Geometria 2

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107
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
 CONTENIDO 7
CONTEXTO Y
JUSTIFICACIÓN.
CONTEXTO :
JUSTIFICACIÓN :
La ciencia utiliza el método deductivo, que consiste en encadenar los saberes de manera tal que se
obtengan nuevos conocimientos.
En Geometría, existen puntos de partida necesarios para obtener nuevos saberes y que son aceptados
por sí mismos : son los axiomas y postulados ; es decir se fijan conceptos primitivos que se aceptan sin definir
y ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar, que son los axiomas. A partir de los conceptos primitivos
( punto, recta, plano ) se definen nuevos conceptos y de los axiomas se deducen nuevas propiedades
apareciendo los teoremas, que son verdades que deben ser demostradas y de las cuales puedo obtener otras
proposiciones que son los corolarios.
En Babilonia ( entre 8000 y 6000 años A.C.) y en Egipto ( 700 y 500 años A.C. ) se hicieron estudios de
la Geometría como conjunto de reglas prácticas aplicadas preferencialmente a la agromensura y la agricultura,
para que, posteriormente en Gracia se ordenaran dichos conocimientos dando paso a la ciencia con sus
deducciones en forma rigurosa y racional.
En Grecia aparecen Thales, Heródoto, Pitágoras, Euclides que con sus aportes permiten construir el
edificio de la Geometría que prevalece hasta hoy día.
ACTIVIDAD :
Como buen investigador, busca
antecedentes sobre los conceptos que
fueron entregados en el párrafo
anterior y complementa cada uno
con dos buenos ejemplos :
AXIOMA
POSTULADO
TEOREMA
COROLARIO
AXIOMA :
POSTULADO :
TEOREMA :
COROLARIO :
108
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
 CONTENIDO 8
Recordar y aplicar los conceptos fundamentales
de la geometría plana :
a) axiomas y postulados
b) conceptos básicos :
recta, ángulo
c) teoremas sobre ángulos
Geometría: Ciencia que estudia las propiedades de las
figuras desde el punto de vista de la forma, de la
magnitud, de la posición.
Algunos conjuntos de puntos son:
Nombre del
Conjunto
Representación
PUNTO
P
Simbolo
Dimensión
SEGMENTO
RAYO
PLANO
X
P
Se lee
RECTA
M
N M

MN
N
M
N

MN
MN
P
Punto P
Recta MN
Recta NM
Segmento
MN
Segmento
NM
Rayo MN
Plano P
No tiene
Una:
LARGO
Una:
LARGO
Una:
LARGO
Dos: LARGO
y
ANCHO
ÁNGULO: podemos darle la siguiente definición : “es la porción de un plano limitada
por dos rayos (dos semirrectas) que tienen un vértice común”.
A
O
O = vértice del ángulo


OA y OB rayos
 AOB   BOA   
B
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Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
Un ángulo se mide en grados, minutos y segundos.
El circulo completo mide 360º, es decir, un grado es la trescientas sesenta ava parte del circulo
completo.
Un grado se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes se llama minuto, es decir:
1º = 60’
Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de ellas recibe el nombre de segundo, es decir:
1’ = 60’’
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS : (completa el cuadro)
ÁNGULO COMPLETO
mide
ÁNGULO EXTENDIDO ÁNGULO OBTUSO
mide
Mide
Dibujo
Dibujo
ÁNGULO RECTO
mide
ÁNGULO AGUDO
mide
Dibujo
Dibujo
Dibujo
Dibujo
SUMA (RESTA) DE ANGULOS: Los ángulos expresados en grados, minutos y segundos se pueden sumar
o restar como sigue:
Ejemplos:
1) Suma de ángulos:
Luego,
15º 28’ 35’’
+ 48º 47’ 52’’
63º 75’ 87’’
63º 76’ 87’’ = 64º 16’ 27’’
2) Realiza la resta:
Así
150º
- 122º 45’ 35’’
149º 59’ 60’’
- 122º 45’ 35’’
27º 14’ 25’’
110
Área de TEXTO
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.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.) Determinar el valor de los siguientes ángulos:
AOC
BOD
AOE
AOF
=
=
=
=
D
BOE =
COF =
DOF =
C
42º
E
51º
B
45º
30º
0
A
F
2.) Dados los siguientes ángulos:
 = 23º 45’ ,  = 120º 40’ 32’’
a)  +  +  =
,
 = 92º 10’ 20’’
b)  -  =
Calcula
c) 2 
A
3) En la figura, OC es bisectriz del  AOB.
Encuentra el valor de x e y , si  AOB = 140º.
C
2y-20º
x+10º
O
DEFINICIONES :
B
ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado
en común.

 y  son consecutivos

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
Dos ángulos consecutivos son complementarios si suman
en conjunto 90º.

      9

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos consecutivos son suplementarios
si suman en conjunto 180º
      180º


111
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.
ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA
SECANTE.
L1
1
3
2
1  4  5  8
4
2  3  6  7
L2
7
8
EJERCICIOS :
4. En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?
2x-1
5. En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?
29º
x+80
70°
6. En la figura, encuentra los valores de x e y
y+10º
2x
3x-70º
7. La suma de las magnitudes de dos ángulos es 124º. Si la medida de uno de ellos es el
triple de la del otro. ¿ cuál es la medida de cada uno de ellos ?
8. Tres ángulos suman 157°. El mayor mide 32º más que el segundo, y éste 25º más que
el tercero. ¿ Cuánto vale cada ángulo ?
9)
10)
3x
2x
2x-10°
x+40°
5x
12)
x+50°
2x-80°
13)
5x-75°
3x
11)
14)
x+20°
3x-15°
x+20° 3x
116°
112
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
CONSTRUCCIONES BÁSICAS.
Es necesario para el trabajo posterior de polígonos, sepas realizar las construcciones
básicas de geometría, esto es con compás y escuadra.
14.
Copia en tu cuaderno el ángulo  dado en la figura :

15. En tu cuaderno, construye la simetral
del trazo AB:
La simetral es la perpendicular en el
punto medio del segmento dado.
A
B
16. Construye la bisectriz del ángulo dado.
17. Desde un punto P exterior a la recta L, traza otra recta perpendicular a la recta dada.
XP
L
18. Encuentra el conjunto de todos los puntos del plano que están a distancia “d” del punto dado P.
d
19. Comprueba con tus útiles , que los
xP
113
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
ángulos opuestos por el vértice
son iguales entre sí.
20. Desde un punto exterior P a una recta L, traza una
paralela a la recta dada.
P
REFLEXIÓN :
Los conocimientos sobre la Geometría en Egipto
cobraron suma importancia en la construcción de las
pirámides.
¿ Puedes considerar tú la cantidad
de personas empleadas en la construcción de
ese inmensa obra, la cantidad de material ?
¿ Sabías que este monumento
( la de Keops ) mide 230 metros por lado de
su base cuadrada y 146 metros de altura ? ¿
A cuántas canchas de fútbol equivale su
base ?
Escribe en tu cuaderno el producto de tu reflexión
 CONTENIDO 9
LOS POLÍGONOS.
POLÍGONOS.
POLÍGONO es una figura limitada por segmentos de rectas.
Los polígonos pueden ser cóncavos o convexos.
114
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
POLÍGONO CONVEXO
.
POLÍGONO CÓNCAVO.
Se clasifican de acuerdo al número de lados:
3 lados es un _________________
4 lados es ___________________.
5 lados es un _____________________
6 lados es un _______________________
10 lados es un _____________________
20 lados es un __________________
ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO
La suma de los ángulos interiores se obtiene multiplicando 180º por el número
de lados del polígono menos dos.
S = 180º ( n - 2 )
DIAGONALES
Número de diagonales que parten de un sólo vértice.
El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, desde un mismo
vértice se obtiene restando tres al número de lados.
d = n -3
NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES.
El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados se obtiene
según la siguiente fórmula:
D =
n
( n - 3)
2
POLIGONO REGULAR.
Es el polígono que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos congruentes.
Además se puede inscribir en una circunferencia.
a)
Angulo Interno: como tiene todo sus ángulos congruentes, se
divide la suma total por el número de ángulos.
i =
180 º ( n  2)
n
i
115
Área de TEXTO
b)
.
Angulo del centro: se divide 360º por el número de lados del
polígono
.
c)
SAN MATEO 2002
c =
360º
n
c
Angulo exterior: también se obtiene dividiendo 360º por el
número de lados.
e =
360º
n
EJERCICIOS.
21.- ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular?
22.- ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?
23.- ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total en un polígono de 9 lados?
24.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 150º ?
25.- ¿En qué polígono se pueden trazar 9 diagonales en total ?
26.- En un polígono regular de 12 lados:
a) ¿cuánto mide cada ángulo interior?
b) ¿cuánto mide cada ángulo exterior?
c) ¿cuánto mide cada ángulo central?
e
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Área de TEXTO
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 CONTENIDO 10
TRIÁNGULOS.
Identificar los triángulos.
C
ABC triángulo cualquiera
AB , BC y AC lados del triángulo


    interiores
A
 ,  ,


’
`
B
 exteriores
A, B y C vértices del triángulo
CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS.
SEGÚN SUS LADOS.
1. EQUILÁTERO
AB  BC  AC

    
2. ISÓSCELES
AC  BC

  
3. ESCALENO
AB  BC  AC
SEGÚN SUS ÁNGULOS :
4. ACUTÁNGULO
Todos sus ángulos interiores son agudos.
5. RECTÁNGULO
1 ángulo recto y dos agudos suplementarios
6. OBTUSÁNGULO
1 ángulo obtuso y dos agudos.
PROPIEDADES DE TODO TRIÁNGULO :
I. LOS TRES ÁNGULOS INTERIORES SUMAN EN CONJUNTO 180º.
      
117
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
II. LOS TRES ANGULOS EXTERIORES EN CONJUNTO, SUMAN 360º.
       
III. CADA ANGULO EXTERIOR ES EQUIVALENTE A LA SUMA DE LOS DOS
ÁNGULOS INTERIORES NO ADYACENTES.
 
 
   
    



EJERCICIOS :
27) De los tres ángulos de un triángulo el
mayor mide 32 más que el segundo y
éste 25 más que el tercero. ¿ Cuánto
mide cada ángulo ?
28) El ángulo basal de un triángulo isósceles
mide 57 más que el ángulo del vértice.
¿ Cuánto mide cada ángulo ?
29) Los ángulos interiores de un triángulo
están en la razón de 3 : 5 : 7. ¿ Cuál es
la medida del ángulo del medio ?
30) El perímetro de un triángulo equilátero
es 24. ¿ Cuál es la magnitud de su lado ?
31.
32.
35º
20°
30º
y
x
33..
65° y
x
34.
x
120º
100º
35º
62º
x
y
118
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
SEGMENTOS SECUNDARIOS EN UN TRIÁNGULO.
I.BISECTRICES.
C
AE = b
BF = b
CD = b
F
E
A
D
Las tres bisectrices se cortan en un mismo
punto que sirve de centro a la circunferencia
INSCRITA.
B
DICHO PUNTO SE LLAMA INCENTRO.
II. TRANSVERSALES DE GRAVEDAD.
C
F
E punto medio de BC
D punto medio de AB
F punto medio de AC.
E
G
AE = ta ;
BF = tb
; CD = tc
Las tres tranversales se cortan en un sólo
punto llamado CENTRO DE GRAVEDAD.
A
D
B
Una característica especial de las transversales es que el segmento adyacente al vértice es el
doble del segmento adyacente al lado. es decir, AG = 2GE.
III. ALTURAS DEL TRIÁNGULO.
C
La altura es un segmento perpendicular al
lado bajada desde el vértice opuesto.
CD  AB ; AE  BC ; BF  AC
E
Las tres alturas se cortan en un
mismo punto llamado
ORTOCENTRO.
F
A
D
B
119
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
IV. MEDIANAS.
C
.
D, E y F son los puntos medios de los
lados del triángulo.
E
DE, EF y FD son las medianas.
F
Cada mediana que une dos puntos medios
es paralela al lado al tercer lado y es la
mitad de dicho lado.
B
D
A
V. SIMETRALES
Simetral es la perpendicular levantada en
el punto medio de cada lado del triángulo.
Las tres simetrales se cortan en un solo
punto que sirve de centro a la
circunferencia circunscrita, es decir, pasa
por cada vértice del triángulo. Dicho punto
se denomina
CIRCUNCENTRO.
9. ¿Qué puedes decir acerca de las alturas?. Dibújalas.
a) en un triángulo rectángulo
Conclusiones
B
C
A
b) en un triángulo acutángulo
B
A
Conclusiones
C
c) en un triángulo obtusángulo
Conclusiones
B
A
C
120
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
Dibuja las medianas :
.
Conclusiones
B
A
C
Traza las simetrales de los lados del triángulo :
Conclusiones
B
A
C
Traza las transversales de gravedad :
Conclusiones
B
A
C
CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS
PRIMER CASO : Se conocen los tres lados.
Construye un triángulo dados : lado a = 4 ; b = 5 cm y c = 6 cm.
Construcción :
1º Se dibujan los tres trazos dados
2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y con
radio c. Se determina el vértice B.
3º Desde A se traza un nuevo arco hacia C con radio b.
4º Desde el vértice B se traza un arco hacia C con radio a.
5º Queda determinado el vértice C. Se une A con C y b con C
a b c
b
a
121
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
A
c
.
B
EN TU CUADERNO :
35. Dibuja un triángulo dados : a = 12 : b = 7 ; c = 8
36.¿ Crees tú poder construir una triángulo dados a = 4 ; b = 6 ; c = 12 cm. ?
SEGUNDO CASO : Se conocen dos lados y el ángulo formado por ellos..
Construye un triángulo dados : lado b = 4 ; c = 5 cm y  = 60º.
Construcción :
1º Se dibujan los dos trazos dados y el ángulo de 60º
2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y con
radio c. Se determina el vértice B.
3º En A se copia el ángulo de 60º. Se obtiene el lado libre del ángulo .
4º Sobre el lado libre del ángulo se copia el segmento b. Se determina el vértice C.
5º Se une B con C y queda construido el triángulo.
CONSTRUCCIÓN ( EN TU CUADERNO )
EN TU CUADERNO :
37. Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y  = 50º
38. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y  = 65º
TERCER CASO : Se conocen un lado y los dos ángulos contiguos.
Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ;  = 120º y  = 30º.
Construcción :
1º Se dibujan el trazo dado y los dos ángulos dados.
2º Se traza una recta. Se determina el vértice a. Se dibuja una arco centro A y con
radio c. Se determina el vértice B.
3º En el vértice A se copia el ángulo .
4º En el vértice B se copia el ángulo .
5º Se unen los vértices con los puntos determinados en cada arco. Queda determinado
el triángulo ABC.
EN TU CUADERNO :
39. Construye un triángulo dados : a = 4,5 cm ;
 = 75º y  = 50º
122
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
40. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ;  = 105º y  = 35º
CUARTO CASO : Se conocen dos lados y un ángulo.
Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; b = 5,4 cm y  = 85º.
Construcción :
1º Se dibujan los tres datos
2º Se traza una
3º
4º
5º
EN TU CUADERNO :
41. Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y  = 50º
42. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y  = 65º
43. El pueblo A está situado a 23 km al sur del pueblo B. El pueblo C está 35 km al
suroeste de B. ¿ Cuál es la distancia entre A y C?
44. Desde un acantilado, Luis observa un barco bajo un ángulo de 20º. Luis se encuentra
a 15 metros sobre el nivel del mar. ¿ A qué distancia está el barco
CONTENIDO Nº 11 :
C O N G R U E N C I A.
De que somos
figuras, sí...
Pero...¿ seremos
congruentes?
Oye...¿crees
tú que somos
figuras
congruentes ?
123
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES


ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS
NO
SON FIGURAS CONGRUENTES
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir,
si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales :
A
AB = A’B’ ,  A =  A’
AC = A’C’ ,  B =  B’
BC = B’C’ ,  C =  C’
A’
B
C
B’
C’
La notación de que un triangulo es congruente con otro lo anotamos
 ABC   A’B’C’
Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes :
CRITERIO
ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L ..A)
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y
los ángulos adyacentes a él :
A :  A =  A’
L : AB = A’B’
A :  B =  B’
C

A

B
C’
’
A’
’
B’
124
Área de TEXTO
2. CRITERIO
SAN MATEO 2002
LADO - ANGULO - LADO
.
( L . A .L )
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el
ángulo comprendido entre ellos :
L : AC = A’C’
A :   =  ’
L : AB = A’B’
C

C’

’
B
A
3. CRITERIO
’
A’
LADO - LADO - ANGULO
B’
( L . L. A . )
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo
opuesto al mayor de ellos :
L : AC = A’C’
L : BC = B’C’
A :   =  ’
C


C’
’

A
’
B
4. CRITERIO
’
A’
LADO - LADO - LADO
B’
( L . L. L . )
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales :
L : AC = A’C’
L : BC = B’C’
L : AB = A’B’
C


A
C’
’

’
B
’
A’
B’
DOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN :
C
1) TEOREMA : La bisectriz correspondiente
al ángulo basal de un triángulo isósceles es
perpendicular a la base y la biseca.
1
2
Hipótesis :  ABC es isósceles
CD es bisectríz
Tesis :
 ADC =  CDB = 90º
y
AD = DB
A
D
B
125
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de la hipótesis en la figura
para luego darse cuenta cuál es el criterio a utilizar , así :
L : AC = BC
A : 1=2
L : CD = CD
Por tanto :
(lados iguales de un triángulo isósceles )
(por ser CD bisectríz )
( lado común a los dos triángulos )
 ADC   DBC ( por criterio L.A.L.)
Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos respectivos
son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) , así :
 ADC +  CDB = 180º
( son ángulos adyacentes )
y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los opuestos a
lados iguales ).
Además :
AD = DB
Q. E. D.
( por ser elementos homólogos )
( Queda Esto Demostrado )
2) En la figura :
F
E
y  CFA =  EDA
Hipótesis :
FA = DA
Tesis :
i)  ACF   ADE
ii) A es el punto medio de CE
A
C
D
Demostración :
I :  CFA =  EDA
( por hipótesis )
II :
FA = DA
( por hipótesis )
III:
 CAF =  EAD ( ángulos opuestos por el vértice )
por tanto :
i)  ACF   ADE
ii)
CA = EA
( por criterio L.A.L.)
( lados homólogos )
3) En la figura :
Hipótesis :
Tesis
:
C
AC = AD
y BC = BD
i)  ABC   ABD
ii)  ACB =  ADB
A
B
D
126
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
Demostración :
I: AC = AD
( por hipótesis )
II : BC = BD
( por hipótesis )
III : AB = AB
( por hipótesis )
Así :
i)
ii)
 ABC   ABD
 ACB =  ADB
( por criterio L.L.L.)
( ángulos homólogos )
E J E R C I C I O S.
45.
Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o ángulos
respectivamente congruentes. ¿ En qué casos se puede asegurar la congruencia del par de
triángulos ? Indica el criterio utilizado en cada caso :
a)
A
B
F
b)
E
C
E
D
A
F
D
B
C
AB = DE ,
AC = FE ,
BC = DF
c)
AC = DF
AB = ED
 CAB =  EDF
N
d)
M
D
C
R
L
A
J
B
 DAB =  CBA
 DBA =  CAB
AB = AB
K
MN = LJ
MR = JK
 NRM =  LKJ
E
e)
f)
A
D
A
D
F
B
C
E
C
B
BC = EF
AB = DE
AB = BC = AC
DE = DF = FE
F
127
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
46. Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo )
a) Dos trazos o segmentos
b) Dos rectángulos
c) Dos cuadrados
d) Dos circunferencias
47. Responde , EN EL CUADERNO ,las siguientes preguntas ( Justifica tus
respuestas )
a) ¿ Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares ?
b) ¿ Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más
estricto sentido matemático ?
c) Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. ¿ Son los
cuadrados necesariamente congruentes ?
d) Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. ¿ Son los cubos congruentes ?
En los casos siguientes demuestra lo que se indique :
R
48. Hipótesis : 1 =  2 ;  3 =  4
Tesis
:  RZS   RZT
1 2
T
3 4
Z
S
T
49. Hipótesis :  3 =  4 = 90º ; RS = RT
Tesis
:  RZS   RZT
3
4 Z
R
S
50. Hipótesis :
Tesis
:
DE  EF ; XY  XZ
 D =  Y ; DZ = FY
 DEF   XYZ
E
D
X
Z
51. Hipótesis : AC = BC y CD = CE
Tesis
:  ADC   BEC
F
Y
C
A
D
E
B
128
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
CONTENIDO Nº 12 :
CUADRILÁTEROS.
CUADRADO
PARALELOGRAMO RECTANGULO
(dos pares de lados
paralelos)
lados iguales
ángulos rectos
lados paralelos
iguales
ángulos rectos
ROMBO
lados iguales
lados paralelos
iguales
ROMBOIDE
diagonales se
bisecan y son
perpendiculares
entre sí.
sus diagonales se
bisecan.
sus diagonales se
bisecan y son
ángulos oblicuos perpendiculares
entre sí.
ángulos oblicuos
sus diagonales se
bisecan
Los ángulos internos y opuestos son congruentes.
Los ángulos internos no opuestos son suplementarios.
TRAPECIOS
ESCALENO
(Sus lados no paralelos desiguales)
ISOSCELES
(Sus lados no paralelos iguales )
RECTANGULO
(Tiene dos ángulo rectos
55.- En los casos siguientes , si ABCD es paralelogramo , hallar el valor de las variables:
2y - 2
a)
B
C
b)
2x
A
B
C
c)
B
y
C
E
D
A
x+40
D
A
D
2y-10
Perímetro ROMBO = 40
DE = 3 y , BE = x
AC = 30 , EC = z
ABCD es rombo
129
Área de TEXTO
56.-
SAN MATEO 2002
.
En los siguientes casos , si ABCD es un rombo , hallar x
a)
B
C
2y
A
b)
B
y +20
3x-7
y+10
x
D
C
c)
e
y.
B
C
20
A
D
A
D
 BAC = 4x - 5
 CAD = 2x + 15
57.- Sean ABCD trapecio, hallar x e y en los casos siguientes :
a)
B
105º
3y
A
C
9x+5º
b) B
y
2x+10º
2x+10º
D
A
C
c)
4x-30º
D
B
y
C
7x
2x
A
D
58.- Si ABCD es un paralelogramo , hallar x e y en los casos siguientes :
B
C
(a) AD = 5x , AB = 2x , CD = y , Perímetro = 84 .
(b) AB = 2x , BC = 3y+8 , CD = 7x25 , AD = 5y10 .
(c)  A = 4y60 ,  C = 2y ,  D = x .
(d)  A= 3x ,  B = 10x15 ,  C = y .
A
D
E J E R C I C I O S.
Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los
paralelógramos :
D
C
59. Los lados opuestos de los paralelógramos
son iguales.
AB = CD y AD = BC
A
B
A
60. Los ángulos opuestos de los paralelógramos
son iguales :
 ABC =  ADC y  DAC =  BCD
D
E
C
61. Las diagonales de un paralelógramo se dimidian : AE = EC
62. Hipótesis : AD // BC y AB // DC
Tesis
:
 ACD   ACB
B
D
y
BE = DE
C
130
Área de TEXTO
SAN MATEO 2002
.
A
B
63.. Hipótesis : CD = AB y  2 =  4
Tesis
:  ACD   ACB y BC = AD
D
C
4
2
A
64.Las diagonales de un rombo son perpendiculares
entre sí.
B
D
C
Hipótesis : ABCD es rombo
Tesis
: AC  DB
A
65.Las diagonales de un rectángulo son iguales.
B
D
C
Hipótesis : ABCD es rectángulo
Tesis
: AC = BD
A
BIBLIOGRAFIA.
ALGEBRA de BALDOR.
ALGEBRA Y GEOMETRIA, Tomo I, Editorial Santillana.
ALGEBRA de DOLCIANI.
ALGEBRA. Tomo I. Editorial Arrayán.
DESCUBRIENDO LA MATEMATICA. Tomo I. Editorial Salesiana
ALGEBRA de PROESCHLE.
B
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