CD-1596(2008-07-15-01-29-21).pdf

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
grilla 24)
ESCUELA DE INGENIERÍA
MODELACIÓN SIMULACIÓN Y CONTROL DEL MOVIMIENTO
LONGITUDINAL Y DE CABECEO DE UN AVIÓN
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE
INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y CONTROL
COYAGO CHANATAXI DARWIN GIOVANNY
[email protected]
GÓMEZ REYES ALEJANDRO PAÚL
[email protected]
DIRECTOR: MSc. Ing. RAMIRO VALENZUELA
[email protected]
Quito, JUNIO 2008
INTRODUCCIÓN
En este trabajo, se estudia la estabilidad y control, para los movimientos de
cabeceo (sobre el eje transversal) y de alabeo (sobre el eje longitudinal),
utilizando la teoría de control clásico, la teoría de control moderno y la teoría
de control óptimo.
Para el análisis de estos sistemas, se utilizan los modelos numéricos de un
avión
comercial,
luego
se
analiza
el
comportamiento
dinámico
y
posteriormente se diseñan los diferentes tipos de control, utilizando las
técnicas antes mencionadas.
El análisis se desarrolla usando funciones de transferencia y matrices en el
espacio de estado en un ambiente Matlab/Simulink, con las cuales se obtienen
las respuestas dinámicas de los sistemas, en lazo abierto y en lazo cerrado,
en tiempo continuo y en tiempo discreto.
Este trabajo está organizado en siete capítulos. En el capítulo uno se presenta
un marco conceptual, en el que se tratan ciertas definiciones generales,
introducción a los movimientos en estudio y la modelación de sistemas.
El capítulo dos está dedicado a la modelación de los sistemas en tiempo
continuo y discreto, en base a funciones de transferencia, variables de estado
y ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias.
En el capítulo tres se analiza el comportamiento dinámico de los sistemas, en
tiempo continuo y discreto, utilizando la simulación de la respuesta temporal,
el lugar geométrico de las raíces y la respuesta en frecuencia.
En el capítulo cuatro se diseñan los controladores utilizando como técnicas de
control clásico: controladores del tipo PID y como técnicas del control
moderno: la realimentación de estado, para tiempo continuo y tiempo discreto.
En el capítulo cinco se realiza el análisis de estabilidad de los sistemas según
Liapunov y se diseñan los controladores utilizando el regulador óptimo
cuadrático, para los sistemas continuos y discretos.
En el capítulo seis, se presentan los resultados y se realiza la simulación
dinámica del control.
Para finalizar,
en el capítulo siete se
presentan las
conclusiones
y
recomendaciones a las que se llegaron después del desarrollo del proyecto de
titulación.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
grilla 24)
ESCUELA DE INGENIERÍA
MODELACIÓN SIMULACIÓN Y CONTROL DEL MOVIMIENTO
LONGITUDINAL Y DE CABECEO DE UN AVIÓN
PROYECTO PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE
INGENIERO EN ELECTRÓNICA Y CONTROL
COYAGO CHANATAXI DARWIN GIOVANNY
[email protected]
GÓMEZ REYES ALEJANDRO PAÚL
[email protected]
DIRECTOR: MSc. Ing. RAMIRO VALENZUELA
[email protected]
Quito, JUNIO 2008
DECLARACIÓN
Nosotros, DARWIN GIOVANNY COYAGO CHANATAXI y ALEJANDRO PAÚL
GÓMEZ REYES, declaramos bajo juramento que el trabajo aquí descrito
es de nuestra autoría; que no ha sido previamente presentada para
ningún grado o calificación profesional; y, que hemos consultado las
referencias bibliográficas que se incluyen en este documento.
A través de la presente declaración cedemos nuestros derechos de
propiedad intelectual correspondientes a este trabajo, a la Escuela
Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad
Intelectual, por su Reglamento y por la normatividad institucional vigente.
______________________
Darwin Coyago
______________________
Alejandro Gómez
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por DARWIN GIOVANNY
COYAGO CHANATAXI y ALEJANDRO PAÚL GÓMEZ REYES, bajo mi
supervisión.
________________________
MSc. Ing. Ramiro Valenzuela
DIRECTOR DEL PROYECTO
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
CAPÍTULO 1. MARCO CONCEPTUAL.
1.1
Definiciones.
2
1.2
Ejes del Avión.
3
1.3
Superficies Primarias.
4
1.4
Introducción al Movimiento de Cabeceo de un Avión.
7
1.5
Introducción al Movimiento Longitudinal (Alabeo) de un
9
Avión.
1.6
Estabilidad y Maniobrabilidad.
10
1.7
Modelación de Sistemas.
10
CAPÍTULO 2. MODELACIÓN DE LOS SISTEMAS.
2.1
Movimiento de Cabeceo del Avión.
17
2.1.1
Modelos Continuos.
22
2.1.1.1
Modelo a Función de Transferencia.
22
2.1.1.2
Modelo a Espacio de Estado.
23
2.1.1.3
Modelo a Ecuación Diferencial.
24
2.1.2
Modelos Discretos.
24
2.1.2.1
Modelo a Función de Transferencia Discreta.
24
2.1.2.2
Modelo a Ecuación de Diferencias.
26
2.1.2.3
Modelo a Espacio de Estado Discreto.
27
2.2
Movimiento sobre el eje Longitudinal (Alabeo) del Avión.
28
2.2.1
Modelos Continuos.
28
2.2.1.1
Modelo a Ecuación Diferencial.
28
2.2.1.2
Modelo a Espacio de Estado.
30
2.2.1.3
Modelo a Función de Transferencia.
31
2.2.2
Modelos Discretos.
32
2.2.2.1
Modelo a Función de Transferencia Discreta.
32
2.2.2.2
Modelo a Ecuación de Diferencias.
33
2.2.2.3
Modelo a Espacio de Estado Discreto.
33
CAPÍTULO 3. SIMULACIÓN DE LOS SISTEMAS.
3.1
Movimiento de Cabeceo del Avión.
36
3.1.1
Sistema Continuo.
36
3.1.1.
Análisis
del
comportamiento
Dinámico
mediante
la
37
1
Respuesta Temporal.
3.1.1.
Sistema en Lazo Abierto.
37
Sistema en Lazo Cerrado.
39
3.1.1.
Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar
40
4
Geométrico de las Raíces.
3.1.1.
Análisis
5
Respuesta en Frecuencia.
3.1.2
Sistema Discreto.
3.1.2.
Análisis
1
Respuesta Temporal.
3.1.2.
Sistema en Lazo Abierto.
46
Sistema en Lazo Cerrado.
47
3.1.2.
Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar
48
4
Geométrico de las Raíces.
3.1.2.
Análisis
5
Respuesta en Frecuencia.
3.2
Movimiento Longitudinal del Avión.
51
3.2.1
Sistema Continuo.
51
3.2.1.
Análisis
1
Respuesta Temporal.
3.2.1.
Sistema en Lazo Abierto.
2
3.1.1.
3
del
del
comportamiento
comportamiento
Dinámico
mediante
la
42
45
Dinámico
mediante
la
45
2
3.1.2.
3
2
del
del
comportamiento
comportamiento
Dinámico
Dinámico
mediante
mediante
la
la
48
51
52
3.2.1.
Sistema en Lazo Cerrado.
53
3.2.1.
Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar
54
4
Geométrico de las Raíces.
3.2.1.
Análisis
5
Respuesta en Frecuencia.
3.2.2
Sistema Discreto.
3.2.2.
Análisis
1
Respuesta Temporal.
3.2.2.
Sistema en Lazo Abierto.
58
Sistema en Lazo Cerrado.
59
3.2.2.
Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar
60
4
Geométrico de las Raíces.
3.2.2.
Análisis
5
Respuesta en Frecuencia.
3
del
del
comportamiento
comportamiento
Dinámico
mediante
la
55
57
Dinámico
mediante
la
57
2
3.2.2.
3
del
comportamiento
Dinámico
mediante
la
61
CAPÍTULO 4. DISEÑO DE LOS CONTROLADORES
4.1
Introducción.
64
4.2
Técnicas para calibrar los controladores PID.
70
4.3
Sistemas Continuos.
72
4.3.1
Control Clásico del Sistema de Movimiento de Cabeceo.
72
4.3.2
Control Clásico del Sistema Continuo del Movimiento de
76
Alabeo.
4.4
Sistemas Discretos.
79
4.4.1
Control Clásico del Sistema Discreto del Movimiento de
79
Cabeceo.
4.4.2
Control Clásico del Sistema Discreto del Movimiento de
80
Alabeo.
4.5
Análisis y Control en Espacio de Estado.
80
4.6
Sistemas Continuos.
84
4.6.1
Análisis del Movimiento de Cabeceo en el Espacio de
84
Estado.
4.6.1.
Controlabilidad.
86
Observabilidad
86
4.6.2
Realimentación de Estado.
87
4.6.3
Análisis del Movimiento de Alabeo en el Espacio de
89
1
4.6.1.
2
Estado.
4.6.3.
Controlabilidad.
90
Observabilidad
90
4.6.4
Realimentación de Estado.
91
4.7
Sistemas Discretos.
92
4.7.1
Control Discreto en el Espacio de Estado para el
92
1
4.6.3.
2
Movimiento de Cabeceo.
4.7.1.
Controlabilidad.
93
Observabilidad
93
1
4.7.1.
2
4.7.2
Regulador
del
Sistema
Discreto
del
Movimiento
de
94
Control Discreto en el Espacio de Estado para el
94
Cabeceo.
4.7.3
Movimiento de Alabeo.
4.7.3.
Controlabilidad.
95
Observabilidad
95
1
4.7.3.
2
4.7.4
Regulador
del
Sistema
Discreto
del
Movimiento
de
96
Alabeo.
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE LYAPUNOV Y CONTROL
ÓPTIMO.
5.1
Introducción.
98
5.2
Sistemas Continuos.
101
5.2.
Estabilidad del Movimiento de Cabeceo.
101
Estabilidad del Movimiento de Alabeo.
103
5.3
Sistemas Discretos.
104
5.3.
Análisis de Estabilidad según Lyapunov de Sistemas en
104
1
Tiempo Discreto.
5.3.
Estabilidad de un sistema en tiempo Discreto obtenido al
2
discretizar un sistema en tiempo Continuo.
5.3.
Análisis de estabilidad según lyapunov del sistema del
3
movimiento de Cabeceo en tiempo discreto.
5.3.
Análisis de estabilidad según lyapunov del sistema del
4
movimiento de Alabeo en tiempo discreto.
5.4
Sistema Regulador Óptimo Cuadrático (LQR).
109
5.4.
Control Óptimo del Movimiento de Cabeceo.
109
Control Óptimo del Movimiento de Alabeo.
110
5.5
Sistemas Discretos.
111
5.5.
Control Óptimo del Movimiento de Cabeceo.
111
Control Óptimo del Movimiento de Alabeo.
112
1
5.2.
2
106
107
108
1
5.4.
2
1
5.5.
2
CAPÍTULO 6. ANÁLISIS DE RESULTADOS
6.1
Sistema Continuo del Movimiento de Cabeceo.
114
6.1.
Resultados del Control Clásico.
116
Resultados del Control Moderno y Óptimo.
117
6.2
Sistema Continuo del Movimiento de Alabeo.
119
6.2.
Resultados del Control Clásico.
121
Resultados del Control Moderno y Óptimo.
122
6.3
Sistema Discreto del Movimiento de Cabeceo.
123
6.3.
Resultados del Control Clásico.
125
Resultados del Control Moderno y Óptimo.
125
6.4
Sistema Discreto del Movimiento de Alabeo.
128
6.4.
Resultados del Control Clásico.
129
Resultados del Control Moderno y Óptimo.
130
Simulación Dinámica.
132
1
6.1.
2
1
6.2.
2
1
6.3.
2
1
6.4.
2
6.5
CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
7.1
Conclusiones.
145
7.2
Recomendaciones.
147
MARCO CONCEPTUAL
1.1
DEFINICIONES
1.1.1 ÁNGULO DE ATAQUE. Es el ángulo agudo formado por la cuerda del
ala y la dirección del viento relativo. Este ángulo es variable, pues depende de
la dirección del viento relativo y de la posición de las alas con respecto a este,
ambos extremos controlados por el piloto.
Es conveniente tener muy claro el concepto de ángulo de ataque pues el vuelo
está directa y estrechamente relacionado con el mismo. [1]
Figura 1.1 Ángulo de ataque y viento relativo
1.1.2 DIEDRO. Visto el avión de frente, ángulo en forma de "V" que forman
las alas con respecto al horizonte. El ángulo diedro puede ser positivo, neutro,
o negativo. Volviendo a nuestros brazos en cruz, en posición normal tenemos
diedro neutro, si los subimos tienen diedro positivo y si los bajamos tienen
diedro negativo.
1
[1]
Principios de la Aeronaútica, Cap. 3 http://www.airbus.com
Figura 1.2 Ángulos diedros
1.1.3 SUSTENTACIÓN. La sustentación es la fuerza que hace volar a un
aeroplano. La mayor parte de la sustentación de un aeroplano procede de sus
alas. La sustentación que crea un ala se controla mediante el ajuste de la
velocidad aerodinámica y el ángulo de ataque, es decir, el ángulo en que el ala
se encuentra con el viento de frente.
En general, a medida que aumenta la velocidad aerodinámica o el ángulo de
ataque de un avión, se incrementa la sustentación generada por las alas. A
medida que aumenta la velocidad del avión, debe reducir el ángulo de ataque
(bajar la nariz ligeramente) para mantener una altitud constante. A medida que
disminuye la velocidad, debe aumentar el ángulo de ataque (subir la nariz
ligeramente) para generar mayor sustentación y mantener la altitud.
Incluso en un ascenso o descenso, la sustentación se iguala al peso. El índice
de ascenso o descenso de un avión está relacionado principalmente con el
empuje generado por sus motores, no por la sustentación generada por las
alas
1.2
EJES DEL AVIÓN.
Se trata de rectas imaginarias e ideales trazadas sobre el avión. Su
denominación y los movimientos que se realizan alrededor de ellos son los
siguientes:
1.2.1 EJE LONGITUDINAL. Es el eje imaginario que va desde la nariz hasta
la cola del avión. El movimiento alrededor de este eje (levantar un ala bajando
la otra) se denomina alabeo. También se le denomina eje de alabeo, nombre
que parece más lógico pues cuando se hace referencia a la estabilidad sobre
este eje, es menos confuso hablar de estabilidad de alabeo que de estabilidad
transversal.
1.2.2 EJE TRANSVERSAL O LATERAL. Eje imaginario que va desde el
extremo de un ala al extremo de la otra. El movimiento alrededor de este eje
(nariz arriba o nariz abajo) se denomina cabeceo . También denominado eje
de cabeceo, por las mismas razones que en el caso anterior.
Figura 1.3 Ejes Bidimensionales del Avión
1.3
SUPERFICIES PRIMARIAS.
Son superficies aerodinámicas movibles que son accionadas a través de los
mandos de la cabina, modifican la aerodinámica del avión provocando el
desplazamiento de este sobre sus ejes y de esta manera el seguimiento de la
trayectoria de vuelo deseada.
Las superficies de control son tres: alerones, timón de profundidad y timón
de dirección. El movimiento en torno a cada eje se controla mediante una de
estas tres superficies.
La diferencia entre un piloto y un conductor de aviones es el uso adecuado de
los controles para lograr un movimiento coordinado. Veamos cuales son las
superficies de control, como funcionan, y como las acciona el piloto.
1.3.1 ALERONES. Son unas superficies móviles, situadas en la parte
posterior del extremo de cada ala, cuyo accionamiento provoca el movimiento
de alabeo del avión sobre su eje longitudinal. Su ubicación en el extremo del
ala se debe a que en esta parte es mayor el par de fuerza ejercido.
Se accionan los alerones girando el volante de control a la izquierda o la
derecha.
Figura 1.4 Alerones y mando de control.
Funcionamiento: Los alerones tienen un movimiento asimétrico. Al
girar el volante hacia un lado, el alerón del ala de ese lado sube y el del ala
contraria baja, ambos en un ángulo de deflexión proporcional a la cantidad de
giro dado al volante.
El alerón arriba en el ala hacia donde se mueve el volante implica menor
curvatura en esa parte del ala, lo cual provoca que esa ala baje; el alerón
abajo del ala contraria supone mayor curvatura lo que hace que esa ala suba.
Esta combinación de efectos contrarios es lo que produce el movimiento de
alabeo hacia el ala que desciende.
Figura 1.5 Funcionamiento de los alerones.
Suponiendo por ejemplo que se quiere realizar un movimiento de alabeo a la
derecha: se gira el volante a la derecha; el alerón del ala derecha sube con lo
cuál esa ala desciende; por el contrario, el alerón abajo del ala izquierda
provoca que ésta ascienda.
1.3.2 TIMÓN DE PROFUNDIDAD. Es la superficie o superficies móviles
situadas en la parte posterior del empenaje horizontal de la cola del avión. Su
accionamiento provoca el movimiento de cabeceo del avión (nariz arriba o
nariz abajo).
El timón de profundidad es accionado por el piloto empujando o tirando del
volante o la palanca de control.
Figura 1.6 Timón de profundidad y mando de control.
1.3.3 EMPENAJE DE COLA. El empenaje de cola está formado por unas
pequeñas alas o timones, colocadas de forma vertical y horizontal. Permiten
controlar
el
rumbo,
además
de
proporcionar
estabilidad
al
avión.
Habitualmente consta de partes fijas y móviles, aunque existen diseños en
donde toda la superficie es móvil.
1.4
INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO DE CABECEO DE
UN AVIÓN
La actitud de un aeroplano se define como su orientación relativa al horizonte
y a la dirección de su movimiento.
Se controla por medio de tres sistemas de mandos de vuelo, cada uno de los
cuales actúa en su eje correspondiente moviendo el timón de profundidad, el
de dirección o los alerones que se encuentran en la parte posterior de las alas.
Todos se accionan desde la cabina de pilotos: el primero con la palanca, el
segundo con los pedales, y los alerones con el volante.
Como se ha visto ya el movimiento de cabeceo de un avión es el que se da en
el eje longitudinal, y se origina debido al movimiento del timón de profundidad.
Al tirar del volante de control, esta superficie sube mientras que al empujarlo
baja, en algunos aviones se mueve la totalidad del empenaje horizontal.
El timón arriba produce menor sustentación en la cola, con lo cual esta baja y
por tanto la nariz sube (mayor ángulo de ataque). El timón abajo aumenta la
sustentación en la cola, esta sube y por tanto la nariz baja (menor ángulo de
ataque).
De ésta manera se produce el movimiento de cabeceo del avión y por
extensión la modificación del ángulo de ataque.
1.4.1 ESTABILIDAD
El concepto de estabilidad se define simplemente como la cualidad en la que
un avión estable tiende a regresar a la condición de estabilidad de forma
autónoma.
1.4.2 ESTABILIDAD SOBRE EL EJE TRANSVERSAL
Se refiere al movimiento del avión sobre su eje transversal (nariz arriba/abajo)
y es la más importante porque determina en gran medida las características de
movimiento del mismo, particularmente las relativas a la pérdida.
De todas las características que afectan al balance y controlabilidad del avión,
la de mayor importancia es la estabilidad sobre el eje transversal.
Es bastante inseguro y poco confortable que un avión muestre tendencia a
encabritarse o picar, cuando nuestra atención se encuentra ocupada en otra
cosa.
Aunque es difícil obtener un grado exacto de estabilidad sobre éste eje para
todas las condiciones de vuelo, es esencial conseguir un compromiso
aceptable para que el vuelo sea seguro y confortable.
La estabilidad sobre el eje transversal del avión esta resuelta primariamente
por el estabilizador horizontal de cola mostrado en la figura 1.7.
Puesto a propósito en la parte más alejada de las alas, este estabilizador
aerodinámico genera las fuerzas necesarias para contrarrestar el efecto de
fuerzas externas.
Al ser la parte más alejada del centro de gravedad cualquier fuerza, por
pequeña que sea, ejercida sobre este dispositivo tendrá un gran efecto de
corrección (mayor par de fuerza).
Figura 1.7 Estabilidad sobre el eje transversal
1.5
INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO SOBRE EL EJE
LONGITUDINAL (ALABEO) DE UN AVIÓN
Éste movimiento se realiza sobre el eje longitudinal del avión, y depende de
los movimientos de los alerones de las alas de la aeronave.
Los alerones están colocados cerca de la punta del ala y hacia el borde
posterior, y permiten el movimiento de alabeo y hacen girar al avión sobre el
eje longitudinal.
Si se mueve el volante de mando a la izquierda o se inclina en la misma
dirección la palanca cuando no hay volante, el alerón izquierdo se levanta y el
derecho baja, produciéndose así una inclinación de las alas hacia la izquierda.
Si se mueve el mando a la derecha, se inclinarán hacia ese lado.
1.5.1 ESTABILIDAD SOBRE EL EJE LONGITUDINAL:
Un avión que tiende a volver a su posición de alas niveladas después de que
una ráfaga de viento levante o baje una de ellas se dice que es lateralmente
estable.
La estabilidad lateral del avión viene proporcionada básicamente por el diseño
en ángulo diedro de las alas.
El efecto estabilizador de este diseño, ocurre cuando un ala es bajada
súbitamente por una ráfaga de aire y el avión rota. Esto produce un aumento
del ángulo del ala bajada con respecto del ala que está más alta; este
incremento produce sustentación adicional en el ala bajada haciendo que esta
suba y recupere el equilibrio.
1.6
Los
ESTABILIDAD Y MANIOBRABILIDAD
aviones
comerciales
son
moderadamente
estables.
Los
aviones
comerciales están construidos de modo que den vuelta suavemente para no
perturbar a los pasajeros.
Algunos aviones militares, especialmente los de caza, no son nada estables.
Esto hace que el avión sea mucho más difícil de volar, pero el piloto puede
maniobrar es decir dar vuelta muy rápidamente. (Esto podría ser muy
importante en un duelo aéreo).
Hay que tener en cuenta que no es del todo deseable que un avión sea
“demasiado estable” ya que sino sería prácticamente imposible divergir de las
condiciones estables, por lo que no tendría maniobrabilidad.
Hay que llegar a un acuerdo entre la maniobrabilidad y la estabilidad.
1.7
MODELACIÓN DE SISTEMAS:
Modelación es obtener un modelo analítico matemático conociendo los
componentes y estructuras aplicando las leyes físicas y de ingeniería. [2]
Los
modelos
matemáticos
pueden
adoptar
muchas
formas
distintas.
Dependiendo del sistema que se trate y de las circunstancias específicas, un
modelo matemático puede ser más conveniente que otro.
Una vez obtenido el modelo matemático de un sistema se pueden usar
diversas herramientas analíticas y computacionales con el objeto de realizar
un adecuado análisis y síntesis.
2
[2]
Apuntes de Control Automático. Ing. Patricio Burbano. EPN.
Para el análisis del comportamiento dinámico y el diseño de los diferentes
tipos de controladores se utilizan modelos analíticos del sistema de control,
que pueden estar descritos a:
•
Ecuaciones diferenciales.
•
Función de transferencia.
•
Variables de estado.
Análogamente para sistemas discretos los modelos se describen en base a:
•
Ecuación de diferencias.
•
Función de transferencia discreta.
•
Variables de estado.
1.7.1 CLASES DE MODELOS
1.7.1.1
Modelo de control clásico continuo.
La planta o sistema y sus señales (función que representa una cantidad física)
evolucionan en tiempo continuo, esto es, las señales del sistema son
analógicas y el sistema es de tipo continuo. Es por esta razón que para
manejar éste tipo de sistemas, es necesario que la señal de entrada y salida
sean de tiempo continuo.
u(t)
y(t)
SISTEMA
Figura 1.8 Sistema en lazo abierto
Para el presente trabajo se utiliza un modelo de sistema realimentado porque
el objetivo de la modelación es tendiente a realizar control.
En la figura 1.9 se muestra un diagrama de bloques del sistema de control
realimentado.
R(s)
E(s)
+
∑
U(s)
Y(s)
Gc(s)
Gp(s)
-
Figura 1.9 Sistema de Control en lazo cerrado con realimentación unitaria.
1.7.1.2
Modelo de control clásico discreto.
Los sistemas de tiempo discreto son sistemas dinámicos en los cuales una o
más variables pueden variar solamente en ciertos instantes.
Estos sistemas difieren de los de tiempo continuo, en que la señales para un
sistema de tiempo discreto, aparecen en forma de datos muestrales.
Para modelos discretos hay que utilizar el sistema de datos muestreados que
se indica en la figura 1.10.
r(t)
+
e(t)
∑
e(kT)
A/D
u(t)
u(kT
)
CONTRO
RELOJ
D/A
y(t)
PLANTA
Figura 1.10 Sistema de datos muestreados.
Se debe discretizar la señal de error a través del conversor análogo digital
(A/D) muestreando los datos para obtener e(kT) y utilizar un conversor digital
análogo (D/A) para obtener una señal de control continua u(t), donde T es el
período de muestreo, que da la característica de un control en tiempo real del
tipo digital directo
1.7.1.3
Modelo de control moderno.
Mientras la teoría de control clásica se basa en la relación entrada – salida, o
función de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la
descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones
diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial
vectorial de primer orden.
Para el diseño de un sistema de control en el espacio de estado se utiliza el
método de asignación de polos que es algo análogo al método del lugar de las
raíces.
La diferencia básica es que en el diseño del lugar de las raíces se sitúan sólo
los polos en lazo cerrado dominantes, mientras que en el diseño por
asignación de polos se colocan todos los polos en lazo cerrado en las
posiciones que se desee.
El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación
matemática de los sistemas de ecuaciones.
SISTEMA DE CONTROL MODERNO CONTINUO
PLANTA
u
x
y
C
.
x = Ax+ Bu
LEY DE CONTROL
-K
Figura 1.11 Realimentación de estado.
SISTEMA DE CONTROL MODERNO DISCRETO
u(k
)
PLANTA
x(k +1) = AD x(k) + BDu(k)
y(k)
x(k)
C
LEY DE
-K
Figura 1.12 Realimentación de estado
1.7.1.4
Modelo de control óptimo.
Los problemas de control óptimo han recibido gran atención debido a la
creciente demanda de sistemas de alta eficiencia y a la fácil disponibilidad de
la computadora digital.
El concepto de optimización de sistemas de control abarca una selección de
índices de comportamiento y un diseño que brinda el sistema de control óptimo
dentro de límites impuestos por las restricciones físicas.
CAPÍTULO 2
2.1
MOVIMIENTO DE CABECEO DEL AVIÓN
El movimiento de un avión, considerando cambios de actitud del avión como
sólido rígido alrededor de su centro de gravedad, viene definido por 6
variables,
grados
de
libertad,
relacionadas
a
través
de
ecuaciones
diferenciales no lineales. Estas 6 variables son las tres componentes del
vector velocidad del avión (V) y las tres componentes de la velocidad angular
(ω) del avión.
Estas
ecuaciones
diferenciales
están
acopladas
pero
pueden
ser
desacopladas en dos grupos básicos, aquellas que definen el movimiento
longitudinal del avión y aquellas que definen el movimiento lateral-direccional.
Igualmente estas ecuaciones pueden ser linealizadas considerando pequeñas
perturbaciones a partir de un movimiento estacionario de referencia (V y ω
constantes).
Figura 2.1
Se realiza una serie de hipótesis para la obtención de las ecuaciones que
rigen el movimiento del avión, como son vuelo simétrico, rectilíneo y uniforme,
altitud y velocidad constantes.
Se asume igualmente por simplificación que las perturbaciones en ángulo de
ataque no van acompañadas de cambios de velocidad.
Las fuerzas básicas que actúan sobre el avión son peso (weight), sustentación
(lift), resistencia aerodinámica (drag) y empuje no mostrado en la figura 2.1.
Definimos las variables y coeficientes que aparecen en las ecuaciones:
* Ángulo de ataque ( α ):
Relacionado con el ángulo de ataque esta el ángulo de incidencia, este es el
ángulo que se da al ala respecto al avión y más concretamente con el
estabilizador horizontal. El fin del ángulo de incidencia no es otro que evitar
que para conseguir un ángulo de ataque ideal (alrededor de 3 o 4 grados) el
avión tuviese que ir demasiado inclinado hacia atrás.
La relación entre la sustentación y la resistencia se muestra en la figura 2.2,
donde observamos que la relación ideal como hemos dicho esta en torno a los
4 grados y que por encima de este ángulo la sustentación aumenta pero sin
embargo menos que la resistencia aerodinámica hasta que a los 16 grados
aproximadamente el ala entraría en la temida perdida proceso por el cual el
régimen de flujo del aire pasa de ser laminar a ser turbulento y despegarse de
la superficie del ala provocando una casi repentina perdida de sustentación.
Por debajo de los 4 grados la resistencia desciende mucho pero la
sustentación prácticamente desaparece también.
Figura 2.2
Por la grafica también sabemos que por debajo de –2 grados la sustentación
es negativa y que para volar entre este ángulo y el ideal es necesario llevar
altas velocidades mientras que para volar a una velocidad lenta es necesario ir
aumentando el ángulo de ataque si queremos mantener la altura constante.
Sin embargo llegara una velocidad mínima de vuelo en la que el ángulo de
ataque supere los 16 grados, el avión entre en perdida y empiece a caer como
una piedra.
* Velocidad angular de cabeceo ( q )
* Ángulo de asiento ó de cabeceo ( θ )
* Deflexión del elevador ( δe ): inclinación longitudinal
* Densidad del aire ( ρe )
* Superficie alar ( S )
cccc
* Cuerda media aerodinámica
( ): es el lugar del perfil donde el momento de
cabeceo del perfil es constante para cualquier ángulo de ataque.
* Masa del avión ( m )
* Componente longitudinal de velocidad ( U )
* Coeficiente de empuje ( CT )
* Coeficiente de resistencia ( CD )
CD =
1
2
D
ρV 2 S
ρ es la densidad del fluido en el que se mueve el cuerpo,
V es la velocidad relativa de la corriente de aire incidente sin perturbar.
D es la resistencia aerodinámica.
* Coeficiente de sustentación ( CL )
CL =
L
2
1
2 ρV S
L : Sustentación.
* Coeficiente de momento de cabeceo ( CM )
CM =
1
2
M
ρV 2 Sc
M es la suma de los momentos alrededor del mismo punto.
* Coeficiente de peso ( CW )
* Ángulo de asiento de la velocidad ( γ ): ángulo de la trayectoria de vuelo.
* Velocidad angular del sistema rotacional coordenado ( Ω )
Momento de inercia normalizado ( η )
Se considera como entrada al sistema el ángulo de deflexión del elevador ( δe
) y como salida el ángulo de asiento o cabeceo ( θ ).
Se asigna una serie de valores a los coeficientes definidos
anteriormente,
estos datos han sido suministrados por BOEING como válidos para un avión
comercial.
Con ellos las ecuaciones quedan configuradas de la siguiente forma:
α (s ) = −0,313α (s ) + q(s ) + 0,232δe(s )
.
q(s ) = −0.788α (s ) − 0,426q(s ) + 1.151δe(s )
.
θ (s ) = q (s )
.
2.1.1 MODELOS CONTINUOS:
2.1.1.1 MODELO A FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Para obtener la función de transferencia del sistema tomamos la transformada
de Laplace con condiciones iniciales cero.
Así se llega al siguiente sistema de ecuaciones:
(1) : sα (s ) = −0,313α (s ) + q(s ) + 0,232δe(s )
(2) : sq(s ) = −0,788α (s ) − 0,426q(s ) + 1.151δe(s )
(3) sθ (s ) = q(s )
( 4) : q ( s ) =
(5) : α ( s ) =
De(2)y(3)
− 0.788α ( s ) + 1.151δe( s )
= sθ ( s )
s + 0.426
sθ ( s ) + 0.232δe( s )
s + 0.313
De(1)y(3)
Reemplazando
(5)
en
(4)
y
aproximando cifras decimales se llega a la siguiente función de transferencia
continua:
θ (s )
1,151 s + 0 ,1774
=
δ e (s ) s 3 + 0 , 739 s 2 + 0 ,921 s
2.1.1.2 MODELO A ESPACIO DE ESTADO
Aprovechando el modelo de espacio de estado obtenido de BOEING se tiene
que:
θ (s ) = q (s )
.
q(s ) = −0,788α (s ) − 0,426q(s ) + 1.151δe(s )
.
α (s ) = −0,313α (s ) + q(s ) + 0,232δe(s )
.
.
1
0  θ   0 
θ.  0

 q  = 0 − 0.426 − 0.788  q  + 1.151 [δe]
  

. 






α
0
1
−
0
.
313
0
.
232
  
α  
 
Entonces la ecuación de estado queda de la siguiente manera
. 
x.1 0 1 0 x1  0
x+1.151
]
x=0−0.426
−0.788
2 
2  [u


. 
x3 0.232

x3 0 1 −0.313
 
Considerando que la salida es el ángulo de asiento o de cabeceo del avión, la
ecuación de salida es:
 x1 
y = [1 0 0] x 2  + [0][u ]
 x3 
2.1.1.3 MODELO A ECUACION DIFERENCIAL
Se parte de la función de transferencia continua y multiplicando miembro a
miembro:
θ (s )
1,151s + 0,1774
= 3
δe(s ) s + 0,739 s 2 + 0,921s
θ (s )[s 3 + 0,739 s 2 + 0,921s ] = δe(s )[1,151s + 0,1774]
d 3θ
d 2θ
dθ
dδe
+ 0 , 739
+ 0 , 921
= 1,151
+ 0 ,1774 δ e
3
2
ds
ds
ds
ds
2.1.2 MODELOS DISCRETOS:
2.1.2.1 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DISCRETA
Para poder obtener la función de transferencia discreta se parte de la función
de transferencia continua y se la discretiza aplicando el método del ZOH,
tomando un tiempo de muestreo de T= 0.1 segundos.
(G
)=z1−()1−Zs(G
s
Tomamos la función de transferencia en tiempo continuo:
G (s ) =
θ (s )
1,151s + 0,1774
= 3
δe(s ) s + 0,739s 2 + 0,921s
G (s )
1.151s + 1.1774
=
3
s
s s + 0.739 s 2 + 0.921
1.151s + 1.1774
= 2
2
2
s (s + 0.3695) + (0.8857 )
[
]
[
]
Utilizando la técnica de fracciones parciales:
1.151s + 1.1774
As + B
Cs + D
=
+
2
2
2
s
s (s + 0.3695) + (0.8857 )
(s + 0.3695)2 + (0.8857 )2
2
[
[
]
]
1.151s + 1.1774 = ( As + B )(s + 0.3695) + (0.8857 ) + (Cs + D )s 2
2
2
Al resolver el sistema obtenemos los siguientes parámetros:
A
=
.1
38397
B
=
.0
192617
C
=
138397
−
.
D
=
157008
−
.
Reemplazando los valores en la ecuación anterior se tiene:
G (s )
1.151s + 1.1774
1.38397 s + 0.192617
1.38397 s + 1.57008
= 2
=
−
2
2
2
s
s
s (s + 0.3695) + (0.8857 )
(s + 0.3695)2 + (0.8857 )2
[
]


G (s ) 1.38397 0.192617
s + 0.3695
1.09147
=
+
− 1.38397 
−
2
2
2
2
2
s
s
s
 (s + 0.3695) + (0.8857 )  (s + 0.3695) + (0.8857 )
Tomando la transformada Z nos queda:
 Tz −1 
 G (s ) 
 z 
Z
 + 0.192617 

 = 1.38397
−1 2
 s 
 z −1

 1 − z
(
)


1− e
z cos(0.8857T )
− 1.38397 
− 0.3695T −1
− 2 (0.3695 )T − 2 
z cos(0.8857T ) + e
z 
1 − 2e
− 0.3695T
−1


e −0.3695T z −1 sen(0.8857T )
− 1.232325
− 0.3695T −1
− 2 (0.3695 )T − 2 
z cos(0.8857T ) + e
z 
1 − 2e
(
)
−1
a la ecuación anterior:
Luego multiplicamos por el valor de 1 − z
 G (s )
−1
G (z ) = 1 − z −1 Z 
 = 1− z
s


(
)
(
 Tz −1
)1.38397 z −z 1  + 0.192617



(
 1 − z


1− e
z cos(0.8857T )
− 1.38397 
− 0.3695T −1
− 2 (0.3695 )T − 2 
z cos(0.8857T ) + e
z 
 1 − 2e
− 0.3695T
)
−1 2



−1


e −0.3695T z −1 sen(0.8857T )
− 1.232325
− 0.3695T −1
− 2 (0.3695 )T − 2  
z cos(0.8857T ) + e
z 
1 − 2e
Finalmente se reemplaza el tiempo de muestreo de T= 0.1 seg. y se obtiene la
siguiente función de transferencia discreta:
G (z ) =
0 . 005641 z 2 − 2 . 268 x10 − 5 z − 0 . 005447
z 3 − 2 . 92 z 2 + 2 . 849 z − 0 . 9288
2.1.2.2. MODELO A ECUACIÓN DE DIFERENCIAS.
Tomando como partida la ecuación de transferencia discreta
procedemos a
dividir tanto al numerador como al denominador para Z elevada a la potencia
más alta con el fin de tener valores de potencia negativa:
0.005641z 2 − 2.268 x10 −5 z − 0.005447 z −3
* −3
z 3 − 2.92 z 2 + 2.849 z − 0.9288
z
y ( z ) 0.005641z − − 2.268 x10 −5 z − 2 − 0.005447 z −3
G (z ) =
=
u (z )
1 − 2.92 z −1 + 2.849 z − 2 − 0.9288 z −3
G (z ) =
Multiplicando los términos miembro a miembro:
[
]
[
y ( z ) 1 − 2.92 z −1 + 2.849 z −2 − 0.9288 z −3 = u ( z ) 0.005641z −1 − 2.268 x10 −5 z −2 − 0.005447 z −3
y [k ] − 2 . 92 y [k − 1 ] + 2 . 849 y [k − 2 ] − 0 . 9288 y [k − 3 ] =
0 . 00564 u [k − 1 ] − 2 . 268 x10
−5
u [k − 2 ] − 0 . 005447 u [k − 3 ]
2.1.2.3 ESPACIO DE ESTADO DISCRETO
Para encontrar el modelo a variables de estado discretas se parte de la
ecuación de diferencias y se despeja el término y[k]:
y[k ] = 2.92 y[k − 1] − 2.849 y[k − 2] + 0.9288 y[k − 3]
+ 0.00564u[k − 1] − 2.268 x10 −5 u[k − 2] − 0.005447u[k − 3]
]
Seguidamente se construye el diagrama de bloques correspondiente a la
ecuación anterior, con el fin de plantear las ecuaciones matriciales de estado.
0.00564
x 3 [k+1]
u[k
]
∑
x 2 [k+1
]
z −1
z −1
− 2.268x10−5
x 1 [k+1]
z −1 −0.005447
y[k]
∑
x 3 [k]
2 . 92
− 2.849
x 2 [k]
0.9288
x 1 [k]
Con la ayuda del diagrama se construye el modelo a variables de estado:
1
0   x1 [k ] 0
 x1 [k + 1]  0
 x [k + 1] =  0
  x [k ] + 0 u[k ]
0
1
 2
 
 2   
 x3 [k + 1] 0.9288 − 2.849 2.92  x 3 [k ] 1
y[k ] = [− 0.005447
2.2
 x1 [k ]
− 2.268 x10
−5
0.00564] x [k ]
2
 x3 [k ]
MODELACIÓN DEL SISTEMA DEL MOVIMIENTO SOBRE EL EJE
LONGITUDINAL (ALABEO) DE UN AVIÓN
•
MODELOS CONTINUOS
2.2.1.1 MODELO A ECUACION DIFERENCIAL
Si recordamos la 1ª ley del movimiento esta dice: "un cuerpo en reposo tiende
a permanecer en reposo mientras que un cuerpo en movimiento tiende a
permanecer en movimiento en línea recta salvo que esté sujeto a una fuerza
externa".
Si un avión está volando en línea recta y queremos hacerle girar será
necesaria la aplicación de alguna fuerza lateral que cambie la trayectoria. Esta
fuerza es el componente horizontal de la sustentación.
Comencemos por algo que sabemos: la sustentación total que resulta de
componer las fuerzas de sustentación parciales actúa de forma perpendicular
al eje transversal del avión.
En vuelo recto y nivelado la sustentación total actúa vertical y directamente
opuesta a la gravedad (peso), pero al alabear el avión la sustentación, que
sigue siendo perpendicular al eje transversal del aeroplano, actúa ahora en un
plano inclinado.
Si desglosamos esta sustentación en dos vectores, uno vertical y otro
horizontal, en ángulo recto el uno del otro, el vector "componente vertical de la
sustentación"
se
opone
al
peso
(gravedad)
mientras
que
el
vector
"componente horizontal de la sustentación" actúa como fuerza centrípeta
tirando del avión hacia el centro de un eje imaginario e impulsándolo a girar
alrededor de dicho eje, contribuyendo la sección de cola a mantener el
aeroplano alineado con el viento relativo en la trayectoria curvada.
En síntesis: el objeto de alabear el avión para virar consiste en inclinar la
sustentación para que además de soportar el peso del avión provea la fuerza
centrípeta que mantiene al avión alrededor del eje vertical de giro,
contrarrestando la fuerza centrífuga que tiende a expulsar al avión de la
trayectoria curvada.
Figura 2.3 Alabeo del avión
Un modelo simplificado puede consistir de una función de transferencia que
describa la relación de entrada-salida entre las deflexiones del alerón de la
aeronave y el ángulo de alabeo de la aeronave.
Figura 2.4
Al realizar las suposiciones de simplificación y linealizando respecto a la
condición de vuelo nivelado respecto a las alas, se puede obtener la ecuación
diferencial que describe la salida, ángulo de alabeo ( φ ), con la entrada
deflexión del alerón (δ )
d 2ϕ
dϕ
+ a0
= kδ
ds
ds 2
(1)
Si se considera que para un avión comercial a0 = 1.181 y k = 2.11, entonces el
modelo a ecuación diferencial es:
d 2ϕ
dϕ
+ 1 . 181
= 2 . 11δ
ds
ds 2
2.2.1.2 MODELO A ESPACIO DE ESTADO
Este movimiento se lo puede expresar como un conjunto de ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden. Esto es una representación a
variables de estado.
Tomando las variables de posición y velocidad de alabeo como estados, se
define el vector de estado x, como:
.
x1 = ϕ
.
x2 = ϕ
x1 = x 2
.
x 2 = − a 0 x 2 + kδ
Al agrupar los estados en una matriz columna x, los coeficientes de las
ecuaciones de estado en una matriz cuadrada A y los coeficientes de la
entrada en un vector B, la forma matricial del modelo es:
x = Ax + Bu
y = Cx
. 
x1  = 0 1 x1  + 0[δ]
 .  0 − a0 x2  k
x2 
x 
y = [1 0] 1  + [0][δ ]
 x2 
Reemplazando a 0 y k, se tiene:
. 
1   x1  0 
 x1  = 0
[δ ]
+

 .  0 − 1.181  x 2   2.11
 x 2 
x1
y=
1[0]+
δ
x2

2.2.1.3 MODELO A FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Aplicando la transformada de Laplace a (1), se tiene:
s 2 φ(s) + a 0 s φ(s) = k δ(s)
Reemplazando se tiene:
s 2 φ(s) + 1.181s φ(s) = 2.11 δ(s)
ϕ (s )
2 . 11
=
δ (s ) s (s + 1 .181 )
2.2.2. MODELOS DISCRETOS
2.2.2.1 MODELO A FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DISCRETA
Aplicando la técnica de discretización ZOH, el modelo discreto es:
(G
)=z1−()1−Zs(G
s
De la función de transferencia encontrada
G (s )
2 . 11
= 2
s
s (s + 1 . 181 )
Utilizando la técnica de fracciones parciales:
2.11
A B
C
= 2 + +
s (s + 1.181)
s ( s + 1.181) s
2
Al resolver el sistema obtenemos los siguientes parámetros:
A
B
C
=
=
1
=
−
1
.
7 8 6 6
1
.
.
5 1 2 8
5 1 2 8
Reemplazando los valores en la ecuación anterior se tiene:
G (s )
2.11
1.7866 1.5128
1.5128
= 2
=
−
+
2
s
s
( s + 1.181)
s ( s + 1.181)
s
Tomando la transformada Z nos queda:
 Tz −1 
1
 G (s ) 
 z 


Z
+ 1.5128
 + 1.7866 
 = −1.5128
2 
− aT −1 
−
1
 s 
 z −1
1 − e z 
 1 − z

(
Finalmente el modelo discreto es:
)
G (z ) =
0 . 01015 z + 0 . 009755
z 2 − 1 . 889 z + 0 . 8886
2.2.2.2 MODELO A ECUACIÓN DE DIFERENCIAS.
Partiendo de la función de transferencia discreta se procede a multiplicar el
numerador y el denominador por la variable z elevada al negativo de la más
alta potencia de la función de transferencia
G (z ) =
0 . 01015 z − 0 . 009755
z −2
* −2
2
z − 1 . 889 z − 0 . 8886
z
La función de transferencia discreta es:
G (z ) =
0 . 01015 z − 1 − 0 . 009755 z − 2
1 − 1 . 889 z −1 − 0 . 8886 z − 2
Multiplicando los términos miembro a miembro:
y [k
]−
1 . 889
y [k − 1 ] − 0 . 8886
y [k − 2
]=
0 . 01015
u [k − 1 ] − 0 . 009755
u [k − 2
]
2.2.2.3 MODELO A VARIABLE DE ESTADO DISCRETAS
Para encontrar el modelo a variables de estado discretas se despeja el término
y[k]:
y[k ] = 1.889 y[k − 1] + 0.8886 y[k − 2] + 0.01015u[k − 1] − 0.009755u[k − 2]
El diagrama de bloques correspondiente a la ecuación anterior es:
0.01015
u[k
]
x 2 [k+1
]
∑
x 1 [k+1
]
z −1 z −1
1.889
x 2 [k]
x 1 [k]
0.8886
El modelo a variables de estado es:
1   x1 [k ] 0
 x1 [k + 1]  0
 x [k + 1] = 0.8886 1.889  x [k ] + 1u[k ]
 2
 
 2   
 x [k ]
y[k ] = [− 0.009755 0.01015] 1 
 x 2 [k ]
y[k]
− 0.009755
∑
SIMULACIÓN DE LOS SISTEMAS
En éste capítulo se presenta el análisis del comportamiento dinámico de los
sistemas continuos y discretos, mediante una interfaz gráfica desarrollada en
el paquete computacional MATLAB.
•
MOVIMIENTO DE CABECEO DEL AVIÓN
3.1.1 SISTEMA CONTINUO
Una
vez
obtenido
el
modelo
matemático
del
sistema
se
analiza
el
comportamiento dinámico del mismo mediante la respuesta temporal, el lugar
geométrico de las raíces y la respuesta e frecuencia, seleccionando la opción
análisis dinámico en la pantalla 3.1.
Pantalla 3.1 Cabeceo en tiempo Continuo
3.1.1.1
Análisis del comportamiento Dinámico mediante la Respuesta
Temporal.
Considerando que el sistema de control en estudio está sometido a
perturbaciones bruscas, se usa como señal de entrada de prueba una función
escalón unitario.
El análisis se realiza para el sistema en lazo abierto y en lazo cerrado con
realimentación unitaria, opciones que se seleccionan de la pantalla 3.2.
Pantalla 3.2 Análisis Dinámico
3.1.1.2
Sistema en Lazo Abierto.
La función de transferencia en lazo abierto es:
GLA(s ) =


1,151s + 0,1774
s + 0,1541
= 1,151 2

2
s + 0,739s + 0,921s
 s s + 0,739s + 0,921 
3
El cero se encuentra en:
s = −0,1541
(
)
Los polos se encuentran en:
s1=
0
s2−
=
3±
j886
69
3,,0
La respuesta escalón unitario de este sistema aparece en la figura 3.1 . La
respuesta muestra una oscilación al inicio debido al cero en s = -0.1541. El
tiempo de asentamiento tiende al infinito, es decir no tiene punto de equilibrio
debido al polo en el origen, por lo tanto el sistema es inestable.
Figura 3.1 Respuesta a un escalón unitario en tiempo continuo
Como se puede ver la respuesta de la simulación, cuando a la entrada es
sometida a un paso unitario no tiene punto de equilibrio.
Por ser el sistema inestable el estado estacionario tiende a infinito, entonces
no se puede analizar la estabilidad relativa ni el error en estado estacionario.
3.1.1.3
Sistema en Lazo Cerrado.
La función de transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria está
dada por:
GLC


1,151s + 0,1774
s + 0,1541
= 1,151

2
2
s + 0,739s + 2,072s + 0,1774
 (s + 0,0881) s + 0,6509s + 2,015 
(
3
)
El cero se encuentra en:
s = −0,1541
Los polos se encuentran en:
s1−
=
,0
0881
s2=
,03±
1j38
25
3,−
La respuesta escalón unitario de este sistema aparece en la figura 3.2. En
este caso la respuesta tiene una oscilación al inicio y tiene una amplitud de 1
s=
,03±
−
j38
125
debido al cero en s = -0.1541y a los polos 23,.
La respuesta la controla el polo en s 1 = -0.0881, este polo dominante en lazo
cerrado
desacelera
la
respuesta.
El
tiempo
de
asentamiento
aproximadamente 35 segundos.
El sistema aún no tiene una respuesta suficientemente rápida.
es
de
Figura 3.2 Lazo cerrado continuo.
3.1.1.4
Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar
Geométrico de las Raíces.
En este método se grafican las raíces de la ecuación característica para todos
los valores de un parámetro del sistema, por lo general este parámetro es la
ganancia de la función de transferencia en lazo abierto.
La función de transferencia en lazo cerrado es.

s + 0,1541
1,151
2
 (s + 0,0881) s + 0,6509s + 2,015
(

G( s)
 = 1 + G( s) H ( s)

)
Se cumple la condición de ángulo:
/ (G (s )H (s )) = ±180º (2k + 1),
Y la condición de amplitud:
G (s )H (s ) = 1
(k = 0,1,2,3,...)
Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de
magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo
cerrado.
El lugar geométrico de las raíces presenta los puntos del plano complejo que
sólo satisfacen la condición de ángulo.
Las raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor
específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.
La figura 3.3 representa el lugar geométrico de las raíces para el movimiento
de cabeceo.
Figura 3.3 Lugar geométrico de las raíces
Al analizar la estabilidad utilizando el criterio de Routh Hurwitz se tiene:
1 + GLA(s) = 0
s 3 + 0.739s 2 + (0.921 + 1.151K)s + 0.1774K = 0
s3
1
s2
0.739
s1
0.9209+0.91096K
s
0
0.921 + 1.151K
0.1774K
0
0
0
0.1774K
Se tiene que:
Todos los términos de la primera columna del conjunto tienen signo positivo y
K debe ser mayor que cero para que el sistema sea estable.
3.1.1.5
Análisis del comportamiento Dinámico mediante la Respuesta
en Frecuencia.
Este método presenta la respuesta del sistema en régimen permanente, ante
una entrada sinusoidal.
La función de transferencia sinusoidal, se caracteriza por su magnitud y
ángulo de fase, con la frecuencia como parámetro.
En este capítulo se analizarán los sistemas en estudio utilizando las trazas de
Bode que consta de dos gráficas: una que ofrece el logaritmo de la magnitud
y otra que muestra el ángulo de fase.
En la figura 3.4 se presenta la respuesta de frecuencia del sistema continuo,
esto es, el diagrama de magnitud y fase para el sistema en lazo abierto, y en
la figura 3.5 de la pantalla 3.4 se presenta el diagrama de magnitud y fase
para el sistema en lazo cerrado.
Figura 3.4 Diagrama de Bode
Al analizar el sistema en lazo abierto se tiene:
•
El margen de fase (MF) es la cantidad de retardo de fase adicional
necesaria, a la frecuencia de cruce, para que el sistema quede al borde
de la inestabilidad, para el presente caso se tiene un valor de: MF =
46.9db.
•
La frecuencia de cruce de ganancia (ω 1 ) es la frecuencia para la cual
el valor absoluto de G(jω) de la función de transferencia en lazo abierto,
es la unidad. Siendo el margen de fase 180º más el ángulo de fase de
la función de transferencia en lazo abierto a la frecuencia de cruce de
ganancia. Se tiene un valor de ω 1 = 1.27rad/s.
•
La frecuencia de cruce de fase (ω π ) está definida como la frecuencia
a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto
es igual a -180º, para este caso no se tiene ningún valor ya que el
ángulo de fase no es igual a -180º en ningún momento.
•
El margen de ganancia (MG) es la recíproca del valor absoluto de
G(jω) a la frecuencia a la cual el ángulo de fase es -180º, y es MG = 20log│G(jω π )│, en este caso no existe.
Del sistema realimentado se tiene:
Figura 3.5 Diagrama de Magnitud de lazo cerrado.
•
La frecuencia de resonancia (ω r )es a la cual se le da el valor pico de
│G(jω π )│, y tiene un valor de: 1.32rad/s.
•
El máximo de resonancia (Mr) es el valor pico de │G(jω)│, y tiene un
valor de: 2.09dB.
•
El ancho de banda (AB) es el rango de frecuencias en el cual el valor
del lazo cerrado no cae por debajo de -3dB. Tiene un valor de: 1.8rad.
3.1.2 SISTEMA DISCRETO
Al ingresar en la pantalla del sistema discreto se presentan las figuras de la
respuesta temporal, lugar geométrico de las raíces y la respuesta en
frecuencia de igual manera como fue para el sistema continuo.
La pantalla 3.3 presenta el sistema discreto con la opción de análisis
dinámico.
Pantalla 3.3 Cabeceo del avión en tiempo discreto.
3.1.2.1
Análisis del comportamiento Dinámico mediante la Respuesta
Temporal.
Para el sistema discreto también está sometido a perturbaciones bruscas se
usa como señal de entrada de prueba una función escalón.
El análisis se realiza para el sistema en lazo abierto y en lazo cerrado con
realimentación unitaria.
3.1.2.2
Sistema en lazo abierto
La función de transferencia en lazo abierto es:
GLA( z ) =
0.00564 z 2 − 0.00002288 z − 0.005447
z 3 − 2.92 z 2 + 2.849 z − 0.9288
Los ceros están en:
z1 = 0.985
z 2 = −0.981
Ganancia = 0.00564
Los polos se encuentran en:
z1 = 1
z 2,3 = 0.96 ± j 0.0852
Existe un polo sobre el círculo unitario, por cuanto el sistema es inestable.
Figura 3.6 Respuesta Escalón Unitario Discreto.
Las respuestas del sistema en lazo abierto en tiempo discreto y en tiempo
continuo son muy similares.
3.1.2.3
Sistema en lazo cerrado
La función de transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria está
dada por:
GLA( z ) =
0.00564 z 2 − 0.00002288 z − 0.005447
z 3 − 2.914 z 2 + 2.849 z − 0.9342
Los ceros y los polos en lazo cerrado están en:
Ceros:
z1 = 0.985
z 2 = −0.981
z1 = 0.991
Polos:
z 2,3 = 0.962 ± j 0.134
El sistema no es satisfactoriamente estable como se puede ver en la figura
3.7.
Figura 3.7 Lazo cerrado discreto.
3.1.2.4
Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar
Geométrico de las Raíces.
Para el análisis mediante el lugar geométrico de las raíces es necesario tener
en la respectiva pantalla el círculo unitario. El análisis es similar que en el
caso continuo, la figura 3.8 describe dicho análisis.
Figura 3.8
3.1.2.5
Análisis del comportamiento Dinámico mediante la Respuesta
en Frecuencia
En la figura 3.9 correspondiente a la pantalla 3.7 se presenta la respuesta de
frecuencia del sistema continuo, esto es, el diagrama de magnitud y fase para
el sistema en lazo abierto, y en la figura 3.10 de la pantalla 3.8 se presenta el
diagrama de magnitud y fase para el sistema en lazo cerrado.
Figura 3.9
Al analizar el sistema en lazo abierto se tiene:
•
El margen de fase (MF) = 43.3º
•
La frecuencia de cruce de ganancia(ω 1 ) = 1.26rad/s
•
La frecuencia de cruce de fase(ω π ) = 3.59rad/s
•
El margen de ganancia(MG) = 20.4dB
Del sistema realimentado se tiene:
•
La frecuencia de resonancia(ω r )= 1.34rad/s
•
El máximo de resonancia(Mr) = 2.89dB
•
El ancho de banda(AB) = 1.9rad/s
Figura 3.10 Respuesta de frecuencia para el sistema discreto de Cabeceo
3.2
MOVIMIENTO LONGITUDINAL DEL AVIÓN
•
SISTEMA CONTINUO
Se sigue el procedimiento similar como el descrito para el movimiento de
cabeceo tras la selección de la pantalla que describe el movimiento de alabeo.
Pantalla 3.4 Movimiento de Alabeo
3.2.1.1
Análisis del comportamiento Dinámico mediante la Respuesta
Temporal.
Se considera que el sistema esta sometido a señales bruscas y se utiliza una
entada escalón unitario como señal de prueba.
Pantalla 3.5
3.2.1.2
SISTEMA EN LAZO ABIERTO
La función de transferencia en lazo abierto es:
GLA
( s )
=
s ( s
2 . 11
+ 1 . 181
)
Los polos se encuentran en:
s1 = 0
s 2,3 = −1.181
La respuesta escalón unitario de este sistema aparece en la pantalla 3.9 y que
corresponde a la figura 3.11.
Se puede ver en la simulación que la salida diverge sin límite de su estado de
equilibrio cuando es sometido a la entrada escalón unitario.
Figura 3.11
3.2.1.3
Sistema en lazo cerrado
La función de transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria está
dada por:
GLC ( s ) =
2.11
s + 1.181s + 2.11
2
Los polos se encuentran en:
s1 = −0,591 ± j1,33
El sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria es un sistema de
segundo orden, tiene un coeficiente de amortiguamiento ξ = 0.41 y un
sobrepico máximo de 24.7%, es decir el sistema es subamortiguado y la
respuesta presenta oscilación, el tiempo de establecimiento es de 5.79s.
La figura 3.12 muestra la respuesta paso para el sistema realimentado.
Figura 3.12 Respuesta paso del sistema de alabeo en lazo cerrado
3.2.1.4
Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar
Geométrico de las Raíces.
La figura 3.13 representa el lugar geométrico de las raíces para el movimiento
de alabeo.
Figura 3.13
Al analizar la estabilidad utilizando el criterio de Routh Hurwitz se tiene:
1 + GLA(s) = 0
s 2 + 1.181s + 2.11K = 0
s2
1
s1
1.181
0
2.11K
s
2.11K
0
0
Se tiene que: todos los términos de la primera columna del conjunto tienen
signo positivo y K debe ser mayor que cero para que el sistema sea estable.
3.2.1.5
Análisis del comportamiento Dinámico mediante la Respuesta
en Frecuencia.
En la figura 3.14 se presenta la respuesta de frecuencia del sistema continuo,
esto es, el diagrama de magnitud y fase para el sistema en lazo abierto, y en
la figura 3.15 se presenta el diagrama de magnitud y fase para el sistema en
lazo cerrado.
Figura 3.14
Al analizar el sistema en lazo abierto se tiene:
•
El margen de fase (MF) no corta el eje por lo tanto MF es infinito
•
La frecuencia de cruce de ganancia (ω 1 )es de:1.24rad/s
•
La frecuencia de cruce de fase (ω π ) para este caso no se tiene ningún
valor ya que el ángulo de fase no es igual a -180º en ningún momento.
•
El margen de ganancia(MG) es infinito
Del sistema realimentado se tiene:
•
La frecuencia de resonancia (ω r ) tiene un valor de: 1.29rad/s
•
El máximo de resonancia (Mr) tiene un valor de: 2.46dB.
•
El ancho de banda(AB) Tiene un valor de: 2.01rad/s
Figura 3.15
3.2.2 SISTEMA DISCRETO
Pantalla 3.6
3.2.2.1
Análisis del comportamiento Dinámico mediante la Respuesta
Temporal.
Debido que el sistema discreto también está sometido a perturbaciones
bruscas se usa como señal de entrada de prueba una función escalón.
El análisis se realiza para el sistema en lazo abierto y en lazo cerrado con
realimentación unitaria, opciones que se seleccionan de la pantalla 3.14
Pantalla 3.14 Presentación de Análisis de Alabeo Discreto
3.2.2.2
Sistema en lazo abierto.
La función de transferencia en lazo abierto es:
GLA ( z ) =
0 . 01015 z − 0 . 009755
z 2 − 1 . 889 z − 0 . 8886
El cero se encuentra en:
z = −0.961
Los polos se encuentran en:
z1 = 1
z 2 = 0.889
Existe un polo sobre el círculo unitario, por cuanto el sistema es inestable
La figura 3.16 muestra la respuesta a una entrada escalón unitario del sistema
discreto.
Figura 3.16
3.2.2.3
Sistema en lazo cerrado.
La función de transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria está
dada por:
GLC ( z ) =
0 . 01015 z − 0 . 009755
z 2 − 1 . 878 z − 0 . 8984
El cero se encuentra en:
z = −0.961
Los polos de lazo cerrado son:
z1, 2 = 0.939 ± j 0.127
El sistema no es satisfactoriamente estable como se puede ver en la figura
3.17.
Figura 3.17
3.2.2.4
Análisis del comportamiento Dinámico mediante el Lugar
Geométrico de las Raíces.
Para el análisis mediante el lugar geométrico de las raíces es necesario tener
en la respectiva pantalla el círculo unitario.
El análisis es similar que en el caso continuo, la figura 3.18 describe dicho
análisis en lazo abierto.
Figura 3.18
3.2.2.5
Análisis del comportamiento Dinámico mediante la Respuesta
en Frecuencia.
En la figura 3.19 de la pantalla 3.15 se presenta la respuesta de frecuencia del
sistema continuo, esto es, el diagrama de magnitud y fase para el sistema en
lazo abierto, y en la figura 3.20 de la pantalla 3.16 se presenta el diagrama de
magnitud y fase para el sistema en lazo cerrado.
Figura 3.19
Al analizar el sistema en lazo abierto se tiene:
•
El margen de fase (MF) = 40.2º
•
La frecuencia de cruce de ganancia (ω 1 ) = 1.23rad/s
•
La frecuencia de cruce de fase (ω π ) = 4.88rad/s
•
El margen de ganancia(MG) = 21.2dB
Del sistema realimentado se tiene:
•
La frecuencia de resonancia (ω r )= 1.34rad/s
•
El máximo de resonancia (Mr) = 2.89dB
•
El ancho de banda (AB) = 1.9rad/s
Figura 3.20
CAPÍTULO 4
DISEÑO DE LOS CONTROLADORES.
En este capítulo se emplearán técnicas de control clásico y moderno con la
finalidad de obtener el mejor comportamiento de los sistemas.
Se desarrollan rutinas dentro del paquete computacional MATLAB con la
finalidad de obtener una respuesta confiable y una presentación interactiva de
fácil manejo.
En primer lugar se detalla una breve descripción de lo que son los
controladores tanto clásicos como modernos utilizados.
4.1
INTRODUCCIÓN
4.1.1 ACCIÓN PROPORCIONAL
La figura 4.1 muestra un control proporcional de una planta. Provee una
relación lineal continua entre el valor del error y la salida del controlador; y
básicamente se trata de un amplificador.
Figura 4.1 Control proporcional
La salida corresponde a la siguiente relación:
(=)tPK.e op
V
Donde:
K P = ganancia proporcional del amplificador.
e(t) = error.
Vop(t) = salida del controlador proporcional.
Una desventaja de este tipo de control es que puede existir una diferencia
permanente entre el valor real y el valor de referencia en estado permanente.
Sin embargo este tipo de control es uno de los más utilizados por su sencillez,
buena estabilidad y rapidez de respuesta.
4.1.2 ACCIÓN PROPORCIONAL DERIVATIVA
Esta acción se basa en la velocidad de variación de la señal de error,
entregando una salida que es proporcional a la derivada del error con respecto
al tiempo.
La figura 4.2 muestra un control PD de una planta.
Figura 4.2 Control PD
La salida del control derivativo responde a la siguiente expresión:
(td) e
V
t()=
.T
O
DD
dt
Donde:
T D = tiempo de acción derivativa.
V OD = salida del control derivativo.
Esta acción resulta muy útil para mejorar la respuesta del control en los
transitorios, es decir, reduce el tiempo de estabilización y evita oscilaciones en
un sistema continuo.
El uso de esta acción en ciertos sistemas puede causar una desestabilización
por lo que su uso debe ser muy cauteloso.
Para un control PD en cascada con un sistema, la señal de control aplicada al
proceso es:
(
(tu=K
).Pe+de
D
dt
Y la función de transferencia correspondiente es la siguiente:
()s=KP+D c
G
Donde:
K P = constante proporcional.
K D = constante derivativa.
El control PD equivale a añadir un cero simple en: s = −
KP
K D a la función de
transferencia de lazo abierto.
En el sistema
de(t )
representa la pendiente de e(t), el control PD es en
dt
esencia un control anticipativo. Esto significa que al conocer la pendiente, el
controlador puede anticipar la dirección del error y emplearla para controlar
mejor el proceso.
Normalmente, en sistemas lineales si la pendiente de e(t) debido a la entrada
escalón es grande, se producirá un sobreimpulso grande. El control derivativo
mide la pendiente instantánea, predice el MP grande adelante en el tiempo y
realiza una acción correctiva antes que se presente este MP excesivo.
El control derivativo afecta el error en estado estable de un sistema sólo si el
error en estado estable varía con el tiempo.
El controlador PD no altera el tipo del sistema que gobierna el error en estado
estable de un sistema con realimentación unitaria.
Para un sistema dado, existe un intervalo de valores de
KP
K D que es óptimo
para mejorar el amortiguamiento del sistema, se debe elegir K P y K D según la
implementación física del controlador. Debido a su característica de filtro pasa
altos en la mayoría de los casos se aumenta el ancho de banda y reduce el
tiempo de subida del sistema a la entrada escalón.
4.1.2.1
EFECTOS DE LA ACCIÓN PD.
•
Mejora el amortiguamiento y reduce el MP.
•
Reduce el tiempo de levantamiento y establecimiento.
•
Incrementa el ancho de banda.
•
Mejora el margen de ganancia, margen de fase y máximo de
resonancia.
•
No es efectiva en sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente
inestables.
•
Puede requerir un capacitor muy grande en la implementación del
circuito.
Muchas situaciones pueden no ser apropiadas para aplicar un controlador PD.
4.1.3 ACCIÓN PROPORCIONAL INTEGRAL
Es una acción de control de reajuste automático que responde a una
integración de la señal de error. La señal de salida del controlador varía
completamente con una proporcionalidad a la magnitud de cambio de error. La
figura 4.3 muestra el control PI de una planta.
Figura 4.3 Control PI
De esta forma se obtiene que la señal que proporciona este tipo de controlador
persista en tanto en cuanto persista la magnitud del error.
La salida de este controlador responde a la siguiente expresión.
1
V
t()=
e∫dt
T
OI
I
Donde:
T I = tiempo de acción integral.
V OI = salida del controlador integral.
La función de transferencia para el controlador a ser conectado en cascada
con la planta es la siguiente:
()s=K+PKI c
G
s
Donde:
K P = constante proporcional.
K I = constante integral.
El control PI equivale a añadir un cero en: s = −
KI
KP
y un polo en el origen en
la función de transferencia de lazo abierto. Mejora el error de estado estable a
costa de la estabilidad.
En esencia el control PI es un filtro pasa bajos, el sistema compensado tendrá
un tiempo de levantamiento más bajo y un tiempo de establecimiento más
largo.
Un método para diseñar un control PI es seleccionar el cero relativamente
cerca del origen y lejos de los polos significativos del proceso, y los valores de
K I y K P deben ser relativamente pequeños.
4.1.3.1
EFECTOS DE LA ACCIÓN PI:
4
El error en estado estable del sistema original se mejora en su orden.
5
Mejora el amortiguamiento y reduce el máximo sobreimpulso.
6
Incrementa el tiempo de levantamiento.
7
Disminuye el ancho de banda.
8
Mejora el margen de ganancia, margen de fase y máximo de
resonancia.
9
Filtra el ruido de alta frecuencia.
10 Hay que elegir bien las constantes K I y K P para que los elementos que
componen el controlador sean físicamente realizables.
4.1.4 ACCIÓN PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVA
Figura 4.4 Control PID
Es una modalidad de control muy sofisticada que cambia las tres acciones
antes explicadas en un solo controlador físico, siendo la relación a la que
responde la siguiente:
Vo PID = K P * e(t ) +
kp
TI
t
∫ e(t )dt + k
−∞
p
TD .
de(t )
dt
Y como función de transferencia puede ser expresada como:
1
P+
)=(s1K
F
T
Dc
IsT

Donde:
Fc(s) = función de transferencia del controlador P.I.D.
En controladores PID reales no se ajusta la ganancia proporcional, sino una
banda proporcional, que es igual a K P -1 y se expresa como porcentaje.
Banda proporcional de 25% → K P = 4
KP
4.2
-1
→
25% = 1/K P
→ banda proporcional.
TÉCNICAS PARA CALIBRAR LOS CONTROLADORES PID
El primer problema que se enfrenta cuando se sintoniza un controlador es
definir cuál es el mejor control.
El ajuste de los controladores, generalmente se basa en métodos que tratan
de cumplir con algunos criterios de control basados en la experiencia y que
han dado buenos resultados en procesos industriales.
La calidad de desempeño de un sistema se evalúa de acuerdo a los
parámetros como: la estabilidad, exactitud, precisión y respuesta transitoria.
Entre los criterios con los que se podría evaluar la respuesta de un sistema
están: el método analítico y el método experimental.
4.2.1 MÉTODO ANALÍTICO
•
Se determinan las ecuaciones o función de transferencia para cada
componente del sistema.
•
Se escoge un modelo para representar al sistema (diagrama de
bloques).
•
Se implementa el modelo del sistema.
•
Se determinan las características del sistema.
4.2.2 MÉTODO EXPERIMENTAL
Las características estáticas y dinámicas del sistema se obtienen a partir de
una serie de medidas que se realizan al sistema físico.
4.2.3 MÉTODOS DE AJUSTE EN LAZO CERRADO:
4.2.3.1
MÉTODO DE TANTEO:
Para que se pueda aplicar este método se requiere que el sistema esté
implementado en su totalidad y trabajando en forma normal. El método se
basa en poner en marcha al sistema con ganancias mínimas en las acciones
proporcional, integral y derivativa del controlador, e irlas incrementando en
pasos mínimos individualmente hasta conseguir la respuesta deseada del
sistema.
4.2.3.2
CALIBRACIÓN DEL CONTROLADOR PID
Se ajusta la ganancia proporcional con las ganancias integral y derivativa en
cero o en un valor mínimo. Se incrementa la ganancia proporcional hasta tener
una relación de amortiguamiento de 0,25 para luego incrementar la ganancia
integral.
Como la acción integral al ser incrementada pretende conseguir un error en
estado estable igual a cero, sacrificando la estabilidad, se recomienda
disminuir un poco la ganancia proporcional e incrementar en pasos pequeños
la ganancia integral mientras se evalúa el comportamiento del sistema en cada
caso.
Es recomendable, que del último ajuste ensayado se disminuya un poco el
valor de la ganancia integral, hasta acercarse al punto de inestabilidad.
Aquí se aumenta la ganancia derivativa en pasos pequeños, creando al mismo
tiempo desplazamientos de la referencia hasta obtener en el proceso un
comportamiento cíclico, reduciendo ligeramente la última ganancia derivativa.
Después de estos ajustes se puede incrementar la ganancia proporcional para
conseguir mejores resultados en el control. Con este tipo de control se
pretende llevar a la variable lo más rápidamente posible a su valor deseado
ante cualquier cambio de set-point o perturbación que interfiera en el sistema,
además de conseguir un error de estado estable de casi cero.
Otro procedimiento de calibración es el que procede de la siguiente
manera:
Se trabaja primero con una ganancia proporcional que da lugar a una ligera
oscilación ante una perturbación, con la acción integral al mínimo.
Se aumenta a continuación la acción derivativa hasta eliminar la oscilación. Se
aumenta de nuevo la ganancia proporcional hasta que la oscilación se reinicia
y se aumenta aún más la ganancia derivativa hasta eliminarlo, continuando
con estos pasos hasta que el aumento de la ganancia derivativa no mejore la
oscilación producida.
Finalmente se ajusta la acción integral en la forma descrita anteriormente para
eliminar el error u offset.
4.3
SISTEMAS CONTINUOS
4.3.1 CONTROL CLÁSICO DEL SISTEMA DEL MOVIMIENTO DE CABECEO
Una vez planteadas las ecuaciones que ayudan a modelar el movimiento de
cabeceo
del
avión
se
toma
la
transformada
de
Laplace
(asumiendo
condiciones iniciales nulas) obteniendo la siguiente función de transferencia
que relaciona la salida del problema con la entrada:
G (s) =
1 . 151 s + 0 . 1774
s 3 + 0 . 739 s 2 + 0 . 921 s
Considerando el sistema de la figura 1, en el cual se utilizará un controlador
PID para controlar el sistema cumpliendo con los siguientes requerimientos:
4
Sobreimpulso Máximo menor que el 10%.
5
Tiempo de establecimiento inferior a 10 segundos, esto es, la respuesta
se estabiliza en una banda del 5 % alrededor del valor en estado
estable en un tiempo inferior a 10 segundos.
δe(s)
kP + kD s +
kI
s
1,151
s+0,1774
s+0,739
s+0,921
s
32
Figura 4.5 Control PID para el movimiento de Cabeceo
El controlador PID tiene la función de transferencia:
θ (s )

ki
G
)(s=
kp
c
+kd
s
Se determina la función de transferencia en lazo cerrado con realimentación
unitaria,
relacionando
la
salida
con
la
entrada
mediante
un
control
proporcional:
Y (s )
kp (Gp )
=
R (s ) 1 + kp (Gp )
kp (1,151s + 0,1774 )
3
Y (s )
s + 0,739 s 2 + 0,921s
=
kp (1,151s + 0,1774 )
R (s )
1+ 3
s + 0,739 s 2 + 0,921s
Y (s )
kp (1,151s + 0,1774 )
= 3
2
R(s ) s + 0,739 s + (1,151kp + 0,921)s + 0,1774kp
La ecuación característica es:
s 3 + 0,739 s 2 + (1,151kp + 0,921)s + 0,1774kp = 0
s3 .10 +
9 2.10 15k 1p
s2 .70 3.0 91 7k0 7p 4
s0 .9 2−
.0 0 980k 9p 0
0
s .10 7k 70p 4
La ganancia crítica es:
k cr = 10.35
La ecuación característica con Kp igual a k cr (= 10.35), es:
s 3 + 0,739 s 2 + 12.8338s + 1.8361 = 0
Ahora se sustituye s = jω en la ecuación característica, para encontrar la
frecuencia de oscilación:
( jω ) 3 + 0,739( jω ) 2 + 12.8338 jω + 1.8361 = 0
0.739(2.484 − ω 2 ) + jω (2.484 − ω 2 ) = 0
A partir de lo cual se encuentra que la frecuencia de oscilación es ω = 1.576,
así el período de oscilación es:
2π
Pcr
=
.3
987
ω
1576
.
Utilizando la regla de sintonía de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crítica
k cr se tiene:
Kp = 0.6k cr = 6.21
Ti = 0.5P cr = 2 -› k i = 3.11
Td = 0.125P cr = 0.5 -› kd = 3.09
Por lo tanto la función de transferencia del controlador PID es
3 . 11


Gc ( s ) =  6 . 21 +
+ 3 . 09 s 
s


A continuación se examina la respuesta escalón unitario del sistema.
Figura 4.6 Respuesta a un escalón unitario del sistema controlado con un
controlador PID de parámetros kp=6.21, ki=3.11 y kd=3.09
La figura 6 muestra la curva de respuesta escalón unitario resultante. El
sobrepico máximo en la respuesta a un escalón unitario es de 11.9% y un
tiempo de establecimiento de 2.94 segundos. El objetivo es alcanzar un
sobrepico menor al 10%, entonces se debe reducirlo mediante una sintonía
fina de los parámetros del controlador. Dicha sintonía se puede hacer en el
computador. Se encuentra que para kp = 24, ki = 12, kd = 12, es decir
utilizando el controlador PID

12

Gc ( s ) =  24 +
+ 12 s 
s


Se tiene que el sobrepico se reduce a 6.1%, y el tiempo de establecimiento es
de 0.85 segundos, como se muestra en la figura 4.7.
Figura 4.7 Respuesta a un escalón unitario del sistema controlado con un
controlador PID de parámetros kp=24, ki=12 y kd=12
4.3.2 CONTROL CLÁSICO DEL SISTEMA CONTINUO DEL MOVIMIENTO
DE ALABEO (SOBRE EL EJE LONGITUDINAL)
La función de transferencia es:
G (s) =
2 . 11
s (s + 1 . 181 )
Se utilizará un controlador PD para controlar el sistema cumpliendo con los
siguientes requerimientos:
6
Sobreimpulso Máximo menor que el 10%.
7
Tiempo de establecimiento inferior a 6 segundos
Para cumplir con estos requerimientos se tiene que: ξ = 0.59, ω n = 3.389 rad/s,
por lo tanto los polos deseados son:
pd = ξωn ± jωn 1 − ξ 2
pd= -2 ±j2.74

)s(k=D+kP c
G
Dk
A partir de la condición de ángulo se tiene que:
∠s +
kp
− ∠s s = −2+ j 2.74 − ∠s + 1.181s = −2+ j 2.74 = −180
k D s = −2+ j 2.74
tan −1
2.74
− 126.13º −106.64º = −180º
kp
−2+
kD
kp
= 4.07
kD
A partir de la condición de modulo, se halla el valor de kd
kd ( s + 4.07) * 2.11
=1
s ( s + 1.181)
s = −2 + j 2.74
kd = 1.34
kp = 4.07*1.34 = 5.44
Por lo tanto la función de transferencia del controlador PID es
Gc(s)=1.34(s + 4.07)
A continuación se examina la respuesta escalón unitario del sistema.
Figura 4.8 (a) Respuesta a un escalón unitario del sistema controlado con un
controlador PD de parámetros kp=5.44 y kd=1.34
Se tiene que el sobrepico es 16.6%, y el tiempo de establecimiento es de 1.48
segundos, como se muestra en la figura 4.8 a.
Una respuesta mucho mejor se la obtiene con kp=32.56 y k D =8, con un
sobrepico de 8.44% y un tiempo de establecimiento de 0.6segundos, como se
ve en la figura 4.8b, donde el controlador queda determinado por:
Gc=8(s+4.07)
Figura 4.8b Respuesta a un escalón unitario del sistema controlado con un
controlador PD de parámetros kp=16.4 y kd=8
4.4
SISTEMAS DISCRETOS
Para el sistema discreto se realiza el diseño del control clásico y moderno,
usando la técnica de discretización.
4.4.1 CONTROL CLÁSICO DEL SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE
CABECEO
Para el control clásico, se utiliza un sistema de control discretizado en lazo
cerrado.
El diseño del controlador PID se realiza de la misma forma que el sistema
continuo, y luego de obtener la función de transferencia se discretiza utilizando
el método ZOH, con el comando c2d en el MATLAB.
La figura 4.9 presenta la respuesta escalón del sistema discretizado
Figura 4.9 Respuesta a un escalón unitario del sistema discreto controlado con
un controlador PID
Se tiene un sobrepico del 4.09% y se estabiliza en 2.66 segundos, para un
periodo de muestreo de 0.07s, es decir cumple con los requerimientos de
diseño.
4.4.2 CONTROL CLÁSICO DEL SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE
ALABEO.
La figura 4.10 presenta la respuesta escalón del sistema discretizado.
Figura 4.10 Respuesta a un escalón unitario del sistema discreto controlado
con un controlador PD.
Existe sobrepico de 9.64% y se estabiliza en 0.6 segundos para un período de
muestreo de 0.02s, es decir cumple con los requerimientos de diseño.
•
4.5
ANÁLISIS Y CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO
En tanto que la teoría de control convencional se basa en la descripción de las
ecuaciones de transferencia, la teoría de control moderna se basa en la
descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones
diferenciales de primer orden.
El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación
matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en la cantidad de
variables de estado, de entradas y de salidas no aumenta la complejidad de
las ecuaciones.
4.5.1 DEFINICIONES
•
Estado: El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño
de variables de modo que el conocimiento de estas variables en t=t0,
junto con el conocimiento de la entrada para t>=t0, determina por
completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t>=t0.
•
Variables de estado: Las variables de estado de un sistema dinámico
son las que forman el conjunto más pequeño de variables que
determinan el estado del sistema dinámico. Si se necesitan al menos n
variables x1, x2... xn para describir por completo el comportamiento de
un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada
para t>=t0 y se especifica el estado inicial t=t0 el estado futuro del
sistema se determina por completo), tales n variables son un conjunto
de variables de estado.
•
Vector de estado: Si se necesitan n variables de estado para describir
por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n
variables de estado se consideran los n componentes de un vector x.
Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado
es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para
cualquier tiempo t>=t0, una vez que se obtiene el estado en t=t0 y se
especifica la entrada u(t) para t>=t0.
•
Espacio de estados: El espacio de n dimensiones cuyos ejes de
coordenadas están formados por el eje x1, eje x2..., eje xn se
denominan espacio de estados. Cualquier estado puede representarse
mediante un punto en el espacio de estados.
4.5.2 FORMULACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE UN SISTEMA
En el análisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de
variables en el modelado de sistemas dinámicos:
•
Variables de entrada
•
Variables de salida
•
Variables de estado
Suponemos que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene n
integradores. También suponemos que existen r entradas y m salidas.
Definimos n salidas de los integradores como variables de estado. El sistema
se describe mediante:
en donde la primera es la ecuación de estado y la segunda la ecuación de
salida.
Si las funciones vectoriales f y g involucran explícitamente el tiempo t, el
sistema se denomina sistema variante con el tiempo.
Si se linealizan las ecuaciones alrededor del estado de operación, tenemos las
siguientes ecuaciones de estado y de salida linealizadas.
A(t) matriz de estado.
B(t) matriz de entrada.
C(t) matriz de salida.
D(t) matriz de transmisión directa.
Si las funciones vectoriales f y g no involucran el tiempo t explícitamente, el
sistema se denomina sistema invariante con el tiempo. En este caso las
ecuaciones son:
En la figura 4.11 se representa el diagrama de bloques del sistema de control
lineal en tiempo continuo representado en el espacio de estados.
Figura 4.11
Existen muchas maneras diferentes de describir un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales. La representación en espacio de estado está dado por
las ecuaciones:
dx
= A x + Bu
dt
y = C x + Du
donde x es un vector n por 1 que representa el estado (comúnmente en
sistemas mecánicos variables posición y velocidad ), u es un escalar que
representa la entrada (comúnmente una fuerza o un torque en sistemas
mecánicos), e y es un escalar que representa la salida. Las matrices A (n por
n), B (n por 1), y C (1 por n) determinan las relaciones entre las variables de
estado, entrada y salida
4.6 SISTEMAS CONTINUOS
4.6.1 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE CABECEO EN EL ESPACIO DE
ESTADO
La representación el espacio de estado del sistema es:
 . 
1
0   x1  0
 x.1  0
 x  = 0
0
1   x 2  + 0u
 .2  
 x 3  0 − 0.921 − 0.739  x 3  1 
 
 x1 
y = [0.1774 1.151 0] x 2 
 x3 
Donde:
01
0=
A
1
0.9−
739
21
 0
B = 0
1
[1774
C
.0=
51
-
.
u
1
X1
.
.
X 3
X 2
∑
∫
-
y
∫
x3
∫
0.17
74
x 2 x1
-
Figura 4.12 Sistema de cabeceo en el espacio de estado.
4.6.1.1 CONTROLABILIDAD
∑
Un sistema es considerado controlable si el estado se puede mover a
cualquier dirección deseada mediante la elección adecuada de las señales de
control en un intervalo de tiempo finito. Esto se da si sólo si la matriz de
controlabilidad tiene rango total.
2
M
[B
=
A
Bc
Es decir,
0
1 
0

Mc = 0
1
− 0.739
1 − 0.739 − 0.375
El rango de la matriz Mc es 3, por lo tanto el sistema es totalmente
controlable.
4.6.1.2 OBSERVABILIDAD
La observabilidad se define como la capacidad rededucir información de todos
los modos del sistema midiendo las salidas detectadas.
Se tiene que el sistema es observable si sólo si matriz de observabilidad es de
rango completo.
La matriz de observabilidad del sistema es:
[
Mo = C T
Es decir,
0
0 
0.1774
Mo =  1.151 0.1774
1.06 
 0
1.151 − 0,673
AT * C T
(A )
T 2
*CT
]
El rango de la matriz Mo es 3, por lo tanto el sistema es totalmente
observable.
4.6.2 REALIMENTACIÓN DE ESTADO
Figura 4.13 Sistema realimentado.
El sistema utiliza el control mediante realimentación de estado u = -Kx. Se
escogen los polos en lazo cerrado en
=
s-+
*j2.365
2.099;
s-2.099
=
*j2.365
s−
=
0.15
Se han escogido estos polos ya que con ellos se obtiene una respuesta
transitoria aceptable.
Para determinar la matriz de ganancias de realimentación de estado, se
utilizará el método de sustitución directa debido a que el sistema es de orden
3, para orden mayor a éste, el método utilizado se volvería muy tedioso.
Defiendo la matriz de ganancia de realimentación del estado K deseada como:
k = [k1 k 2 k 3]
e igualando sI − A + Bk con la ecuación característica deseada se obtiene:
•
La ecuación característica deseada es:
(s + 2.365 - j * 2.099)(s + 2.365 + j * 2.099)(s + 0.15) = s 3 + 4.88s 2 + 10.705s + 1.5
•
Cálculo de sI − A + Bk
1
0   0
 s 0 0  0



sI − A + Bk = 0 s 0 − 0
0
1  + 0 [k1 k 2 k 3]

0 0 s  0 − 0.921 − 0.739 1
= s 3 + (0.739 + k 3)s 2 + (0.921 + k 2 )s + k1
s 3 + (0.739 + k 3)s 2 + (0.921 + k 2 )s + k1 = s 3 + 4.88s 2 + 10.705s + 1.5
k =
[1 . 5
9 . 784
4 . 141
]
La respuesta al escalón llega al valor de 0.118 lo cuál debería llegar hasta el
valor de la unidad.
Para llegar al valor unitario, al sistema le damos una compensación en
amplitud multiplicando por una ganancia de N = 8.47 obteniendo así la
respuesta deseada.
La respuesta al escalón se muestra en la figura 4.14 donde el sobrepico es de
0.56% y el tiempo de establecimiento es de 1.18s.
Figura 4.14 Respuesta escalón del sistema controlado
4.6.3 ANÁLISIS DEL SISTEMA CONTINUO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO
EN EL ESPACIO DE ESTADO
La representación el espacio de estado del sistema es:
 .  0
1   x1  0
 x.1  = 
   +  u
 x  0 − 1.181  x 2  1 
 2
 x1 
y = [2.11 0]  + [0]u
 x2 
u
.
.
X 2
1
∑
y
X1
∫
-
∫
x2
x1
Figura 4.15 Sistema de alabeo en el espacio de estado.
4.6.3.1
CONTROLABILIDAD
La matriz de controlabilidad del sistema es:
M
=
[ABc
B
Es decir,
.
0211
Mc
=
1
49
1
.2−
La matriz Mc es de orden 2.
El rango de la matriz Mc es 2, por lo tanto el sistema es totalmente
controlable.
4.6.3.2
OBSERVABILIDAD
La matriz de observabilidad del sistema es:
[
T
M
C
=
*A o
Es decir,
1 0
Mo = 

0 1 
El rango de la matriz Mo es 2, por lo tanto el sistema es totalmente
observable.
4.6.4 REALIMENTACIÓN DE ESTADO
El sistema utiliza el control mediante realimentación de estado u = -Kx. Se
escogen los polos en lazo cerrado en
s=
-±
*j0.74;
2.73
Se han escogido estos polos ya que con ellos se obtiene una respuesta
transitoria aceptable.
Defiendo la matriz de ganancia de realimentación del estado K deseada como:
k = [k1 k 2]
sI − A + Bk = s 2 + (1.181 + k 2 )s + k1
s 2 + (1.181 + k 2 )s + k1 = s 2 + 5.46 s + 8
k =
[8
4 . 279
]
La respuesta al escalón llega al 0.264. Para hacerla unitaria cambiamos por
una ganancia N = 3.79
La respuesta al escalón se muestra en la figura 4.16, El sobrepico es nulo y el
tiempo de establecimiento es de 1.92s.
Figura 4.16 Respuesta escalón del sistema controlado
4.7
SISTEMAS DISCRETOS
4.7.1 CONTROL DISCRETO EN EL ESPACIO DE ESTADO PARA EL
MOVIMIENTO DE CABECEO.
Se realiza el análisis del sistema discreto, obteniendo controlabilidad y
observabilidad.
 x1 (k + 1)   0.9626 − 0.04519 0  x1 (k )   0.04907 
 x (k + 1) =  0.04907
0.9989
0  x 2 (k ) + 0.001235u (k )
 2
 
 x3 (k + 1)  0.001235 0.04998 1  x3 (k )  

0
 x1 (k ) 
y (k ) = [0 1.151 0 .1774] x 2 (k )
 x3 (k ) 
4.7.1.1
CONTROLABILIDAD
La matriz de controlabilidad del sistema es:
2
M
[B
=
A
Bc
Es decir,
 0.0491 0.0472 0.0452
Mc = 0.0012 0.0036 0.0060
 0
0.0001 0.0004
El rango de la matriz Mc es 3, por lo tanto el sistema es totalmente
controlable.
4.7.1.2
OBSERVABILIDAD
La matriz de observabilidad del sistema es:
[
Mo = C T
AT * C T
(A )
T 2
*CT
]
Es decir,
1.151 0.1774
 0

Mo = 0.0567 0.1586 0.1774
0.1116 1.1635 0.1774
El rango de la matriz Mo es 3, por lo tanto el sistema es totalmente
observable.
4.7.2 REGULADOR DEL SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE
CABECEO
Figura 4.17 Respuesta escalón unitario del sistema controlado.
La figura 4.17 presenta la respuesta escalón del sistema controlado, con un
sobrepico máximo de 0.56%, y un tiempo de establecimiento de 1.2 segundos.
4.7.3 CONTROL DISCRETO EN EL ESPACIO DE ESTADO PARA EL
MOVIMIENTO DE ALABEO.
 x1 (k + 1)  1 0.09432  x1 (k )  0.01015
 x (k + 1) = 0 0.8886   x (k ) + 0.199 u (k )
 2  

 2
 
xk)(
(yk)=
1[0]1
xk)(2
4.7.3.1
CONTROLABILIDAD
La matriz de controlabilidad del sistema es:
M
=
[A
B
Bc = [B AB]
Mc
Es decir,
10289
01
.0
Mc
=
.0
99
11768
El rango de la matriz Mc es 2, por lo tanto el sistema es totalmente
controlable.
4.7.3.2
OBSERVABILIDAD
La matriz de observabilidad del sistema es:
[
[
T
M
C
=
*AMo
o = CT AT *CT
]
Es decir,
10
Mo
=
10943
.0
El rango de la matriz Mo es 2, por lo tanto el sistema es totalmenteobservable.
4.7.4 REGULADOR
DEL SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE
ALABEO
Figura 4.18 Respuesta Escalón del sistema controlado
La figura 4.18 presenta la respuesta escalón del sistema discreto controlado,
con un sobrepico nulo, y un tiempo de establecimiento de 2 segundos.
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DE LYAPUNOV Y
CONTROL ÓPTIMO
5.1
INTRODUCCIÓN
De la teoría de la mecánica clásica, se sabe que un sistema es estable si su
energía total se reduce continuamente, hasta alcanzar un estado de equilibrio.
Sin embargo para sistemas puramente matemáticos, no existe una forma
simple de definir una “función energía”.
Para vencer esta dificultad, Lyapunov introdujo la función de Lyapunov, una
función ficticia de energía.
•
DEFINICIÓN POSITIVA DE FUNCIONES ESCALARES
Se dice que una función escalar V(x) es definida positiva en una región Ω (que
incluye el origen del espacio de estado) si V(x) > 0 para todos los valores x no
cero de la región Ω y si V(0) = 0.
•
DEFINICIÓN NEGATIVA DE FUNCIONES ESCALARES
Una función escalar V(x) es definida negativa si –V(x) es definida positiva.
•
SEMIDEFINICIÓN POSITIVA DE FUNCIONES ESCALARES.
Una función escalar V(x) es semidefinida positiva en todos los estados en la
región Ω excepto en el origen.
•
SEMIDEFINICIÓN NEGATIVA DE FUNCIONES ESCALARES.
Una función escalar V(x) es semidefinida negativa si –V(x) es positiva
semidefinida.
•
ESTADO DE EQUILIBRIO.
f(xe, para todo t) = 0, es el punto en el que las variables de estado son igual a
cero.
Respuesta al estado inicial:
•
ESTABILIDAD EN EL SENTIDO DE LIAPUNOV.
Si suponemos que S(δ) está formada por todos los puntos tales que
y si suponemos también que S(ε) está formada por todos los puntos tales que
El número real δ depende de ε, y en general, también depende de to. Si δ no
depende de to, se dice que el estado de equilibrio es uniformemente estable.
•
ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV DE SISTEMAS EN
TIEMPO CONTINUO
Considerando el siguiente sistema lineal:
.
x = Ax
(1)
Donde x es un vector de estado y A es una matriz de coeficientes constantes.
Se selecciona una función de Liapunov (V)
V ( x ) = x T Px
En donde P es una matriz definida positiva. La derivada con respecto al tiempo
de V(x) es
.T
.
.
V ( x) = x Px + x T P x
.
V ( x) = ( Ax) T Px + x T PAx
.
V ( x) = x T AT Px + x T PAx
.
V ( x) = x T ( AT P + PA) x
Dado que V(x) es definida positiva, para una estabilidad asintótica se requiere
.
que V ( x ) sea definida negativa. Por tanto se requiere que
.
V ( x) = −( x T Px)
T
Q
=
−
(+
A
P
= Adefinida positiva
Así, para estabilidad asintótica del sistema de la ecuación (1), es suficiente
que Q sea definida positiva. Para una prueba de definidad positiva de una
matriz, se aplica el criterio de Silvester, que plantea que una condición
necesaria y suficiente para que la matriz sea definida positiva, es que los
determinantes de todos los menores principales sucesivos de la matriz sean
positivos.
Es conveniente primero especificar una matriz Q definida positiva y después
examinar si P es definida positiva. La matriz P se determina a partir de
T
A
P
+
=
QA
−
5.2
SISTEMAS CONTINUOS
5.2.1 ESTABILIDAD DEL SISTEMA DEL MOVIMIENTO DE CABECEO
Considerando el sistema de control realimentado de la figura 1
Figura 5.1 Sistema de control realimentado de Cabeceo.
y que las variables de estado son
 x1  θ 
 x  = θ. 
 2  
 x3  α 
El sistema está descrito mediante
 . 
0
1
0   x1 
 x.1  

x  =
0
0
1   x 2 
 .2  
 x3  − 0.1774 − 2.072 − 0.739  x3 
 
Es evidente que el estado de equilibrio es el origen. Suponiendo una función
de Lyapunov V(x)
V ( x ) = x T Px
Donde P va a determinarse a partir de
A
(TP
+
)−
=
IAA
T P + PA = − Q
De aquí se obtiene
 6.101 2.557
P = 2.557 3.813
 2.818 1.476
2.818 
1.476
2.674 
Se observa que
6.1 0> 10
6. 1 02.5 15 7
2.5 5 73.8 1=
. 367> 2 5
d e)P
= 2t (2>
0 . 4 2 2
Por lo tanto P es positiva definida. Por tanto, el estado de equilibrio en el
origen es asintóticamente estable y una función de Lyapunov es
V ( x) = x T Px
V ( x) = 6.101x12 + 3.813 x 22 + 2.674 x32 − 5.114 x1 x 2 − 5.636 x1 x3 − 2.952 x 2 x3
.
V ( x) = −( x12 + x 22 + x32 )
El sistema del movimiento de cabeceo es estable si:
V ( x) > 0
.
V ( x) < 0
Es decir si
V ( x) = 6.101x12 + 3.813x 22 + 2.674 x32 − 5.114 x1 x 2 − 5.636 x1 x3 − 2.952 x 2 x3 > 0
.
V ( x) = −( x12 + x 22 + x32 ) < 0
5.2.2 ESTABILIDAD DEL SISTEMA DEL MOVIMIENTO DE ALABEO
Considerando el sistema de control realimentado de la figura 2
Figura 5.2 Sistema realimentado de Alabeo.
y que las variables de estado son
 .  φ 
 x.1  =  . 
 x  φ 
 2
El sistema esta descrito mediante
 .   0
1   x1 
 x.1  = 
 
 x  − 2.11 − 1.181  x 2 
 2
Es evidente que el estado de equilibrio es el origen. Suponiendo una función
de Lyapunov V(x)
V ( x ) = x T Px
A
(TP
+
)−
=
I(AAT P + PA) = − I
Entonces:
0.237
1.597
P
=
0.237
0.624
Se observa que
1.597 > 0
1.597 0.237
= 0.940359 > 0
0.237 0.624
Por lo tanto P es positiva definida. Por tanto, el estado de equilibrio en el
origen es asintóticamente estable y una función de Lyapunov es
V ( x) = x T Px
V ( x) = 1.597 x12 − 0.474 x1 x 2 + 0.624 x 22
.
V ( x) = −( x12 + x 22 )
.
El sistema del movimiento de alabeo es estable si:
V ( x) > 0
.
V ( x) < 0
Es decir si
V ( x) = 1.597 x12 − 0.474 x1 x 2 + 2.674 x 22 > 0
.
V ( x) = −( x12 + x 22 ) < 0
5.3
SISTEMAS DISCRETOS
5.3.1 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV DE SISTEMAS EN
TIEMPO DISCRETO
Como en el caso de los sistemas en tiempo continuo, la estabilidad asintótica
es el concepto más importante en la estabilidad de los estados de equilibrio de
los sistemas en tiempo discreto.
Considerando el siguiente sistema en tiempo discreto
(x+
k=
)1DAx(k 1) A x(k)
(2)
Donde
x = vector de estado
AD es una matriz no sin gular cons tan te de nxn
El origen x=0 es el estado de equilibrio.
Se escoge como posible función de Liapunov
T
V
(kx)=
P
V)x(x(k)) = xT (k)Px(k)
Donde P es una matriz positiva definida. Entonces
∆V ( x(k )) = V ( x(k + 1) − V ( x(k ))
∆V ( x(k )) = xT (k + 1)Px(k + 1) − xT (k )Px(k )
∆V ( x(k )) = [ AD x(k )]T P[ AD x(k )] − xT (k )Px(k )
∆V ( x(k )) = xT (k ) AD PAD x(k ) − xT (k )Px(k )
T
∆V ( x(k )) = xT (k )( AD PAD − P) x(k )
T
Dado que V(x(k)) se ha seleccionado para ser positiva definida, se requiere,
para la estabilidad asintótica, que ∆V(x(k)) sea negativa definida. Por lo tanto
V
∆
kx(−
)TQ
=
∆) xV (x(k)) = − xT (k)Qx(k)
Donde
Q = −( ADT PAD − P ) = definida positiva
De esta manera, para la estabilidad asintótica del sistema en tiempo discreto
de la ecuación (2), es suficiente que Q sea positiva definida.
Como en el caso de sistemas de tiempo continuo, es conveniente especificar
primero una matriz Q positiva definida y luego ver si la matriz P determinada
por
TD
es o no positiva definida. Nótese que P positiva definida es una condición
necesaria y suficiente.
5.3.2 ESTABILIDAD DE UN SISTEMA EN TIEMPO DISCRETO OBTENIDO
AL DISCRETIZAR UN SISTEMA EN TIEMPO CONTINUO
Si el sistema se describe en términos de ecuaciones en el espacio de estado,
la estabilidad asintótica de un estado de equilibrio de un sistema en tiempo
discreto obtenido al discretizar un sistema en tiempo continuo, equivale a la
del sistema en tiempo continuo original.
Considere un sistema en tiempo continuo
.
x = Ax
y el sistema correspondiente en tiempo discreto
x(+
k=
)1A
D
x(k 1) A x(k)
Siendo
AD = e AT
Si el sistema en tiempo continuo es asintóticamente estable, es decir, si todos
los valores propios de la matriz A tienen partes reales negativas, entonces
AD
n
→ 0, cuando n → ∞
Y el sistema discretizado también es asintóticamente estable. Esto se debe a
que, si las λ i son los valores característicos de A, entonces las e λiT son los
valores propios de A D.
Se debe notar que si se discretiza un sistema en tiempo continuo con polos
complejos, entonces en casos excepcionales puede ocurrir inestabilidad
oculta, en función de la selección del período de muestreo T. Es decir, en
algunos casos donde el sistema en tiempo continuo no es asintóticamente
estable,
el
sistema
discretizado
equivalente
pudiera
parecer
estable
asintóticamente, si se observan únicamente los valores de salida en los
instantes de muestreo.
Este fenómeno ocurre sólo para algunos valores del período de muestreo T. Si
se varía el valor de T, entonces esta inestabilidad oculta aparece en forma de
inestabilidad explícita.
5.3.3 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV DEL SISTEMA DEL
MOVIMIENTO DE CABECEO EN TIEMPO DISCRETO
El sistema discreto es el siguiente
 x1 (k + 1)  1 0.0786 - 0.0025  x1 (k ) 
 x (k + 1) = 0 0.9641 - 0.0612  x (k ) 
 2
 
 2 
 x3 (k + 1)  0 0.0776 0.9728   x3 (k ) 
Para determinar la estabilidad del origen del sistema, se escoge Q como I. A
continuación, la ecuación de Lyapunov se convierte en
A
(P
)=
−
IA
D
T
De aquí se obtiene
 16.2942 - 5.4989
P =  - 5.4989 15.2942
- 10.0223 - 5.4989
- 10.0223
- 5.4989 
14.2942 
Al aplicar el criterio de Silvester, se encuentra que P es positiva definida. Por
tanto, el sistema es asintóticamente estable global en el origen x=0,.
5.3.4 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN LYAPUNOV DEL SISTEMA DEL
MOVIMIENTO DE ALABEO EN TIEMPO DISCRETO
El sistema esta descrito mediante
 .   0.9996
 x.1  = 
 x  - 0.0417
 2
0.0198   x1 
0.9762  x 2 
A
(P
)=
−
IA
D
T
Entonces
425.0436
- 5.7112
P
=
25.0436
-66.3018
Se observa que
45.7112 > 0
45.7112 − 25.0436
= 2403.5574 > 0
− 25.0436 66.3018
Por lo tanto P es positiva definida. Por tanto, el sistema es asintóticamente
estable en el origen.
5.4
SISTEMA REGULADOR ÓPTIMO CUADRÁTICO (LQR)
El Regulador Óptimo Cuadrático consiste en minimizar un funcional con
respecto a las entradas de control sujetas a las restricciones lineales en el
sistema.
La ventaja de la formulación de problemas de Regulador Óptimo Cuadrático es
que da lugar a leyes de control que son fáciles de implementar.
El trabajo se restringe a problemas de regulación. Se asume que el sistema
está en equilibrio y se desea mantener en equilibrio aún en presencia de
perturbaciones.
El LQR calcula la matriz óptima de ganancias K, tal que la ley de
realimentación u = − kx minimiza la función de costo J.
T
(
)
J = ∫ x Q x + u T Ru dt
0
−
T
−
Para el caso de los sistemas discretos:
El control óptimo cuadrático tiene una ventaja respecto del método de
asignación de polos, la cual es que proporciona un procedimiento sistemático
para calcular la matriz de ganancia de control de realimentación del estado.
5.4.1 CONTROL ÓPTIMO DEL MOVIMIENTO DE CABECEO
Utilizando el comando lqr en el Matlab, se obtiene la matriz de realimentación
k
k = [100 7.22 -0.56]
La respuesta paso para el sistema diseñado es:
Figura 5.3 Estados del movimiento
Se observa que la respuesta del sistema actual es menos oscilatoria y
presenta menor sobrepico en la respuesta de la posición (x1)
5.4.2 CONTROL ÓPTIMO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO
Utilizando el comando lqr en el Matlab, se obtiene la matriz de realimentación
k
k = [100 13.41]
La respuesta paso para el sistema diseñado es:
Figura 5.4 Estados del movimiento
Se observa que la respuesta del sistema actual es menos oscilatoria y
presenta menor sobrepico en la respuesta de la posición
5.5
SISTEMAS DISCRETOS
5.5.1 CONTROL ÓPTIMO DEL MOVIMIENTO DE CABECEO
Utilizando el comando dlqr en el Matlab, se obtiene la matriz de realimentación
k
k = [1.39 1.5 0.97]
La respuesta paso para el sistema diseñado es:
Figura 5.5 Respuesta escalón unitario del sistema controlado
Se observa que la respuesta del sistema actual es menos oscilatoria y
presenta menor sobrepico
5.5.2 CONTROL ÓPTIMO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO
Utilizando el comando dlqr en el Matlab, se obtiene la matriz de realimentación
k
k = [5.94 -5.618]
La respuesta paso para el sistema diseñado es:
Figura 5.6 Respuesta escalón unitario del sistema controlado
Se observa que la respuesta del sistema actual es menos oscilatoria y
presenta menor sobrepico.
ANÁLISIS DE RESULTADOS
En esta sección se presentan los resultados obtenidos del análisis y
simulación del comportamiento dinámico, de los sistemas de movimiento de
cabeceo y alabeo de un avión.
6.1
SISTEMA CONTINUO DEL MOVIMIENTO DE CABECEO
Figura 6.1 (a) Análisis de lazo abierto de Cabeceo Continuo.
Para nuestro sistema en lazo abierto mostrado en la figura 6.1 (a), en el
diagrama de la respuesta Escalón Unitario, el sistema tiende a crecer hacia el
infinito debido a que tiene un cero en el origen lo cuál origina un integrador
puro que lo lleva a crecer hacia el infinito provocando una inestabilidad en el
sistema.
Para poder corregir el problema de inestabilidad, se realiza un lazo
realimentación unitario para poder tener una respuesta un poco aceptable
como se analiza a continuación.
Figura 6.1 (b) Análisis de lazo cerrado de Cabeceo Continuo.
Como se puede ver en la figura 6.1 (b), el valor del tiempo de establecimiento
es de 35 segundos, la respuesta del sistema no es óptima ya que le toma
mucho tiempo alcanzar el valor deseado del ángulo de cabeceo.
La estabilidad relativa y el funcionamiento transitorio de un sistema de control
están relacionados con la localización en el plano s de las raíces de la
ecuación característica. Se observa además que los polos están en s = 0.0881 ;
s = − 0.325 ± j1.38 , es decir se encuentran en el lado izquierdo del plano s con
lo que se puede asegurar que el sistema es estable.
Al tratar el problema por técnicas en el dominio de la frecuencia, se asegura el
control
del
comportamiento
de
respuesta
transitoria
en
términos
de
especificaciones del dominio de frecuencia tales como: Margen de fase,
margen de ganancia y ancho de banda; este procedimiento indica claramente
las características del sistema.
6.1.1 RESULTADOS DEL CONTROL CLÁSICO
Para el sistema de movimiento de cabeceo, se utiliza un controlador PID
debido a las características de diseño requerido para este sistema y a los
buenos resultados obtenidos con el mismo.
La figura 6.2 presenta el resultado de la respuesta escalón unitario y del lugar
geométrico de las raíces del sistema con el controlador PID. Para cumplir con
las especificaciones:
•
Sobreimpulso Máximo menor que el 10%.
•
Tiempo de establecimiento inferior a 10 segundos, esto es, la respuesta
se estabiliza en una banda del 5 % alrededor del valor en estado
estable en un tiempo inferior a 10 segundos.
En un inicio se diseña un controlador PID con los valores kp=6.21, ki=3.11 y
kd=3.09 el sobrepico máximo en la respuesta a un escalón unitario es de
11.9% y un tiempo de establecimiento de 2.94 segundos.
Para alcanzar un sobrepico menor al 10%, se hace otro ajuste mediante
método de tanteo con lo cuál se tiene kp = 24, ki = 12, kd = 12, con lo que se
llega a un sobrepico de 6.1%, y un tiempo de establecimiento de 0.85
segundos, como se muestra en la figura 6.3.
Figura 6.2 Controlador sin ajuste de ganancias.
Figura 6.3 Respuesta del sistema del movimiento de cabeceo controlado con
kp=24, ki =12, kd=12.
6.1.2 RESULTADOS DEL CONTROL MODERNO Y CONTROL ÓPTIMO
En la realimentación de estado, para encontrar el vector K se emplea la
localización de polos, utilizando la técnica de sustitución directa, ver figura
6.4, mientras que para el control óptimo se utiliza el comando lqr de MATLAB,
ver figura 6.5
Figura 6.4 Realimentación de Estado Continuo de Cabeceo
En la figura 6.4 el sobrepico es de 0.56% y el tiempo de establecimiento es de
1.18s lo que cumple con los requisitos de diseño, además que los valores de
ganancias son bajos por lo que su implementación no requeriría de circuitos
electrónicos muy complicados de diseñar.
Figura 6.5 Control Óptimo Continuo de Cabeceo
En la figura 6.5 se observa que la respuesta del sistema actual es casi
instantánea, no presenta oscilaciones por lo tanto no aparece sobrepico y
tiene un tiempo de establecimiento alrededor de 1.18 segundos.
6.2
SISTEMA CONTINUO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO
Para el sistema mostrado en la figura 6.6 (a), se tiene que el sistema es
inestable debido a que tiene un cero en el origen, lo cuál origina un integrador
puro que lo lleva a crecer hacia el infinito provocando una inestabilidad en el
sistema.
Para poder corregir este problema, se realiza la realimentación unitaria con lo
cuál se logra obtener una estabilidad en el sistema pero con cierto retardo en
el tiempo y un sobreimpulso considerable como se puede observar en la figura
6.6 (b).
Figura 6.6 (a) Análisis de lazo abierto de Alabeo Continuo.
Figura 6.6 (b) Análisis de lazo cerrado de Alabeo Continuo.
La respuesta del sistema en lazo cerrado no es óptima ya que tiene un
sobrepaso máximo del 24.7% que es mayor al deseado, a pesar de tener un
tiempo no muy grande de estabilización.
La estabilidad relativa y el funcionamiento transitorio de un sistema de control
están relacionados con la localización en el plano S de las raíces de la
ecuación característica.
Además se puede observar que los polos de lazo cerrado están en
s = −0.5911 ± j1.33 , es decir al lado izquierdo del plano s lo que garantiza que
el sistema es estable.
6.2.1 RESULTADOS DEL CONTROL CLÁSICO
Para el sistema de movimiento de alabeo, se utiliza un controlador PD ya que
con este se logra obtener una mejor respuesta tanto en tiempo de
establecimiento como en el sobreimpulso.
La figura 6.7 presenta el resultado de la respuesta escalón unitario y del lugar
geométrico de las raíces del sistema con el controlador PD. Para cumplir con
las especificaciones de diseño que son:
•
Sobreimpulso Máximo menor que el 10%.
•
Tiempo de establecimiento inferior a 6 segundos
Se diseña un controlador PD, con los siguientes valores para las constantes
Kp = 32.56 y kd = 8 con los que se tiene que el sobrepico es nulo, y el tiempo
de establecimiento es de 0.617 segundos.
Figura 6.7 Controlador PD continuo para el Alabeo.
6.2.2 RESULTADOS DEL CONTROL MODERNO Y CONTROL ÓPTIMO
En la realimentación de estado, para encontrar el vector K se emplea la
localización de polos, utilizando la técnica de sustitución directa, ver figura
6.8.
Figura 6.8 Realimentación de Estado Continuo de Alabeo.
Mientras que para el control óptimo se utiliza el comando lqr de MATLAB que
calcula la matriz óptima de realimentación K en forma simple, ver figura 6.9.
Figura 6.9 Control Óptimo de Alabeo Continuo.
6.3
SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE CABECEO
Para nuestro sistema en lazo abierto mostrado en la figura 6.10 (a), podemos
observar que el sistema va incrementando en el tiempo en presencia de una
entrada Escalón Unitario, pero además tenemos un polo en z = 1, que coloca
al sistema en el límite de estabilidad.
Para corregir el inconveniente se procede a realizar la realimentación unitaria
con la finalidad de mejorar la respuesta del sistema.
Figura 6.10 (a) Análisis de lazo abierto de Cabeceo Discreto.
Como se puede ver en la figura 6.10 (b) correspondiente al sistema con
realimentación unitaria, el valor del tiempo de establecimiento es de 35
segundos, de la misma forma que el sistema continuo, en el sistema en tiempo
discreto la respuesta del sistema no es óptima ya que le toma mucho tiempo
poder alcanzar el valor deseado del ángulo de cabeceo.
Las respuestas de salida de los sistemas en tiempo discreto y en tiempo
continuo son muy similares, para el período de muestreo de T=0.07.
Además se puede comprobar que los polos están en z=0.991, z=0.962 ±
j0.134, dentro del círculo unitario, por lo tanto el sistema es estable.
Figura 6.10 (b) Análisis de lazo cerrado de Cabeceo Discreto.
6.3.1 RESULTADOS DEL CONTROL CLÁSICO
Para el sistema de movimiento de cabeceo, se utiliza un controlador PID.
•
La figura 6.11 presenta el resultado de la respuesta escalón unitario y
del lugar geométrico de las raíces del sistema con el controlador PID.
Para cumplir con las especificaciones de diseño, se tiene que los valores de
las constantes del controlador son: kp = 24, ki = 12, kd = 12, se llega a un
sobrepico de 2.64%, y un tiempo de establecimiento de 2.73 segundos, como
se muestra en la figura 6.11.
Figura 6.11 Controlador PID de Cabeceo Discreto.
6.3.2 RESULTADOS DEL CONTROL MODERNO Y CONTROL ÓPTIMO
En el control moderno del sistema discreto del movimiento de cabeceo se tiene
que el sistema tiene un sobrepico del 0.523% y un tiempo de estabilización de
1.2s, para un período de muestreo de T=0.1, como se muestra en la figura
6.12.
Mientras que para el control óptimo el sistema tiene un sobrepico nulo y un
tiempo de establecimiento de 0.8s mostrados en la figura 6.12, además que
los valores de ganancia K óptimos son pequeños y se mejora en forma muy
significativa a las condiciones de diseño planteadas en capítulos anteriores.
Figura 6.12 Realimentación de Estado Discreto de Cabeceo.
Figura 6.13 Control Óptimo Discreto de Cabeceo.
6.4
SISTEMA DISCRETO DEL MOVIMIENTO DE ALABEO
Para nuestro sistema en lazo abierto, se tiene que en el diagrama de Bode, el
margen de ganancia es 21.2dB y el margen de fase es de 40.2º con lo cuál se
determina que el sistema es estable. A diferencia con el sistema con
realimentación unitaria se puede ver en la figura 6.14 (b), que el valor del
tiempo de establecimiento es de 7.5 segundos, y el sobrepico de 28,6%, pero
la respuesta no es óptima.
Figura 6.14 (a) Sistema en lazo abierto de Alabeo Discreto.
Figura 6.14 (b) Sistema en lazo cerrado de Alabeo Discreto.
Las respuestas de salida de los sistemas en tiempo discreto y en tiempo
continuo son muy similares, para un período de muestreo de T=0.02.
Se puede notar que los polos de lazo cerrado están en z = 0.939 ± j 0.127 ; es
decir, están dentro del circulo unitario, se puede decir que sistema es estable.
6.4.1 RESULTADOS DEL CONTROL CLÁSICO
Para el sistema de movimiento de alabeo, se utiliza un controlador PD
discreto.
•
La figura 6.15 presenta el resultado de la respuesta escalón unitario y
del lugar geométrico de las raíces del sistema con el controlador PID.
Para cumplir con las especificaciones de diseño, se tiene que los valores de
las constantes del controlador son: kp = 32.56, kd = 8, se tiene un sobrepico
de 1.08%, y un tiempo de establecimiento de 0.62 segundos, como se muestra
en la figura 6.15.
Figura 6.15 Controlador PD de Alabeo Discreto.
6.4.2 RESULTADOS DEL CONTROL MODERNO Y CONTROL ÓPTIMO
En el control moderno del sistema discreto del movimiento de alabeo se tiene
que el sistema tiene un sobrepico nulo y un tiempo de estabilización de 2s,
con un período de muestreo de T=0.1, ver figura 6.16, mientras que para el
control
óptimo
el
sistema
tiene
un
sobrepico
establecimiento de 0.6s, mostrado en la figura 6.17.
nulo
y
un
tiempo
de
Figura 6.16 Control moderno discreto del sistema del movimiento de Alabeo.
Figura 6.17 Control Óptimo Discreto Alabeo.
6.5
SIMULACIÓN DINÁMICA
Figura 6.18 Simulación
En la figura 6.18 se presenta el diagrama de control implementado, para la
simulación de los sistemas tanto para el movimiento Longitudinal como para el
movimiento de Cabeceo.
Las señales de entrada son dos bloques con una señal paso, que simulan las
entradas del sistema, la señal que va al puerto In1, representa a los alerones
que producen el movimiento de alabeo sobre el eje longitudinal del avión, y la
señal que va al puerto In2, representa al timón de profundidad que produce el
movimiento de cabeceo del avión.
Como lo indica la figura 6.19, el bloque subsystem contiene al subsistema de
alabeo y al subsistema de cabeceo.
Figura 6.19 Subsistema general de Alabeo y Cabeceo
Estos subsistemas son unos bloques que tienen una función similar a un
macro que es poder almacenar dentro de ellas funciones o elementos que
pueden ser utilizados por el programador en algún otro sistema evitando así
que se vuelvan a repetir las variables o las operaciones realizadas dentro de
ellas.
También se las está utilizando como una manera de proteger al sistema de
cualquier cambio realizado en forma involuntaria por algún otro operador ya
que cada bloque viene definido con los parámetros necesarios para tener un
buen control en forma individual para cada movimiento.
Los elementos que se encuentran dentro de cada subsistema se muestran en
las figuras presentadas a continuación.
Figura 6.20 Subsistema de alabeo.
Figura 6.21 Subsistema de cabeceo.
La figura 6.20 y 6.21, muestran la posición del avión, durante los movimientos
de cabeceo y alabeo, en presencia de una perturbación aleatoria.
En las salidas se encuentran instrumentos indicadores que normalmente
existen en un avión.
Los instrumentos de control de un avión, son una serie de indicadores,
mediante los cuales el piloto mantiene control seguro de la aeronave en caso
de no contar con referencia visual exterior (Vuelo Visual), y así poder
desarrollar con ellos un vuelo por instrumentos.
6.5.1 INDICADOR DE ACTITUD (ARTIFICIAL HORIZON)
El indicador de actitud u horizonte artificial,
muestra la actitud - relación del eje longitudinal
del avión con respecto al horizonte natural, es
decir: si está girado, si está con la nariz
levantada o bajada.
Sirve de gran ayuda en condiciones que la
visibilidad es poca o nula, con el indicador de
actitud se puede saber si se va recto y nivelado.
Si el indicador se mueve hacia arriba, el avión estará realizando un ascenso y
si está abajo, está descendiendo, además debe mostrar, respecto a la barra
del horizonte, un alabeo en la misma dirección que el alabeo real.
6.5.2 INDICADOR DE RUMBO (COURSE INDICADOR)
El
indicador
de
rumbo
o
giroscopio
direccional, proporciona al piloto la dirección
del avión en grados magnéticos. Antiguamente
se usaba la brújula, pero debido a que ésta se
ve afectada por las variaciones magnéticas y si
el viento es turbulento se vuelve aún menos
precisa. En cambio, el indicador de rumbo es
muy preciso y da al piloto una indicación mucho más fácil de interpretar,
aunque todos los aviones deben disponer también de una brújula con la cual
se toma referencia para ajustar el giro direccional.
6.5.3 COORDINADOR DE GIRO E INCLINÓMETRO (TURN COORDINATOR)
El coordinador de giro y el inclinómetro, en el
coordinador de giro hay una figura de un avión
que nos indica el movimiento de las alas. Debajo
hay el inclinómetro, contiene tres bloques, hay una
bola azul, si la bola se sitúa en el bloque del
centro, el avión va bien en el sentido de giro. Si la
bola se pone en uno de los bloques 1 o 3,
entonces el avión está derrapando, está haciendo un giro incorrecto porque le
falta ascenso u otras causas, entonces el avión gira.
6.5.4 INDICADOR DE VELOCIDAD VERTICAL (CLIMB RATE)
El indicador de velocidad vertical, indica si el
avión está ascendiendo, descendiendo o va
nivelado y la velocidad vertical a la que
asciende o desciende generalmente en pies por
minuto (f.p.m). Si la manecilla indica cero, el
avión está nivelado, si está por encima del cero
entonces está ascendiendo y si está por abajo
de cero, entonces el avión desciende. A partir de esta información, se pueden
mirar los números que indican la velocidad de ascenso y descenso.
6.5.5 ALTÍMETRO(ALTIMETER)
El Altímetro da la lectura de la altitud a la cual está volando el avión en pies.
Algunos aviones tienen una aguja más que indica las décimas, como la
mayoría de aviones.
6.5.6 INDICADOR
DE
SITUACIÓN
HORIZONTAL
(HORIZONTAL
SITUATION)
El indicador de situación horizontal, se usa para ver la dirección del avión.
Al comenzar la simulación, los instrumentos comienzan a funcionar y los
osciloscopios empiezan a registrar las salidas.
Las figuras a continuación, muestran la posición del avión, durante los
movimientos de cabeceo y alabeo, en presencia y ausencia de una
perturbación aleatoria.
Figura 6.22 Posición de alabeo con perturbación aleatoria.
Figura 6.23 Posición de cabeceo con perturbación aleatoria.
Figura 6.24 Posición de alabeo sin perturbaciones.
Figura 6.25 Posición de cabeceo sin perturbaciones.
La figura 6.26, presenta el diagrama implementado de los sistemas en el
control moderno.
Figura 6.26 Diagrama de control moderno
La señal de entrada es una onda cuadrada que proviene de un generador de
señal.
Para la representación de los sistemas se utilizan bloques de ganancias, como
se indica en la figura 6.27.
Figura 6.27 Subsistemas
Las figuras a continuación, muestran la posición del avión, durante los
movimientos
cabece
o y alabeo, en presencia de una perturbación aleatoria.
de
Figura 6.28 Posición de alabeo con perturbaciones.
Figura 6.29 Posición de cabeceo con perturbaciones.
La siguientes figuras muestran la posición del avión, durante los movimientos
de cabeceo y alabeo, sin perturbaciones.
Figura 6.30 Posición de alabeo sin perturbaciones.
Figura 6.31 Posición de cabeceo sin perturbaciones.
A continuación, se muestra la posición del avión, durante los movimientos de
cabeceo y alabeo, en presencia de una perturbación aleatoria, utilizando el
control óptimo.
Figura 6.32 Posición de alabeo con perturbaciones.
Figura 6.33 Posición de cabeceo con perturbaciones.
Las
siguientes
figuras,
muestran
la
posición
del
avión,
durante
los
movimientos de cabeceo y alabeo, sin perturbaciones, utilizando el control
óptimo.
Figura 6.34 Posición de alabeo sin perturbaciones.
Figura 6.35 Posición de cabeceo sin perturbaciones.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
7.1
En esta tesis se ha cumplido con:
•
La modelación y simulación de los sistemas y el diseño de los
controladores con técnicas clásicas y modernas de control.
•
La realización de la simulación de los sistemas tanto en tiempo continuo
como en discreto por varios métodos para el análisis del desempeño del
sistema.
•
La realización del Análisis de Estabilidad de Liapunov a fin de sentar la
base para el diseño de Sistemas de Control Óptimo.
•
Los ejes longitudinal y transversal, son los que determinan los
movimientos de alabeo y cabeceo de un avión. Así que es importante
mantener un avión en equilibrio y estable.
•
La simulación dinámica permite entender como funcionan los sistemas,
utilizando el control clásico, moderno y óptimo, debido a que los
diagramas de bloques implementados son muy ilustrativos.
•
En el presente trabajo, se han desarrollado tres estrategias de control,
estas tres estrategias propuestas cumplen con los objetivos iniciales, ya
que permiten controlar las posiciones de alabeo y cabeceo con gran
precisión.
•
Trabajar con MATLAB y SIMULINK, permite encontrar los bloques
necesarios para el control del avión de una forma amigable.
•
Se puede concluir a partir de los gráficos de la simulación dinámica,
que los objetivos de control planteados para este trabajo han sido
cumplidos en forma satisfactoria, si bien la respuesta obtenida en
presencia de perturbaciones no es excelente se puede mejorarla,
mediante la implementación de algún tipo de filtro o con técnicas de
control mas avanzadas.
A partir de la simulación dinámica, se puede concluir que:
11 Utilizando el control clásico, en los sistemas sin realimentación, las
salidas de los mismos es decir las posiciones de alabeo y de cabeceo
salen de control, es decir, los sistemas son inestables en presencia y en
ausencia de perturbaciones.
12 Para el caso de nuestros sistemas, al utilizar la realimentación unitaria,
se logra estabilizar al sistema, pero aún no se logra tener una respuesta
que satisfaga los requerimientos para un adecuado funcionamiento de
los sistemas, por esto se debe realizar una compensación mediante
controladores PID.
13 Los controladores PID utilizados en estos sistemas, hacen que las
salidas tengan un buen seguimiento de las entradas, aún en presencia
de perturbaciones de cierta magnitud.
14 Al utilizar la técnica de realimentación de estado, las salidas de los
sistemas, tienen un buen seguimiento de las señales de entrada, en
ausencia
de
perturbaciones.
Cuando
existe
presencia
de
perturbaciones, el seguimiento de las salidas es mejor que cuando se
utiliza el controlador PID.
15 Mediante el control óptimo la rapidez de respuesta y el seguimiento de
las señales de salida, son mucho mejores que las que se tienen con los
controladores PID y con la realimentación de estado.
16 Al parecer con cualquiera de las técnicas de compensación utilizadas
en este trabajo, se logra una buena relación entre maniobrabilidad y
estabilidad.
Los
controladores
utilizados
en
este
trabajo,
permiten
un
adecuado
funcionamiento de los sistemas.
RECOMENDACIONES
1.4
•
Los modelos utilizados en este trabajo aunque fueron lineales, sirvieron
mucho para el desarrollo de los sistemas de control, se propone
estudiar alternativas de modelación no lineal para obtener una
respuesta más precisa.
•
Existen ciertas modificaciones de los esquemas de controladores PID,
que pueden ser analizadas en trabajos posteriores.
•
En este trabajo se desarrolló el método de emulación, para el análisis
de los sistemas discretos, por lo que se propone realizar un análisis
más detallado de los sistemas en tiempo discreto.
BIBLIOGRAFÍA
•
LIBROS y MANUALES
ANDERSON, Brian; MOORE, John. Optimal Control. Linear Quadratic Methods. 1ra
Edición. Prentice Hall. Australia.
AUSLANDER, David. Introducción a Sistemas de Control. 1ra Edición. McGraw Hill.
México. 1974.
DORSEY, John. Sistemas de control continuos y discretos. Modelado, Identificación,
Diseño e Implementación. 1ra Edición. McGraw Hill. México. 2002.
KUO, Benjamín. Sistemas de Control Automático. 7ma Edición. Prentice Hall. México.
KUO, Benjamín. Digital Control Systems. 2da Edición. Prentice Hall. USA. 1995.
LEDESMA, Manuel. Meteorología Aplicada a la Aviación. 12da Edición. Paraninfo.
2003.
MESEGUER, José. Aerodinámica Civil – Cargas de Viento en las Edificaciones. 2da
Edición. McGraw Hill. España. 2001.
OGATA, Katsihuko. Dinámica de Sistemas. 1ra Edición. Prentice Hall. México. 1987.
OGATA, Katsihuko. Problemas de Ingeniería de Control utilizando MATLAB. 1ra
Edición. Prentice Hall. Madrid. 1999.
OGATA, Katsihuko. Sistemas de Control en Tiempo Discreto. 2da Edición. Prentice
Hall. México. 1996.
OGATA, Katsihuko. Ingeniería de Control Moderna. 1ra Edición. Prentice Hall.
Argentina. 1974.
OÑATE, Antonio. Conocimientos del Avión. 3ra Edición. Paraninfo. 2001.
REINOSO, Oscar. Control de Sistemas Discretos. 1ra Edición. McGraw Hill. Madrid.
2004
SHAHIAN, Bahram. Control System Design Using MATLAB. 1ra Edición. Prentice Hall.
USA. 1993.
•
ARTÍCULOS
RONCERO, Sergio. Aeronaves y Vehículos Espaciales. Escuela Superior de Ingeniería.
Universidad de Sevilla. Curso 2006 – 2007.
Wikipedia, Coeficientes Aerodinámicos.
MUÑOZ, M. A. Estabilidad.
MUÑOZ, M. A. Superficies de Mando y Control.
Anónimo. Tutoriales de Control para MATLAB y SIMULINK.
Anónimo. Técnicas de Aterrizaje. Flight Safety Foundation.
•
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS
Airbus, http://www.airbus.com
Aeroguarda. Porqué vuelan los aviones.
http://www.aeroguada.com/archivos/tutorial/porquevuelanlosaviones.htm
Anónimo,
Máquinas
voladoras.
http://html.rincondelvago.com/maquinas-
voladoras.html
Lockheed Martin, http://www.lockheedmartin.
NASA, http://www.nasa.gov
NASA, http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12
Northrop Grumman, http://www.northropgrumman.
Scaled Composites , http://www.scaled.com
The Boeing Company, http://www.boeing.com
The
Boeing
http://www.library.cmu.edu/ctms/ctms/examples/pitch/mpitch.htm
Wikipedia, http://es.wikipedia.org
Company,
MANUAL DE USUARIO
El programa desarrollado en el presente proyecto de titulación tiene como
nombre
“tita” la cuál es la palabra clave para poder ingresar en el mismo.
REQUERIMIENTOS RECOMENDADOS DE HARDWARE Y SOFTWARE.
Procesador Intel Core Duo 1.6 Ghz o superior.
Memoria RAM 512 MB o superior.
Resolución de Pantalla de 1280 x 800 píxeles, calidad de color de 32 bits.
Instalador MATLAB 7.0 o superior.
INICIALIZACIÓN DEL PROGRAMA
•
Tener activa la ventana de comando del MATLAB.
•
Escribir
“tita”
y presionar la tecla ENTER para ejecutar el programa
con la cuál aparecerá la pantalla de carátula mostrada a continuación.
•
•
•
Se deberá pulsar sobre la tecla CONTINUAR para acceder a la pantalla
de selección de movimiento o simulación mostrada en la figura abajo, caso
contrario pulse sobre la tecla SALIR para abandonar el programa.
•
•
Dentro de ésta se puede observar que se tienen cuatro opciones de
selección que corresponden a los dos casos en estudio y a las simulaciones
basadas en los mejores resultados obtenidos tanto con el control clásico como
con el control moderno.
•
•
Si en la pantalla de selección escogió la opción de alguno de los
movimientos sea Longitudinal ó de Cabeceo ingresa a su pantalla donde se
presentan opciones de análisis y diseño de controladores con la facilidad de
hacerlo en tiempo continuo como en discreto aplicando diferentes técnicas de
control tanto clásicas como modernas.
•
•
Por definición aparece el sistema en tiempo continuo pero se tiene la
opción de cambiar sea del tiempo continuo al tiempo discreto y viceversa
pulsando en el botón ubicado en la parte inferior de la pantalla.
•
•
Dentro del análisis se puede ver el estado en el que se encuentra el
presente movimiento tanto en lazo abierto como en lazo cerrado, simplemente
seleccionando uno de los dos lazos como se muestra en la pantalla siguiente.
•
•
En los diseños de controladores se tiene la facilidad de ver el
comportamiento de dicho sistema para técnicas de control clásica como es el
caso de un PID ó de control moderno con realimentación de estado y control
óptimo.
•
Dentro de estos ambientes de HMI se puede probar diferentes tipos de
controladores y obtener sus respuestas del comportamiento mediante la
respuesta escalón unitario y lugar de las raíces con la finalidad de obtener los
valores de tiempo de respuesta, máximo sobreimpulso, cancelación de polos
no deseados.
•
Si en la pantalla de selección se escogió cualquiera de las
opciones de simulación se accederá al paquete SIMULINK con el cual se
puede físicamente observar el comportamiento del avión en presencia o no de
perturbaciones de la manera como lo vería el piloto dentro de la cabina de
mando desarrollados en base al control moderno.
•