cuál es la probabilidad de que

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PRACTICA 3
PARTE 1
1)Un examen de elección múltiple consta de 10 preguntas cada una de las cuales
posee 5 posibles respuestas, siendo sólo una la correcta. Suponga que un estudiante
rinde el examen contestando cada pregunta en forma independiente y al azar. Si Z es
el número de respuestas correctas
a)Halle la distribución de Z, la media y la varianza. Interprete dichos resultados.
b) Halle la probabilidad de que el alumno responda correctamente 7 preguntas.
c)Si para aprobar es necesario tener más de 5 respuestas correctas. Halle la
probabilidad de que un estudiante apruebe.
Rta:
a)
Z
0
1
2
3
4
5
6
7
8
>8
P(z) 0.1074 0.2684 0.3020 0.2013 0.0881 0.0264 0.0055 0.0008 0.0001 0
E(z)=2; V(Z)=1.6
b)0.0008
c)0.0064
2)La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad en la
sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esa enfermedad, ¿cuál es
la probabilidad de que:
a)¿por lo menos 10 sobrevivan?
b)¿sobrevivan de 3 a 8?
c)¿sobrevivan exactamente 5?
d)¿cuántos, en promedio, sobrevivirán?
e)¿cuál es la varianza de la v.a. en cuestión?
Rta:a)0.0337 b)0.8779
c)0.1859
d)6
e)3.6 D(x)=1.897
3)En cierto distrito urbano, la necesidad de obtener dinero para comprar droga se
supone como el motivo del 75% de todos los robos ocurridos. Evalúe la probabilidad
de que entre los siguientes 5 casos de robo reportados en este distrito:
a)precisamente 2 de ellos resulten de la necesidad de comprar droga
b)a lo sumo 3. resulten de la necesidad de comprar droga
Rta:a)0.08789 b)0.36719
4)Si se define la v.a. x como el número de caras que se obtienen cuando una moneda
balanceada se arroja una vez, encuentre la distribución de probabilidad de x y dibújela.
¿Es esta distribución del tipo uniforme discreta, binomial o ambos tipos?
5)Las probabilidades de que un delegado que asiste a una convención llega por avión,
autobús, automóvil o tren son respectivamente 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1. ¿Cuál es la
probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados al azar, 3 hayan llegado por
avión?
Rta:0.2508
2
6) Según la teoría genética, una cierta cruza de Conejillos de Indias dará por resultado
un producto en rojo, negro o blanco en relación de 8:4:4. Determine la probabilidad de
que entre 8 productos :
a)¿Exactamente 5 sean rojos.
b)¿Exactamente 2 sean negros?
Rta:a)0.2188 ;b)0.3114
7)Un fabricante de neumáticos para automóviles informa que entre un envío de 5000
llantas dirigido a un distribuidor local, 1000 están ligeramente dañadas. Si se compran
al distribuidor 10 de estas llantas al azar: ¿cuál es la probabilidad de que exactamente
3 esten dañadas?
Rta: a)Aplicando la dist. Hip:0.2015;b) aplicando la aproximación por Binomial 0.2013.
8)De acuerdo con la teoría genética, cada hijo de un par de padres en particular tiene:
P(ojos azules)=0.5; P(ojos marrones)=0.2 y P(ojos verdes)=0.3. Si los padres tienen
5 hijos, halle la probabilidad de que por lo menos tres tengan ojos verdes.
Rta.:0.1631
9)Se embarcan motores eléctricos pequeños en lotes de 50. Antes de aceptar el
cargamento, un inspector elige 5 motores y los prueba uno por uno. Si ninguno de
ellos es defectuoso, acepta el lote. Si encuentra que uno o más son defectuosos, se
inspecciona el cargamento completo. Supongamos que en realidad hay tres motores
defectuosos en el lote. ¿Cuál es la probabilidad de que se requiera una inspección al
100%?
Rta:
Aplicando la dist. Hip:0.276; aplicando la aproximación por Binomial 0.266.
10)Un ama de casa siembra 6 bulbos de plantas seleccionadas al azar, de una caja
que contiene 5 bulbos de tulipán y 4 de narcisos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya
plantado 2 narcisos y 4 tulipanes?
Rta:0.3571
11)Se sabe que el número de microorganismos por gramo de una cierta muestra de
suelo diluida en agua destilada, sigue una distribución de Poisson de parámetro
=0.08. Si una preparación con un gramo de esta dilución se vuelve turbia, este gramo
contiene al menos un microorganismo. Hallar la probabilidad de que una preparación
que se ha vuelto turbia tenga:
a) un sólo microorganismo
b) menos de tres microorganismos
c) más de dos microorganismos.
Rta:a)0.0738 b)0.999
c)0.001
12)La probabilidad de que una persona muera de cierta infección es de 0.002.
Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de las siguientes 2000 personas
que contraigan dicha enfermedad. Calcule E(x) y VAR(x).
Rta:a)4
b)0.62884
3
13)Suponga que en promedio 1 de 1000 personas comete un error numérico al
elaborar su declaración de impuestos. Si se seleccionan al azar y se examinan 10000
declaraciones, obtenga la probabilidad de que 6, 7 u 8 tengan errores.
Rta:0.26573
14)Se sabe que una fuente de líquidos contiene bacterias, el número de bacterias por
unidad de volumen puede tomarse como una v.a. Poisson con un promedio de 3
bacterias por mm3. .Diez tubos de 0.5 mm3 se llenan con el líquido. Calcular la
probabilidad de que:
a) ¿todos los tubos queden contaminados, es decir, contengan al menos una bacteria
b) ¿exactamente 7 tubos queden contaminados
Rta:a)0.08
b)0.226
15)Si la probabilidad de acierto al disparar sobre un blanco es 1/5 y se efectúan 10
disparos, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) por lo menos dos den en el blanco?
b) por lo menos dos den en el blanco, si se sabe que por lo menos uno no lo hizo?.
Rta:0.6242
b)0.699
16) Los accidentes de trabajo que se producen por semana en una fábrica son, en
promedio, cuatro. Se pide:
a) ¿cuál es el significado del valor 4?
b) calcular la probabilidad de que haya menos de un accidente en 4 semanas
c) hallar el número de accidentes semanales que ocurren con un probabilidad igual a
90%.
Rta:b)=0
c)n17
17) Un complejo sistema electrónico está construido con cierto número de
componentes de apoyo en sus subsistemas. Un subsistema contiene cuatro
componentes idénticos, cada uno con una probabilidad de 0.2, de fallar en menos de
1.000 horas. El subsistema funciona si dos componentes cualesquiera de los cuatro
trabajan en forma adecuada. Se supone que los componentes operan
independientemente.
a)Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de cuatro componentes resistan
más de 1.000 horas.
b) Encuentre la probabilidad de que el subsistema funcione por más de 1.000 horas.
Rta:a)0.1536 b)0.9728
19) La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimiento gástrico es
0.8. Supóngase que 20 personas han contraído tal afección.
a)¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14?
b)¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 sobrevivan?
c)¿Cuál es la probabilidad de que al menos 14, pero no más de 18, sobrevivan?
d)¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 16 sobrevivan?
Rta:0.109
b)0.899
c)0.844
d)0.589
20) Una nueva técnica quirúrgica tiene una probabilidad p de éxito. Supóngase que la
operación se efectúa cinco veces y que los resultados son independientes uno de otro.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones sean existosas, si p = 0.8?
4
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro operaciones sean exitosas, si
p = 0.6?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de dos operaciones sean exitosas, si p =
0.3?
Rta:a).32768 b)0.2592
c)0.52822
21)Un sistema de protección contra cohetes está construido con n unidades de radar
que funcionan independientemente, cada una con probabilidad de 0.9 de detectar un
cohete que ingresa que cubren todas las unidades.
a) Si n = 5 y un cohete entra en la zona, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente
cuatro unidades detecten el cohete? ¿Al menos una unidad?
b) ¿Cuál debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar el cohete al
entrar en la zona, sea de 0.999?
Rta:a)0.32805 b)3
22)Una concentración particular de una sustancia química, encontrada en agua
contaminada, resulta ser mortal para el 20% de los peces expuestos a esta
concentración durante 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque que contiene
agua con esta concentración del producto químico.
a) Determine la probabilidad de que exactamente 14 sobrevivan
b) Determine la probabilidad de que por lo menos 10 sobrevivan
c) Obtenga la probabilidad de que a lo más 16 sobrevivan
Rta:0.109
b)0.999
c)0.589
23)Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada I de
acuerdo con una distribución de Poisson con una media de tres por hora, y a la
entrada II de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de cuatro por
hora. ¿Cuál es la probabilidad de que tres coches lleguen al estacionamiento durante
una hora dada? (Se supone que los números de coches que llegan a las dos entradas
son independientes).
Rta:0.0521
24)Un número binario está compuesto sólo de los dígitos 0 y 1 (por ej: 1011,1100,etc).
Como usted sabe estos números juegan un papel importante en el uso de las
computadoras . Suponga que un número binario está compuesto por n dígitos.
Suponga que la probabilidad de que aparezca un dígito incorrecto es p y que los
errores en dígitos diferentes son independientes unos de otros. a)¿Cuál es la
probabilidad de formar un dígito incorrecto? b)Realice los cálculos para
p=0,01;p=0,02;p=0,05 y n=1; n=4; n=8. Conclusiones acerca de los resultados
obtenidos.
Rta:a)1-(1-p)n.b)
n=1
P=0,01
P=0,02
N=4
0,039
0,077
N=8
0,077
0,149
25)Suponga que en promedio hay 2 suicidios por año en una población de 50.000
personas. En una ciudad de 100.000 habitantes, halle la probabilidad de que en un
año determinado ocurran:
5
a)Ningún suicidio
b)Un suicidio
c)Dos o más suicidios
Rta: a) 0.0183; b) 0.0732; c) 0.909
26)Un sistema de alarma para detectar rápidamente aviones consta de 100 unidades
de radar idénticas que trabajan independientemente. Suponga que cada una tiene una
probabilidad 0.95 de detectar un avión que se interna en el área del sistema. Cuando
un avión aparece, interesa determinar Y: el número de unidades de radar que no
detectan al avión.
a)Halle la distribución de Y.
b)Es posible hallar una distribución que aproxime a la obtenida en a) Justifique.
c)Calcule empleando ambas distribuciones P[Y = 2] y compare los resultados
obtenidos.
Rta:: a) Es Binomial con n=100 y p= 0.05; b) Poisson con =5
c)por Binomial 0.0812; por Poisson 0.084
EJERCICIOS ADICIONALES A LA PRACTICA 3
1)Una vendedora se da cuenta de que la probabilidad de venta en una entrevista
única es aproximadamente 0.03. ¿Cuál es la probabilidad de que ella haga al menos
una venta al tener 100 compradores posibles?
Rta:0.952
2)El número de colonias de bacterias de cierto tipo en unas muestras de agua
contaminada tiene una distribución de Poisson con una media de dos por centímetro
cúbico.
a)Si se toman en forma independiente cuatro muestras de un centímetro cúbico de
esta agua, encuentre la probabilidad de que al menos una muestra tenga una o más
colonias de bacterias.
b)¿Cuántas muestras de un centímetro cúbico deben seleccionarse para tener una
probabilidad de aproximadamente 0.95, de encontrar al menos una colonia de
bacterias?
Rta:0.9997 b)n=2
3)El número de defectos por yarda cuadrada de un cierto tipo de tela manufacturado
por una empresa, admite un promedio de 0.5 fallas por yarda. Hallar la probabilidad de
que una yarda tenga 2 o menos defectos.
Rta:0.9856
4)Una compañía de taxis tiene un promedio de 10 pinchaduras de goma por semana.
¿Cuál es la probabilidad de tener 20 o más pinchaduras en la próxima semana?
Rta:0.004
5)Una máquina produce normalmente 1% de tornillos defectuosos. El productor saca
una muestra de 100 tornillos cada hora; si hay alguno defectuoso, revisa la máquina,
si no la deja funcionar una hora más.
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a)¿Cuál es la probabilidad de que con este método deje trabajar la máquina cuando
ésta esté produciendo el doble de defectuosos que el deseado?
b)¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra a inspeccionar para asegurar que si la
máquina está produciendo el 2% de defectuosos, sea reparada con una probabilidad
del 99%?
Rta:e-2 b)n=228
6)Una empresa se interesa en evaluar su procedimiento de inspección actual de los
envíos de 50 productos idénticos. El procedimiento consiste en tomar una muestra de
5 y dar por buena la remesa si se halla que no más de 2 son defectuosos. ¿Qué
proporción de envíos con 20% de defectuosos podrá ser aceptadas?
Rta:0.95174