Microeconomía II · Lista de problemas de los Temas 3...

27 octubre 2003
Microeconomía II · Lista de problemas de los Temas 3 y 4
1. Considera la función de producción q = KL/2. (a)
¿Qué tipo de rendimientos a escala presenta? (b)
Halla las isocuantas de nivel 2 y 4. (c) Obtén la
trayectoria de expansión de la empresa cuando los
precios de los factores son w = 4 y r = 9. (d)
Determina la expresión de las funciones de coste
total y medios a largo plazo. (e) Si la empresa
produce 60 unidades, ¿cuál es la combinación
óptima de factores a utilizar y su coste? (f) Si, en el
corto plazo, la empresa toma la decisión de utilizar
un capital de 64 unidades, determina las funciones
de producto medio y producto marginal. (g)
Suponiendo el mismo nivel de capital que en el
apartado anterior, halla las funciones de coste total,
medio y marginal a corto plazo.
2. Sea q = KL/ una función de producción, w = 1 el
precio de L y r = 2 el precio de K. (a) Determina el
tipo de rendimientos a largo plazo y la función de
coste total, medio y marginal. (b) Determina el tipo de
rendimientos a corto plazo y la función de coste total
medio y coste marginal a corto plazo, si K = 2. (c)
Compara gráfica y analíticamente los resultados de los
apartados (a) y (b).
3. La función de producción de una empresa és q =
K/L/. El precio de K es 4. El precio de L es 2. (a)
Obtén las funciones de costes a largo plazo. (b) Obtén
la funció de coste total a corto plazo si se se fija el
nivel de capital en K*. (c) Determina el nivel de
producción para el que K* = 98(2)/ es el tamaño de
planta óptimo.
4. La función de producción de una empresa és q = 10KL.
El precio de K es 5. El precio de L es 2. (a) Halla las
cantidades óptimas de K y L si la empresa desea
producir q = 1024. (b) Calcula el coste unitario. (c) Si,
como consecuencia de una serie de innovaciones, la
función de producción fuera q = 15KL y la empresa
mantuviera el nivel de producción, determina las
nuevas cantidades óptimas de K y L. (d) Explica si en
(c) se ve afectado el coste unitario.
5. La función de producción es Q = 10 KL, los precios de
los factores son r = 2 y w = 5, y el coste total es 100
u.m. (a) Calcula el efecto sobre el nivel de producción
de una reducción en 3 unidades en w si el coste total
no varía. (b) Con los precios iniciales de los factores,
la empresa decide producir Q = 3150. ¿Qué se puede
decir acerca de la eficiencias técnica y económica de la
combinación K = 35 y L = 9?
6. Obtén, para la función de producción Q = KL, las
funciones de demanda condicionada de factores y la
función de costes totales.
7. (a) Halla la función de costes totales a largo plazo si las
respectivas funciones de costes totales a corto plazo
son C(Q) = 10 + 15Q , C(Q) = 60 + 10Q y C(Q) =
100 + 8Q. (b) ¿Cuál es el coste total a largo plazo de
producir Q = 15?
8. Considera la función de producción f(K, L) = K + L. (a)
Representa gráficamente la isocuanta correspondiente
al nivel de producción Q. (b) Calcula la relación
técnica de sustitución de K por L. (c) Dibuja una
hipotética recta isocoste e identifica el punto de
equilibrio.
9. (a) Determina las funciones de demanda de los factores
de producción y la función de costes de una empresa
con función de producción f(K, L) = min{K, 2L}. (b)
¿Cómo dependen estas demandas de los precios de los
factores de producción? ¿Y la función de costes? (c)
¿Qué tipo de rendimientos a escala presenta la función
de producción?
10. La función de producción de una empresa es Q =
2(KL)/. La cantidad de K es fija a corto plazo e igual
a K*. (a) Calcula la función de los costes totales de la
empresa en función de Q, w , r y K*. (b) Dados Q, w y
r, ¿qué cantidad de K debe elegirse para minimizar el
coste total? (c) Utiliza el resultado del apartado (b)
para calcular el coste total a largo plazo. (d)
Representa gráficamente la curva de coste total a largo
plazo suponiendo que w = 4 y r = 1. Muestra que es la
envolvente de las curvas a corto plazo calculadas en
(a) examinando los valores de K* de 100, 200 y 400.
11. La función de coste total de una empresa es C(Q, r, w)
= Q(r/2 + w/2 + (wr)/). (a) Calcula las funciones de
demanda de los factores L y K. (b) Utiliza los
resultados en (a) para calcular la función de
producción subyacente.
27 octubre 2003
Microeconomía II · Soluciones a la lista de los Temas 3 y 4
1. a) Rendimientos constantes a escala
b) K 
4
16
yK
L
L
c) K 
4
L
9
d) CTLP(Q)  12Q y CMLP(Q)  12
e) El coste total de producir 60 unidades de output es 720 u.m. La combinación óptima
de factores es 90 unidades de trabajo y 40 unidades de capital.
f)
PM L  8L1 / 2 y PMg L  4L1 / 2
g) CTCP(Q) 
Q
Q2
Q 576
 576, CMCP (Q) 

y CMgCP (Q) 
8
16
16 Q
Q
2. a) Rendimientos crecientes a escala, CTLP(Q)  5 
4
 2 
CMgLP (Q)   3 
Q 
2/5
, CMLP (Q) 
tenemos
CMCP(Q) 
4
2/5
1
y
Q3/ 5
1/ 5
.
b) Como la función de coste total a corto plazo CTCP(Q) 
convexa,
5
rendimientos
decrecientes
a
Q2
 4 es una función
16
corto
plazo.
Además,
Q
Q 4

y CMgCP (Q)  .
8
16 Q
c) Las curvas de costes totales y costes medios a corto plazo se encuentran por encima
de de las curvas correspondientes a largo plazo, excepto en el nivel de producción
Q=4. En este nivel de producción, estas curvas son tangentes. En relación a las
curvas de costes marginales correspondientes al corto y largo plazo, se cortan en
Q=4. Para Q<4 (Q>4), la curva de costes marginales a largo plazo se situa por
encima (debajo) de la curva de costes marginales a corto plazo.
3. a) La función de costes totales a largo plazo: CTLPQ  4 2Q 2
La función de costes medios a largo plazo: CMLPQ  4 2Q
La función de costes marginales a largo plazo: CMgLPQ  8 2Q
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b) La función de costes totales a corto plazo: CTCPQ   2
Q4
 4K
K
c) Q=14
4. a) L* = 16 K* = 6’4
b) El coste unitario es 0,0625
c) La nueva combinación de factores: L*=13,064 K*=5,2256. La introducción de la
innovación permite obtener el mismo nivel de producción utilizando menos
cantidades de factores.
d) El coste unitario es 0,051: ha disminuido tras introducir la innovación.
5. a) La producción pasa de 2.500 unidades a 6.250.
b) La combinación es eficiente técnicamente porque cumple la ecuación de la
función de producción. Sin embargo, no es eficiente económicamente porque no
minimiza costes.
6. Las funciones de demanda condicionadas de los factores son
Lw, r , Q  
rQ
wQ
.
y K w, r , Q  
w
r
Por tanto, la función de costes totales es CT w, r, Q  2 wrQ .
10  15Q

7. a) CTLP(Q)  60  10Q
100  8Q

0  Q  10
10  Q  20
20  Q
b) La empresa produce con el tamaño mediano y el coste es de 210 u.m.
8. a)
K
Q
Pendiente de la isocuanta=-1
Q
L
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b) La relación técnica de sustitución =1
c) Dado que para la empresa los factores son perfectamente sustitutivos y su RTS=1,
contratará unidades del factor más barato. Por tanto, tenemos 3 posibles
escenarios:
1) w  r  La empresa contratará solamente unidades del factor capital.
2) w  r  La empresa está indiferente entre contratar unidades de uno u otro
factor, pudiendo contratar cualquier combinación que se encuentre a lo largo
de la isocuanta.
3) w  r La empresa contratará solamente unidades del factor trabajo.
9. a) Demandas de los factores de producción: x1 w, r , q   q y x 2 w, r , q  
q
.
2
r

Función de costes totales: CT w, r , q    w  q
2

b) La demandas no dependen de los precios de los factores de producción y, por
consiguiente, la función de costes totales depende de forma lineal de los precios
de los factores.
d) Rendimientos constantes a escala.
10. a) CTCP Q, w, r , K   w
b) K Q, w, r  
Q2
 rK
4K
wQ
r 2
c) CTLPQ, w, r   wr Q
d) La curva de coste total a largo plazo: CTLPQ  2Q es una línea recta. Por
tanto, esta función de producción muestra rendimientos constantes a escala. Las
curvas a corto plazo correspondientes a los valores de K de 100, 200 y 400 se
encuentran por encima de esta linea salvo en los niveles de producción Q=100,
Q=200 y Q=400, respectivamente. En estos niveles de producción, el nivel constante
a corto plazo de capital también es el adecuado a largo plazo. Por tanto, en estos
niveles de producción, las curvas de coste total a corto y largo plazo son tangentes.
1 r 1
1 w 1
11. a) Lw, r , Q   
 Q y K w, r , Q   
 Q
2 w 2
2 r 2
b) Q  f L, K  
2 LK
LK