DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

DERIVADAS Y SUS APLICACIONES.
Concepto de derivada de una función en un punto (x=a) de su dominio f’(a):
-Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a,f(a)).
-Se utiliza como parámetro que permite ‘medir’ la forma de variación de una función en
los puntos de su dominio: sentido de la variación (crecimiento/decrecimiento) y ritmo
de la misma.
-Ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=a: y-f(a)=f’(a)(x-a)
-Si una función es derivable en x=a es continua. Lo contrario no es cierto en ocasiones.
Ejercicios relacionados con estas ideas:
-Determinación de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un
punto determinado de la misma.
-Determinación de un punto de la gráfica en el que su tangente sea paralela a una recta
dada.
Función derivada f’(x).
-A cada valor de x perteneciente al dominio (a) se le asocia por la función f’(x) el valor
de su derivada (f’(x)).
-Mediante la función derivada se puede estudiar el ritmo de variación de una función ,
así como el sentido de la misma.
-Funciones diferentes pueden tener la misma función derivada.
-Existe la función derivada de la función derivada (f’’(x)) llamada derivada segunda, la
derivada de la derivada segunda (f’’’(x)) y así sucesivamente.
Ejercicios relacionados con estas ideas:
-Dada la gráfica de una función esbozar la gráfica de su derivada y viceversa.
Cálculo de derivadas:
El cálculo de la función derivada de una función se basa en las siguientes reglas.
-Reglas de derivación inmediata de funciones específicas.
-Regla de la suma/resta.
-Regla del producto.
-Regla del cociente.
-Regla de la cadena.
Debes repasarlas y conocerlas perfectamente para una correcta aplicación.
Ejercicios relacionados con estas ideas:
-Aplicación de reglas de derivación a diferentes funciones.
Aplicaciones de la derivada en la representación de funciones.
a) Estudio del crecimiento/decrecimiento de una función.
-Determinación de la derivada de la función propuesta.
-Estudio del signo de la derivada de la función
-Determinación de puntos frontera de dominio, cambios de
definición y soluciones de f’(x)=0 (puntos singulares de la
función derivada).
-Definición de zonas en el eje X usando como límites de las
mismas los anteriores puntos singulares.
-Selección de un representante de cada zona y estudio del signo
de la derivada para el mismo. Todos los demás valores incluidos
en la zona tendrán el mismo signo.
-Si en una zona los valores de la derivada son negativos la
función será decreciente. En el otro caso será creciente.
-Siempre que en un valor del dominio de la función se produzca
un cambio en su forma de variación tendremos un extremo
(máximo si la función pasa de crecer a disminuir, mínimo en el
caso contario)
b) Estudio de la curvatura (concavidad/convexidad) de una función.
1. Estudio del signo de la derivada segunda de la función.
2. Dicho estudio se hace de forma idéntica a lo descrito en el
apartado anterior.
3. Si en una zona f’’ es positiva la gráfica de la función
presentará tangentes por debajo de la gráfica.Si f’’ es
negativa las tangentes se encontrarán por encima.
4. En los sitios en los que la función esté definida y se
produzca un cambio de curvatura se tendrá un punto de
inflexión.
c) Determinación de límites mediante la Regla de L’Hopital.
-Si el límite de f(x)/g(x) cunado x tiende a un determinado numero o infinito es
conduce a una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞, podemos salir de ella
calculando el valor del límite en ese mismo punto de f’(x)/g’(x). En caso de
existir, será la solución del problema inicial.
Ejercicios relacionados con estas ideas.
-Estudio del crecimiento y decrecimiento de una función.
-Determinación de los extremos de una función.
-Estudio de la curvatura de una función.
-Determinación de los puntos de inflexión de una función.
-Determinación de límites de funciones para estudiar continuidad o determinar
asíntotas.