Aplicación de los números complejos:

Universidad Nacional de Quilmes
Algebra y geometría analítica
Aplicación de los números complejos:
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros
campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables.
En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en
φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la
parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde
ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la
amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias,
capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias
imaginarias para las dos últimas.
Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en
vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. El campo
complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática
subyacente utiliza
Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ). En la relatividad
especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espaciotiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable
imaginaria. En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de
las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual
encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio
característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en
términos de funciones de base de la forma:
Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su
versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en
el plano.
La ingeniería no existiría sin las matemáticas. A la inversa, la sentencia
podría ser falsa, las matemáticas existen, independientemente de la ingeniería.
Sin embargo, para los ingenieros, lo importante es convencerse, no de las
matemáticas en sí mismas, sino de la aplicación de ellas. Las matemáticas
aplicadas son las que han permitido lograr el desarrollo que ha alcanzado la
ingeniería.
El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vida de la
humanidad, su objeto material es la naturaleza. El término naturaleza es muy
amplio, un primer acercamiento a su significado lo encontramos en el orden
semántico que los diccionarios que la explica como un conjunto de seres y
cosas que forman el universo y en los que no ha intervenido el hombre. La
realidad del universo no esta en duda, ni es motivo de nuestra atención en este
ensayo, las caídas de agua “naturales” que existen en nuestro planeta, como
por ejemplo, la bella cascada de la Tzaráracua en el estado de Michoacán, las
infinidad de pequeños saltos de agua con los que cuenta el estado de
Veracruz, o las impresionantes cataratas del Niágara, más allá de nuestras
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fronteras, han sido diferentes objetos materiales de estudio por parte de la
ingeniería, en todas ellas su objeto formal prevalece, el cual es buscar una
forma de utilizarlas para lograr una mejora en la calidad de vida de la
humanidad. Referente a este ejemplo, surge una palabra muy comúnmente
utilizada en Ingeniería Eléctrica, la de “traductor” que significa un instrumento
capaz de modificar la energía potencial del agua, en la parte superior de la
caída, en energía eléctrica, la cual no solo es de gran utilidad, sino necesaria
para vivir en nuestros tiempos modernos. Un enfoque más pragmático sería
entender a la naturaleza
Simplemente como la física, desde el punto de vista de dinámica, o la
física, desde el punto de vista de electricidad o desde cualquier otro punto de
vista, pero lo fundamental en todos ellos es que son simplemente física o bien,
entendido desde un punto de vista más profundo, todos éstos enfoques se
refieren a diferentes formas de estudiar las partes de un mismo todo llamado
naturaleza.
Las matemáticas son el medio más poderoso que tiene el hombre para
comprender al mundo que le rodea, pero no es la única, la simple observación
de la naturaleza es también un medio para conocerla, ejemplo de lo anterior
fueron las aportaciones realizadas por Benjamín Franklin o por Tomás Alva
Edison. Sin embargo, es indiscutible que la aplicación de las matemáticas es lo
que ha colocado a la ingeniería en el lugar que ocupa actualmente, este
medio, las matemáticas, tiene principios muy antiguos, como el cálculo del
número p, que data de civilizaciones previas a la griega o con el triángulo que
cuenta con un ángulo recto, ya que hasta la fecha el número de veces que
cabe el radio en la circunferencia sigue siendo el mismo que en las
circunferencias del pasado, y de la misma forma, el teorema de Pitágoras se
sigue cumpliendo con los triángulos rectángulos de nuestra época.
Los logros de la ingeniería a los que nos hemos referido en más de una
ocasión son palpables y objetivos, a través de los aparatos tecnológicos, que
día con día se amalgaman a nuestra vida cotidiana, el vehículo que nos
traslada a nuestro centro de trabajo, el teléfono que nos comunica a distancia,
el horno de microondas y el refrigerador que nos ayudan a proporcionarnos los
alimentos adecuados que requerimos así como todos los demás equipos que
en mayor o menor medida utilizamos en nuestra vida diaria han sido producto,
todos ellos, de la aplicación de las matemáticas, para conocer las leyes de la
termodinámica y de la mecánica y así construir el motor de combustión interna,
del modelo propuesto por Maxwell para representar con sus ecuaciones a las
ondas electromagnéticas que desde siempre han existido en la naturaleza o de
las ecuaciones de la temperatura y la electricidad para aumentar y disminuir la
primera a voluntad, en el horno y en el refrigerador respectivamente. Pero las
matemáticas solo están en la naturaleza en la medida que el hombre piense
acorde a la realidad, acorde a la verdad, cuando así lo hace, las matemáticas
se reflejan en toda ella.
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1 - La relación que existe entre la parte real e imaginaria de un número
complejo con su opuesto, es que son completamente simétricos, tanto su
parte real como imaginaria, en cambio cuando se trata de su conjugado solo la
parte imaginaria lo es, su parte real se mantiene igual ósea es simétrico con
respecto al eje x. El modulo del conjugado y el opuesto se mantiene igual ya
que su distancia al origen es la misma. Por ultimo la relación que existe entre
los argumentos de un número complejo y su opuesto es que hay que sumar
180º al argumento del número complejo para obtener el del opuesto, con el
conjugado sucede lo mismo solo que hay que restárselo a 360º
21.
Z 5
2.
Z  3  2i  7
3.
Z  3  2i  5
4.
5  Z  3  2i  7
3 - Para obtener el resultado de una multiplicación de números
complejos de manera grafica lo primero que hay que hacer, es medir la
distancia del punto al origen, o para ser mas específicos, calcular el modulo del
vector que representa a dicho punto, una vez obtenido el modulo de ambos
vectores se mide el ángulo que forman ambos con el eje x. Una vez recopilada
toda la información se suman los ángulos, se multiplican los módulos y se
obtiene un vector en forma polar, si lo pasamos a la forma vectorial
obtendremos el numero complejo. (Para representar el vector de un numero
complejo es necesario interpretar a la parte imaginaria como si fuera “Y”). Por
ejemplo si tenemos el numero complejo (4+2i), el vector que lo representa
seria (4,2). Es importante mencionar que no es correcto multiplicar los
vectores, para obtener el resultado del producto de complejos, ya que
arrojarían un resultado diferente. Si queremos obtener de manera grafica el
resultado de la división de complejos el proceso es muy parecido, solo que en
vez de multiplicar los módulos se dividen y en vez de sumar los ángulos se
restan.
Las similitudes que pude encontrar entre números complejos y vectores
es que, obviamente los números complejos se pueden interpretar como
vectores, otra cosa similar es la suma y resta la cual se realiza de la misma
manera y se mantienen la mismas propiedades. La diferencia radica en la
multiplicación, ya que en un punto se tendrán que multiplicar las partes
imaginarias quedando i 2 que es (-1) arrojando distintos resultados.
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4 - La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre
afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier
número real) x y para cualquier entero n se verifica que:
cos x  i sin x  cos(nx)  i.sin(nx)
Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i
significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x"
a veces se abrevia como cis x.
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real
con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y
sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser
utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la
unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1. Un dato curiosos es que
Moivre era amigo de Newton y este ultimo dijo conocer la formula desde 1676,
antes de que la formula sea conocida.
Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como
las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.
Z  r (cosx  isenx)
Para obtener las n raíces de un número complejo, se aplica:
  x  2k 
 x  2k 
Z  r (cosx  i sin x)  r cos
  i sin

 n 
  n 
1
n
1
n
1
n
Donde k es un número entero que va desde 0 hasta n-1, que al
sustituirlo en la fórmula permite obtener las n raíces diferentes de z.
Para poder obtener las raíces cuartas de un número complejo de
manera grafica, lo primero que hay que hacer es crear una circunferencia que
tenga como radio el vector del numero complejo en cuestión, en el caso de
(1=1cis 0º) es 1. Al ser una raíz par, la segunda raíz se puede obtener
gráficamente, ya que es opuesta a la primera, si la primera raíz es 1, la
segunda es (-1). La tercera y cuarta raíz también se pueden obtener
gráficamente ya que la circunferencia debe ser dividida en 4 partes iguales,
solo hay que trazar un segmento de recta que sea perpendicular a la primera y
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pase por el origen, de esta manera se obtiene que las otras raíces en este
caso son “i” y “-i”
5 - En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la
irreductibilidad de Gauss, afirma que si es un dominio de factorización única
(DFU) y es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el
contenido de dos polinomios dados con coeficientes en es el producto de
contenidos y todo polinomio primitivo
es irreducible en
si y sólo
si lo es en
.
El Criterio de irreductibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil
para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios:
por la equivalencia que señala el criterio entre la irreductibilidad de un
polinomio primitivo en
y la irreductibilidad del mismo polinomio en
,
puede demostrarse que al ser
un DFU también lo es
.
Así, se tiene como corolario que si es un DFU entonces también lo es
, sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por
ejemplo,
no es un DIP pero sí es un DFU.
También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein,
muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.
a)
T(x)=X³-(2/5)X²+(1/2)X+1
P (+-10,+-5,+ - 2, + - 1)
Q (+-10,+-5,+ - 2, + - 1)
P/q= (-+1,-+2,-+5,-+10,-+0.5,-+2.5,-+0.2,-+0.4,-+0.1)
b)
a) No se puede reducir
b) x ( x 5  1)
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