Anexo 2.1: Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales

ELC-33103
Teoría de Control
Anexo 2.1
Respuesta
R
t Transitoria
T
it i de
d
Sistemas Lineales e
Invariantes en el Tiempo
Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt
[email protected]
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
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1. Ejemplo
• En el sistema de la siguiente Figura, x(t) es el
desplazamiento de entrada y θ(t) es el desplazamiento
angular de salida.
xt 
Entrada
b
L

k
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Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Salida
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1. Ejemplo
• Suponga que las masas
involucradas
son
tan
pequeñas que pueden no
considerarse.
• Suponga que todos los
movimientos
tienen
la
restricción de ser pequeños;
por tanto, el sistema se
considera lineal.
lineal
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Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
xt 
b
L

k
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1. Ejemplo
• Las condiciones iníciales
para x y θ son cero,
xt 
x(0-)= 0
b
θ( ) = 0.
0


x t  0  0
L

 t  0    0
k
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1. Ejemplo
• La ecuación para el sistema es:
xt 
b
L
M  Lsen

sen  
L  M
k
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Fresorte  kM
Fpiston  bx  M 
Diagrama de Cuerpo Libre
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1. Ejemplo
• De tal modo que la ecuación dinámica del sistema
resulta:
Fresorte  Fpsiton  kM  bx  M 
kM
 b x  M

kL  b x  L
k

L  L  x
b


Fresorte  kM
Fpiston  bx  M 
Diagrama
g
de Cuerpo
p Libre
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1. Ejemplo
k

L  L  x
b
• Tomando la transformada de Laplace en ambos
miembros de la ecuación anterior resulta:
k 

 Ls  L s   sX s 
b 

 s 
s

X s  Ls  k
b
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1. Ejemplo
• Se observa claramente que se trata de un sistema de
primer orden:
 s 
s

X s  Ls  k
b
• Si la entrada es un escalón unitario se tiene:
xt 
b
L

k
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1. Ejemplo
• La entrada de un escalón unitario resulta X(s) = 1/s
 s  
s
X s 
k
Ls 
b
s
1

 s  
k s
Ls 
b
 s  
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1
k
Ls 
b
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1. Ejemplo
s  
1
k
Ls 
b
• Aplicando la transformada inversa de Laplace en
ambos miembros ecuación resulta:
1
 t   e
L
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k
 t
b
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1. Ejemplo
• La grafica general de la respuesta en el tiempo es:
1
1
L
1
 t   e
L
k
 t
b
Respuesta c(tt)
R
0.8
 t 
0.6
0.4
k
1 bt
 t   e
L
0.2
0
0
Tiempo
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1. Ejemplo
• Se procede a efectuar una
simulación de la respuesta
temporal del sistema de primer
orden, empleando MathWork®
Matlab™.
• Se introduce los valores de las
constantes de los dispositivos en
el command line de Matlab™.
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1. Ejemplo
L 1
L = 1.00
b = 1.00
k = 0.25
L 1
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1. Ejemplo
• Se define la función de transferencia del sistema
(SYS) empleando la función en Matlab® TF.
>> sys=tf([1 0],[L (k/b)])
Transfer function:
s
-------s + 0.25
>>
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1. Ejemplo
• Se procede a determinar la respuesta del sistema ante
una entrada de escalón unitario.
• Para ello se emplea el comando STEP.
>> step(sys)
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1. Ejemplo
• Matlab® automáticamente genera la grafica de la
respuesta temporal del sistema
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1. Ejemplo
• Otra forma de evaluar la respuesta transitoria de un
sistema, es el uso de Simulink, que es una
herramienta con una interfaz de usuario sumamente
útil.
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1. Ejemplo
• Descargar y abrir en Matlab el modelo denominado:
Ogata4 1.mdl, el cual es el modelo desarrollado por
Ogata4_1.mdl,
el Prof. Francisco Gonzalez-Longatt, para mostrar la
respuesta transitoria del sistema Brazo-fricciónresorte.
xt 
b
L

k
Enlace ppara descargar
g el archivo:
http://www.giaelec.org/fglongatt/TeoriaControlI.html
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1. Ejemplo
• Una vez abierto el modelo:
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1. Ejemplo
• Se procede a ajustar los valores asociados a los
parámetros del modelo:
L = 1.00
b = 1.00
k = 0.25
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1. Ejemplo
• Se procede a ejecutar la simulación
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Botón para
ejecutar la
simulación
l ó
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1. Ejemplo
• La Grafica de la respuesta en el tiempo:
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1. Ejemplo
• Nótese en este caso, que la
respuesta comienza en t =
1 segundo, debido a que el
bloque de escalón esta
configurado para que el
cambio se produzca en ese
i t t de
instante
d tiempo.
ti
• Ver el cuadro de dialogo
asociado..
asociado
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1. Ejemplo
• Resulta fácilmente evidente que si la relación k/b, es
grande, la respuesta θ(t), se aproxima a una senal de
pulso.
1
1
 t   e
L
k
 t
b
0.9
b  100.0
0.8
0.7
b  10.0
0.6
0.5
0.4
b  1.0
0.3
0.2
0.1
0
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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