Examen Parcial de Sistemas de Potencia II 2007 Flujo de Potencia Problema 1. [5 pts] Se tiene un sistema de potencia que consta de dos generadores, un sistema de transmisión y carga, como se muestra en la siguiente Figura. 1 3 2 G1 G2 Z = 0.0102 + 0.0315 j Z = 0.0360 + 0.1200 j 23 13 V1 = 1.05∠0° p.u S load 3 = 1.1 + 1.0 j Pgen 2 = 0.6 Qgen 2 = 0.8 X c = −0.3250 j Emplear el método de Gauss-Seidel, para calcular la magnitud y ángulo de voltaje de cada barra en dos (02) iteraciones. Los datos del sistema están en el sistema por unidad sobre las mismas bases. NOTA: Emplee cuatro decimales. Problema 2. El siguiente sistema de potencia tiene todos los parámetros en las mismas bases. 2 1 Z12 = 0.04 + 0.300 j S gen1 = 0.5 + 0.4 j Z13 S gen 2 Z 23 = 0.06 + 0.250 j 3 S13 = 0.7 + 0.2 j = 0.05 + 0.350 j V3 = 1.1∠0° p.u Z c = −1.50 j S gen3 2.1. [6 Pts] Calcular los flujos de potencia que entran en cada barra. 2.2. [2 Pts] Calcular las perdidas de potencia en el sistema de transmisión. Slosses = SgenTotal - SloadTotal NOTA: Emplee cuatro decimales. Problema 3. [5 pts] Considere el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧− x1 + 2 x2 + 10 x3 = 11 ⎪ ⎨11x1 − x2 + 2 x3 = 12 ⎪x + 5x + 2 x = 8 2 3 ⎩ 1 Emplear el método de Gauss-Seidel para resolver las tres (03) primeras iteraciones de este problema, empleando como condicione iniciales: x10 = 1.0001 , x20 = 1.0001 , x30 = 1.0001 . NOTA: emplee 4 decimales. Iteración 0 1 2 3 x1 x2 x3 Problema 1. [5 pts] Se tiene un sistema de potencia que consta de dos generadores, un sistema de transmisión y carga, como se muestra en la siguiente Figura. 2 1 G1 G2 Z = 0.0102 + 0.0315 j Z = 0.0360 + 0.1200 j 23 13 V1 = 1.05∠0° p.u S load 3 = 1.1 + 1.0 j Pgen 2 = 0.6 Qgen 2 = 0.8 X c = −0.3250 j Emplear el método de Gauss-Seidel, para calcular la magnitud y ángulo de voltaje de cada barra en dos (02) iteraciones. Los datos del sistema están en el sistema por unidad sobre las mismas bases. NOTA: Emplee cuatro decimales. Resolución Se procede a calcular la matriz admitancia de barra del sistema: 1 1 y13 = = = 2.2936 − 7.6453 j z13 0.0360 + 0.1200 j y23 = 1 1 = = 9.3041 − 28.7333 j z 23 0.0102 + 0.0315 j y20 = 1 1 = = 3.0769 j X c − 0.3250 j La matriz admitancia de barra del sistema incluyendo la admitancia del capacitor resulta: 0+0j − 2.2936 + 7.6453 j ⎤ ⎡ 2.2936 − 7.6453 j Ybus = ⎢⎢ 0+0j 9.3041 − 25.6365 j − 9.3041 + 28.7333 j ⎥⎥ ⎢⎣− 2.2936 + 7.6453 j − 9.3041 + 28.7333 j 11.5977 − 36.3786 ⎥⎦ Las ecuaciones iterativas a resolver son: V2( k +1) = V3( k +1) = 1 Y22 1 Y33 ⎤ ⎡ P − jQ (k ) 2 ⎥ ⎢ 2 Y V Y V − − 21 1 23 3 ⎥ ⎢ V *( k ) ⎦ ⎣ 2 ⎡ P − jQ 3 ⎢ 3 − Y32V2( k +1) − Y31V1 ⎢ V *( k ) ⎣ 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ Se emplea un arranque plano: V1 = 1.05∠0° , V20 = 1.0∠0° . Sustituyendo resulta: Iteración V2 V3 1.1410-0.0278j 1.0884+0.0412j 1 1.1414∠-1.3937° 1.0892∠-2.1655° 1.2331-0.0788j 1.1635-0.0784j 2 1.2356∠-3.6563° 1.1662∠-3.8542° Problema 2. El siguiente sistema de potencia tiene todos los parámetros en las mismas bases. 2 1 Z12 = 0.04 + 0.300 j S gen1 = 0.5 + 0.4 j Z13 S gen 2 Z 23 = 0.06 + 0.250 j 3 S13 = 0 .7 + 0 .2 j = 0.05 + 0.350 j V3 = 1.1∠0° p.u Z c = −1.50 j S gen3 2.1. [6 Pts] Calcular los flujos de potencia que entran en cada barra. 2.2. [2 Pts] Calcular las perdidas de potencia en el sistema de transmisión. Slosses = SgenTotal - SloadTotal Resolución De la barra 3 resulta directamente, se calcula la corriente que llega por la línea 1-3: * ⎛ S 3 ⎞ ⎛ 0.7 + 0.2 j ⎞* I13 = ⎜ 13 ⎟ = ⎜ = 0.6364 − 0.1818 j = 0.6618∠ − 15.9456 ⎜ V ⎟ ⎝ 1.1∠0 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎠ Es fácil efectuar un recorrido de malla entre la barra 3 y la barra 1, resultando: V1 = Z13 I13 + V3 Sustituyendo valores resulta: V1 = 1.2144∠10.1322 Se calcula la potencia que se envía desde la barra 1 por la línea 1-3: 1 * S13 = V1I13 1 S13 = 0.8037∠26.0778 = 0.7219 + 0.35533 j Una vez hecho esto se procede a plantear unos balances de potencia en la barra 1: 1 1 S gen1 = S13 + S12 1 1 S gen1 − S13 = S12 1 S12 = −0.2219 + 0.0467 j = 0.2268∠168.1152° Con esta potencia de envío se determina la corriente que circula por la línea 1-2: * ⎛ S1 ⎞ I12 = ⎜⎜ 12 ⎟⎟ = 0.1868∠ − 157.9830 = −0.1731 − 0.0700 j ⎝ V1 ⎠ Efectuando un simple recorrido de malla se tiene: V2 = V1 − Z12 I12 V2 = 1.1814 + 0.2683 j = 1.2115∠12.7963 Se determina la potencia que llega a la barra 2 por la línea 1-2: 2 * S12 = V2 I12 2 S12 = −0.2234 + 0.0363 j = 0.2263∠170.7793 Se determina la corriente que circula por la línea 1-3, empleando los voltajes 2 y 3 conocidos: V2 − V3 I 23 = 1.0886 − 0.0643 j = 1.0905∠ − 3.3816° Z 23 Se calcula la potencia que la línea 2-3 lleva a la barra 3: I 23 = 2 * S 23 = V2 I 23 2 S 23 = 1.2688 + 0.3681 j = 1.3211∠16.1779 De tal modo que la potencia en cada barra resulta: S gen1 = 0.5 + 0.4 j 2 2 S gen 2 = S 23 + S12 = 1.4922 + 0.3318 j = 1.5287∠12.5358 2 2 S gen3 = − S 23 − S12 = −1.8975 − 1.0775 j = 2.1821∠ − 150.4106 Una vez conocidas las potencia generadas, el cálculo de las perdidas de potencia producidas es simple: S perdidas = S gen1 + S gen 2 + S gen3 + V3 2 − jX c S perdidas = 0.0947 + 0.4610 j Otro modo de cálculo, es por el uso de las perdidas de potencias en las líneas. 2 2 2 Plosses = R12 I12 + R23 I 23 + R13 I13 = 0.0947 2 2 2 Qlosses = X 12 I12 + X 23 I 23 + X 13 I13 = 0.46120 Problema 3. [5 pts] Considere el siguiente sistema de ecuaciones. ⎧− x1 + 2 x2 + 10 x3 = 11 ⎪ ⎨11x1 − x2 + 2 x3 = 12 ⎪x + 5x + 2 x = 8 2 3 ⎩ 1 Emplear el método de Gauss-Seidel para resolver las tres (03) primeras iteraciones de este problema, empleando como condicione iniciales: x10 = 1.0001 , x20 = 1.0001 , x30 = 1.0001 . NOTA: emplee 4 decimales. Resolución Se despeja de la i-ésima ecuación, la i-ésima variable: x1 = −11 + 2 x2 + 10 x3 x2 = −12 + 11x1 + 2 x3 x3 = 8 − x1 − 5 x2 2 Siendo las ecuaciones iterativas: x1( k +1) = −11 + 2 x2( k ) + 10 x3( k ) x2( k +1) = −12 + 11x1( k +1) + 2 x3( k ) x3( k +1) = 8 − x1( k +1) − 5 x2( k +1) 2 Sustituyendo valores se tiene: Iteración 0 1 2 3 x1 1.0001 1.0012 0.6858 83.6322 x2 1.0001 1.0134 -2.5244 927.8904 x3 1.0001 0.9659 9.9681 -2.3575e+003