Taller de Razonamiento Matemático Prueba Nº1 Profesor: David

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Taller de Razonamiento Matemático
Taller de Razonamiento Matemático
Prueba Nº1
Profesor: David Painequeo Santoro
Ayudante: Victor Yañez Morales
Nombre:
Colegio:
Curso:
Preguntas de Selección Múltiple
Nivel I
Observaciones
1) Este ítem consta de 27 preguntas, de las cuales deberá contestar 15
a su elección.
2) Cada pregunta correcta vale 2 puntos. Si usted contesta más de 15
preguntas, las adicionales que desarrolle correctamente valen 1 punto.
3) Las preguntas sin desarrollo se consideran omitidas, aunque esté
marcada la alternativa correcta.
1.
Tres barcos salen de un puerto. El primero cada 2 días, el segundo cada
6 días y el tercero cada 8 días. Si salieron juntos el primero de abril,
¿Qué día volverán a coincidir en la salida?
A)
B)
C)
D)
E)
8 de abril
16 de abril
23 de abril
24 de abril
25 de abril
1
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2.
Si a, b y c son números primos. ¿Cuál(es) afirmación(es) es(son)
siempre falsa(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3.
abc es impar
abc es primo
a+b+c es impar
Sólo I
Sólo II
Sólo I y III
I, II y III
Ninguna de las tres
El doble de -[-(x-(-y))] es igual a P. Entonces
A)
B)
C)
D)
E)
-x - y
=
2
P
2
P
2
-0,25(x+y)
x+y
4
P
4
2
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4.
La expresión
a
, con a, b y c números reales, b  0 y c  0 , es positiva
bc
si
(1)
(2)
A)
B)
C)
D)
E)
5.
a
>0
b
a
>0
c
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) ó (2)
Se requiere información adicional
Cuatro amigos A, B, C y D deben pagar su cuenta en un restaurante. D
explica: ”Como les dije, yo no tengo ni un centavo; pero repartiré estas
12 manzanas entre ustedes proporcionalmente a lo que hayan aportado
a mi almuerzo”. La cuenta fue de 60 dólares, y a los aportes de A, B y
C al pago de la cuenta fueron 15, 20 y 25 dólares, respectivamente. Si
todos consumieron lo mismo, ¿Cuántas manzanas le tocan a A, B y C,
respectivamente?
A)
B)
C)
D)
E)
0,4,8
0,5,10
2,4,6
1,4,7
3,4,5
3
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6.
Dada la condición x+y+z2 =xy+1 , con (y-1)2  z2 , x  y .
Calcule
(y-1)2
x-1
+
2
2
(y-1) -z
x- y
A) 1
B) 2
C) 0
D) -1
E) -2
7.
Sabiendo que x2 +y2 =28, xy=14 , determine el valor de x2 - y2
A) 2
B) (x-y)2
C) (x+y)2
D) 1
E) -1
8.
Si a  b  c  b  c  d  c  d  a  d  a  b  6 , entonces a  b  c  d 
A) 24
B) 12
C) 6
D) 0
E) No se puede determinar
4
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9.
En la figura, AB=DE . Calcule
CD- AC
AC+BE
A) 0,5
B) 0,6
C) 0,8
D) 0,9
E) 1
10.
Si x verifica la ecuación x2  x  1  0 , calcule el valor de x4 +
1
x
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
5
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11.
Según la figura, BC= AC=CD . Calcule
ACD
A) 10º
B) 15º
C) 18º
D) 30º
E) 20º
12.
1
Si m2 + 2 = 8 , entonces el valor numérico de
m
1
m3 corresponde a
1
mm
m3 -
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6
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13.
En la figura, P y T son puntos de tangencia de la circunferencia de
centro O. Si CP=PO , AB=BC y AB=4 , calcule BT.
A) 4
B) 3
C) 2 2
D) 4 2
E) 2 3
14.
Si a  b  c  0 , calcular
1
1
1
D 2
 2
 2
2
2
2
2
b c a
c  a b
a  b2  c2
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) -1
7
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15.
En el gráfico P, S Y Q son puntos de tangencia. Si L1 L2 , PB=9 y
AS=4 , calcule el área de la región achurada.
A) 6 13-3
B) 24 5- 
C) 185-
D) 813-3
E) 6 10-3
16.
Se sabe que a  b  c  20 y a2 +b2 +c2 =300 . Encuentre el valor de
(a+b)2 +(a+c)2 +(b+c)2
A) 500
B) 600
C) 700
D) 800
E) 900
8
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17.
-1
 xy xz yz 
Dada la igualdad xy  yz  zx  0 , calcule  2 + 2 + 2 
y
x 
z
A) 3
1
B)
3
C) 1
D) 0
E) -1
18.
En la figura, BD=DC, AB=13 y AH=12 . Calcule BC.
A) 10 2
B) 4 2
C) 6 2
D) 5 2
E) 5 3
9
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19.
En la figura se muestran las circunferencias inscritas en los triángulos
ABC, PBQ, APS y SQC. Si E, P, D, J, Q, I, H, S y G son puntos de
tangencia y
sombreada.
ED+IJ+GH=50 ,
calcule
el
perímetro
de
la
región
A) 40
B) 30
C) 50
D) 25
E) 75
10
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20.
Sea ABCD un cuadrado y E un punto interior del cuadrado, tal que el
CBE sea equilátero. ¿Cuánto mide el EDC ?
A)
B)
C)
D)
E)
21.
60º
65º
70º
75º
50º
Si x  y  z , xyz  2 y x6  y6  z6  20 . Calcule el valor numérico de
K
A)
B)
C)
D)
E)
x3y3  y3z3  z3x3
x3  y3  z3
1/3
4/3
5/3
2
49/3
11
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22.
En la figura, AB=BE . Calcule
A)
B)
C)
D)
E)
23.
.
30º
40º
50º
65º
70º
Sean x =20011002 -2001-1002 e y=20011002 +2001-1002 . Calcule x2 - y2
A)
B)
C)
D)
E)
1
4
-1
-2
-4
12
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24.
En el rectángulo ABCD de la figura, E y F son los puntos medios de BC y
CD, respectivamente. Calcule el x .
A)
B)
C)
D)
E)
25.
10º
15º
20º
30º
45º
Si a2  2b2  2a(b  c)  2c2 , donde a,b, c son reales distintos de cero,
calcule el valor numérico de M 
A)
B)
C)
D)
E)
a3
b2c
2
4
8
16
32
13
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26.
En la figura, calcule el
x.
A) 40º
B) 60º
C) 70º
D) 80º
E) Falta información
27.
En la figura, AB= AM . Calcule el
x.
A) 30º
B) 35º
C) 40º
D) 45º
E) 60º
14
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Preguntas de Desarrollo
Nivel II
Observaciones
1) Este ítem cuenta de 4 preguntas, que deben ser contestadas.
2) Cada pregunta correcta vale 3 puntos.
3) Las preguntas sin desarrollo se consideran omitidas.
1.
Sean A, C, D, F, G y H puntos de tangencia. Demostrar que AB  EF .
15
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2.
Sabiendo
que
a
b
c
+
+
=1 ,
b+c a+c a+b
determine
el
valor
de
a2
b2
c2
+
+
.
b+c a+c a+b
16
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3.
Sea el triángulo en la figura, recto en C, se le traza la bisectriz interior
BP , tal que AB+AP=2(BC) . Calcule el
PBA .
17
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4.
Sabiendo que tres números reales positivos a, b y c cumplen con
1
1
1
(b+c)+ (c+a)+ (a+b)= 6 . Calcule el valor numérico de
a
b
c
(a+b+c)3  6abc
E=
a3 +b3 - abc
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Preguntas de Desarrollo
Nivel III
Observaciones
1) Este ítem cuenta de 2 preguntas, de las cuales debe elegir 1.
2) La pregunta vale 8 puntos. Si contesta ambas, la segunda vale por 5
puntos.
3) Las preguntas sin desarrollo se consideran omitidas.
1.
Dados los números reales a , b y c tales que
b2 +c2 -a2 c2 +a2 -b2 a2 +b2 -c2
+
+
=1
2bc
2ac
2ab
b c 
a b 
c a

Calcule el valor de 1+ - 1+ - 1+ - 
a a 
c c 
b b

19
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2.
Sea AD la bisectriz de un triángulo ABC (DBC) tal que AB+AD=CD
y AC+AD=BC . Determine la medida de los ángulos del ABC .
20