IX ENCUENTRO DE MATEMATICA Y SUS APLICACIONES

IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
INTRODUCCION
En el pasado Encuentro habíamos apreciado, las bondades que
tiene el arte del Origami para facilitar el aprendizaje de la
Geometría. Se estableció que la complejidad de los diagramas de
los problemas de Geometría Euclidiana se traduce en la belleza de
las figuras que se obtienen doblando papel.
En el contenido de este folleto, ofrecemos algunos ejemplos de la
aplicación en la industria de las técnicas de doblar papel. Por lo
coloridos que pueden ser los papeles de origami, la utilidad va a
estar dirigida al diseño de las envolturas, para embalar artículos,
usualmente de bazar, productos que deben ser manejados con
delicadeza, empaques y envases para alimentos, etc. En este plano
las utilidades del papel son muchas, y las ideas para diseñar las
envolturas magníficas. Solo basta recordar experiencias de artistas
del origami que consiguieron ser laureados por sus diseños y
gratificados con una patente. Tal es el caso de la Phillips Morris
que patentó la tan conocida envoltura para cigarrillos. Las
teselaciones con origami para hormar los casilleros para guardar los
chocolates. Algún ingenioso que desarrolló los poliedros platónicos
doblando papel.
Los ejemplos citados anteriormente, permiten apreciar la diversidad
de diseños que se pueden llevar a cabo doblando papel, útiles para
envolturas. No obstante, una parte de los diseños deben ser
elaborados, realizando cortes y empleando pegamento, para ser
concluidos.
No se pasa por alto, en el contenido, el empleo de términos
geométricos, por dos razones: la primera porque la motivación
inicial para trabajar con el origami fue el aprendizaje de la
geometría; y la segunda razón, porque es más fácil, por ejemplo,
decir, “doblemos por la bisectriz de tal ángulo” que “doblemos
juntando los perfiles de la hoja, de tal manera que……”.
Vicente R. Chicaiza I.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
1
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
El arte del doblez de papel exige el conocimiento de elementos
básicos de la Geometría. Los más importantes los detallamos a
continuación:
Polígonos: Es una figura delimitada por segmentos rectilíneos a los
que se llama lados. Cada polígono tiene un nombre en base al
número de lados que tiene. Por ejemplo, si tiene 3 lados es un
triángulo, si tiene cuatro lados es un cuadrilátero, si tiene 6 lados es
un hexágono, etc.
Lados
Hexágono
Líneas Importantes: En un triángulo se definen líneas rectas
importantes, que pasan por un vértice y/o cortan un segmento. Las
principales son: la bisectriz que divide a un ángulo en dos partes
iguales; la mediatriz que corta a un segmento en su punto medio y
es perpendicular al segmento; la mediana que pasa por un vértice y
corta al segmento no adyacente en su punto medio y la altura que
pasa por un vértice y corta al segmento no adyacente, o a su
prolongación, perpendicularmente.
La intersección de las medianas de un triángulo determina el
baricentro, centroide o centro de gravedad del triángulo. Con este
punto se puede equilibrar el triángulo. La intersección de las tres
bisectrices se llama incentro, de las tres mediatrices se conoce
como circuncentro y de las tres alturas se llama ortocentro. Estos
puntos también tienen propiedades geométricas importantes.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
2
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
Mediatriz
Mediana
Altura
Bisectriz
Razón: La definiremos como el cociente de dos números enteros
positivos. Usualmente se nota la razón de m a n como m: n; y se
lee “m es a n”.
Lo más importante de una razón geométrica es su interpretación.
Para ello, supongamos que un segmento de longitud determinada
AB se va a dividir en dos partes, por medio de un punto de división
al que llamaremos P. La determinación de P se lo hará en base a
una razón m: n, de la siguiente manera: consideremos inicialmente
que el segmento AB, se va a dividir en m + n segmentos
“pequeños” de igual longitud; para luego, disponer m segmentos a
la izquierda del hipotético punto P, y los restantes n segmentos a la
derecha del punto. Gráficamente tenemos la interpretación sobre el
perfil de una hoja que tentativamente nos serviría para un diseño.
Por facilidad, consideremos la razón 2: 3
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
3
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
UNA BASE IMPORTANTE PARA LOS DISEÑOS
A
1º trozo
2º trozo
3º trozo
4º trozo
5º trozo
B
P
Aunque no todos los modelos utilizan una hoja cuadrada para ser
elaborados, lo usual en la confección de cajas es el empleo de una
hoja con esta propiedad. No utilizaremos medidas para los
segmentos ni de longitud ni de área, sino tan solo los elementos
previamente descritos.
Los dobleces básicos que se efectúan sobre una hoja cuadrada
están sobre las diagonales del cuadrado y sobre segmentos
paralelos a los lados del cuadrado y que pasan por el centro de
gravedad. Note usted que al decir que se debe doblar por una línea
paralela a uno de los lados y que pasa por el centro de gravedad,
se quiere dar a entender, de manera equivalente que se debe
doblar por la mediatriz del lado adyacente.
Mediatriz
Diagonal
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
4
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
En general, los dobleces se pueden efectuar sobre paralelas a las
diagonales y a los lados del cuadrado en una razón dada, según los
requerimientos del diseño. Por ejemplo, supongamos que se pide
doblar por líneas paralelas a una diagonal del cuadrado, que la
dividan en razón 1: 2: 1.
Se entiende que la diagonal indicada va a ser dividida en tres partes
para lo cual previamente hay que dividir la diagonal en 1 + 2 + 1 = 4
pedazos iguales; para luego, repartir 1 pedazo a la primera parte, 2
pedazos a la segunda y el restante pedazo a la tercera. La parte
que tiene 2 pedazos es la central.
1
Líneas de doblez
2
1
En el gráfico anterior hemos resaltado la diagonal que nos va a
servir para encontrar las líneas de doblez solicitadas, además sobre
las circunferencias se indica el número de pedazos que contiene
cada parte.
Antes de continuar con la base de los diseños a la que hemos
hecho referencia, vamos a ponernos de acuerdo en las siguientes
notaciones para la dirección del doblez.
Entre los origamistas se maneja un alfabeto prácticamente universal
para ilustrar la dirección de los dobleces, la realización de cortes y
de los movimientos que se deben efectuar en la elaboración de los
diseños. Las líneas con flecha nos servirán para saber qué parte de
la hoja o de la sección doblada hay que tomar con la mano para
girar, según indique la dirección de la flecha, y realizar el doblez.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
5
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
Línea de Puntos y Segmentos
Línea de Segmentos
Línea de Montaña
Línea de Valle
En la parte superior se ilustra los dos tipos de línea de doblez que
vamos a utilizar. El diagrama justifica plenamente, el por qué de los
nombres de las líneas.
Continuando con nuestra base de diseño con hoja cuadrada,
determinemos el esquema resultante, luego de plegar considerando
las líneas de doblez indicadas sobre el cuadrado.
Si tenemos claro las indicaciones y la notación, lo que se va a notar
es que la línea de doblez graficada sobre la diagonal se oculta y la
figura que se va a apreciar es un cuadrado.
Le proponemos que modifique el esquema, con líneas de montaña
sobre las diagonales y una línea de valle sobre una de las
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
6
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
mediatrices y verifique que se oculta la mediatriz y la figura
resultante al completar los dobleces es un triángulo rectángulo
isósceles.
ALGUNOS DISEÑOS DE ENVOLTURAS PARA EMBALAJE.
1.- Un diseño sencillo
A continuación presentamos el diseño de la envoltura más
conocida, para envolver paquetes que tienen forma de
paralelepípedo (ladrillo). Con estas envolturas usualmente se
embala papel A4 y se confecciona paquetes de regalo.
Consideremos el diseño en dos pasos:
Paso 1.- Tomemos una hoja de papel rectangular y, en particular,
pleguemos por líneas perpendiculares al lado más corto de la hoja,
de modo que el lado quede dividido en razón 2: 1: 3: 1: 2. Este
primer paso, se puede realizar primero doblando por líneas que
cortan al lado en razón 1: 1: 1, y luego doblando por líneas que
cortan a los flancos en razón 2: 1 y 1: 2, en ese orden. Esto se
ilustra a continuación:
1
1
1
2 1
A
Primer par de dobleces
1 2
B
Segundo par de dobleces
Debemos notar que para realizar el segundo par de dobleces,
previamente se debe retornar a la posición original.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
7
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
Paso 2.- La siguiente secuencia de dobleces se la realiza en ambos
extremos de los lados más cortos de la hoja. Observemos las
instrucciones dadas en forma gráfica. Aclaramos que la distancia D
de la línea de doblez al lado más corto debe ser superior a la mitad
del ancho de las franjas rectangulares etiquetadas con A y B en los
gráficos del paso 1, e inferior o igual al ancho de las mismas.
Dobleces siguientes simultáneos
D
Primer
doblez
A
B
Conjuntamente con los dobleces realizados en el paso 1, se logra
formar el paralelepípedo o ladrillo de papel.
2.- Un joyero en forma de paralelepípedo
Un diseño interesante es el de una caja sin tapa, a partir de una
hoja cuadrada. Si se quiere que tenga tapa, se opta por elaborar el
mismo diseño, con una hoja cuadrada cuya área es un poco mayor
al de la hoja ya utilizada.
Se inicia con plegando los cuatro vértices del cuadrado hasta que
coincida con el centro de gravedad.
La figura, luego de los pliegues, queda como sigue.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
8
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
Paso 2.- Se debe realizar los dobleces por las líneas de valle que
dividen a los lados del cuadrado en razón 1: 2: 1, como se ilustra a
continuación.
Las flechas indican que luego de realizar los dobleces señalados
debemos desdoblar los dos triángulos asociados. La figura
resultante queda:
Enseguida realizamos los dobleces indicados. Los lados del
cuadrado visible van a coincidir en el centro de gravedad del mismo.
La figura resultante es:
La siguiente secuencia de dobleces que se indican sobre la figura
anterior permite delinear la estructura de la caja.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
9
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
3.- Una caja de boca angosta
Es un diseño adecuado para embalar objetos pequeños.
Sobre nuestra base de hoja cuadrada realizamos los siguientes
dobleces.
ABRIR
P Q
R
ABRIR
Las líneas de calle hacen que los ángulos P, Q y R estén en razón
1: 2: 1, y de manera similar las líneas de montaña son bisectrices
de los ángulos indicados.
A continuación tenemos la figura, donde debemos doblar según la
línea de montaña indicada.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
10
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
Los dobleces previos para terminar el diseño se muestran en la
siguiente figura.
4.- Un contenedor cúbico
Con el origami también podemos construir recipientes para colocar
alimentos, especialmente si se trata de aquellos que han perdido
humedad: maíz tostado, chifles, etc.
A continuación presentamos los pasos más importantes para
construir un vaso cúbico.
Paso 1.Sobre una hoja cuadrada que previamente ha sido dividida con una
cuadrícula de 3x3, realizamos un doblez de tipo valle sobre una
diagonal de la hoja. Esto se muestra a continuación.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
11
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
Paso 2.El paso anterior deja a la hoja estructurada del siguiente modo.
CD
P
Q
R
ABRIR
ABRIR
A
B
Las líneas de montaña son bisectrices de los ángulos indicados;
mientras que los ángulos P, Q y R están en razón 1: 2: 1.
El modelo se concluye con dobleces tipo montaña de los vértices A,
B, C y D. La base del vaso es un cuadrado formado por el triángulo
T y su imagen especular (está del lado contrario).
5.- Envolturas con hojas teseladas.
Las teselaciones o recubrimientos sin superposiciones ni huecos de
superficies planas se las puede plasmar sobre una hoja de papel, y
en base a diseños previamente realizados, plegar adecuadamente
para tener una hoja “arrugada” artísticamente.
La utilidad que ofrecen este tipo de modelo se relaciona con el
embalaje de objetos cilíndricos, tal es el caso de botellas, cajas
cilíndricas, etc. Hay que advertir que el material a emplearse para la
elaboración de las hojas arrugadas debe ser de mayor espesor y es
imprescindible un refuerzo para mantener su vistosidad.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
12
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
En la página anterior se muestra el inicio del diseño de una
teselación sobre una hoja cuadrada, empleando triángulos y
hexágonos. Como se puede apreciar, los polígonos que se emplean
son los regulares, usualmente triángulos, cuadrados, hexágonos,
dodecágonos. Este tipo de teselaciones mezcla al menos tres tipos
de polígonos.
En realidad las teselaciones más sencillas utilizan un solo tipo de
polígono, aunque las más complicadas y que merecen un estudio
geométrico son aquellas que se construyen con polígonos
irregulares.
En la parte final del curso abordaremos la construcción de
envolturas con teselaciones que mezclan polígonos regulares.
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
13
IX Encuentro de Matemática y sus Aplicaciones
BIBLIOGRAFIA
 Origami Tesellations,
Febrero 1999.
Ian
Stewart,
Scientific
American,
 Creative Origami, Toyoaki Kawai
 Origami, el arte del plegado, A. van Breda
 Manualidades con Papel, Clive Stevens
 www.paperfolding.com
Vicente R. Chicaiza I.
Universidad Central del Ecuador
14