACIÓN
El proceso de cargar intereses a una cierta cantidad de dinero se denomina capitalización, por tanto,
capitalizar una cantidad de dinero es determinar su valor equivalente en el futuro.
El proceso de descontar intereses se denomina actualización y, por lo tanto, equivale a determinar el valor
presente de una cantidad de dinero que ocurre en el futuro. Como puede observarse este proceso es el inverso
del proceso de capitalización.
Los procesos de capitalización y actualización se ilustran gráficamente en la siguiente figura.
100
120
0
100
0
1 año
120
1 año
i= 20% anual
a) Capitalización
b) Actualización
Procesos de capitalización y actualización para i=20% anual: a) Capitalización y b) Actualización.
6. INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO
Tanto el proceso de capitalización como el proceso de actualización se pueden llevar a cabo de dos
maneras diferentes, cada una de las cuales da origen al cargo o descargo de un interés simple o al cargo o
descargo de un interés compuesto.
6.1.
Interés Simple: Un proceso de capitalización es a interés simple cuando al finalizar cada periodo
se carga una cantidad de dinero igual a un porcentaje sobre la cantidad inicial de capital. En este
caso, se dice que el interés es proporcional al tiempo que dure la transacción o que los intereses
devengados en un periodo no ganan intereses en periodos posteriores. Por ejemplo, 1.000 Bs hoy
sometidos a un proceso de capitalización simple en el que i=10% anual, son equivalentes a 1.100
Bs en el término de un año, a 1.200 Bs al cabo de dos años, a 1.300 Bs al cabo de tres años y así
sucesivamente. Gráficamente esto de ilustra en la figura:
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1000
1100
1200
1300…
0
1
2
3
1000+n(0,1)1000
n años
Capitalización a interés simple de 1000 Bs hoy a un i=10% anual.
En forma general, si:
I
P
S
0
i%
Done:
n periodos
P= cantidad de dinero presente.
S= cantidad de dinero futura (equivalente a P)
I= monto de los intereses cargados durante la transacción
n= número de periodos de interés
i= tipo de interés simple (%).
Y si P se somete a un proceso de capitalización simple se tiene que:
iP
P
iP
(P+iP)
0
1
iP
(P+2iP)
2
(P+3iP)…
3
(P+niP)
n años
Por tanto
S  P  niP
Y en consecuencia
I  niP
Donde
SPI
Y escribiendo de nuevo la primera ecuación se tiene:
S  P1  ni
Donde (1 + ni ) es el factor de capitalización simple de una cantidad de dinero presente.
Este tipo de interés suele utilizarse en transacciones cuya duración no se excede de un año.
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Ejemplo 3. Se desea determinar el capital que se obtiene al cabo de un año si se depositan 5000 Bs en
una cuenta de ahorro que gana un interés del 1,5% mensual.
En este caso se tiene:
S= ¿
P= 5000
0
1
i=1,5 % mensual
Por tanto, al utilizar la relación
2
3
12 meses
S  P1  ni :
S  5.0001  120,015  5.900Bs
De donde se deduce que al cabo de 12 meses se ganan 900 Bs de interés y se acumula un capital de
5.900 Bs.
6.2.
Interés Compuesto: un proceso de capitalización es a interés compuesto cuando al finalizar
cada periodo se carga una cantidad de dinero igual a un porcentaje sobre la cantidad de capital
pendiente o acumulado al comienzo de ese mismo periodo. Es decir, los intereses que se
devengan en cada periodo pasan a formar parte del capital y también ganan intereses por el
resto de los periodos futuros. Por ejemplo, 1000 Bs hoy sometidos a un proceso de capitalización
compuesta con i=10% anual, son equivalentes a 1100 Bs al término de un año, a 1210 Bs al cabo
de dos años, a 1331 al cabo de tres años y así sucesivamente. Gráficamente es:
1000
1100
0
1
i=10% anual
1210
1331…
2
3
1000+interese
s
n periodos
Si se compara la figura anterior con esta se puede observar claramente la diferencia entre el
cargo de un interés simple y el cargo de uno compuesto.
Cuando la transacción económica tiene una duración superior a un año el proceso de
capitalización que se utiliza es el interés compuesto. En la evaluación de proyectos de ingeniería
la TMR representa una tasa de interés compuesto, y de allí la razón para que se estudie en detalle
este proceso de capitalización.
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