Geometria 2
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107 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . CONTENIDO 7 CONTEXTO Y JUSTIFICACIÓN. CONTEXTO : JUSTIFICACIÓN : La ciencia utiliza el método deductivo, que consiste en encadenar los saberes de manera tal que se obtengan nuevos conocimientos. En Geometría, existen puntos de partida necesarios para obtener nuevos saberes y que son aceptados por sí mismos : son los axiomas y postulados ; es decir se fijan conceptos primitivos que se aceptan sin definir y ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar, que son los axiomas. A partir de los conceptos primitivos ( punto, recta, plano ) se definen nuevos conceptos y de los axiomas se deducen nuevas propiedades apareciendo los teoremas, que son verdades que deben ser demostradas y de las cuales puedo obtener otras proposiciones que son los corolarios. En Babilonia ( entre 8000 y 6000 años A.C.) y en Egipto ( 700 y 500 años A.C. ) se hicieron estudios de la Geometría como conjunto de reglas prácticas aplicadas preferencialmente a la agromensura y la agricultura, para que, posteriormente en Gracia se ordenaran dichos conocimientos dando paso a la ciencia con sus deducciones en forma rigurosa y racional. En Grecia aparecen Thales, Heródoto, Pitágoras, Euclides que con sus aportes permiten construir el edificio de la Geometría que prevalece hasta hoy día. ACTIVIDAD : Como buen investigador, busca antecedentes sobre los conceptos que fueron entregados en el párrafo anterior y complementa cada uno con dos buenos ejemplos : AXIOMA POSTULADO TEOREMA COROLARIO AXIOMA : POSTULADO : TEOREMA : COROLARIO : 108 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . CONTENIDO 8 Recordar y aplicar los conceptos fundamentales de la geometría plana : a) axiomas y postulados b) conceptos básicos : recta, ángulo c) teoremas sobre ángulos Geometría: Ciencia que estudia las propiedades de las figuras desde el punto de vista de la forma, de la magnitud, de la posición. Algunos conjuntos de puntos son: Nombre del Conjunto Representación PUNTO P Simbolo Dimensión SEGMENTO RAYO PLANO X P Se lee RECTA M N M MN N M N MN MN P Punto P Recta MN Recta NM Segmento MN Segmento NM Rayo MN Plano P No tiene Una: LARGO Una: LARGO Una: LARGO Dos: LARGO y ANCHO ÁNGULO: podemos darle la siguiente definición : “es la porción de un plano limitada por dos rayos (dos semirrectas) que tienen un vértice común”. A O O = vértice del ángulo OA y OB rayos AOB BOA B 109 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . Un ángulo se mide en grados, minutos y segundos. El circulo completo mide 360º, es decir, un grado es la trescientas sesenta ava parte del circulo completo. Un grado se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes se llama minuto, es decir: 1º = 60’ Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de ellas recibe el nombre de segundo, es decir: 1’ = 60’’ CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS : (completa el cuadro) ÁNGULO COMPLETO mide ÁNGULO EXTENDIDO ÁNGULO OBTUSO mide Mide Dibujo Dibujo ÁNGULO RECTO mide ÁNGULO AGUDO mide Dibujo Dibujo Dibujo Dibujo SUMA (RESTA) DE ANGULOS: Los ángulos expresados en grados, minutos y segundos se pueden sumar o restar como sigue: Ejemplos: 1) Suma de ángulos: Luego, 15º 28’ 35’’ + 48º 47’ 52’’ 63º 75’ 87’’ 63º 76’ 87’’ = 64º 16’ 27’’ 2) Realiza la resta: Así 150º - 122º 45’ 35’’ 149º 59’ 60’’ - 122º 45’ 35’’ 27º 14’ 25’’ 110 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . EJERCICIOS PROPUESTOS 1.) Determinar el valor de los siguientes ángulos: AOC BOD AOE AOF = = = = D BOE = COF = DOF = C 42º E 51º B 45º 30º 0 A F 2.) Dados los siguientes ángulos: = 23º 45’ , = 120º 40’ 32’’ a) + + = , = 92º 10’ 20’’ b) - = Calcula c) 2 A 3) En la figura, OC es bisectriz del AOB. Encuentra el valor de x e y , si AOB = 140º. C 2y-20º x+10º O DEFINICIONES : B ÁNGULOS CONSECUTIVOS Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado en común. y son consecutivos ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Dos ángulos consecutivos son complementarios si suman en conjunto 90º. 9 ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos consecutivos son suplementarios si suman en conjunto 180º 180º 111 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE. L1 1 3 2 1 4 5 8 4 2 3 6 7 L2 7 8 EJERCICIOS : 4. En la figura, ¿ cuál es el valor de x ? 2x-1 5. En la figura, ¿ cuál es el valor de x ? 29º x+80 70° 6. En la figura, encuentra los valores de x e y y+10º 2x 3x-70º 7. La suma de las magnitudes de dos ángulos es 124º. Si la medida de uno de ellos es el triple de la del otro. ¿ cuál es la medida de cada uno de ellos ? 8. Tres ángulos suman 157°. El mayor mide 32º más que el segundo, y éste 25º más que el tercero. ¿ Cuánto vale cada ángulo ? 9) 10) 3x 2x 2x-10° x+40° 5x 12) x+50° 2x-80° 13) 5x-75° 3x 11) 14) x+20° 3x-15° x+20° 3x 116° 112 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . CONSTRUCCIONES BÁSICAS. Es necesario para el trabajo posterior de polígonos, sepas realizar las construcciones básicas de geometría, esto es con compás y escuadra. 14. Copia en tu cuaderno el ángulo dado en la figura : 15. En tu cuaderno, construye la simetral del trazo AB: La simetral es la perpendicular en el punto medio del segmento dado. A B 16. Construye la bisectriz del ángulo dado. 17. Desde un punto P exterior a la recta L, traza otra recta perpendicular a la recta dada. XP L 18. Encuentra el conjunto de todos los puntos del plano que están a distancia “d” del punto dado P. d 19. Comprueba con tus útiles , que los xP 113 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. 20. Desde un punto exterior P a una recta L, traza una paralela a la recta dada. P REFLEXIÓN : Los conocimientos sobre la Geometría en Egipto cobraron suma importancia en la construcción de las pirámides. ¿ Puedes considerar tú la cantidad de personas empleadas en la construcción de ese inmensa obra, la cantidad de material ? ¿ Sabías que este monumento ( la de Keops ) mide 230 metros por lado de su base cuadrada y 146 metros de altura ? ¿ A cuántas canchas de fútbol equivale su base ? Escribe en tu cuaderno el producto de tu reflexión CONTENIDO 9 LOS POLÍGONOS. POLÍGONOS. POLÍGONO es una figura limitada por segmentos de rectas. Los polígonos pueden ser cóncavos o convexos. 114 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 POLÍGONO CONVEXO . POLÍGONO CÓNCAVO. Se clasifican de acuerdo al número de lados: 3 lados es un _________________ 4 lados es ___________________. 5 lados es un _____________________ 6 lados es un _______________________ 10 lados es un _____________________ 20 lados es un __________________ ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO La suma de los ángulos interiores se obtiene multiplicando 180º por el número de lados del polígono menos dos. S = 180º ( n - 2 ) DIAGONALES Número de diagonales que parten de un sólo vértice. El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, desde un mismo vértice se obtiene restando tres al número de lados. d = n -3 NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES. El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados se obtiene según la siguiente fórmula: D = n ( n - 3) 2 POLIGONO REGULAR. Es el polígono que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos congruentes. Además se puede inscribir en una circunferencia. a) Angulo Interno: como tiene todo sus ángulos congruentes, se divide la suma total por el número de ángulos. i = 180 º ( n 2) n i 115 Área de TEXTO b) . Angulo del centro: se divide 360º por el número de lados del polígono . c) SAN MATEO 2002 c = 360º n c Angulo exterior: también se obtiene dividiendo 360º por el número de lados. e = 360º n EJERCICIOS. 21.- ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular? 22.- ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados? 23.- ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total en un polígono de 9 lados? 24.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 150º ? 25.- ¿En qué polígono se pueden trazar 9 diagonales en total ? 26.- En un polígono regular de 12 lados: a) ¿cuánto mide cada ángulo interior? b) ¿cuánto mide cada ángulo exterior? c) ¿cuánto mide cada ángulo central? e 116 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . CONTENIDO 10 TRIÁNGULOS. Identificar los triángulos. C ABC triángulo cualquiera AB , BC y AC lados del triángulo interiores A , , ’ ` B exteriores A, B y C vértices del triángulo CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS. SEGÚN SUS LADOS. 1. EQUILÁTERO AB BC AC 2. ISÓSCELES AC BC 3. ESCALENO AB BC AC SEGÚN SUS ÁNGULOS : 4. ACUTÁNGULO Todos sus ángulos interiores son agudos. 5. RECTÁNGULO 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios 6. OBTUSÁNGULO 1 ángulo obtuso y dos agudos. PROPIEDADES DE TODO TRIÁNGULO : I. LOS TRES ÁNGULOS INTERIORES SUMAN EN CONJUNTO 180º. 117 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . II. LOS TRES ANGULOS EXTERIORES EN CONJUNTO, SUMAN 360º. III. CADA ANGULO EXTERIOR ES EQUIVALENTE A LA SUMA DE LOS DOS ÁNGULOS INTERIORES NO ADYACENTES. EJERCICIOS : 27) De los tres ángulos de un triángulo el mayor mide 32 más que el segundo y éste 25 más que el tercero. ¿ Cuánto mide cada ángulo ? 28) El ángulo basal de un triángulo isósceles mide 57 más que el ángulo del vértice. ¿ Cuánto mide cada ángulo ? 29) Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón de 3 : 5 : 7. ¿ Cuál es la medida del ángulo del medio ? 30) El perímetro de un triángulo equilátero es 24. ¿ Cuál es la magnitud de su lado ? 31. 32. 35º 20° 30º y x 33.. 65° y x 34. x 120º 100º 35º 62º x y 118 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . SEGMENTOS SECUNDARIOS EN UN TRIÁNGULO. I.BISECTRICES. C AE = b BF = b CD = b F E A D Las tres bisectrices se cortan en un mismo punto que sirve de centro a la circunferencia INSCRITA. B DICHO PUNTO SE LLAMA INCENTRO. II. TRANSVERSALES DE GRAVEDAD. C F E punto medio de BC D punto medio de AB F punto medio de AC. E G AE = ta ; BF = tb ; CD = tc Las tres tranversales se cortan en un sólo punto llamado CENTRO DE GRAVEDAD. A D B Una característica especial de las transversales es que el segmento adyacente al vértice es el doble del segmento adyacente al lado. es decir, AG = 2GE. III. ALTURAS DEL TRIÁNGULO. C La altura es un segmento perpendicular al lado bajada desde el vértice opuesto. CD AB ; AE BC ; BF AC E Las tres alturas se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO. F A D B 119 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 IV. MEDIANAS. C . D, E y F son los puntos medios de los lados del triángulo. E DE, EF y FD son las medianas. F Cada mediana que une dos puntos medios es paralela al lado al tercer lado y es la mitad de dicho lado. B D A V. SIMETRALES Simetral es la perpendicular levantada en el punto medio de cada lado del triángulo. Las tres simetrales se cortan en un solo punto que sirve de centro a la circunferencia circunscrita, es decir, pasa por cada vértice del triángulo. Dicho punto se denomina CIRCUNCENTRO. 9. ¿Qué puedes decir acerca de las alturas?. Dibújalas. a) en un triángulo rectángulo Conclusiones B C A b) en un triángulo acutángulo B A Conclusiones C c) en un triángulo obtusángulo Conclusiones B A C 120 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 Dibuja las medianas : . Conclusiones B A C Traza las simetrales de los lados del triángulo : Conclusiones B A C Traza las transversales de gravedad : Conclusiones B A C CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS PRIMER CASO : Se conocen los tres lados. Construye un triángulo dados : lado a = 4 ; b = 5 cm y c = 6 cm. Construcción : 1º Se dibujan los tres trazos dados 2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y con radio c. Se determina el vértice B. 3º Desde A se traza un nuevo arco hacia C con radio b. 4º Desde el vértice B se traza un arco hacia C con radio a. 5º Queda determinado el vértice C. Se une A con C y b con C a b c b a 121 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 A c . B EN TU CUADERNO : 35. Dibuja un triángulo dados : a = 12 : b = 7 ; c = 8 36.¿ Crees tú poder construir una triángulo dados a = 4 ; b = 6 ; c = 12 cm. ? SEGUNDO CASO : Se conocen dos lados y el ángulo formado por ellos.. Construye un triángulo dados : lado b = 4 ; c = 5 cm y = 60º. Construcción : 1º Se dibujan los dos trazos dados y el ángulo de 60º 2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y con radio c. Se determina el vértice B. 3º En A se copia el ángulo de 60º. Se obtiene el lado libre del ángulo . 4º Sobre el lado libre del ángulo se copia el segmento b. Se determina el vértice C. 5º Se une B con C y queda construido el triángulo. CONSTRUCCIÓN ( EN TU CUADERNO ) EN TU CUADERNO : 37. Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º 38. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º TERCER CASO : Se conocen un lado y los dos ángulos contiguos. Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; = 120º y = 30º. Construcción : 1º Se dibujan el trazo dado y los dos ángulos dados. 2º Se traza una recta. Se determina el vértice a. Se dibuja una arco centro A y con radio c. Se determina el vértice B. 3º En el vértice A se copia el ángulo . 4º En el vértice B se copia el ángulo . 5º Se unen los vértices con los puntos determinados en cada arco. Queda determinado el triángulo ABC. EN TU CUADERNO : 39. Construye un triángulo dados : a = 4,5 cm ; = 75º y = 50º 122 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . 40. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; = 105º y = 35º CUARTO CASO : Se conocen dos lados y un ángulo. Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; b = 5,4 cm y = 85º. Construcción : 1º Se dibujan los tres datos 2º Se traza una 3º 4º 5º EN TU CUADERNO : 41. Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º 42. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º 43. El pueblo A está situado a 23 km al sur del pueblo B. El pueblo C está 35 km al suroeste de B. ¿ Cuál es la distancia entre A y C? 44. Desde un acantilado, Luis observa un barco bajo un ángulo de 20º. Luis se encuentra a 15 metros sobre el nivel del mar. ¿ A qué distancia está el barco CONTENIDO Nº 11 : C O N G R U E N C I A. De que somos figuras, sí... Pero...¿ seremos congruentes? Oye...¿crees tú que somos figuras congruentes ? 123 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUENTES Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales : A AB = A’B’ , A = A’ AC = A’C’ , B = B’ BC = B’C’ , C = C’ A’ B C B’ C’ La notación de que un triangulo es congruente con otro lo anotamos ABC A’B’C’ Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes : CRITERIO ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L ..A) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él : A : A = A’ L : AB = A’B’ A : B = B’ C A B C’ ’ A’ ’ B’ 124 Área de TEXTO 2. CRITERIO SAN MATEO 2002 LADO - ANGULO - LADO . ( L . A .L ) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos : L : AC = A’C’ A : = ’ L : AB = A’B’ C C’ ’ B A 3. CRITERIO ’ A’ LADO - LADO - ANGULO B’ ( L . L. A . ) Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos : L : AC = A’C’ L : BC = B’C’ A : = ’ C C’ ’ A ’ B 4. CRITERIO ’ A’ LADO - LADO - LADO B’ ( L . L. L . ) Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales : L : AC = A’C’ L : BC = B’C’ L : AB = A’B’ C A C’ ’ ’ B ’ A’ B’ DOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN : C 1) TEOREMA : La bisectriz correspondiente al ángulo basal de un triángulo isósceles es perpendicular a la base y la biseca. 1 2 Hipótesis : ABC es isósceles CD es bisectríz Tesis : ADC = CDB = 90º y AD = DB A D B 125 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de la hipótesis en la figura para luego darse cuenta cuál es el criterio a utilizar , así : L : AC = BC A : 1=2 L : CD = CD Por tanto : (lados iguales de un triángulo isósceles ) (por ser CD bisectríz ) ( lado común a los dos triángulos ) ADC DBC ( por criterio L.A.L.) Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos respectivos son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) , así : ADC + CDB = 180º ( son ángulos adyacentes ) y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los opuestos a lados iguales ). Además : AD = DB Q. E. D. ( por ser elementos homólogos ) ( Queda Esto Demostrado ) 2) En la figura : F E y CFA = EDA Hipótesis : FA = DA Tesis : i) ACF ADE ii) A es el punto medio de CE A C D Demostración : I : CFA = EDA ( por hipótesis ) II : FA = DA ( por hipótesis ) III: CAF = EAD ( ángulos opuestos por el vértice ) por tanto : i) ACF ADE ii) CA = EA ( por criterio L.A.L.) ( lados homólogos ) 3) En la figura : Hipótesis : Tesis : C AC = AD y BC = BD i) ABC ABD ii) ACB = ADB A B D 126 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . Demostración : I: AC = AD ( por hipótesis ) II : BC = BD ( por hipótesis ) III : AB = AB ( por hipótesis ) Así : i) ii) ABC ABD ACB = ADB ( por criterio L.L.L.) ( ángulos homólogos ) E J E R C I C I O S. 45. Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o ángulos respectivamente congruentes. ¿ En qué casos se puede asegurar la congruencia del par de triángulos ? Indica el criterio utilizado en cada caso : a) A B F b) E C E D A F D B C AB = DE , AC = FE , BC = DF c) AC = DF AB = ED CAB = EDF N d) M D C R L A J B DAB = CBA DBA = CAB AB = AB K MN = LJ MR = JK NRM = LKJ E e) f) A D A D F B C E C B BC = EF AB = DE AB = BC = AC DE = DF = FE F 127 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . 46. Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo ) a) Dos trazos o segmentos b) Dos rectángulos c) Dos cuadrados d) Dos circunferencias 47. Responde , EN EL CUADERNO ,las siguientes preguntas ( Justifica tus respuestas ) a) ¿ Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares ? b) ¿ Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más estricto sentido matemático ? c) Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. ¿ Son los cuadrados necesariamente congruentes ? d) Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. ¿ Son los cubos congruentes ? En los casos siguientes demuestra lo que se indique : R 48. Hipótesis : 1 = 2 ; 3 = 4 Tesis : RZS RZT 1 2 T 3 4 Z S T 49. Hipótesis : 3 = 4 = 90º ; RS = RT Tesis : RZS RZT 3 4 Z R S 50. Hipótesis : Tesis : DE EF ; XY XZ D = Y ; DZ = FY DEF XYZ E D X Z 51. Hipótesis : AC = BC y CD = CE Tesis : ADC BEC F Y C A D E B 128 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . CONTENIDO Nº 12 : CUADRILÁTEROS. CUADRADO PARALELOGRAMO RECTANGULO (dos pares de lados paralelos) lados iguales ángulos rectos lados paralelos iguales ángulos rectos ROMBO lados iguales lados paralelos iguales ROMBOIDE diagonales se bisecan y son perpendiculares entre sí. sus diagonales se bisecan. sus diagonales se bisecan y son ángulos oblicuos perpendiculares entre sí. ángulos oblicuos sus diagonales se bisecan Los ángulos internos y opuestos son congruentes. Los ángulos internos no opuestos son suplementarios. TRAPECIOS ESCALENO (Sus lados no paralelos desiguales) ISOSCELES (Sus lados no paralelos iguales ) RECTANGULO (Tiene dos ángulo rectos 55.- En los casos siguientes , si ABCD es paralelogramo , hallar el valor de las variables: 2y - 2 a) B C b) 2x A B C c) B y C E D A x+40 D A D 2y-10 Perímetro ROMBO = 40 DE = 3 y , BE = x AC = 30 , EC = z ABCD es rombo 129 Área de TEXTO 56.- SAN MATEO 2002 . En los siguientes casos , si ABCD es un rombo , hallar x a) B C 2y A b) B y +20 3x-7 y+10 x D C c) e y. B C 20 A D A D BAC = 4x - 5 CAD = 2x + 15 57.- Sean ABCD trapecio, hallar x e y en los casos siguientes : a) B 105º 3y A C 9x+5º b) B y 2x+10º 2x+10º D A C c) 4x-30º D B y C 7x 2x A D 58.- Si ABCD es un paralelogramo , hallar x e y en los casos siguientes : B C (a) AD = 5x , AB = 2x , CD = y , Perímetro = 84 . (b) AB = 2x , BC = 3y+8 , CD = 7x25 , AD = 5y10 . (c) A = 4y60 , C = 2y , D = x . (d) A= 3x , B = 10x15 , C = y . A D E J E R C I C I O S. Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los paralelógramos : D C 59. Los lados opuestos de los paralelógramos son iguales. AB = CD y AD = BC A B A 60. Los ángulos opuestos de los paralelógramos son iguales : ABC = ADC y DAC = BCD D E C 61. Las diagonales de un paralelógramo se dimidian : AE = EC 62. Hipótesis : AD // BC y AB // DC Tesis : ACD ACB B D y BE = DE C 130 Área de TEXTO SAN MATEO 2002 . A B 63.. Hipótesis : CD = AB y 2 = 4 Tesis : ACD ACB y BC = AD D C 4 2 A 64.Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí. B D C Hipótesis : ABCD es rombo Tesis : AC DB A 65.Las diagonales de un rectángulo son iguales. B D C Hipótesis : ABCD es rectángulo Tesis : AC = BD A BIBLIOGRAFIA. ALGEBRA de BALDOR. ALGEBRA Y GEOMETRIA, Tomo I, Editorial Santillana. ALGEBRA de DOLCIANI. ALGEBRA. Tomo I. Editorial Arrayán. DESCUBRIENDO LA MATEMATICA. Tomo I. Editorial Salesiana ALGEBRA de PROESCHLE. B