Modelación Matemática de Sistemas Físicos

ELC-33103
Teoría de Control
Modelación
M d l ió Matemática
M t áti de
d
Sistemas Físicos
Prof. Francisco M. González-Longatt
[email protected]
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm
TEORÍA DE CONTROL
Modelación Matemática de Sistemas Físicos
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected]
Copyright © 2008
1. Introducción
• En el análisis y diseño de sistemas de control, un paso
sumamente importante; es la modelación matemática
del proceso físico a ser controlado.
p
mediante
• La modelación consiste en la representación
una abstracción matemática de una situación física
real.
• Siendo el modelo, la serie de ecuaciones que definen
el comportamiento que se desea emular.
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1. Introducción
• El proceso de crear un modelo no es sencillo.
• Por el contrario en situaciones puede considerarse un
proceso complejo y casi infinito que requiere ser
acotado.
• Se debe definir el conjunto de variables que
describen las características dinámicas del
fenómeno.
• Por ejemplo, cuando se considera un circuito
eléctrico, en éste típicamente las variables de interés
son voltaje o corriente.
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1. Introducción
• Las variables que definen las características
dinámicas del sistema, están interrelacionadas entre si
a través de leyes físicas, las cuales conllevan a la
formulación matemática de las ecuaciones del
modelo.
V
El voltaje (V) varia
proporcionalmente con la
corriente (I)
X X
X X
X
X
X
X
V = RI
X
X
X
X X
I
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1. Introducción
• En función del fenómeno dominante, dentro del
interés, el énfasis en el modelado cambia.
• El tipo de fenómeno puede llevar al uso de
ecuaciones del sistema,, lineales o no lineales,,
variantes o invariantes con el tiempo.
V
El voltaje (V) varia
proporcionalmente con la
corriente (I)
X X
X X
X
X
X
X
V = RI
X
X
X
X X
I
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1. Introducción
• Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas
formas distintas.
• La conveniencia del modelo depende de
circunstancias especificas.
p f
+
i (t )
v(t )
−
L
di(t )
v(t ) = L
dt
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+
I
V
jω L
−
V = jωLI
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1. Introducción
Simplicidad Contra Precisión
• Mejorar a precisión de un modelo matemático,
matemático
aumenta la complejidad.
• Debe haber un equilibrio entre simplicidad y
precisión de los resultados.
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1. Introducción
Sistemas Lineales
• Cumple con el principio de superposición.
superposición
• Permite obtener la respuesta a varias entradas por el
calculo tratando una entrada a la vez y sumando los
resultados
2
1
1
1.5
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
0
-0.5
-1
-0.4
-0.4
-1.5
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-1
1
0.5
-1
0
1
2
3
x1 (t )
4
5
6
7
-2
0
x(t )
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1
2
3
4
x 2 (t )
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
x (t ) = x1 (t ) + x 2 (t )
y (t )
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1. Introducción
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x1 (t )
-0.2
y1 (t )
-0
0.4
4
-0.6
-0.8
-1
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-0.2
-0.2
x 2 (t )
-0.4
-0.6
-0.8
-1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
y 2 (t )
-1
2
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
2
3
4
5
6
7
x (t ) = x1 (t ) + x 2 (t )
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3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
-0.8
1.5
1
2
-0.6
2
0
1
-0.4
1.5
-2
0
-2
y (t ) = y1 (t ) + y 2 (t )
0
1
2
3
4
5
6
7
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1. Introducción
Sistemas Lineales Invariante con el Tiempo
• Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes
son contantes o son funciones solo de la variable
independiente.
p
dyy (t )
= f (t )
dt
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1. Introducción
Sistemas Lineales Invariantes con el Tiempo
• Sistemas dinámicos formados por parámetros
concentrados lineales e invariantes en el tiempo se
describen mediante ecuaciones diferenciales lineales
invariantes en el tiempo (de coeficientes constantes).
di (t )
L
+ Ri (t ) = v(t )
dt
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R
+
v(t )
L
i (t )
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1. Introducción
Sistemas Lineales Variantes con el Tiempo
• Sistemas dinámicos formados por parámetros
concentrados lineales y invariantes en el tiempo se
describen mediante ecuaciones diferenciales lineales
invariantes en el tiempo (de coeficientes variables en
el tiempo).
di (t )
L
+ R(t )i (t ) = v(t )
dt
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1. Introducción
Sistemas NO Lineales
• NO se aplica el principio de superposicion.
superposicion
• La respuesta a varias entradas no puede ser obtenida
por la suma
suma.
• Es típico de componentes saturables en sistemas
mecánicos, hidráulicos, etc.
2
2
2
d y (t ) ⎛ d y (t ) ⎞
⎟ + y = Asen(ωt )
+⎜
dt 2
⎜ dt 2 ⎟
⎝
⎠
d 2 x(t )
dx(t )
2
+
−
1
+x=0
x
2
dt
dt
d 2 x(t ) dx(t )
3
+
+
x
+
x
=0
2
dt
dt
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(
)
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1. Introducción
Salida
Entrada
No linealidad de
Saturación
Salida
No li
N
linealidad
lid d de
d
Zona Muerta
Entrada
No linealidad de
Ley Cuadrática
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2. Respuesta Impulsiva
• Un mecanismo ampliamente aceptado en los sistemas
de control, y que se ha extendido a otras
especialidades, para la modelación de los sistemas
lineales, es el uso de la función de transferencia.
• La clásica forma de la función de transferencia,
efectúa la relaciones entre las variables de entradasalida del sistema.
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2. Respuesta Impulsiva
• Una forma de obtener la función de transferencia de
un sistema lineal, es empleando la denominada
respuesta impulsiva o respuesta al impulso.
x(t)
δ (t )
t
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2. Respuesta Impulsiva
• Esto se basa en considerar un sistema lineal e
invariante en el tiempo, cuya entrada es x(t), y la
salida es y(t).
x(t )
y (t )
Sistema Lineal e Invariante
en el Tiempo
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2. Respuesta Impulsiva
• El sistema se puede caracterizar por su respuesta al
impulso g(t), que se define como la salida del sistema
cuando la entrada es un impulso unitario δ(t).
x(t)
()
δ (t )
x(t )
t
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y (t )
y (t ) = g (t )
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2. Respuesta Impulsiva
• Una vez conocida la respuesta ante la entrada de
impulso del sistema lineal, la salida del sistema y(t)
para cualquier entrada x(t) se puede encontrar
mediante la función de transferencia.
x(t )
y (t )
Función de Transferencia
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2. Respuesta Impulsiva
• En el caso más simple, de un sistema lineal e
invariante en el tiempo de una entrada y una salida,
la función de transferencia se define como la
transformada de Laplace de la respuesta al impulso
con todas las condiciones iníciales iguales a cero.
y (t ) = g (t )
Respuesta Impulsiva
Función
ió de
d Transferencia
f
i
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G (s ) = L[g (t )]
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2. Respuesta Impulsiva
• Considere que G(s) representa la función de
transferencia del sistema de una entrada y una salida;
siendo x(t) la entrada y y(t) la salida, y sea g(t) la
respuesta al impulso.
x(t )
Respuesta Impulsiva
Función de Transferencia
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y (t )
y (t ) = g (t )
G (s ) = L[g (t )]
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2. Respuesta Impulsiva
• Entonces la función de transferencia de G(s) se
define como:
G (s ) = L[g (t )]
• La función de transferencia G(s) se relaciona con la
transformada de Laplace de la entrada y la salida de
la siguiente forma:
Y (s )
G (s ) =
X (s )
Senal
Entrada
X (s )
Sistema de
Control
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Senal
Salida
Y (s )
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2. Respuesta Impulsiva
• Con todas las condiciones iniciales son supuestas a
cero, Y(s) y X(s) son las transformadas de Laplace de
y(t) y x(t) respectivamente.
X (s )
Y (s )
G (s )
Diagrama de bloque mostrando la función de transferencia,
y señales de entrada y salida
• P
Pese a que la
l función
f ió de
d transferencia
f
i de
d un sistema
i
lineal se define en términos de la respuesta impulsiva,
en la práctica, la relación entrada
entrada-salida,
salida, de un
sistema lineal e invariante en el tiempo, en tiempo
continuo, se describe muy frecuentemente mediante
una ecuación
ió diferencial.
dif
i l
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2. Respuesta Impulsiva
• Considere que la relación entrada/salida de un sistema
lineal invariante con el tiempo se describe mediante
la siguiente ecuación diferencial de n-ésimo orden
con coeficientes reales constante:
d n y (t )
dt
n
+ a n −1
d n −1 y (t )
dt n −1
d m x(t )
d m −1 x(t )
dx(t )
dy (t )
+ K + a1
+ a0 y (t ) = bm
+
+
K
+
+ b0 x(t )
b
b
m −1
1
m
m −1
dt
dt
dt
dt
• En donde los coeficientes de las ecuación: a0, a1, a2,
…an-1, y b0, b1, b2, …, bm, son reales.
x(t )
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y (t )
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2. Respuesta Impulsiva
• Cuando la entrada del sistema x(t) sea especificada
(t≥0), las condiciones iniciales del sistema son
conocida, la respuesta del sistema y(t) para t≥0, puede
ser determinada, a partir de la resolución de la
ecuación diferencial antes plateada.
• Este procedimiento puede ser algo consumidor de
tiempo, y en etapa de análisis y diseño, resulta ser
algo molesto. Resolver la Ecuación Diferencial
d n y (t )
dt
n
+ a n −1
d n −1 y (t )
dt n −1
dy (t )
d m x(t )
d m −1 x(t )
dx(t )
+ K + a1
+ a0 y (t ) = bm
+
b
+
K
+
b
+ b0 x(t )
m −1
1
m
m −1
dt
dt
dt
dt
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2. Respuesta Impulsiva
• S han desarrollado programas computacionales para
efectuar una resolución eficiente de ecuaciones
diferenciales
• La filosofía básica de la teoría de control lineal es el
desarrollo de herramientas de análisis y diseño que
eviten la solución exacta de las ecuaciones
diferenciales del sistema.
• Excepto en los casos en que se desea las soluciones
mediante
di
simulación
i l ió en computadora
d
para examinar
i
la presentación final del desempeño del sistema.
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2. Respuesta Impulsiva
• Para obtener la función de transferencia del sistema
lineal invariante en el tiempo, representado por:
d n y (t )
dt
n
+ a n −1
d n −1 y (t )
dt n −1
dy (t )
d m x(t )
d m −1 x(t )
dx(t )
+ K + a1
+ a0 y (t ) = bm
+
+
K
+
+ b0 x(t )
b
b
1
m −1
m
m −1
dt
dt
dt
dt
• Se debe tomar la transformada de Laplace de ambos
lados de la ecuación y se asumen condiciones
iníciales igual a cero.
n
⎡ d n y (t ) ⎤
n
n − k ( k −1 )
L⎢
= s Y (s ) − ∑ s
y (0 ± )
n ⎥
k =1
⎣ dt ⎦
Condiciones
i í i l nulas
iníciales
l
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2. Respuesta Impulsiva
• Para obtener la función de transferencia del sistema
lineal invariante en el tiempo, representado por:
d n y (t )
dt
(s
n
+ a n −1
d n −1 y (t )
dt n −1
dy (t )
d m x(t )
d m −1 x(t )
dx(t )
+ K + a1
+ a0 y (t ) = bm
+
+
K
+
+ b0 x(t )
b
b
m −1
1
m
m −1
dt
dt
dt
dt
• Haciendo lo antes descrito resulta:
n
)
(
)
+ an −1s n −1 + K + a1s + a 0 Y (s ) = bm s m + bm−1s m+1 + K + b1s + b0 X (s )
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TEORIA
DE CONTROL
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Introducción
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2. Respuesta Impulsiva
• La función de transferencia G(s) es la relación
entrada salida en términos de transformada de
Laplace:
+ K + b1s + b0
Y (s ) bm s + bm −1s
G (s ) =
= n
X (s )
s + an −1s n −1 + K + a1s + a 0
m
X (s )
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m +1
Y (s )
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2. Respuesta Impulsiva
• La función de transferencia es una definición que solo
aplica en sistemas líneas e invariantes en el tiempo, y
que no esta definida en el caso de los sistemas no
lineales.
• La función de transferencia, relaciona las entradas y
salidas del sistema lineal e invariante en el tiempo, en
términos de los parámetros del sistema,
X (s )
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G (s )
Y (s )
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2. Respuesta Impulsiva
• Es
una
propiedad
del
sistema
en
sí,
independientemente de la entrada o la excitación.
X (s )
G (s )
Y (s )
Y (s ) bm s m + bm −1s m +1 + K + b1s + b0
G (s ) =
= n
n −1
X (s )
s + an −1s + K + a1s + a 0
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2. Respuesta Impulsiva
• La función de transferencia de un sistema lineal e
invariante al tiempo, es un concepto que presenta la
dinámica de un sistema de ecuación algebraica, de s.
• La ppotencia s más alta en denominador de la función
de transferencia es igual al orden del término de la
derivada más alta de la salida.
X (s )
Y (s )
Y (s ) bm s m + bm −1s m +1 + K + b1s + b0
G (s ) =
= n
X (s )
s + an −1s n −1 + K + a1s + a 0
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3. Sistema Mecánico de Traslación
• En general este sistema consta de resorte (k), masa
(M) y amortiguador (f), aunque puede presentar estos
elementos.
Resorte
k
x(t )
Masa
M
Amortiguador
f
y (t )
Sistema Mecánico de Traslación:
Masa-Resorte-Pistón
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3. Sistema Mecánico de Traslación
• El amortiguador es un elemento que provee fricción o
amortiguamiento.
• Se desea obtener la función de transferencia, en
donde la entrada x(t)
( ) = Fin es la fuerza,, y la salida es
el desplazamiento y(t).
k
x(t )
ENTRADA
Fuerza
M
f
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SALIDA
Desplazamiento
y (t )
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3. Sistema Mecánico de Traslación
Diagrama de
Cuerpo Libre
x'
Ma = − Fresorte − Famortig + Fin
r
Famortiguador
r
Fresorte
t
y'
Sentido positivo
en la dirección
de la entrada
+
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r
r
Fent
entrada
ada = x (t )
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3. Sistema Mecánico de Traslación
• Se procede a plantear la ecuación diferencial que rige
el sistema; por la Ley de Newton se conoce:
Ma = − Fresorte − Famortig + Fin
• Para el caso del resorte se tiene:
Fresorte = ky (t )
k
x(t )
M
f
y (t )
Fpiston
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dy(t )
= fv = f
dt
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3. Sistema Mecánico de Traslación
• La fuerza de entrada es Fin = x(t), entonces resulta:
d y (t )
2
ddy
(
)
(
)
f
M
=
−
−
ky
t
+
x
t
dt
dt 2
• Aplicando la transformada de Laplace en la ecuación
anterior:
⎡ d 2 y (t ) ⎤
dy ⎤
⎡ d
L ⎢M
= −L⎢ f
− L[ky(t )] + L[x(t )]
⎥
2 ⎥
dt ⎥⎦
⎣ dt ⎦
⎢⎣
M [s Y (s ) − sy(0) − y ' (0)] = − f [sY (s ) − y(0)] − kY (s ) + X (s )
2
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3. Sistema Mecánico de Traslación
• Si las condiciones iniciales son nulas: y(0) = 0, y’(0)
= 0, entonces se tiene:
[
]
M s Y (s ) = − f [sY (s )] − kY (s ) + X (s )
2
• De tal modo, la función de transferencia del sistema
mecánico queda dada por:
1
G (s ) =
2
Ms + fs
f +k
TEORÍA DE CONTROL
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4. Sistema Mecánico de Rotación
• El sistema mecánico de rotación consiste de una
carga inercial (J) y un amortiguador viscoso.
T (t )
ω (t )
J
Sistema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Viscoso
TEORÍA DE CONTROL
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4. Sistema Mecánico de Rotación
• El sistema mecánico de rotación consiste de una
carga inercial y un amortiguador viscoso. Amortiguador
Carga Inercial
T (t )
ω (t )
J
Sistema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Viscoso
TEORÍA DE CONTROL
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4. Sistema Mecánico de Rotación
• El sistema mecánico de rotación consiste de una
SALIDA
carga inercial y un amortiguador viscoso. Velocidad
V l id d Angular
A
l
ENTRADA
Torque
T (t )
ω (t )
J
Sistema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Viscoso
TEORÍA DE CONTROL
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4. Sistema Mecánico de Rotación
• En este sistema, se considera que la entrada
corresponde al torque T(t), que es aplicado y la salida
es la velocidad angular ω(t).
• El comportamiento
p
dinámico de este sistema
mecánico de rotación puede ser modelado por medio
de las leyes de Newton aplicada al movimiento
circular.
Jα =
TEORÍA DE CONTROL
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∑T
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4. Sistema Mecánico de Rotación
• En forma simple dice:
((Momento de inercia)) × ((Aceleración angular)
g
) = ((sumatoria de los torques)
q )
• En este sistema, existe el torque aplicado Tin(t), y
además los torques asociados a la masa Tmasa(t), y el
torque asociado al amortiguador Tamortig(t):
Tin = Tmasa + Tamortig
• Considerando la definición de los diferentes torques:
dω (t )
Tmasa = J
dt
Tamortig = fω (t )
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4. Sistema Mecánico de Rotación
• Siendo J el momento de inercia del cuerpo giratorio,
ω su velocidad angular y f el coeficiente de fricción
viscosa.
p
• Ahora se pprocede a sustituir las respectivas
definiciones:
dω (t )
Tin = J
+ fω (t )
dt
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4. Sistema Mecánico de Rotación
• Para obtener la función de transferencia del sistema,
se procede a calcular la transformada de Laplace en
ambos lados de la ecuación anterior que describe la
dinámica.
dω (t )
Tin = J
+ fω (t )
dt
⎡ dω (t ) ⎤
L[Tin ] = L ⎢ J
+ L[ fω (t )]
⎥
dt ⎦
⎣
• Sea,, cada una de las transformadas de Laplace:
p
Ω(s ) = L[ω (t )]
τ (s ) = L[T (t )]
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4. Sistema Mecánico de Rotación
• Se tiene que:
JsΩ(s ) − ω (0) + fΩ(s ) = τ (s )
• Asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero;
ω(0) = 0,
0 se tiene que:
1
Ω(s )
=
G(s ) =
τ (s ) Js + f
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5. Sistema eléctrico de un circuito RLC
Serie
• Sea un circuito RLC serie como el que se muestra en
la Figura.
L
R
+
+
vin (t )
−
i (t )
C
vout (t )
−
Sistema Eléctrico: Circuito RLC serie
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5. Sistema eléctrico de un circuito
RLC Serie
• Sea la señal de entrada vin(t) y vout(t) el voltaje de
salida el cual es medido sobre el capacitor.
SALIDA
Voltaje
en el Capacitor
ENTRADA
Voltaje
Aplicado
L
R
+
+
vin (t )
−
i (t )
C
vout (t )
−
Sistema Eléctrico: Circuito RLC serie
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5. Sistema eléctrico de un circuito
RLC Serie
• Se procede a establecer la ecuación que rige el
comportamiento dinámico eléctrico de este circuito.
T
di (t )
1
+ Ri (t ) +
i (t )dt
vin (t ) = L
dt
C
L
R
∫
0
+
+
vin (t )
i (t )
−
C
vout (t )
−
T
1
vout (t ) =
i (t )dt
C
∫
0
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5. Sistema eléctrico de un circuito
RLC Serie
• Se procede a establecer la ecuación que rige el
comportamiento dinámico eléctrico de este circuito.
• Para ello se toma en consideración la Ley de Voltajes
de Kirchoff.
di (t )
1
+ Ri (t ) +
i (t )dt
vin (t ) = L
dt
C
T
∫
0
1
vout (t ) =
i (t )dt
C
∫
0
+
+
vin (t )
−
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L
R
T
i (t )
C
vout (t )
−
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5. Sistema eléctrico de un circuito
RLC Serie
• Aplicando la transformada de Laplace en ambas
expresiones, y en ambos lados se tiene, y asumiendo
que las condiciones iniciales son cero:
T
⎡
⎤
1
⎡ di (t ) ⎤
L[vin (t )] = L ⎢ L
+ L[Ri (t )] + L ⎢
i (t )dt ⎥
⎥
⎢C 0
⎥
⎣ dt ⎦
⎣
⎦
⎡1 T
⎤
L[vout (t )] = L ⎢
i (t )dt ⎥
⎢C 0
⎥
⎣
⎦
∫
∫
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5. Sistema eléctrico de un circuito
RLC Serie
• De tal modo resulta:
1
Vin (s ) = LsI (s ) + RI (s ) +
I (s )
sC
1
Vout (s ) =
I (s )
sC
l
t queda
d ddefinida
fi id lla ffunción
ió dde ttransferencia
f
i
• Fi
Finalmente
como:
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6. Sistema Rotacional
• Se desea obtener un modelo dinámico para un sistema
rotacional desarrollando un diagrama que muestre la
dirección de la velocidad angular y la correspondiente
expresión para todos los torques.
• Considerando el sistema rotacional que se describe en
la figura siguiente.
T (t )
K
J1
J2
ω2 (t )
ω1 (t )
B1
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B2
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6. Sistema Rotacional
• Escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales (en
términos de las velocidades angulares) que
proporcionara un modelo valido para el sistema.
T (t )
K
J1
J2
ω1 (t )
B1
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ω2 (t )
B2
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6. Sistema Rotacional
T (t )
K
J1
J2
ω2 (t )
ω1 (t )
B1
B2
• Considerando la suma de los torques,
torques mediante la
aplicación de las leyes de Newton para el movimiento
rotacional se tiene:
t
dω1 (t )
T (t ) = J1
+ B1ω1 (t ) + K [ω1 (t ) − ω 2 (t )]dt + Ts (0 )
0
dt
t
dω 2 (t )
0 = J2
+ B2ω 2 (t ) + K [ω 2 (t ) − ω1 (t )]dt − Ts (0 )
0
dt
∫
∫
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7. Ejemplo Sistema de Traslación
• Considerando el sistema de la Figura siguiente.
y2 (t )
B
2
B
2
k2
M2
k1
Sistema trasnacional
de varias masas
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M1
y1 (t )
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7. Ejemplo Sistema de Traslación
• Escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales para
describir el sistema en términos del desplazamiento y1
y y2.
p
qque y1 y y2 son cero en la pposición de reposo
p
• Suponer
con todos los resortes y masas incluidos, pero f = 0.
y2 (t )
B
2
B
2
k2
M2
k1
M1
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y1 (t )
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7. Ejemplo Sistema de Traslación
• Con las posiciones de referencia determinadas tal
como se ha especificado, un desplazamiento inicial
del resorte superior produce una fuerza que es igual y
opuesta a M1g + M2g, y un desplazamiento inicial del
resorte inferior produce una fuerza que compensa a
M1g. Así, la ecuación se expresa
f (t ) = M 1
0 = M2
d 2 y1 (t )
2
dt
d 2 y 2 (t )
dt 2
+ K1 [ y1 (t ) − y 2 (t )]
dy 2 (t )
+ K1 [ y 2 (t ) − y1 (t )] + K 2 y 2 (t ) + B
dt
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8. Ejemplo Mecánico de Traslación
• Considere el sistema mecánico trasnacional de la
siguiente figura, donde se ha supuesto que la
superficie es libre de rozamiento.
x(t )
k
f (t )
M
B
Sistema mecánico de traslación
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8. Ejemplo Mecánico de Traslación
• Se construye el diagrama de cuerpo libre, como se
muestra a continuación.
x(t )
k
M
f (t )
f (t )
B
dv(t )
M
dt
M
B (t )
Bv
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t
k v(t )dt + f a (0 )
∫
0
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8. Ejemplo Mecánico de Traslación
• Observe que la dirección x(t) supuesta de las fuerzas
producidas por los elementos pasivos se muestran en
una dirección opuesta a la velocidad v(t), que se ha
asumido.
dv (t )
f (t ) = M
+ Bv(t ) + K v(t )dt + f s (0 )
d
dt
t
∫
o
• Donde la velocidad v(t)
( ) es la variable dependiente
p
y
f(t) es una fuerza de entrada no especificada.
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9. Ejemplo Sistema Mecánico de
Traslación: Varias Masas
• Considere un sistema mecánico de dos masas, con
acoplamiento a través de resortes y elementos
viscosos.
p
qque no hayy rozamiento asociado con las
• Se supone
superficies. La suma de las fuerzas en ambas masas
proporciona dos ecuaciones en términos de dos
variables dependientes.
v1 (t )
f (t )
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v2 (t )
k
M1
B
M2
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9. Ejemplo Sistema Mecánico de
Traslación: Varias Masas
v1 (t )
f (t )
M1
v2 (t )
dv
M1 1
dt
fa
fa
fb
fb
M1
M2
M2
dv2
dt
M2
t
f a = k [v1 (t ) − v2 (t )]dt + f s (0)
∫
0
f b = B[v1 (t ) − v2 (t )]
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9. Ejemplo Sistema Mecánico de
Traslación: Varias Masas
dv1 (t )
f (t ) = M 1
+ B[v1 (t ) − v2 (t )] + k [v1 (t ) − v2 (t )]dt + f s (0 )
dt
t
∫
0
t
B[v1 (t ) − v2 (t )] + k [v1 (t ) − v2 (t )]dt + f s (0 ) = M 2
∫
d 2 v2 (t )
dt 2
0
v1 (t )
f (t )
M1
v2 (t )
dv
M1 1
dt
fa
fa
M2
fb
fb
M2
dv2
dt
t
f a = k [v1 (t ) − v2 (t )]dt + f s (0)
∫
0
f b = B[v1 (t ) − v2 (t )]
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10. Diagrama de Bloque
• El diagrama de un sistema es una representación
gráfica de las funciones realizadas por cada
componente y el flujo de las señales de tal forma
indica las relaciones e interacciones de los
componentes.
• En un diagrama de bloques todas las variantes del
sistema son enlazadas entre si a través de bloques
funcionales.
• Un
U bloque
bl
f i l es un símbolo
funcional
í b l de
d la
l operación
ió
matemática que el bloque produce en la salida, sobre
la señal que tienen a la entrada.
entrada
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10. Diagrama de Bloque
• Un bloque funcional es un símbolo de la operación
matemática que el bloque produce en la salida, sobre
la señal que tienen a la entrada.
Y (s )
Salida
G (s ) =
=
X (s ) Entrada
X (s )
Y (s )
G (s )
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10.1 Detector de error
• El detector de error produce una señal que es la
diferencia de entrada y la señal de realimentación del
sistema de control.
R(s )
+
E (s )
−
C (s )
• El símbolo positivo o negativo en la punta de la flecha
indica si la señal ha se ser sumada o restada.
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10. Diagrama de Bloque
• Un punto de bifurcación es el punto desde el cual la
señal de salida de uno o varios bloques es tomada y
desviada hacia el punto de suma.
R(s ) +
E (s )
G (s )
C (s )
−
H (s )
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10. Diagrama de Bloque
• La relación entre la señal de realimentación B(s) y la
señal de error actuante E(s)
( ) se denomina ffunción de
transferencia de lazo abierto.
R(s ) +
E (s )
G (s )
C (s )
−
B(s )
H (s )
E (s )
B(s )
Función de Transferencia
Lazo Abierto
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10. Diagrama de Bloque
R(s ) +
B(s )
E (s )
G (s )
C (s )
−
H (s )
B (s )
= G (s )H (s ) = Funcion de Transferencia de Lazo Abierto
E (s )
B (s )
Senal de Realimentacion
= G (s )H (s ) =
E (s )
Error actuante
C (s )
= G (s )Funcion de Transferencia de Paso Directo
E (s )
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10. Diagrama de Bloque
• La relación entre la salida C(s) y la señal de error
actuante E(s) se denomina función de transferencia.
R(s ) +
B(s )
E (s )
G (s )
C (s )
−
H (s )
C (s ) = G (s )E (s )
E (s ) = R(s ) − B(s )
B(s ) = H (s )C (s )
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10. Diagrama de Bloque
E (s ) = R(s ) − B(s )
Senal de Entrada
R(s ) +
B(s )
E (s )
C (s ) = G (s )E (s )
G (s )
−
Realimentacion
H (s )
B(s ) = H (s )C (s )
G (s )
C (s ) =
R(s )
1 + G (s )H (s )
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11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a
una Perturbación
N (s )
R(s ) +
E (s )
G1 (s )
+
+
G2 (s )
C (s )
−
H (s )
• Cuando un sistema lineal están presente dos o mas
señales
cada
entrada
puede
ser
tratada
i d
independientemente
di t
t de
d la
l otra
t o se pueden
d sumar las
l
salidas correspondientes a cada una de las entradas
independientes
p
ppara obtener la salida total.
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11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a
una Perturbación
• Sea CN(s) la respuesta producida solo por la
perturbación.
C N (s )
G2 (s )
=
N (s ) 1+ G1 (s )G2 (s )H (s )
• Por otra parte, sea CR(s) la salida debido solamente a
la entrada R(s).
C R (s )
G1 (s )G2 (s )
=
R(s ) 1 + G1 (s )G2 (s )H (s )
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11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a
una Perturbación
• Finalmente, se tiene: C (s ) = C R (s ) + C N (s )
G2 (s )
[G1 (s )R(s ) + N (s )]
C (s ) =
1 + G1 (s )G2 (s )H (s )
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12. Reducción de Diagramas de Bloques
• Se pueden conectar los bloques en serie solamente si
la salida de un bloque no es afectada por la del bloque
siguiente.
g entre los componentes,
p
, es
• Si hayy efectos de carga
necesario combinarlos en un bloque único.
• Cualquier cantidad de bloques en cascada que
representen componentes sin carga puede sustituirse
con un solo bloque, cuya función de transferencia sea
simplemente
i l
ell producto
d
d las
de
l
f i
funciones
d
de
transferencia individuales.
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12. Reducción de Diagramas de Bloques
• La función de transferencia puede ser obtenida
eliminando la salida y entrada intermedia.
X 1 (s )
X 2 (s )
X 3 (s )
• Por definición de conoce que:
X 3 (s )
X 2 (s )
G2 (s ) =
G1 (s ) =
X 2 (s )
X 1 (s )
• De tal modo que se desea estimar una función de
transferencia correspondiente a la asociación de los
dos bloques en cascada.
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12. Reducción de Diagramas de Bloques
X 2 (s )
X 1 (s )
X 3 (s )
X 3 (s )
G (s ) =
X 1 (s )
G (s ) = G1 (s )G2 (s )
X 1 (s )
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X 3 (s )
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12. Reducción de Diagramas de Bloques
• En el caso de un diagrama de bloques complicado
(como son normalmente lo sistemas reales) que
contenga muchos lazos de realimentación, el proceso
de simplificación se realiza mediante un
reordenamiento paso a paso mediante las reglas del
álgebra de los diagramas de bloques.
• Algunas de estas reglas importantes aparecen en la
Tabla siguiente, sin embargo, todas son simple
propiedades de señales que son fácilmente
deducibles.
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12. Reducción de Diagramas de Bloques
Diagrama de bloque original
Diagrama de bloques equivalente
A−
G
A
+
AG − B
A
−
−
B
G
B
A
AG
G
A
+
AG
A
G
AG
A
A
+
−
G1
B
A
1 +
A
G1
−
AG − B
G
1
G
G
AG
G
AG
AG
G
A
AG
B
G
1
G
G1
A
G2
B
G
G22
A
+
−
G1
B
A
G1
1 + G1G2
B
G
G22
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12. Reducción de Diagramas de Bloques
• Se pueden representar en un único bloque cualquier
cantidad de bloques en cascada que representen
componentes que no carga, cuya función de
transferencia es simplemente el producto de las
funciones de transferencias individuales.
– Al simplificar bloques se puede tomar en cuenta:
– El producto de las funciones de transferencia en la
dirección de alimentación directa debe mantenerse
constante.
– El producto de las funciones de transferencia alrededor del
lazo debe mantenerse constante.
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13. Ejemplo de Reducción de Bloques:
Tomado de Ogata
• Considere el sistema que aparece representado en el
siguiente diagrama de bloques.
H2
R +
−
+
+
G1
+
−
G2
G3
C
H1
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13. Ejemplo de Reducción de Bloques:
Tomado de Ogata
• Se desea efectuar la reducción del diagrama de
bloques.
• Inicialmente se procede a mover el punto de suma del
lazo de realimentación negativa
g
que contiene H2,
q
hacia fuera del lazo de realimentación positiva que
H2
contiene H1.
G1
R +
−
−
+
+
+
G2
G1
G3
C
H1
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13. Ejemplo de Reducción de Bloques:
Tomado de Ogata
• Se procede a eliminar el lazo de realimentación
positiva se obtiene:
H2
G1
R +
−
−
+
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G1G2
1 − G1G2 H1
G3
C
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13. Ejemplo de Reducción de Bloques:
Tomado de Ogata
• La eliminación del lazo que contiene H2/Gl produce:
R +
−
R
G1G2 G3
1 − G1G2 H 1 + G2 G3 H 2
G1G2 G3
1 − G1G2 H1 + G2 G3 H 2 + G1G2 G3
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C
C
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