Problemas probabilidad compuesta.

BACH GD | 2 Columnas
EXPERIMENTOS COMPUESTOS (I)
Ejemplo En el problema propuesto se tienen tres
cuestiones de este tipo
UN EXPERIMENTO ES COMPUESTO CUANDO CONSTA DE
VARIAS PRUEBAS.
EN LOS PROBLEMAS DE PROBABILIDAD RELATIVOS A
EXPERIMENTOS COMPUESTOS SE DAN COMO DATOS LAS
PROBABILIDADES DE TODOS LOS RESULTADOS DE LAS
PRUEBAS INDIVIDUALES, O BIEN ESTOS SE PUEDEN
DEDUCIR
FÁCILMENTE
A
PARTIR
DE
LAS
INFORMACIONES APORTADAS.
a)P(envío∩envío∩envío)=
P(envío).p(envío).p(envío)=0,2.0,2.0,2.
b)P(envío∩ no envío∩envío)=
P(envío).p(no envío).p(envío)=0,2.0,8.0,2.
c)P(no envío∩no envío∩no envío)=
P(no envío).p(no envío).p(no envío)=0,8.0,8.0,8
EN
GENERAL
SE
SUELE
PREGUNTAR
POR
PROBABILIDADES DE OCURRENCIA DE RESULTADOS DE
LA EXPERIENCIA COMPUESTA
Se pregunta por más de un posible resultado:
MÁTODO 1
En este caso se determinan todos los posibles
resultados cuya probabilidad se solicita, se
calcula la probabilidad de ocurrencia de cada
uno de ellos y se suman.
PRUEBAS INDEPENDIENTES
CARACTERÍSTICAS:
-Situaciones compuestas por más de una prueba
aleatoria.
-Las
diferentes
pruebas
aleatorias
son
independientes: los resultados de una no
influyen sobre los resultados de los demás.
-En relación a la resolución del problema se
puede considerar que cada una de las pruebas
que componen el experimento tiene dos posibles
resultados
del
que
se
conocen
sus
probabilidades de ocurrencia.
Se
pregunta
por
la
probabilidad
de
una
determinada combinación de resultados de las
diferentes pruebas. El suceso por el que se
pregunta puede ser simple o compuesto.
Variante
1:
Todas
las
pruebas
experimento compuesto son idénticas.
O bien se usa el suceso complementario.
MÉTODO 2
Se determinan todos los posibles resultados
contrarios a la probabilidad solicitada, se
calculan las probabilidades de ocurrencia de
cada uno de ello, se suman, y el resultado se
resta de 1 (o de 100% si las probabilidades se
expresan en forma de porcentajes)
Este método puede ser más efectivo que el
anterior si los resultados contrarios a los
solicitados son menos numerosos.
del
Ejemplo:En el problema propuesto
cuestión pertenece a este tipo.
Ejemplo
la
última
d) Para la verificación del suceso cuya
probabilidad se solicita puede contestar sólo a
la primera, sólo a la segunda, sólo a la
tercera, la primera y segunda, la primera y
tercera, la segunda y tercera, o las tres.
MÉTODO 1:
-P(envío∩ no envío∩no envío)=
P(envío).p(no envío).p(no envío)=0,2.0,8.0,8.
AJUSTE A LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA.
La
situación
descrita
se
características descritas:
ajusta
a
las
-P(no envío∩ envío∩no envío)=
P(no envío).p(envío).p(no envío)=0,8.0,2.0,8.
-Consta de varias pruebas: las 3 ocasiones en
las que el ciudadano puede contestar a la
carta.
-Las pruebas son independientes: lo que ocurre
en cada una de las ocasiones en principio no
influye sobre las demás (o al menos el problema
no indica lo contrario).
-Cada prueba es idéntica a la anterior y tiene
dos
posibles
resultados:
envío
con
una
probabilidad de 0,2 y no envío con una
probabilidad de 0,8.
-P(no envío∩ no envío∩envío)=
P(no envío).p(no envío).p(envío)=0,8.0,8.0,2.
-P(envío∩ envío∩no envío)=
P(envío).p(envío).p(no envío)=0,2.0,2.0,8.
-P(envío∩ no envío∩envío)=
P(envío).p(no envío).p(envío)=0,2.0,8.0,2.
-P(no envío∩ envío∩envío)=
P(no envío).p(envío).p(envío)=0,2.0,8.0,8.
-P(envío∩envío∩envío)
=P(envío).p(envío).p(envío)=0,2.0,2.0,2
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Y posteriormente se suman.
Algebraico:
Se pregunta por un único resultado de las tres
pruebas.
Por ser los experimentos independientes se
verifica que la probabilidad de obtener una
combinación determinada de resultados es igual
al producto de las probabilidades de que se
verifique cada uno de ellos por separado.
MÉTODO 2:
Se calculan los posibles resultados contrarios
al solicitado( es decir no enviar ninguna)
-P(no envío∩no envío∩no envío)=
P(no
envío).p(no
envío).p(no
envío)=0,8.0,8.0,8=0,512
Al resultado obtenido se le resta de uno. La
solución resulta ser 1-0,512=0,488
1|5
BACH GD | 2 Columnas
estudiante que no se había preparado la materia responde
completamente
al
azar
marcando
una
respuesta
aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que acierte 5 o más
preguntas.
diagrama en árbol
-Todas las ramas del árbol son idénticas al
serlo las pruebas y además las probabilidades
asignadas a cada tramo no varían (por el hecho
nuevamente de la igualdad de las pruebas y la
independencia de las mismas)
Solución:0,0061
5.-Tres aviones disparan simultáneamente sobre un blanco,
siendo independientes los disparos de uno y otro, y siendo la
probabilidad de que un avión acierte el blanco igual a 0.6.
Calcular la probabilidad de que el blanco sea destruido.
-Cada posible resultado conjunto de las tres
pruebas está representado por un camino en el
árbol. Su probabilidad será el producto de las
probabilidades que se encuentran en el camino.
Solución:0,936
-Si
se
pide
resultados
se
asociados a cada
Se
muestra
correspondiente
ejemplo.
la
probabilidad
de
varios
sumarán
las
probabilidades
uno de ellos.
seguidamente
el
árbol
al
problema
indicado
como
6.-De una baraja española de 40 cartas se extrae una carta al
azar:
si de la misma baraja se extrae otra carta al azar después de
introducir la primera, calcular la probabilidad de que al menos
una de las dos cartas extraídas haya sido un rey.
Solución: 0,19
Variante2: las pruebas no son idénticas.
Las condiciones pueden ser las mismas que en el
caso anterior (multiplicidad de pruebas con dos
resultados y todas independientes), pero con la
particularidad
de
que
las
pruebas
sean
distintas.
Los métodos de resolución son los mismos que
indicados anteriormente teniendo la precaución
de estar atentos de asignar las probabilidades
adecuadas (dato dado en el enunciado) a los
resultados de cada una de ellas.
ACTIVIDADES:
ACTIVIDADES:
Para cada uno de los problemas que se
presenta a continuación:
-Identifica las pruebas que lo componen.
-Verifica que son iguales.
-Verifica que tienen cada una de ellas dos
posibles resultados en relación a lo que se
pregunta en el problema.
-Verifica que son independientes.
-resuélvelo
por
alguno
de
los
dos
procedimientos indicados.
Para cada uno de los problemas que se
presenta a continuación:
-Identifica las pruebas que lo componen.
-Verifica que no son iguales.
-Verifica que tienen cada una de ellas dos
posibles resultados en relación a lo que se
pregunta en el problema.
-Verifica que son independientes.
-resuélvelo
por
alguno
de
los
dos
procedimientos indicados.
1.-La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza
es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que
cobre una pieza al menos dos veces.
1.-Una fábrica produce ejes y cojinetes que ajustan entre sí. El
porcentaje
de cojinetes defectuosos es el 5% y el de ejes el 2%. Son
utilizables cuando
ambos son Correctos y en el 50% de los casos en que ambos
son Incorrectos.
Solución:0,663
Calcula la probabilidad de que sean utilizables.
2.-La probabilidad de que un niño en edad escolar tenga
trastornos de conducta es 0,2. Elegidos al azar tres niños en
edad escolar, calcula la probabilidad de que: 1) ninguno de los
tres tenga trastornos de conducta, 2) más de uno tenga
trastornos de conducta.
2.-La probabilidad de que un jugador A marque un gol de
penalti es de 5/6, mientras que la de otro jugador B es 4/5.
Si cada uno lanza un penalti,
a)
Solución:1) 0,512 2)0,104
b)
3.-Se lanzan dos dados A y B con las caras numeradas del 1 al
6. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea
múltiplo de 4?
Halle la probabilidad de que marque gol uno solo de los
dos jugadores.
Halle la probabilidad de que al menos uno marque gol.
3.-En una ciudad hay tres lugares de ocio (A, B, C) a los que
van habitualmente un grupo de amigos. Las probabilidades de
ir un día cualquiera a cada uno de ellos es, respectivamente,
0’4, 0’3 y 0’6. Hallar la probabilidad de que, un día cualquiera
dicho grupo 1) solamente vaya a uno de los lugares, 2) vaya
únicamente a dos de los lugares.
Solución:0,25
4.-Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas
cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un
2|5
BACH GD | 2 Columnas
4.-En un trayecto entre dos ciudades próximas, un
automovilista ha deatravesar tres zonas que están en obras y
en las que se regula el tráficomediante semáforos. La
probabilidad de encontrar la luz en rojo para cada
uno de los tres semáforos es, respectivamente, 0.3 , 0.7 y 0.5.
Se pide laprobabilidad de que el conductor:
a) encuentre los tres semáforos en rojo.
b) encuentre los tres semáforos en verde
c) encuentre en rojo uno de ellos y los otros dos en verde.
12.-
13.-
5.-En un centro de Secundaria, aprueban Biología 4 de cada 5
alumnos, las Matemáticas las aprueban 2 de cada 3 alumnos y
3 de cada 5 alumnos aprueban la Lengua. Elegido al azar un
alumno matriculado de esas asignaturas en ese centro, Calcula
la probabilidad de que: 1) suspenda esas tres asignaturas. 2)
suspenda sólo una de ellas.
La probabilidad de que un jugador A marque un gol de penalti
es de 5/6, mientras que la de otro jugador B es 4/5. Si cada
uno lanza un penalti,
-Halle la probabilidad de que marque gol uno solo de los dos
jugadores.
-Halle la probabilidad de que al menos uno marque gol.
6.-
EXPERIMENTOS COMPUESTOS (II)
PRUEBAS DEPENDIENTES
SE DAN COMO DATOS LAS PROBABILIDADES DE TODOS
LOS RESULTADOS DE LAS PRUEBAS INDIVIDUALES O SE
PUEDEN DEDUCIR FÁCILMENTE A PARTIR DE LAS
INFORMACIONES
APORTADAS.
SE
PREGUNTA
POR
PROBABILIDADES DE OCURRENCIA DE RESULTADOS DE
LA EXPERIENCIA COMPUESTA
7.-
CARACTERÍSTICAS
-Situaciones compuestas por más de una prueba
aleatoria.
-Las diferentes pruebas aleatorios no son
independientes:los resultados de una influyen
sobre los resultados de los demás.
-En relación a la resolución del problema se
puede considerar que cada una de las pruebas
que componen el experimento tienen resultados
(dos ó más) de los que se conocen sus
probabilidades de ocurrencia.
Se
pregunta
por
la
probabilidad
de
una
determinada combinación de resultados de las
diferentes pruebas.
8.-
9.-
La única diferencia con los problemas del tipo
anterior es que los resultados de uno de los
experimentos influyen en el de los otros. Por
lo demás los métodos de resolución son los
mismos que los indicados más arriba para los
sucesos independientes teniendo en cuenta:
10.-
-para el método algebraico: que lo que se
multiplican
ahora
son
probabilidades
condicionadas de los resultados de las pruebas
tras
conocer
los
verificados
en
pruebas
anteriores. (por tanto pueden ser diferentes
dependiendo de cómo haya variado el espacio
muestral)
-Para el método del árbol las probabilidades de
seguir los caminos que salen de las ramas
correspondientes a los resultados de una
determinada prueba pueden cambiar mucho.
11.Se tienen dos monedas, una sin trucar y otra trucada. Sabiendo
que con la moneda trucadala probabilidad de obtener cruz es
triple que la probabilidad de obtener cara calcular la
probabilidad de que al lanzar las dos monedas:
a) se obtengan dos caras.
b) no se obtenga ninguna cara.
c) se obtenga una cara y una cruz.
d) se obtengan dos caras o dos cruces.
Las formas en las que influye una prueba en las
posteriores pueden ser variadas :
VARIANTE 1:Cursos de acción diferentes si
el resultado de la primera experiencia es
uno u otro.
3|5
BACH GD | 2 Columnas
5.-
ACTIVIDADES
Aquí tenemos unos ejemplos. En cada uno de
ellos identifica las características de este
tipo de problemas:
-la existencia de más de una pruebas.
-la dependencia.
-el conocimiento de las probabilidades de
ocurrencia de los resultados de cada prueba
individual.
Resuélvelos mediante alguno de los métodos
descritos.
1.-En el botiquín de un equipaje se encuentran
dos cajas de pastillas para el dolor de cabeza
y tres cajas de pastillas para el tiroides. El
botiquín de otro equipaje hay tres cajas de
pastillas para el dolor de cabeza, dos cajas de
pastillas para el tiroides y una caja de
pastillas laxantes. Si se saca una caja de
pastillas al azar de cada uno de los equipajes,
calcular la probabilidad de que: 1) Las dos
cajas sean para el tiroides. 2) las dos cajas
sean de pastillas diferentes.
6.-Tenemos un cofre A con 2 monedas de oro y 3 de plata, un cofre B con 5
monedas de oro y 4 de plata y un tercer cofre C con 2 monedas de oro.
Elegimos un cofre al azar y sacamos una moneda.
a) Calcule la probabilidad de que sea de oro.
b)
Sabiendo que ha sido de plata, calcule la probabilidad de que haya
sido extraída del cofre A.
Dos cajas,
A y B , tienen el siguiente contenido:
A : 5 monedas de 1 euro y 3 de 10 pesetas.
La B : 4 monedas de 1 euro, 4 de 10 pesetas y 2
25 pesetas.
La
de
2.-Dos urnas A y B, que contienen bolas de colores, tienen la siguiente
composición:
A: 5 blancas, 3 negras y 2 rojas.
B: 4 blancas y 6 negras.
También tenemos un dado que tiene 4 caras marcadas con la letra A y las
otras dos con la letra B. Tiramos el dado y sacamos una bola al azar de la
urna que indica el dado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja?
c) La bola extraída ha resultado ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de
que proceda de la urna B?
De una de las cajas elegida al azar, se extrae una moneda.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de 1 euro?
b) Si la moneda extraída resulta ser de 10 pesetas, ¿cuál es la
3.- Un monedero (A) contiene 2 monedas de 1 C= y tres
monedas de 2 C=; otro monedero (B) contiene 4 de 1 C= y 3 de
2 C=.
a) si elegimos un monedero al azar y extraemos de él 2
monedas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas monedas
sean de 1 C=?
b) si, tras elegir un monedero al azar, extraemos 2 monedas de
él y resultan ser dos monedas de 1 C=, cuál será la
probabilidad de que hayamos elegido el monedero A?
ACTIVIDADES
Aquí tenemos unos ejemplos de cuestiones donde
se da esta circunstancia. En cada uno de ellos
identifica las características de este tipo de
problemas:
-la existencia de más de una pruebas.
-la dependencia.
-el conocimiento de las probabilidades de
ocurrencia de los resultados de cada prueba
individual.
Resuélvelos a través de la realización de un
diagrama de árbol.
probabilidad de que proceda de la caja
B?
VARIANTE 2:Realización de extracciones sin
reemplazamiento.
El
espacio
muestral
inicial del experimento se ve reducido por
los elementos extraídos.
4.-
2)
4|5
BACH GD | 2 Columnas
mantenimiento sólo hay una probabilidad de 0´25
de funcionar correctamente. 1) ¿Cuál es la
probabilidad de que un ordenador funcione
correctamente a la vuelta del jefe? 2) A su
regreso, el jefe se encuentra un
ordenador
averiado, ¿cuál es la probabilidad de que Juan
no le hiciera el mantenimiento?
4)
5)
En un pedido de 50 bombillas se sabe que hay
4 defectuosas. Si el comprador elige dos
(sin reemplazamiento) al azar, ¿Cuál es la
probabilidad
de
que
las
dos
sean
defectuosas?
6)En una clase hay 18 chicos y 14 chicas. Un
profesor saca a la pizarra, consecutivamente a
tres
alumnos
diferentes.
Calcula
la
probabilidad de que: 1) saque a tres chicas. 2)
saque a una chica y a dos chicos.
7)En un examen teórico para la obtención del
permiso de conducir hay 14 preguntas sobre
normas, 12 sobre señales y 8 sobre educación
vial. Si se eligen dos preguntas al azar. 1)
¿Cuál es la probabilidad de que las dos
preguntas sean de educación vial? 2) ¿Cuál es
la probabilidad de que ninguna sea de señales?
8)En un cineclub hay 80 películas; 60 son de “acción” y 20 de “terror”.
Susana elige una película al azar y se la lleva. A continuación Luis elige otra
película al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tanto Susana como Luis elijan películas
de acción?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la película elegida por Luis sea de
acción?
9.-En una clase de segundo de Bachillerato
compuesta por el 55 % de chicos y el resto de
chicas, practica el balonmano el 40% de los
chicos y una de cada cuatro chicas. Si elegimos
al azar un alumno de la clase, 1)¿cuál es la
probabilidad de que practique balonmano? 2)
¿Cuál es la probabilidad de que practique
balonmano y sea chica?3) Si resulta que no
practica balonmano, ¿cuál es la probabilidad de
que sea chica?
10.-La urna S contiene 4 bolas blancas y 3
negras, y la urna T contiene 3
bolas blancas y dos negras. Tomamos al azar una
bola de S y, sin mirarla,
la introducimos en T. A continuación extraemos
con reemplazamiento dos
bolas de T. Hallar la probabilidad de que:
a) sean del mismo color
b) sean de distinto color
11.-Juan es el responsable de un aula de
informática en una empresa y no se puede
confiar en él pues la probabilidad de que
olvide hacer el mantenimiento de un ordenador
en ausencia del jefe es 2/3. Si Juan le hace
mantenimiento a un ordenador éste tiene la
misma probabilidad de estropearse que de
funcionar correctamente, pero si no le hace el
5|5