Modelo de Mercado con Inventario:Regina Diéguez

Modelo de
Mercado
con Inventario
Regina Diéguez Pereda
Análisis Dinámico
A.D.E.
MODELO DE MERCADO CON INVENTARIO
El modelo de mercado con inventario es una de las dos variantes
del modelo de mercado de un único bien, la otra variante es
conocida como el modelo de la telaraña, siendo ésta la primera.
Para explicar nuestro modelo introduciremos previamente el modelo
de la telaraña.
Modelo de la telaraña
Reseña histórica
Este modelo es adecuado para describir el comportamiento del
intercambio de ciertos bienes cuya producción no es ni instantánea
ni continua, sino que abarca un periodo de tiempo. Al final de cada
periodo, los productores deciden, en base al precio obtenido en el
periodo inmediatamente anterior, la cantidad a ofertar en el
presente. Esta hipótesis de comportamiento se ha revelado útil
para ciertos productos agrícolas perecederos, en los que la decisión
de cultivo en cada cosecha se basa en el precio obtenido en la
cosecha precedente.
En los mercados en equilibrio, lo habitual es que los demandantes
conozcan el precio de los bienes y servicios que desean adquirir al
momento de la compra.
También es lo habitual que los oferentes conozcan el precio de
mercado de los bienes y servicios que desean vender al momento de
la venta.
Sin embargo, esta situación no ocurre y genera un problema en la
oferta de numerosos productos agrícolas.
En el caso de los productos agrícolas, la decisión de sembrar está
desligada del precio que tendrá esa cosecha en el momento de
venderla.
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Curso 2003 - 04
Se supone, para mayor simplicidad, que la decisión de sembrar
depende del precio que tuvo el producto durante el período de
cosecha anterior.
Se supone además, que la oferta de productos agrícolas en el
momento de la cosecha es la esperada al momento de sembrar: no
hay sequías, heladas, etc, que alteren la oferta esperada.
Si estos dos supuestos se asumen como válidos, la curva de oferta
de este producto agrícola será: Xt = f (Pt-1)
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Equilibrio con retardos:
Puede demostrarse lo siguiente:
- El movimiento perpetuo se producirá cuando las inclinaciones
de las curvas de oferta y demanda son iguales (elasticidadprecio de oferta y demanda iguales).
- El movimiento explosivo o divergente se produce cuando la
curva de oferta es más elástica que la demanda.
- El movimiento es convergente cuando la curva de oferta es
más inelástica que la curva de demanda.
- Habrá más variaciones de precio cuando las curvas son más
inelásticas y mayores variaciones en cantidades si las curvas
son más horizontales (elásticas).
Este modelo ha sido aplicado con bastante éxito para explicar
cambios en los precios y producción de productos agrícolas.
Sin embargo, las cosas no son tan simples como las explica el
modelo: los agricultores se pueden “adelantar” y producir más en
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Curso 2003 - 04
los años precedidos por años malos y producir menos en los años
precedidos por años buenos.
Es evidente que si son muchos los que advierten este fenómeno,
convendrá producir más en los años precedidos por años buenos.
El concepto de equilibrio dinámico (con retardos) explicado por el
modelo de la telaraña, demuestra, con mayor o menos exactitud, lo
que ocurre en el mercado de gran parte de los productos agrícolas.
De hecho, los estudios empíricos sobre la oferta de productos
agrícolas incluyen el concepto de precio esperado por el agricultor
para su cosecha.
El caso de la telaraña no es un análisis estático de mercado como
hemos analizado normalmente: responde a un análisis dinámico
que nos permite explicar una cierta regularidad en los cambios de
precios agrícolas.
Hipótesis
 La oferta en cada periodo (Ot) depende, no del precio que se tiene
en el mercado durante el mismo periodo, sino del precio que se
tenía en el periodo anterior Pt-1.

Condición de equilibrio: la demanda debe absorber a la oferta en
todos y cada uno de los periodos de tiempo considerados.
Formulación matemática
Qdt = Qst
Qdt = a – bPt
Qst = -c + dPt-1
(a, b > 0)
(c, d > 0)
Resolución del modelo
Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la primera obtenemos
la siguiente ecuación en diferencias de primer orden:
bPt + dPt-1 = a + c
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Para resolverla es deseable normalizarla y avanzar los subíndices
temporales un periodo:
Pt+1 + (d/b)Pt = (a + c)/b
Al final obtendremos:
Pt = [P0 – ((a + c)/(b + d))] (-d / b)t + [(a + c)/(b + d)]
Modelo de mercado con inventario
Reseña histórica
En el modelo de la telaraña se supone que el precio se establece de
manera tal que equilibra la producción corriente para todos los
períodos. La implicación de esta hipótesis es que se trata de una
mercancía que es perecedera, la cual no puede almacenarse, o bien
que aun siendo almacenable no hay inventario de ella. Ahora
construiremos un modelo en el que los vendedores mantienen un
inventario de las mercancías.
Hipótesis

La cantidad demandada, Qdt, y la cantidad ofrecida
corrientemente, Qst, son funciones lineales no desfasadas del
precio Pt.

El ajuste del precio se efectúa no a través del equilibrio del
mercado en cada período, sino a través de la selección del precio
por los vendedores: al principio de cada período, los vendedores
fijan un precio para ese período tomando en consideración la
situación de las existencias. Si como resultado del precio del
período precedente se acumularon inventarios, el precio corriente
se fija a un nivel más bajo que el anterior; pero si hubieran
disminuido las existencias, el precio actual se fijaría a un nivel
más alto que el anterior.
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 El ajuste de precio hecho período a período es inversamente
proporcional al cambio observado en los inventarios (existencias).
 El mercado no está en situación de equilibrio.
Formulación matemática
Qdt = Qst
Qdt = a - bPt
Qst = -c + dPt
Pt+1 = Pt -  (Qst – Qdt)
(a, b > 0)
(c, d > 0)
( > 0)
Qdt: Cantidad demandada
Qst: Cantidad ofrecida
: coeficiente de ajuste del precio inducido por el stock.
(Qst – Qdt): Proceso de ajuste del precio en términos de inventario.
Resolución y análisis del modelo
Pt+1 – [1 - (b + d)]Pt =  (a + c)
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1er Método
RSolve P t + 1
1- s d+ b
-
FullSimplify
a+ cP t ®
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a+ c-
1-
Collect
a+ c
b+ d
+
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b+ d s
t
P t
a+ c-
Š s a+ c , P t , t
b+ d C 1
b+ d
b+ d s
t
a+ c-
b+ d C 1
b+d
b+ d s
t
, 1-
b+ d s
- a- c+bC 1 + dC 1
b+ d
2º Método
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Solución general de la homogénea. Ecuación característica.
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Solve r -
1- s d+ b
Š 0, r
r ® 1- b s - d s
GH t_ = C 1 - b s - d s
C 1- b s - d s
t
t
Solución particular
P t_ = A
A
P t+ 1
1- s d+ b
-
A- A 1 -
P t
b+d s
SolveAlways P t + 1
1- s d+ b
-
P t
== s a + c , t
a ® A b- c + A d , s ® 0
c+a
A =
a+ c
b+ d
b+ d
GC t = GH t + P t
a+ c
+ C 1- bs - ds
b+ d
t
Problema de los valores iniciales
1) b = d
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P t ®
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a + c - 2 d po
P t
Š s a + c ,
FullSimplify
1- 2 d s
t
2d
2) b = -d
RSolve
P t+ 1
-
1 - s b + d
P 0 Š po , P t , t
P t
Š s a + c ,
FullSimplify
P t ® po + a + c t s
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P t+ 1
-
1 - s b + d
P 0 Š po , P t , t
P t
Š s a + c ,
FullSimplify
P t ® po + a + c t s
Variantes del modelo
Qdt = a - bPt
Qst = -c + dP*t
-
(a, b > 0)
(c, d > 0)
P*t = Pt-1
Pt+1 – Pt(1-b) + dPt-1 = (a+c)
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RSolve P t + 1
- P t
1- s b
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Š s a+ c , P t , t
FullSimplify
P t ®
If t ³ - 1,
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4 b+ d s
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1- b s - 2 d s +
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1- bs +
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- 4ds +
- 1+ bs 2
- 4ds +
- 1+ bs 2
- 4ds +
- 4ds +
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- 1+ b s 2
1- bs +
- 4ds +
- 1+ bs 2
2+ t
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1+ t
- 1+ bs + 2ds +
- 4ds +
- 1+ bs 2
- 1+ bs 2
1+ t
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4 d s + - 1+ b s
4ds + - 1+bs
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4ds + - 1+ bs
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1- b s - 2 d s +
1- b s -
2
4ds + - 1+ bs
4ds + - 1+ bs
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- Goodwin
P*t = Pt-1 + k(Pt-1 – Pt-2)
kR
Pt+1 – Pt(1-b) + dPt-1(1+k) - dkPt-2 = (a+c)
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RSolve P t + 1
- P t
1- s b
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1+ k
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s a+ c , P t , t
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1 ^ - - 3+ 2 + t
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Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1 - d k
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1
2
2
2
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b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1
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d k s #1 + d k s #1 &, 1 + 2 d k s Root
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- 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1 - 3 d k s
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1
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If - 1 + t ³ 0, Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &,
2 ^ - - 3+ 2 + t
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b+ d+
d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2 - d k
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b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2
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1 + b s + 2 d s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2 +
2 d k s Root
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- 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2 -
3 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2
If - 1 + t ³ 0, Root - 1 + #1 - b s #1 - d s
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#1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^ - - 3 + 2 + t
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b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 - d k
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d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
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3
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3
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d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 2 2
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d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
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d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 2 +
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2
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d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 +
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b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
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d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
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d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 2 2
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d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 3 +
2
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2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2
- 1+ s
2
2
2
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 +
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 -
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 2
2
2
-
2
If - 1 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &,
3 ^ - - 3+ 2 + t
,0
2
2
2
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 -
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
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d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 +
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 3
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 +
s
2
2
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2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 +
2
2
2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 3 +
2
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3
- 1+ s
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 2
2
2
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^ 2
2
2
2
-
2
If - 1 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ - - 3 + 2 + t
2
2
2
,0
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 -
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 3
2
2
2
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
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d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4
2
2
2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 +
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 -
s
3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 +
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 3 +
2
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4
- 1+ s
2
2
2
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 2
2
2
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 2
+
C 1 - 2C 2 + bs C 2 +C 3 - b
s
C
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If t ³ 0, Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^
-
- 2+
2+ t
,0
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1 2
2
3
d k Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1
2
b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1
- 1+ bs +
2
2
3
2 d s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1 + 2 d
k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1 - 3 d
k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1
2
2
3
2
-
If t ³ 0, Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^
-
- 2+
2+ t
,0
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2 2
2
3
d k Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2
2
b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2
- 1 + b s + 2 d s Root - 1 + #1 -
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b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2 +
2
2 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #12 + d k s #13 &, 2 2
2
2
3
3 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2
2
2
-
3
If t ³ 0, Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^
-
- 2+
2+ t
,0
2
2
3
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 2
2
2
3
d k Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3
b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3
2
2
- 1+
3
b s + 2 d s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 +
2 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3 3 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3
2
2
2
2
-
2
If t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ - - 2 + 2 + t
2
2
,0
2
2
2
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ 2 2
2
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ 2 +
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 3
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 +
s
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 +
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2 2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ 3 +
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
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d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1
- 1+ s
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 +
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 -
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2
2
2
2
-
2
If t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ - - 2 + 2 + t
2
2
2
,0
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 -
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 3
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 +
s
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 +
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 3 +
2
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2
- 1+ s
2
2
2
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 2
2
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 +
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d s #12 + d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^2
2
2
-
2
2
If t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ - - 2 + 2 + t
2
2
,0
2
2
2
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 2
2
2
2
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 +
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 3
2
2
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3
2
2
2
2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 +
s
2
2
2
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 +
2
2
2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 +
2
2
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 3 +
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
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3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3
- 1+ s
2
2
2
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 2
2
2
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^ 2
2
2
2
-
2
If t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ - - 2 + 2 + t
2
2
, 0
2
2
2
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
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Regina Diéguez Pereda
Curso 2003 - 04
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d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 2 +
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 3
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 +
s
2
2
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 +
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s
2
3
3
4
#1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s
#12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 2 2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s
#12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 3 +
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4
- 1+ s
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 -
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2
C 2 - 2C 3 + bs C 3
2
-
+
If 1 + t ³ 0, Root - 1 + #1 - b s #1 -
2
d s #1 - d k s #1 + d k s #13 &, 1 ^ - - 1 + 2 + t
2
2
, 0
3
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1 dk
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b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1
2
2
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3
b s + 2 d s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1 +
2 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1 3 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1
2
2
2
-
3
If 1 + t ³ 0, Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^
-
- 1+
2+ t
,0
2
2
3
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2 2
2
2
3
d k Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2
b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2
2
2
- 1+
3
b s + 2 d s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2 +
2 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2 3 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2
2
2
2
-
3
If 1 + t ³ 0, Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^
-
- 1+
2+ t
,0
2
2
3
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 d k Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3
2
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b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3
2
2
- 1+ bs +
3
2 d s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 +
2 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3 -
2
3 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3
2
2
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-
2
If 1 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ - - 1 + 2 + t
2
2
2
, 0
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 -
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2 2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ 3
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1
2
2
2
2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 +
s
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 +
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2 +
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ 3 +
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
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d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1
- 1+ s
2
2
2
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 2
2
2
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2
2
2
-
2
2
If 1 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ - - 1 + 2 + t
2
2
,0
2
2
2
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 2
2
2
2
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 +
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 3
2
2
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2
2
2
2
2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 +
2
2
2
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
s
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 +
2
2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 2 2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 3 +
2
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2
- 1+ s
2
2
2
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 +
2
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 - 3 d k
2
2
2
2
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Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 - d s #1 -
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D
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2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2
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2
2
2
2
If 1 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ - - 1 + 2 + t
-
2
2
,0
2
2
2
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 +
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^ 3
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 +
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 -
s
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 +
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^ 2 +
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 3 +
-
2
2
2
2
1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3
-
1 + s b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 -
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2
2
2
2
-
2
If 1 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ - - 1 + 2 + t
-
2
2
2
,0
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 -
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 2 +
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Regina Diéguez
d k Root Pereda
1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d-k04
s #1 2
3
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2
2
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d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 3
2
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b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4
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Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 3 +
2
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4
- 1+ s
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s
2
2
3
3
4
#1 + d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k
2
3
3
4
s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 - 3 d k Root 1 -
2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 - d s #13 - 2
d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 2
2
+ C 3
2
If 2 + t ³ 0,
-
3
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1
2
- 2+ t
2
,0
3
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1 2
d k Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1
2
2
3
b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1
- 1 + b s + 2 d s Root
2
2
3
- 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1 + 2 d k s
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 1 - 3 d k
2
2
2
3
s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 1
-
If 2 + t ³ 0,
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2
2
- 2+ t
2
,0
3
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2 2
2
3
d k Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2
2
b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2
- 1+ bs +2ds
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2 + 2 d k s
2
2
3
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 2 - 3 d k s
2
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 2
- If 2 + t ³ 0,
Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3
2
2
- 2+ t
,0
3
b + d + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 d k Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3
2
2
b + d Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 -
28
Regina Diéguez Pereda
Curso 2003 - 04
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d k s #12 + d k s #13 &, 3
3
2
2
- 1 + b s + 2 d s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #1 - d k s #1 + d k s #1 &, 3 +
2 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3 3 d k s Root - 1 + #1 - b s #1 - d s #12 - d k s #12 + d k s #13 &, 3
-
2
2
2
2
2
If 2 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 4
3
3
,0
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ - 2 + t
2
2
2
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 -
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2 +
2
2
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 4
3
3
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ 3
2
2
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 +
s
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 +
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 4
3
3
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ 2 +
2
2
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 4
3
3
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 ^ 2 2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 3 +
2
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1
- 1+ s
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 +
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
4
3
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 1 - 3 d k Root
2
2
2
2
3
1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 - d s #1 -
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D
L
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H
L
L
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D
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2 d k s #13 + d k s #14 &, 1 ^ 2
-
If 2 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ - 2 + t
-
2
2
,0
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 2
2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
30
Regina Diéguez Pereda
Curso 2003 - 04
D
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d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 3
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2
2
2
2
2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 +
s
2
2
2
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 +
2
2
2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 2 +
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 2 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 3 +
2
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2
- 1+ s
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 +
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 -
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 2 ^ 2
2
2
-
2
If 2 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ - 2 + t
2
2
2
,0
2
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 -
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 +
2
2
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^ 3
2
2
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3
2
2
2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d
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31
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DH
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k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 +
s
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 +
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 +
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 2 -
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 ^ 3 +
2
2
2
2
- 1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 -
d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3
- 1+ s
b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 +
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 3 -
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k
2
3
3
4
s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 3 ^ 2
2
2
-
2
If 2 + t ³ 0, Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ - 2 + t
2
2
2
2
2
2
,0
- b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 2
2
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 2
2
2
2
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 +
2
2
d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 3
b + d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4
2
2
2
2
1 - Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 +
s
2
2
2
2
b Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 3
3
4
d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 +
2
2
2
2
3
d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 - d s #1 3
4
2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2 + d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 +
2
2
2
2
3
3
4
#1 - b s #1 + d s #1 + d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1
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Regina Diéguez Pereda
Curso 2003 - 04
D @
D
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D
L
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D
@
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&, 4 ^2 - d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 ^ 3 +
-
1 + Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 + d k s #12 d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4
-
1 + s b + 2 d Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 +
2
2
2
2 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #1 - b s #1 + d s #1 +
d k s #12 - d s #13 - 2 d k s #13 + d k s #14 &, 4 -
3 d k Root 1 - 2 #1 + b s #1 + #12 - b s #12 + d s #12 +
2
3
3
4
d k s #1 - d s #1 - 2 d k s #1 + d k s #1 &, 4 ^ 2
- Si supusiéramos que en nuestro modelo se da el equilibrio nos
quedaría.
Equilibrio
Qdt = a – bPt
Qst = -c + dPt
Qdt = Qst
(b+d)Pt = -(c+a)
@
H
L
@
D
H
L
@
D
D


:@
D>
Resolución
RSolve b + d P t Š - c + a , P t , t
P t ® -
FullSimplify
a+c
b+d
- Cobweb
Hace referencia a los productos agrícolas que se siembran o plantan
un año antes de su salida al mercado, la oferta actual depende del
precio del año anterior.
Qdt = c + bPt
Qst = g + h Pt-1
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Regina Diéguez Pereda
Curso 2003 - 04
c + bPt = g + h Pt-1
bPt - h Pt-1 = (-c + g)
Resolución
RSolve b P t
hP t
1
c
g , P t , t
FullSimplify
P t
b
If t
1 t
b1
1,
t
b h1
c g
t
C 1
h1
t
c
g
hC 1
b h
,0
CONVERGENCIA
El modelo de Mercado con Inventario se trata de una E.D.F. de
primer orden con coeficientes constantes, por tanto, para analizar
la convergencia de éste procederemos de la siguiente forma:
Sabemos que:
Yt+1 – aYt = Qt (t ≥ 0, a≠ 0)
Sabemos que la solución general es:
Yt, GC = Yt,GH + Yt,PC = Cat + Yt,PC
La E.D.F. es estable  lim
(t  ∞)
Yt,GH = 0,  C    |a|<1.
Si hay estabilidad el valor de equilibrio es Yt,PC, esto es, la solución
particular de la completa.
@
@
DHHL
L@
DHL@
DD


D
L>
::@
D HHLLHHL@
>
RSolve P t + 1
-
1- s d+ b
P t
Š s a+ c , P t , t
FullSimplify
P t ®
a+ c-
1-
b+ d s
t
a+ c-
b+ d C 1
b+ d
34
Regina Diéguez Pereda
Curso 2003 - 04
D
LHHLL
AHHLLHHL@
HHLLH @
D@
D
L
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D@
D
@
D
HL
Collect
a+ c
b+ d
+
a+ c-
1-
1-
b+ d s
t
a+ c-
b+ d C 1
b+d
b+ d s
t
, 1-
b+ d s
- a- c+bC 1 + dC 1
b+ d
Sabemos que la solución general es:
GC t = GH t + P t
a+ c
+ C 1- bs - ds
b+ d
t
por tanto, y como hemos dicho anteriormente sabemos que se
cumple que |c(1 - b - d)t|<1 es estable, todas las soluciones
convergen a la solución particular de la ecuación completa.
BIBLIOGRAFÍA
· Matemáticas para economistas. Edward T. Dowling. Ed. Mc Graw
Hill.
· Análisis discreto en Economía y Empresa. Ed.AC. Concepción
González y Javier A. Barrios.
· Métodos Fundamentales de Economía Matemática.
Alpha Chiang. Ed. Mc Graw Hill.
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Regina Diéguez Pereda
Curso 2003 - 04