Práctica 6: Simulación de Sistemas

Licenciatura en Ciencias Medioambientales
Informática Aplicada al Medio Ambiente. Prácticas.
Práctica 6: Simulación de Sistemas
1.
2.
Objetivos

Conocer y valorar la importancia de la simulación de modelos matemáticos para predecir el
comportamiento de sistemas biológicos y ecológicos.

Conocer las características más habituales de las herramientas de simulación.

Conocer en detalle y utilizar una herramienta concreta de simulación (Modellus) para hacer
modelos a partir de una descripción textual y unas ecuaciones matemáticas.

Obtener gráficos, tablas y otros datos que permitan analizar el comportamiento de un sistema
bajo diferentes conjuntos de condiciones iniciales y valores de los parámetros.
Trabajo y documentación a entregar
Cada grupo tendrá asignado uno de los modelos descritos en el punto 4 (Modelos). Se valorará positivamente el hecho de que algún grupo presente un modelo adicional que pueda ser de interés, distinto
de los presentados, pero en ese caso, deberá hablar con el profesor antes de empezar el trabajo. Los
grupos con número de grupo impar deberán utilizar las ecuaciones iterativas del modelo, y los grupos
con número de grupo par deberán utilizar las ecuaciones diferenciales. La asignación de un modelo a
un grupo se hará de la forma siguiente:



El modelo 1 será realizado por los grupos con números 1, 4, 7, 10, 13 y 16.
El modelo 2 será realizado por los grupos con números 2, 5, 8, 11, 14.
El modelo 3 será realizado por los grupos con números 3, 6, 9, 12, 15.
Como resultado de la realización de la práctica, se deberán entregar los siguientes archivos:

Un modelo (archivo .MDL, realizado con el programa Modellus) del sistema que haya sido asignado. Este modelo deberá incluir una o más animaciones (con diferentes tipos de “medidores” de
variables), algunas notas, las ecuaciones del modelo correctamente interpretadas (con comentarios
explicativos), uno o más gráficos, una o más tablas de valores y al menos tres casos distintos con
los que experimentar, y cuyas simulaciones produzcan resultados con diferencias cualitativas importantes.

Un informe realizado con Word que explique detalladamente el modelo realizado. No es necesario volver a copiar el enunciado del modelo propuesto, pero sí debe aclararse cualquier suposición
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que se haga porque no esté claro el enunciado. Este documento deberá incluir una portada con el
título del informe, código de grupo y nombre de los alumnos, una tabla de contenido generada automáticamente por Word (para lo cual deberás utilizar estilos) y a continuación el resto del informe. En total, no debe superar las seis páginas (no se cuenta la portada, pero sí la tabla de contenidos). También se deberá incluir alguna imagen generada por la simulación con Modellus, debidamente comentada.

Un archivo de Excel en el que se hayan importado los datos provenientes de una tabla generada en
la simulación del modelo por Modellus. Este libro de Excel deberá incluir un pequeño análisis estadístico de los datos (por ejemplo, valores como media, desviación estándar... donde estos valores tengan sentido) y al menos un gráfico en el que se incorpore una línea de tendencia (línea de
regresión), indicando qué tipo de ajuste es el más adecuado al problema en cuestión (lineal, exponencial...).
Para cada modelo, hay que comentar las alternativas con diferentes valores iniciales y parámetros,
indicando cómo afectan estos valores iniciales y los parámetros del modelo a su posterior evolución
3.
Modelos Iterativos / Diferenciales
Cuando tenemos una ecuación diferencial que describe un proceso, podemos representarla de dos
maneras en Modellus: o bien haciendo uso de la ecuación diferencial tal cual, o bien transformándola
a una ecuación iterativa, teniendo en cuenta que podemos aproximar dX por X = X – X0. Así, pues:
Modelo Diferencial:
dX/dt = kX
Modelo Iterativo:
X(t) = X(t-1) + kX(t-1)* t
En Modellus podemos escribir las ecuaciones en cualquiera de las dos formas anteriores. Esto habrá
de tenerse en cuenta a la hora de realizar los modelos, pues unos grupos tendrán que realizar las ecuaciones diferenciales de los modelos propuestos y otros grupos tendrán que realizar las ecuaciones
iterativas, eligiendo un t apropiado. En todos los modelos que se presentan, se entregan las ecuaciones en su forma diferencial.
4.
Enunciados de los Modelos
4.1 Modelo de Producción de Alcohol Mediante Levaduras
El sistema a estudiar está formado por una sustancia fermentable por levaduras. Se considera que
existen dos tipos de levaduras: unas, muy resistentes al alcohol, tienen un crecimiento lento y producen relativamente poco alcohol; las otras son poco resistentes, pero crecen deprisa y producen mucho
alcohol por unidad. El objetivo del modelo es obtener la “siembra” óptima de levaduras para obtener
una cierta cantidad de alcohol (CA) en un tiempo determinado. Utilizar sólo levaduras del tipo A
(LA) resultaría demasiado lento; sin embargo, si sólo se empleasen levaduras del tipo B (LB) el proceso se paralizaría muy pronto. Hay que simular diversas condiciones iniciales de ambas levaduras y
discutir cuál sería la más adecuada.
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Datos
Producción unitaria de alcohol tipo A (PUA): 0,1 UA / hora
Producción unitaria de alcohol tipo B (PUB): 0,2 UA / hora
Unidad de tiempo: hora.
Velocidades de crecimiento de las levaduras en función de la concentración de alcohol
Concentración
20
40
80
100
VCA
0.05
-0.05
VCB
0.3
-0.2
-0.5
-0.2
Ecuaciones
dCA/dt = LA(t)* PUA + LB(t) * PUB
dLA/dt = VCA(t)
dLB/dt = VCB(t)
En ningún caso queremos sobrepasar una concentración de alcohol de 150 UA, pero nos queremos
aproximar a esta cantidad lo más posible. ¿Cuántas horas transcurren hasta que la concentración de
alcohol queda estabilizada? ¿Cómo podemos reducir este tiempo, para obtener la cantidad deseada de
alcohol más rápidamente?
Se deben estudiar varias alternativas:
1) No hay límite sobre los valores iniciales de levaduras de ambos tipos.
2) No se pueden usar más de 100 unidades de levadura del tipo A al principio.
3) No se pueden usar más de 100 unidades de levadura de ningún tipo como valores iniciales.
Introducir variaciones sobre las producciones unitarias de alcohol para cada tipo de levadura y analizar y comentar sus efectos.
4.2 Modelo Predador-Presa (Ecuaciones de Lotka-Volterra, 1931)
En un ecosistema conviven dos especies animales (X e Y). Una de ellas es herbívora, y en aislamiento
total (ausencia de predadores) tiene un crecimiento proporcional a su población (o sea, crecimiento
exponencial con tasa de crecimiento TCx). Se supone que la cantidad de alimento vegetal es ilimitada.
La segunda especie se alimenta de la primera, y en aislamiento total tiene una tasa de crecimiento
negativa (es decir, si no hay presas, va desapareciendo, con un factor de TCy). Cuando ambas especies comparten un entorno, se producen encuentros que benefician a los depredadores y disminuyen la
población de presas, siendo estas influencias proporcionales al producto de la población de ambas
especies y a unos factores de proporcionalidad (Fx y Fy, respectivamente). Dejar los cuatro factores
como parámetros, y probar (y comentar) distintas combinaciones, creando para ello varios casos.
Datos
TCx = 0.2, TCy = -0.4, Fx = 0.7, Fy = 0.5
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Ecuaciones:
dX
 TCx * X  Fx * X * Y
dt
dY
 TCy * Y  Fy * X * Y
dt
Debe analizarse el modelo con diferentes combinaciones de valores para los parámetros y las condiciones iniciales y comentar algunos de estos escenarios. En algunos casos se pueden producir comportamientos anómalos. Explicar por qué. En la mayoría de los casos se producirán oscilaciones periódicas (o casi periódicas) de ambas especies. ¿En qué casos se produce la extinción total de una especie?
¿Qué ocurre con la otra? Pon ejemplos.
4.3 Modelo de especies competitivas (Lotka-Volterra. Gause, 1934)
Dos especies herbívoras conviven en el mismo hábitat y compiten por los mismos recursos (vegetales
y agua, por ejemplo). El sistema de ecuaciones que modela esta situación es el siguiente:
Observa que si alguna de las dos poblaciones es nula, la ecuación correspondiente se reduce a un modelo simple de crecimiento logístico (exponencial con saturación). M y N representan la capacidad
máxima de población de cada especie que puede soportar el ecosistema, considerando a cada especie
de forma aislada. Las tasas de crecimiento de ambas especies vienen representadas por r y s. Los factores a y b describen cómo afecta (perjudica) una especie a la otra (a veces se denominan competitividad entre especies). Esto determinará que en unos casos gane una especie y en otros otra. Por ejemplo, si a/b = 2, esto significa que cada ejemplar de la segunda especie consume tantos recursos como 2
ejemplares de la primera especie.
Datos
M = 500, N = 100, r = 1.1, s = 1.7
a y b: parámetros (probar al principio con a=5, b=1).
Analiza la evolución de ambas especies probando con distintos valores iniciales de población (por
ejemplo, empezando con una única pareja de alguna de las especies, etcétera.
Modificando los parámetros a y b, ¿puedes encontrar alguna situación en la que se estabilicen ambas
especies, sin llegar a desaparecer ninguna de ellas totalmente (punto de equilibrio)?
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