UNIDAD 6 Problema 9.- (EC) Un “yo-yo” está construido con un disco uniforme de masa m=0,200 kg y radio R=5,0 cm, que tiene una cuerda enrollada en su borde. Cuando la cuerda se desenrolla y el “yo-yo” desciende: a) Mostrar que la aceleración hacia abajo del C.M. del “yo-yo” es independiente de su masa y tamaño. b) Calcular la fuerza T que ejerce la cuerda. c) Calcular la energía cinética total del “yo-yo”, cuando ha descendido 0,80m partiendo del reposo. d)Calcular el impulso angular L0 ( “interno” o “spin”) del “yo-yo” cuando ha descendido 0,80 m. e)Calcular el impulso angular total LT = Lorb + L0 respecto al punto de suspensión del hilo, cuando el yoyo ha descendido 0,80 m. SOLUCIÓN: a) Hacemos el diagrama de cuerpo libre del yo-yo : Para analizar la traslación del “yo-yo”, usamos la Segunda Ley de Newton : Fy = m acm , que en el presente caso es igual a: mg – T = macm (1) y Para explicar la rotación del yo-yo, utilizamos la ecuación Mcm = Icm En el caso del yo-yo, la tensión T produce un momento resultante, respecto al centro de masa: Mcm = R T = Icm Como R ┴ T , y la cuerda no patina en el borde del disco, vale la relación acm = R. La ecuación anterior puede escribirse entonces como : RT = I = I acm / R (2) con Icm = ½ mR2 Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2), se obtiene que la aceleración con que desciende el yo-yo es de módulo igual a: x T acm = mg/( m+I/R2) = ⅔g b) De (1) y (2) resulta que la tensión T es de módulo: T = ⅓ mg (3) (independiente de m y R) (4) c) Para calcular la energía cinética total del yo-yo cuando ha descendido una distancia h partiendo del reposo, podemos hacerlo usando la definición de EcTotal. Ec(Total) = Ec(traslación ) + Ec(rotación )= Ectras + Ecrot Ec = ½ m vcm2 + ½ I 2 (5) El el movimiento del centro de masa es rectilíneo uniformemente variado, por lo que la velocidad que adquiere después de descender una distancia h se determina empleando la ecuación vcm2 = v0cm2 + 2 acm h (6) donde v0cm= 0 Notando además que vcm = R, la ecuación (5) puede escribirse entonces como: Ec = ½ m vcm2 + ½ ½ mR2vcm2 /R2 = ¾ mvcm2 y usando las ecuaciones (3) y (6): Ec = ¾ m 2 acm h = ¾ m x 2 x 2/3 x g x h = mgh (7) Reemplazando los valores numéricos de m y g, y tomando h = 0,80 m, se obtiene. Ec = 2,00 kg x 9,81 m/s2x 0,80 m = 1,57 J (8) c`) Otra forma de obtener el valor de la Ec (total), es aplicar el principio de conservación de la energía mecánica, pues todas las fuerzas que intervienen son conservativas (el peso y la tensión, ya que ambas son fuerzas constantes en módulo y dirección). No hay tampoco cambios en la energía potencial interna del cuerpo rígido, ya que éste es un “sólido indeformable”. Por lo anterior, la energía potencial gravitatoria del yo-yo respecto a un nivel que se encuentra a una distancia por debajo del punto de partida, se transforma íntegramente en Ec . Ecfinal = Epinicial , o sea ½ m vcm2 + ½ I 2 = mgh, como ya calculamos en (7) c``) También hubiéramos podido aplicar el teorema Trabajo-Energía: WFneta + WMneto = ∆Ec = Ec , pues el yo-yo parte del reposo. Wpeso + Wtensión + Wmomento = Ec lo que equivale a: Ph – Th + RT = ∆Ec = Ec - 0 pero el desplazamiento angular es igual a h/R, por lo que resulta, reemplazando P, T y : mgh- 1/3mgh + R x1/3mg x h/R = mgh – 1/3mgh +1/3mgh = mgh que es igual a la (7). d) El impulso angular L0 ( “interno” o “spin”) del “yo-yo” , es igual a. L0 = I0 pero = vcm/R, L0 = ½ mR2 vcm/R = ½ mRvcm reemplazando: Por la (6), vcm = √2acmh y si h=0,80 m, resulta: L0 = ½ mR2 vcm/R = ½ mRvcm = 0,016 kgm2s-1 El vector L0 , de acuerdo al diagrama de cuerpo libre, es un vector que “sale” de la hoja. e) El impulso angular total LT = Lorb + L0 respecto al punto de suspensión del hilo, es igual a: LT = rcmmvcm + I0 El módulo de LT es LT = R m vcm + ½ Rmvcm = 3/2 R m vcm (9) El valor numérico es LT = 3/2 R m vcm = 0,048 kgm2s-1 Se debe notar que Lorb también es un vector que “sale” de la hoja del dibujo (tiene igual dirección y sentido que L0). e`) Otra manera de llegar al mismo resultado, es aplicando el teorema Mneto = dLneto/dt En este ejemplo, el momento de rotación respecto al punto de suspensión es producido por el peso del yoyo : Mneto = rcm P Como se da la situación que M = Rmg = constante, se puede igualar dL/dt = ∆L/∆t, Nos queda entonces : ∆L = M ∆t Pero Linicial = 0, de modo que Lneto = M ∆t = RP∆t (10) El intervalo de tiempo que aparece en la ecuación (10), es el tiempo que tarda el yo-yo en descender la distancia h y alcanzar la velocidad vcm dada por la ec. (6) ∆t = vcm/acm= 3vcm/2g Reemplazando en la ecuación (10): Lneto = Rmg∆t = Rmg x 3vcm/2g = 3/2 Rmvcm tal como tenemos en la ecuación (9).